2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）《一次函数》19.1.2函数的图象七大题型

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《一次函数》 19.1.2函数的图象七大题型 知识要点归纳 知识点1 函数的图象 1.函数的图象： 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象. 2.画函数图象的一般步骤： （1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值. （2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. （3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来. 注意：函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线，甚至可以是不连续的点. 知识点2 函数的识别方法 对于函数的定义，两个变量是前提，它们的对应关系是基础.必须明确：两个变量之间的对应关系，即一个自变量值对应一个函数值，也可以是两个或多个不同的自变量值对应一个函数值，但绝不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值. 知识点3 利用函数的图象获取信息 根据图像读取信息时，要把握以下几个方面： 1. 横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量； 2.关于图象上的某个点，可以过该点分别向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标； 3.在实际问题中，要注意图象与横、纵轴的交点代表的具体含义. 4.图象中注意起点、终点、拐点、交点的实际意义 知识点4 利用函数的图象解决实际问题 对于已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义，对于实际问题，要正确理解图象的横、纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的单位图象的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义. 知识点5 分段函数的应用方法 自变量在不同的范围内取值时，函数y和自变量x有不同的对应关系，这种函数称为分段函数.解决分段函数的有关问题的关键是要弄清自变量的取值范围，选择合适的解析式解决问题. 题型归纳 【题型1 识别函数图象】 【题型2 画函数图象】 【题型3 从函数图象中获取信息】 【题型4 利用函数图象描述实际生活情境】 【题型5 动点问题的函数图象】 【题型6 函数图象中的分段函数】 【题型7 函数的三种表示方法】 典例精析专练 【题型1 识别函数图象】 【例1】如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A．B．C． D． 【变式1-1】．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．一架直升机从基地出发，向灾区运送救援物资，到达灾区后等待卸下救援物资，然后立即返回基地．已知直升机卸完物资返程时的速度大于从基地出发时的速度．下面能反映直升机离开基地的距离y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】．如图，长方体铁块悬挂在弹簧秤下面，并完全浸没在盛有水的水槽内部，现匀速向上提起铁块（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗 ； （2）匀速行驶的汽车 ； （3）足球守门员大脚开出去的球 ； （4）一杯越晾越凉的水 ． 【题型2 画函数图象】 【例2】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程以下是我们研究函数的图象的部分过程，请按要求完成下列各小题． (1)上表是与的几组对应值，则 ______， ______； (2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：______； (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画出的函数图象，请直接写出方程的解______． 【变式2-1】．小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： (1)下表是与的几组对应值．请直接写出：______，______； (2)如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； (3)由图象可知，当时，对应的自变量有______个值． 【变式2-2】．在学习函数时，我们需要根据函数图象研究函数性质，某班数学课中开展对函数的研究，列表如下． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 1 4 9 … (1)填写上表，并根据表格数据描出对应的点，画出函数的图象． (2)根据函数图象，当时，直接写出y的取值范围______． 【变式2-3】．某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系．下表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示． t 0 1 2 3 4 6 8 10 … y 0.00 2.00 4.00 2.83 2.00 1.00 0.50 0.25 … (1)在所给的平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值对应的点，并补全该函数的图象； (2)结合函数图象，解决下列问题： ①某成年人患者第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为_____微克（精确到0.1）； ②若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约____小时； ③若某成年人患者第一次服药后8小时进行第二次服药，且第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后至少____小时，每毫升血液中的含药量首次达到4微克（精确到0.1）． 【题型3 从函数图象中获取信息】 【例3】．在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（   ） A．小汽车共行驶 B．小汽车中途停留 C．小汽车出发后前1小时的平均速度为80千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【变式3-1】．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离和骑自行车时间之间的关系如图所示，给出下列说法：他们都骑行了；乙在途中停留了；甲、乙两人同时到达目的地；相遇后，甲的速度小于乙的速度；甲始终保持加速运动．根据图象信息，以上说法正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】．已知老李的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：老李从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示老李离家的距离．依据图中的信息，有下面的结论： （1）体育场离老李家； （2）体育场离文具店； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是； （4）老李在文具店买笔用时； （5）老李从文具店回家的平均速度是． 其中结论正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-3】．甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为 ． 【变式3-4】．图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： (1)图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； (2)图①中的图形的面积是多少？ (3)图②中b的值是多少？ 【题型4 利用函数图象描述实际生活情境】 【例4】．下列情境中，分别描述了两个变量之间的关系：（1）一杯越来越凉的开水（水温与时间的关系）；（2）从树上开始往下掉的苹果（苹果落地前的高度与下落时间的关系）；（3）足球守门员踢出去的球（高度与时间的关系）．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（    ） A．③②① B．②①③ C．①②③ D．③①② 【变式4-1】．以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系： 甲：运动员推铅球时，铅球的高度与水平距离的关系； 乙：食堂需购买一批餐具，支付费用与购餐具的数量的关系； 丙：一长方形水池里原有部分水，再匀速往里注水，水池中水面的高度与注水时间的关系； 丁：小明周末离家去看电影，结束后，原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系． 用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（    ） A．③①④② B．④③①② C．④①③② D．③①②④ 【变式4-2】．根据图象回答下列问题．    (1)上图反映了哪两个变量之间的关系？ (2)你还能从图中获取哪些信息？（写出三条不同类型的信息） (3)你能找到一个实际情境，大致符合图②所刻画的关系吗？ 【变式4-3】．阅读如图所示的函数图象题，请你根据获得的信息解答下列问题： (1)折线是某个实际问题的函数图象，请你编写一段符合图象意义的文字描述； (2)根据你所写出的文字描述分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A，B，C三点的坐标． 【题型5 动点问题的函数图象】 【例5】．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 【变式5-1】．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A．48 B．40 C．24 D．30 【变式5-2】．如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】．在一场机器人的比赛中，机器人要沿台阶的舞台行进，机器人匀速行走，在这个过程中，机器人所处的高度随时间变化的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】．如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（   ） A． B． C． D． 【题型6 函数图象中的分段函数】 【例6】．通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)列表： 直接填空：_______． (2)描点并画出该函数的图象． (3)观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质： ①______________； ②______________． (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为_______． 【变式6-1】．如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接．设的面积为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； (2)根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出当时x的值（结果保留一位小数，误差范围±0.2）． 【变式6-2】．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度运动，到达点停止运动，连接，设点的运动时间为，的面积为（当点与两点重合时，的值为0） (1)用含关系式表示，并写出的取值范围； (2)用折线统计图的思想描绘面积与时间的关系； (3)直接写出不等式的解集是_____________. 【变式6-3】．如图，在正方形中，，O为对角线的中点，点P在正方形的边上沿的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C点时停止．设运动的时间为x，的面积为y，在点P运动的过程中，y随x的变化而变化．小林同学根据学习函数的经验对y与x的变化规律进行了探究，下面是小林的探究过程，请你补充完整并利用所得结论解决问题． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； (4)当 s时，的面积为． 【题型7 函数的三种表示方法】 【例7】．下列曲线中不能表示 y是 x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 【变式7-2】．鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； (2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； (3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 【变式7-3】．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《一次函数》 19.1.2函数的图象七大题型（解析版） 知识要点归纳 知识点1 函数的图象 1.函数的图象： 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象. 2.画函数图象的一般步骤： （1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值. （2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. （3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来. 注意：函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线，甚至可以是不连续的点. 知识点2 函数的识别方法 对于函数的定义，两个变量是前提，它们的对应关系是基础.必须明确：两个变量之间的对应关系，即一个自变量值对应一个函数值，也可以是两个或多个不同的自变量值对应一个函数值，但绝不能是一个自变量值对应两个不相同的函数值. 知识点3 利用函数的图象获取信息 根据图像读取信息时，要把握以下几个方面： 1. 横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量； 2.关于图象上的某个点，可以过该点分别向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标； 3.在实际问题中，要注意图象与横、纵轴的交点代表的具体含义. 4.图象中注意起点、终点、拐点、交点的实际意义 知识点4 利用函数的图象解决实际问题 对于已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义，对于实际问题，要正确理解图象的横、纵坐标表示的意义，以及横、纵坐标的单位图象的变化趋势等，从而表达所反映的实际意义. 知识点5 分段函数的应用方法 自变量在不同的范围内取值时，函数y和自变量x有不同的对应关系，这种函数称为分段函数.解决分段函数的有关问题的关键是要弄清自变量的取值范围，选择合适的解析式解决问题. 题型归纳 【题型1 识别函数图象】 【题型2 画函数图象】 【题型3 从函数图象中获取信息】 【题型4 利用函数图象描述实际生活情境】 【题型5 动点问题的函数图象】 【题型6 函数图象中的分段函数】 【题型7 函数的三种表示方法】 典例精析专练 【题型1 识别函数图象】 【例1】如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、等腰三角形的性质及直角三角形的性质．根据题意，先得出y与x的函数关系式，再结合x的取值范围进行判断即可． 【详解】解：因为， 所以， 即， 所以． 因为， 所以， 观察四个选项，D选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 【变式1-2】．一架直升机从基地出发，向灾区运送救援物资，到达灾区后等待卸下救援物资，然后立即返回基地．已知直升机卸完物资返程时的速度大于从基地出发时的速度．下面能反映直升机离开基地的距离y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是理解去的速度比返程的速度慢，同时知道等待卸下救援物资时距离保持不变即可判断． 【详解】解：根据直升机卸完物资返程时的速度大于从基地出发时的速度，可知返程的图形要陡一些，到达灾区后等待卸下救援物资，图象为一条平行于轴的线段，故 符合题意， 故选：C． 【变式1-3】．如图，长方体铁块悬挂在弹簧秤下面，并完全浸没在盛有水的水槽内部，现匀速向上提起铁块（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答是关键． 根据题意，结合，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：根据提起铁块的过程可知，铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变； 当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，故此过程中弹簧的度数增加； 当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故此过程中弹簧的度数增加到最大后保持不变； 故选：B． 【变式1-4】．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗 ； （2）匀速行驶的汽车 ； （3）足球守门员大脚开出去的球 ； （4）一杯越晾越凉的水 ． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】解（1）：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C． 【题型2 画函数图象】 【例2】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程以下是我们研究函数的图象的部分过程，请按要求完成下列各小题． (1)上表是与的几组对应值，则 ______， ______； (2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：______； (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画出的函数图象，请直接写出方程的解______． 【答案】(1)， (2)图见解析；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3)， 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键． （1）当时，当时，代入求值即可； （2）根据题中数据画出图形，再根据图像得到性质； （3）方程的解即两条函数的交点横坐标，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； 故答案为：，； （2）解：画出函数的图象如图： 由图象可知，该函数的一条性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小答案不唯一； 故答案为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小答案不唯一； （3）解：由图象可知：方程的解为，． 故答案为：，． 【变式2-1】．小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： (1)下表是与的几组对应值．请直接写出：______，______； (2)如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； (3)由图象可知，当时，对应的自变量有______个值． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了函数图象，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格求出当时，当时的值即可； （）根据画函数图象的步骤即可； （）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，，即，当时，，即， 故答案为：，； （2）解：列表： 描点， 连线， 画出函数图象如下图所示， （3）解：根据图象可知： 当时，对应的自变量有个值， 故答案为：． 【变式2-2】．在学习函数时，我们需要根据函数图象研究函数性质，某班数学课中开展对函数的研究，列表如下． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 0 1 4 9 … (1)填写上表，并根据表格数据描出对应的点，画出函数的图象． (2)根据函数图象，当时，直接写出y的取值范围______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了描点法画函数图象、求函数解析式，正确作出函数图象是解题的关键． （1）由表格可知，函数经过，得到，再代入和求出对应的的值，即可填写表格；根据表格数据描出对应的点，用光滑的曲线连接各点即可画出函数图象； （2）当时，观察函数图象中y的最小值和最大值，即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知，函数经过， ， 解得：， 函数解析式为， 当时，； 当时，； 则填表如下： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … 描点，画出函数图象如下： （2）解：由图象可知，当时，y的最小值为0，最大值为9， y的取值范围为． 故答案为：． 【变式2-3】．某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系．下表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示． t 0 1 2 3 4 6 8 10 … y 0.00 2.00 4.00 2.83 2.00 1.00 0.50 0.25 … (1)在所给的平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值对应的点，并补全该函数的图象； (2)结合函数图象，解决下列问题： ①某成年人患者第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为_____微克（精确到0.1）； ②若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约____小时； ③若某成年人患者第一次服药后8小时进行第二次服药，且第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后至少____小时，每毫升血液中的含药量首次达到4微克（精确到0.1）． 【答案】(1)图见详解； (2)①1.4；②7.75；③1.8． 【分析】本题主要考查了利用函数的模型解决实际问颖的能力和读图能力，要先根据坐标画出图象，解题的关键是要分析题意，并会根据图示得出所需要的信息． （1）利用描点法画图； （2）①第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量由图象可得，答案不唯一；②根据含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，看图象得边界点的t值，相减可得结论；③用首次含药量达到4微克的时间减去即可． 【详解】（1）解∶如图所示∶ （2）解：①由函数图象得∶某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为1.41微克； 故答案为： 1.41； ②当时，或8， ， 第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时； 故答案为∶7.75； ③第一次服药8小时后含药量为0.5微克，第一次服药小时后含药量为0.5微克，所以第二次服药后含药量首次为4微克，需要的时间为：小时， 故答案为∶1.8． 【题型3 从函数图象中获取信息】 【例3】．在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离和行驶时间之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（   ） A．小汽车共行驶 B．小汽车中途停留 C．小汽车出发后前1小时的平均速度为80千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】D 【分析】本题考查从函数图像中获取信息，涉及行程问题公式：路程速度时间，运用数形结合思想进行逐项判断，即可作答． 【详解】解：A、由图可知，小汽车共行驶，选项正确，不符合题意； B、由图可知，小车在1小时到1.5小时之间，路程没有变化，中途停留，选项正确，不符合题意； C、小汽车出发后前1小时的平均速度为80千米/时，不符合题意； D、由图可知，小汽车自出发后3小时至5小时是匀速行驶，速度不变，选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】．甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离和骑自行车时间之间的关系如图所示，给出下列说法：他们都骑行了；乙在途中停留了；甲、乙两人同时到达目的地；相遇后，甲的速度小于乙的速度；甲始终保持加速运动．根据图象信息，以上说法正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题是函数的图象的知识，熟练掌握从图象中读取信息的方法并灵活运用是解决本题的关键． 函数的图象定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：函数图形上的任意点都满足其函数的解析式； 满足解析式的任意一对、的值，所对应的点一定在函数图象上； 判断点是否在函数图象上的方法是：将点的、的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 根据以上函数的图象定义逐一判断即可． 【详解】解：、图像中两人最终距离均为，故都骑行了，故正确； 、乙在到1小时，s不变，停留了，故正确； 、甲2小时到达，乙小时到达，不同时，故错误； 、甲速度；乙实际骑行时间，速度，速度相等，故错误； 、甲的图像是直线，为匀速运动，非加速，故错误； 综上所述，正确的有，共2个， 故选：B． 【变式3-2】．已知老李的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：老李从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示老李离家的距离．依据图中的信息，有下面的结论： （1）体育场离老李家； （2）体育场离文具店； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是； （4）老李在文具店买笔用时； （5）老李从文具店回家的平均速度是． 其中结论正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查对函数图象的理解和掌握，利用函数图象中横、纵坐标的意义分别求解判断即可． 【详解】解：（1）体育场离老李家，故原结论正确； （2）体育场离文具店，故原结论错误； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是，故原结论正确； （4）老李在文具店买笔用时，故原结论错误； （5）老李从文具店回家的平均速度是，故原结论错误； 故选：A． 【变式3-3】．甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，由图可求出乙的速度，即可求出甲的速度，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，乙车的速度是， ∴甲车的速度是， ∴， 故答案为：． 【变式3-4】．图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： (1)图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； (2)图①中的图形的面积是多少？ (3)图②中b的值是多少？ 【答案】(1)8，24 (2)图①中的图形的面积为 (3) 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． （1）根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；结合，可以计算出的面积，计算可得a的值； （2）分析图形可得，①中的图形面积等于，根据图象求出和的长，代入数据计算可得答案； （3）计算的长度，再由P的速度，计算可得b的值． 【详解】（1）解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：， 故图①中的长是； ∴， 即图②中的a是； 故答案为：8，24； （2）解：由图可得：，， 则， 又∵， 则①图的面积为， ∴图①中的图形面积为； （3）解：根据题意，动点P共运动了， 其速度是，则， ∴图②中的b的值是17． 【题型4 利用函数图象描述实际生活情境】 【例4】．下列情境中，分别描述了两个变量之间的关系：（1）一杯越来越凉的开水（水温与时间的关系）；（2）从树上开始往下掉的苹果（苹果落地前的高度与下落时间的关系）；（3）足球守门员踢出去的球（高度与时间的关系）．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（    ） A．③②① B．②①③ C．①②③ D．③①② 【答案】A 【分析】本题考查用图像表示变量之间的关系，关键是将文字描述转化成函数图像的能力．根据题干对应图像中变量的变化趋势即可求解． 【详解】解：（1）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，故③图象符合要求； （2）从树上开始往下掉的苹果，苹果落地前的高度随下落时间的增大而减小，故②图象符合要求； （3）足球守门员大脚开出去的球，高度先随时间的增大而增大，然后随时间的增大而减小，故①图象符合要求； 正确的顺序是③②①． 故选：A． 【变式4-1】．以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系： 甲：运动员推铅球时，铅球的高度与水平距离的关系； 乙：食堂需购买一批餐具，支付费用与购餐具的数量的关系； 丙：一长方形水池里原有部分水，再匀速往里注水，水池中水面的高度与注水时间的关系； 丁：小明周末离家去看电影，结束后，原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系． 用下面的图象刻画上述情境，排序正确的是（    ） A．③①④② B．④③①② C．④①③② D．③①②④ 【答案】C 【分析】根据四种变化中两个变量间的关系，可分别判断每种变化对应的图象． 【详解】解：∵运动员推铅球时，铅球的高度与水平距离成抛物线状， ∴该变化对应图象④； ∵食堂需购买一批餐具，支付费用与购餐具的数量成正比例关系， ∴该变化对应图象①； ∵一长方形水池里原有部分水，再匀速往里注水，水池中水面的高度与注水时间成一次函数关系， ∴该变化对应图象③； ∵小明周末离家去看电影，结束后，原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系， ∴该变化对应图象②； 故选C． 【点睛】此题考查运用图象获取信息的能力，关键是能准确理解相关知识与读图． 【变式4-2】．根据图象回答下列问题．    (1)上图反映了哪两个变量之间的关系？ (2)你还能从图中获取哪些信息？（写出三条不同类型的信息） (3)你能找到一个实际情境，大致符合图②所刻画的关系吗？ 【答案】(1)距离与时间 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据横轴和纵轴所表示的量解答即可； （2）根据图象中的数据得出信息即可； （3）可用行程类型的实际情境编辑，符合图象中的数据即可． 【详解】（1）解：观察横轴、纵轴得出图反映了距离与时间之间的关系； （2）信息1：最大距离为900米； 信息2：40分钟后，距离变为0； 信息3：20分钟时，距离最大； （3）例如：小明步行去离家900米的超市买东西，20分钟后到达超市，花了10分钟买完东西，骑了共享单车回家，离家的距离和时间的关系如图． 【点睛】本题考查了函数图象，认真观察图象是解题关键，注意求路程时要把分钟化成小时． 【变式4-3】．阅读如图所示的函数图象题，请你根据获得的信息解答下列问题： (1)折线是某个实际问题的函数图象，请你编写一段符合图象意义的文字描述； (2)根据你所写出的文字描述分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A，B，C三点的坐标． 【答案】(1)张老师从家出发，骑车去学校，骑车的速度是每小时15千米，经过2小时到达，到校2小时后因家中有事，立即乘车返回，1小时到家； (2)x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，那么． 【分析】本题考查函数图象的应用： （1）应选取常见的量，比如横轴表示时间，纵轴表示离家的路程，这段函数大致可理解为到一个地方去，到后，休息一段时间后返回到家； （2）x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，那么． 【详解】（1）解：张老师从家出发，骑车去学校，骑车的速度是每小时15千米，经过2小时到达，到校2小时后因家中有事，立即乘车返回，1小时到家； （2）解：x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，那么． 【题型5 动点问题的函数图象】 【例5】．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理，过作于点，由图象可知：，，通过面积求出，最后再通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作于点，由函数图象可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式5-1】．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A．48 B．40 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义． 图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，然后利用勾股定理求出高，再由三角形中线等分面积即可求解． 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，，    当点从点到点时，对应图2中线段，得， 当点从到时，对应图2中曲线从点到点，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， 当点运动到的中点处时，， 故选：C． 【变式5-2】．如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，过点作于，根据函数图象可知：，，，所以，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答． 【详解】解：连接，过点作于，如图所示： 由图象可知，，，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 故选：D． 【变式5-3】．在一场机器人的比赛中，机器人要沿台阶的舞台行进，机器人匀速行走，在这个过程中，机器人所处的高度随时间变化的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形，可以分析出各段过程中，随的增加如何变化，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 机器人沿台阶从的过程中，随的增加在变大， 机器人沿台阶从的过程中，随的增加不发生变化， 机器人沿台阶从的过程中，随的增加在变大， 机器人沿台阶从的过程中，随的增加不发生变化， 故选：A． 【变式5-4】．如图，扇形，一个动点从点出发，沿路线匀速运动，当点运动的时间为时，的长为，则与的关系可以用图象大致表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题函数图象，理清点P在各边时长度的变化情况是解题的关键． 分别判断出当点P在线段上运动时，的长逐渐变大，点P在弧线上时，点P在线段上时，点P在线段上时，的变化情况，然后可得答案． 【详解】解：当点P在线段上运动时，的长逐渐变大；点P在弧线上时，的长不变；当点P在线段上运动时，的长逐渐变小； 所以D选项的图象符合． 故选：D． 【题型6 函数图象中的分段函数】 【例6】．通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)列表： 直接填空：_______． (2)描点并画出该函数的图象． (3)观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质： ①______________； ②______________． (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为_______． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)函数有最小值为 当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小 (4) 【分析】（1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）观察函数图象，从该图象的最值及增减性解答即可； （4）观察函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：描点、连线画出该函数图象如下： （3）解：写出该函数的两条性质： 函数有最小值为； 当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； 故答案为：函数有最小值为；当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （4）解：观察函数图象可知： 该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求函数值，化简绝对值，用描点法画函数图象，从函数的图象获取信息等知识点，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． 【变式6-1】．如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接．设的面积为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； (2)根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出当时x的值（结果保留一位小数，误差范围±0.2）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或8.3 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象与性质，两直线交点．熟练掌握一次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键． （1）由题意知，当时，，则；当时，，则；然后作图象即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据图象作答即可． 【详解】（1）由题意知，当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； 作图如图2； （2）由图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3）由图象可知，当时，或8.3． 【变式6-2】．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度运动，到达点停止运动，连接，设点的运动时间为，的面积为（当点与两点重合时，的值为0） (1)用含关系式表示，并写出的取值范围； (2)用折线统计图的思想描绘面积与时间的关系； (3)直接写出不等式的解集是_____________. 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题重点考查正方形的性质、三角形的面积公式、画函数的图象、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． （1）由正方形的性质得，，再分三种情况讨论，一是点P在边上，即当时，，则；二是点P在边上，即当时，则；三是点P在边上，即当时，，则； （2）画出函数，即可； （3）由函数图象可知，当或时，，则不等式的解集是或，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴， 当点P与点D重合时，则； 当点P与点C重合时，则； 当点P与点B重合时，则， 当时，如图1，, ∵，且， ∴ 当时，如图2， ∵，且， ∴； 当时，如图3，， ∵，且， ∴， 综上所述，． （2）解：画出函数的图象如图4， （3）解：由函数图象可知，当或时，， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或． 【变式6-3】．如图，在正方形中，，O为对角线的中点，点P在正方形的边上沿的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C点时停止．设运动的时间为x，的面积为y，在点P运动的过程中，y随x的变化而变化．小林同学根据学习函数的经验对y与x的变化规律进行了探究，下面是小林的探究过程，请你补充完整并利用所得结论解决问题． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质； (4)当 s时，的面积为． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 (4)或 【分析】（1）分点P在上、点P在上两种情况，列分段函数； （2）根据（1）中解析式，在坐标系中描点，连线画图即可； （3）结合画出的函数图象，描述y随x的变化是如何变化的； （4）结合（1）中求出的函数关系式，当时分别求出x的值即可． 【详解】（1）解：当点P在上时，， ∵四边形是正方形，O为对角线的中点，， ∴是等腰直角三角形， ∴点O到和到的距离都为2， ∴， 当点P在上时，， 由题意得，， ∴，， ∴． 综上所述，y与x的函数关系式为； （2）解：如图， （3）解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； （4）解：当点P在上时， ∵的面积为， ∴， ∴； 当点P在上时， ∵的面积为， ∴， ∴． 综上，或． 故答案为：或． 【题型7 函数的三种表示方法】 【例7】．下列曲线中不能表示 y是 x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题关键． 根据函数的定义，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，确定正确的选项． 【详解】解：选项ACD中，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A、C、D均不符合题意； B、对于自变量x的值，因变量y不是唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，据此求解即可． 【详解】解：由图表可以看出该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，即该商品的销售价每增加1元，销售量就减少1件， 由110到115售价增加5元，则销售量减少5件， ∴当时，． 故选：C． 【变式7-2】．鸡蛋是优质蛋白质的来源，富含多种对人体有益的营养成份，某校科学小组连续28天监测了恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况，其中一项监测指标为蛋黄指数（蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标，蛋黄指数越高，蛋黄弹性越大，鸡蛋越新鲜）．当储存时间为x（单位：天）时，A品类鸡蛋的蛋黄指数记为．B品类鸡蛋的蛋黄指数记为，部分数据如下： x/天 0 7 14 21 28 0.45 0.35 0.26 0.18 0.13 0.45 0.33 0.28 0.26 0.15 通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图所示，在给出的平面直角坐标系中．画出了函数，的图象． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (1)第 天（结果保留整数）之后，B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数； (2)当蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第 天（结果保留整数）起基本失去弹性； (3)当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，则n的最大值约为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】(1)11 (2)21，27 (3) 【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （2）根据表格数据和函数图象观察即可得解． （3）根据表格数据和函数图象观察即可得解． 【详解】（1）解：由图可知当第11天之后，， （2）由图可知，蛋黄指数小于或等于0.18时，蛋黄基本失去弹性，A品类鸡蛋从第 21天（结果保留整数）起基本失去弹性；B品类鸡蛋从第27天（结果保留整数）起基本失去弹性； （3）由图可知，当储存时间相同时，若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n，大约当第21天时，n的最大值约为， 【变式7-3】．春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为． (1)判断是否符合题意，并说明理由 (2)求与之间的关系式 (3)根据关系式补充表格： 观察表中数据，写出随变化的一个特征： ． 【答案】(1)不符合题意，理由见详解 (2) (3)18，16，随的增大先增大后减小 【分析】本题主要考查函数关系式及求函数值，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键． （1）根据，且，可得，再将代入求值后与墙长9米比较可得； （2）根据长方形的面积公式即可得关于的函数关系式； （3）将、代入求值可完善表格，由表格中随的增减性可得． 【详解】（1）解：不符合题意， 由题意得，， 当时，， 不符合题意； （2）解：； （3）解：当时，， 当时，， 完成表格如下： （米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 （米） 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 由表可知，随的增大先增大后减小， 故答案为：随的增大先增大后减小． 学科网（北京）股份有限公司 $$