精品解析：河北省衡水市阜城县阜城实验中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

2025年4月高一月考数学测试卷 一、单选题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若、是单位向量，则 C. D. 若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 2. 下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 化简：（ ）． A. B. C. D. 4. 已知向量，，则与共线的单位向量为 A. B. C. 或 D. 或 5. 如图是函数的部分图像，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 120° 二、多选题 9. 已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是2 B. 在上单调递增 C. 直线是函数的一条对称轴 D. 函数的对称中心坐标为 11. 如图所示，D是的边上的中点，则向量（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是______． 13. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________. 14. 已知角为第二象限角，且，则______． 四、解答题 15. 已知，其中 （1）求； （2）求． 16. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值，并求此时的值． 18. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，． （i）求的值； （ii）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年4月高一月考数学测试卷 一、单选题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若、是单位向量，则 C. D. 若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的相关概念，即可判断选项. 【详解】A.向量不能比较大小，故A错误； B. 若、是单位向量，则，故B错误； C.向量与是相反向量，方向相反，模相等，故C正确； D. 若非零向量与是共线向量，则向量与方向相同或相反，根据向量可以平移，则无法说明四点共线，故D错误. 故选：C 2. 下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项判断. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，，函数不是奇函数，C不是； 对于D，函数，所以为奇函数，且最小正周期为，D是. 故选：D 3. 化简：（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】因为. 故选：C 4. 已知向量，，则与共线的单位向量为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案. 【详解】因为，，则， 所以， 设与共线的单位向量为， 则， 解得 或 所以与共线的单位向量为或. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 5. 如图是函数的部分图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图象可得，求出周期，从而可求出，再将点代入函数中可求出，从而可求出函数解析式. 【详解】由图象可得，解得， 所以，得，所以， 由图象可得当时，， 所以，所以， 得， 所以 . 故选：A 6. 已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】由，的夹角为，得， 所以在上的投影向量是. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，然后根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得， . 故选：B 8. 在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据大边对大角判断最大角，利用余弦定理求解. 【详解】由，令， ， 又，则， 所以这个三角形的最大角的弧度数为. 故选：B. 二、多选题 9. 已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过判断向量是否共线即可得解. 【详解】对于A，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确； 对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误； 对于C，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确； 对于D，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值是2 B. 在上单调递增 C. 直线是函数的一条对称轴 D. 函数的对称中心坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦函数的最值可得选项A正确；根据得，结合余弦函数的单调性可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据整体代入法求出函数的对称中心可得选项D正确. 【详解】A.由可知的最大值是2，A正确. B.当时，， 由函数在上单调递增可得在上单调递增，B正确. C.当时，，选项C错误. D.由得， 故函数的对称中心坐标为，D正确. 故选：ABD. 11. 如图所示，D是的边上的中点，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解. 【详解】对A：，A选项正确； 对B：，B选项正确； 对C：，C选项错误； 对D：，D选项正确． 故选：ABD 三、填空题 12. 把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象平移变换即可求解． 【详解】把函数的图象向左平移个单位， 得到的函数是． 故答案为: . 13. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量模的运算及向量数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为是单位向量，所以， ， 所以，因为，所以，即与的夹角为. 故答案为：. 14. 已知角为第二象限角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用诱导公式求出，再利用三角函数同角关系求出的值，然后利用正切的二倍角公式可求得结果 【详解】因为， 因为是第二象限角， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知，其中 （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可． （2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解． 【小问1详解】 由题意得： ，， ， 【小问2详解】 ，， ， . 16. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. （3）若与的夹角是钝角，求的取值范围. 【答案】（1）或3： （2）1或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用即可； （2）利用得出值，再利用求模公式； （3）利用且不共线即可. 【小问1详解】 若，则. 整理得，解得或. 故的值为或3. 【小问2详解】 若，则有，即，解得或 当时，，则，得； 当时，，则，得. 综上，的值为1或. 【小问3详解】 因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值，并求此时的值． 【答案】（1） （2）时，函数最大，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，由此得到的值，即可求出函数的最小正周期； （2）由的范围即可求出的取值范围，从而得到函数的最大值，并求出对应的的值. 【小问1详解】 ， ， ， ∴，∴最小正周期. 【小问2详解】 当时，， ∴当时，即时，函数最大，最大值为. 18. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2） ， 又，故， 故三点共线. 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，． （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】（1） （2） ； 【解析】 【分析】根据余弦定理化简求出角. 根据已知条件套用余弦定理求. 根据二倍角，两角和与差公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为得； 即，得； 所以，因为； 所以. 【小问2详解】 ，则. ，则，. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $