第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.不等式x2－2x－3＜0的解集为(　　) A.{x|x＜－3，或x＞1} B.{x|－3＜x＜1} C.{x|x＜－1，或x＞3} D.{x|－1＜x＜3} 解析：D　∵方程x2－2x－3＝0的两实数根为x1＝－1，x2＝3，∴不等式x2－2x－3＜0的解集为{x|－1＜x＜3}. 2.(2024·辽宁鞍山高一月考)设a＜b＜0，则下列不等式中不一定正确的是(　　) A.＞ B.ac＜bc C.|b|＜－a D.＞ 解析：B　对于A选项，因为a＜b＜0，所以＞0，对a＜b两边同乘，则有＞，则选项A成立；对于B选项，当c＞0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不一定正确；对于C选项，|b|＝－b＜－a，则选项C成立；对于D选项，由－a＞－b＞0，可得＞，则选项D成立.故选B. 3.关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为(　　) A. B.± C. D.± 解析：D　方程x2－2ax－8a2＝0的两根为－2a，4a，当a＜0时，不等式的解集为{x|4a＜x＜－2a}，此时－2a－4a＝15，解得a＝－；当a＞0时，不等式的解集为{x|－2a＜x＜4a}，此时4a－(－2a)＝15，解得a＝.综上，a＝±.故选D. 4.设正实数x，y满足2x＋y＝1，则xy的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　已知x>0，y>0，2x＋y＝1，由基本不等式可得2x＋y≥2，即2≤1，解得xy≤，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立，故xy的最大值为.故选C. 5.不等式≥1的解集是(　　) A. B. C. D. 解析：B　不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为或解得≤x<2，则原不等式的解集为.故选B. 6.若a＜b＜0，下列不等式中成立的是(　　) A.＜1 B.＜ C.|a|＞－b D.b2＞a2 解析：C　若a＜b＜0，对于A，－1＝＞0，所以＞1，故A不成立； 对于B，－＝＞0，所以＞，故B不成立； 对于C，因为a＜b＜0，所以－a＝|a|＞－b，所以|a|＞－b，故C成立； 对于D，由－a＞－b＞0，所以(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2，故D不成立. 7.(2024·广东珠海一中高一期中)命题“∀x∈R，mx2－2mx＋1＞0”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A.{m|0≤m＜1} B.{m|m＜0，或m≥1} C.{m|m≤0，或m≥1} D.{m|0＜m＜1} 解析：B　命题“∀x∈R，mx2－2mx＋1＞0”是假命题，所以“∃x∈R，mx2－2mx＋1≤0”是真命题，当m＝0时，1≤0不成立，不符合题意，所以m≠0，所以m＜0或 所以m＜0或m≥1.故选B. 8.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为(　　) A.200吨 B.300吨 C.400吨 D.600吨 解析：C　由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成本最低.故选C. 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是(　　) A.＜1 B.＋≥2 C.＜ D.a2＋a＜b2＋b 解析：ABD　当a＜b＜0时，＜1不成立；当＜0时，＋≥2不成立；因为－＝＜0，则＜一定成立；因为a2－b2＋a－b＝(a－b)(a＋b＋1)符号不定，故a2＋a＜b2＋b不一定成立. 10.(2023·江西南昌期末)若1<a<2，3<b<5，则下列不等式中正确的是(　　) A.4<a＋b<7 B.2<b－a<3 C.3<ab<10 D.<<5 解析：ACD　选项A，由1<a<2，3<b<5，可得4<a＋b<7，故选项A正确； 选项B，由1<a<2可得－2<－a<－1，又3<b<5，所以1<b－a<4，故选项B错误； 选项C，由1<a<2，3<b<5，可得3<ab<10，故选项C正确； 选项D，由1<a<2可得<<1，又3<b<5，所以<<5，故选项D正确. 故选ACD. 11.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－＜x＜2}，则下列结论正确的是(　　) A.a＞0 B.b＞0 C.c＞0 D.a＋b＋c＞0 解析：BCD　对于A，∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－＜x＜2}，故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，即a＜0，故A错误；对于B，C，由题意知2和－是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝2×(－)＝－1＜0，－＝2＋(－)＝＞0，又∵a＜0 ，故b＞0，c＞0，故B，C正确；对于D，将x＝1代入，即a＋b＋c＞0，故D正确. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上) 12.已知关于x的不等式2x2＋ax－a2>0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为　　　　. 解析：因为关于x的不等式2x2＋ax－a2>0的解集中的一个元素为2，所以8＋2a－a2>0，即(a－4)(a＋2)<0，解得－2<a<4. 答案：{a|－2<a<4} 13.若不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则不等式≥0的解集为　　　　. 解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1x2＝×＝，解得a＝－6，c＝－1. 由题意得，不等式≥0可转化成不等式组 解不等式组，可得x≤－1或x>3. 即原不等式的解集为{x|x≤－1，或x>3}. 答案：{x|≤－1，或x＞3} 14.若对一切实数x，不等式x2－a|x|＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围为　　　　. 解析：当x＝0时，不等式x2－a|x|＋2≥0显然成立，a∈R；当x≠0时，不等式x2－a|x|＋2≥0恒成立等价于a≤恒成立. 设y＝＝|x|＋≥2＝2，当且仅当x＝±时，等号成立，即有最小值2，所以a≤2.综上，a≤2. 答案：{a|a≤2} 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2023·陕西榆林高一期末)已知a＞0，b＞0. (1)若b＝6－，求的最大值； (2)若a2＋9b2＋2ab＝a2b2，证明：ab≥8. 解：(1)因为b＝6－，所以b＋＝6，＝×b≤()2＝9，当且仅当b＝，a＝，b＝3时，等号成立，故的最大值为9. (2)证明：因为a2＋9b2＋2ab≥2＋2ab＝8ab，所以a2b2≥8ab，又a＞0，b＞0，解得ab≥8，当且仅当a＝2，b＝时等号成立.故ab≥8. 16.(15分)解关于x的不等式6x2＋ax－a2<0(a∈R). 解：原不等式可化为(2x＋a)(3x－a)<0，即 (x＋)(x－)<0， ∴(x＋)(x－)＝0的根为－和. ①当－<，即a>0时，原不等式的解集为； ②当－＝，即a＝0时，原不等式的解集为∅； ③当－>，即a<0时，原不等式的解集为. 综上可知，当a>0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为. 17.(15分)设命题p：方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围. 解：(1)若命题p为真命题，即方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则有Δ＝(2m－4)2－4m＝4m2－20m＋16＞0，解得m＜1或m＞4. ∴实数m的取值范围为{m|m＜1，或m＞4}. (2)若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立.设y＝x2－4x＋13，只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可. ∵y＝x2－4x＋13＝(x－2)2＋9，2≤x≤3. ∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3. ∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m|－3≤m≤3}. ∵命题p，q一真一假， ∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有解得m＜－3或m＞4； 若命题p为假命题，命题q为真命题，则有解得1≤m≤3. 综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m|m＜－3，或1≤m≤3，或m＞4}. 18.(17分)某市根据需要预建设1000个长方体形状的、高度恒定的相同房间，每个房间造价不超过960元.为了充分利用资源，每个房间的后墙利用原有的五合板，不需要购买，前面用木质纤维板隔离，每米造价60元，两侧面用高密度合成板，每米造价30元，顶部每平方米造价30元.设每个房间前面木质纤维板长度为x米，一侧面高密度合成板的长度为y米. (1)用x，y表示每个房间的造价W(单位：元)； (2)当每个房间面积最大时，求x的值. 解：(1)根据题意，只需要计算前面、两个侧面和一个顶面的造价，则W＝60x＋60y＋30xy(x>0，y>0). (2)根据题意，每个房间造价不超过960元，则W＝60x＋60y＋30xy≤960， 即2(x＋y)＋xy≤32. 由基本不等式可得4＋xy≤2(x＋y)＋xy≤32，当且仅当x＝y时，等号成立， 整理得xy＋4－32≤0， 解得0<≤4，即0<xy≤16， 所以当x＝y＝4时，每个房间的面积最大， 故当每个房间面积最大时，x＝4. 19.(17分)已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1(t∈R). (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0； (2)若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围. 解：(1)∵二次函数y＝x2－2tx＋t2－1有两个互为相反数的零点， ∴方程x2－2tx＋t2－1＝0有两个互为相反数的实数根，设为x1，x2，∴x1＋x2＝0.由根与系数的关系可得， x1＋x2＝2t＝0，解得t＝0. ∵x2－2tx＋t2－1≥0， ∴x2－1≥0，解得x≥1或x≤－1. ∴该不等式的解集为{x|x≥1，或x≤－1}. (2)∵Δ＝(－2t)2－4(t2－1)＝4t2－4t2＋4＝4＞0， ∴∀t∈R，该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于－2且小于4， ∴解得－1＜t＜3. ∴实数t的取值范围是{t|－1＜t＜3}. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　一元二次函数、方程和不等式 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.不等式x2－2x－3＜0的解集为(　　) A.{x|x＜－3，或x＞1} B.{x|－3＜x＜1} C.{x|x＜－1，或x＞3} D.{x|－1＜x＜3} 2.(2024·辽宁鞍山高一月考)设a＜b＜0，则下列不等式中不一定正确的是(　　) A.＞ B.ac＜bc C.|b|＜－a D.＞ 3.关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为(　　) A. B.± C. D.± 4.设正实数x，y满足2x＋y＝1，则xy的最大值为(　　) A. B. C. D. 5.不等式≥1的解集是(　　) A. B. C. D. 6.若a＜b＜0，下列不等式中成立的是(　　) A.＜1 B.＜ C.|a|＞－b D.b2＞a2 7.(2024·广东珠海一中高一期中)命题“∀x∈R，mx2－2mx＋1＞0”是假命题，则实数m的取值范围为(　　) A.{m|0≤m＜1} B.{m|m＜0，或m≥1} C.{m|m≤0，或m≥1} D.{m|0＜m＜1} 8.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为(　　) A.200吨 B.300吨 C.400吨 D.600吨 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是(　　) A.＜1 B.＋≥2 C.＜ D.a2＋a＜b2＋b 10.(2023·江西南昌期末)若1<a<2，3<b<5，则下列不等式中正确的是(　　) A.4<a＋b<7 B.2<b－a<3 C.3<ab<10 D.<<5 11.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－＜x＜2}，则下列结论正确的是(　　) A.a＞0 B.b＞0 C.c＞0 D.a＋b＋c＞0 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上) 12.已知关于x的不等式2x2＋ax－a2>0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为　　　　. 13.若不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则不等式≥0的解集为　　　　. 14.若对一切实数x，不等式x2－a|x|＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围为　　　　. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)(2023·陕西榆林高一期末)已知a＞0，b＞0. (1)若b＝6－，求的最大值； (2)若a2＋9b2＋2ab＝a2b2，证明：ab≥8. 16.(15分)解关于x的不等式6x2＋ax－a2<0(a∈R). 17.(15分)设命题p：方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围. 18.(17分)某市根据需要预建设1000个长方体形状的、高度恒定的相同房间，每个房间造价不超过960元.为了充分利用资源，每个房间的后墙利用原有的五合板，不需要购买，前面用木质纤维板隔离，每米造价60元，两侧面用高密度合成板，每米造价30元，顶部每平方米造价30元.设每个房间前面木质纤维板长度为x米，一侧面高密度合成板的长度为y米. (1)用x，y表示每个房间的造价W(单位：元)； (2)当每个房间面积最大时，求x的值. 19.(17分)已知二次函数y＝x2－2tx＋t2－1(t∈R). (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2－2tx＋t2－1≥0； (2)若关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两个实数根均大于－2且小于4，求实数t的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$