空间向量与立体几何：空间位置关系的向量证明、空间角度与空间距离的向量求法讲义-2025届高三数学三轮冲刺

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 空间向量与立体几何：空间位置关系的向量证明、空间角度与空间距离的向量求法 高频考点分析 1.平面的法向量的求解：已知平面，且 (1)表示平面中两条相交直线所形成的向量. (2)设为平面的一个法向量. (3)利用法向量与平面的所有直线垂直列方程. (4)赋值求解法向量. 2.空间向量与空间位置关系 空间位置关系 向量表示 线线平行： 线面平行： 面面平行： 线线垂直： 线面垂直： 面面垂直： 3.空间向量与空间距离问题 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 4.空间向量与空间角度问题 空间角度问题 向量表示 异面直线所成之角（线线角） 若求直线与直线所称之角 (1)表示、、、四点的坐标. (2)表示与. (3)记直线所成之角为，. 直线与平面所成之角（线面角） 若求直线与平面所成之角 (1)表示、、、、五点的坐标. (2)表示与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解. (4)记直线与平面所成之角为，. 平面与平面所成之角（二面角） 若求平面与平面所成之角 (1)表示、、、、、五点的坐标. (2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. (4)记平面与平面所成之角为，. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 2．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【详解】（1）由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 3．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 4．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 6．（2024·新课标I卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 实战演练一：空间位置关系的向量证明 1．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以， 所以，解得. 故选：B. 3．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 【答案】D 【详解】因为， 故，所以， 故选：D 4．（2025·宁夏吴忠·一模·多选）在正方体中，点分别是和的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．与平面所成的角为 【答案】ACD 【详解】    设正方体的棱长为，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. 则，由得，，故，A正确. 由，则得与不垂直，B错误. 由题意得，平面的法向量为. ∵，平面， ∴平面，C正确. 由题意得，平面的法向量为， 设与平面所成的角为，则， 由得，D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高三下·北京·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，， (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）在四棱锥中，四边形为正方形， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设点， 由，得，解得， ，， ，则，而平面， 所以平面. 6．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习·节选）如图多面体中，四边形为菱形，且，，，，M，N分别为棱，上的点且，. (1)用向量法证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：由，，可得，， 因四边形为菱形，可得， 则， 所以向量，，共面， 又因为平面，且平面内， 故平面. 7．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 8．（24-25高三下·江苏连云港·阶段练习·节选）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1），，所以， 又，， 又，，，. 在直四棱柱中，平面，又平面，所以，， ，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 令，得，. 设平面的一个法向量，则，取 ，又平面与平面不重合， 平面平面. 实战演练二：空间角度的向量求法 1．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）取PA中点为F，连接EF，FB，则， 且，从而四边形为平行四边形. 则，又平面PAB，平面PAB，则平面PAB； （2）如图取AD中点为O，连接OP，OB. 因三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，， 则.因，， 则四边形为平行四边形，则，，结合， 则，，结合，则为等边三角形， 得.又，，则，故. 又，平面ADCB，则. 故如图建立以O为坐标原点的空间直角坐标系. 则， 因E为PD的中点，则. 从而，，. 设平面PBC法向量为，则， 取，设直线CE与平面PBC的夹角为， 则，从而. 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）棱锥中，平面平面，，，是棱的中点. (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，是棱的中点， 所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，是棱的中点， 所以，所以两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以， 所以， 由上可知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，故，取，则， 所以， 所以由图可知二面角的余弦值为. 3．（2025·广东深圳·一模）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）    取中点，连接， 因为，所以， 为的中点，所以为的中位线，所以， 又，所以四边形为平行四边形，有， 又因为平面平面，则， 由于平面，所以平面， 又因为，所以平面． （2）解法一：由（1）可知：两两垂直，如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 在中，由余弦定理可得：，则， 于是， 则， 设平面， 于是，即， 令，则， 设直线与平面所成角为， 那么， 即直线与平面所成角的正弦值为．    解法二：在中，由余弦定理可得：，则， 如图，连接，由（1），平面平面，则， 又因为，四边形为正方形，为的中点，， 由于平面，则平面， 如图，记，过点作，连接， 由于平面平面，则， 又因为平面，则平面， 所以即为直线与平面所成角，由于， 则， 由于，则为的三等分点，则， 于是， 即直线与平面所成角的正弦值为．    解法三：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，则， 在中，，则， 过作交的延长线于，易得， 且易证平面， 由于，则， 在中，，且， 又，则．    4．（2025·广东汕头·一模）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又正方形中，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）由（1）平面，平面，所以，， 从而为二面角的平面角， 因为，所以平面， 同理可得为二面角的平面角， 依题意，即， 以点D为原点，分别以直线、为x、y轴，过点D作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，所以，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 又为平面的一个法向量， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 5．（2025·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面为矩形，，所以， 设三棱锥的高为，又三棱锥的体积为， 所以，所以， 又侧面是等边三角形，且， 取的中点，连接，可得，从而为三棱锥的高， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）取的中点，连接，则， 故由（1）可以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 6．（2025·陕西汉中·二模）如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． (1)证明：平面平面． (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为为直径，是上底面圆周上异于的一点，所以． 因为为该圆柱的母线，所以平面，平面， 所以，又，平面． 所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）设点在圆柱下底面的射影为，连接． 以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示．    因为，，所以， 所以， ． 设平面的法向量为， 则，即， 取，得． 由， 得与平面所成角的正弦值为． 7．（2025·山东聊城·模拟预测）如图所示的多面体中，平面，，，，，，，． (1)若点为中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接， 因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，可得， 又因为平面，且平面，所以平面， 因为，且和分别是腰和的中点，可得， 又因为平面，且平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）解：连接，由平面，且，，，， 可得，所以，所以， 以为坐标原点，分别以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 所以， 设点，因为，即， 解得，即，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成夹角为， 则， 所以直线与平面所成夹角的正弦值为. 8．（24-25高二下·甘肃金昌·阶段练习）如图，在长方体 中，，，. (1)证明: 平面 ； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， . 又因为，平面，所以平面； （2）设平面的法向量为， 由，，有， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 因为，所以. 所以直线与平面所成角的余弦值为. 9．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. (1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值； (2)求点B到平面CDE的距离； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为底面，， 所以以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为，，是棱的中点， ， 则，，，，，. 则，. 所以，，. 设异面直线AE和PD所成角为， 则. （2）因为，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，取，可得，，则. 又因为， 所以点B到平面CDE的距离为. 10．（2025·贵州·二模）如图，在四棱锥中，，，，．    (1)证明：平面平面． (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在四棱锥中，由，，得， 则，而，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）取中点，连接，由，得， 又平面，则平面，而平面， 则，由平面，平面，得， 又平面，因此平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，由，得四边形是平行四边形， 则，由，得点， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 实战演练三：空间距离的向量求法 1．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 2．（2025·天津红桥·一模）如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． (1)求证：∥平面PBC； (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点A到平面PBC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）如图所示， 建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， ， 则 设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 因为， 所以，且平面，即∥平面； （2）设平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）由，平面的法向量， 则点A到平面PBC的距离， 所以点到平面的距离为． 3．（2025·河南信阳·一模）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，，. (1)若为线段的中点，求证：平面. (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）法一：以为原点，，，，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，    由为线段的中点，可得，. 由题意可得为平面的一个法向量. ，且平面，平面 法二：取、的中点分别为、，连接、、，   为的中位线，，. ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 又面，面 平面 （2）法一：，. 设为平面的一个法向量，则， 不妨设，则. 设点到平面的距离为，则 法二：，，底面，，. ， 设点到平面的距离为，则由可得： ，解得： （3）设平面与平面夹角为，由题意可知，为锐角， 即平面与平面夹角的正弦值为. 法二：延长，交于点，连接.   底面为直角梯形，，，为的中位线. .又底面，，为等腰直角三角形，其中. 同理可证：. 为平面与平面所成二面角的平面角. 在中，，，，. 即平面与平面夹角的正弦值为. 4．（2025·湖南邵阳·二模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面； (2)是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；或 【分析】（1）先由勾股定理证明，再由面面垂直的性质定理得到面，最后再由线面垂直的判定定理可得； （2）由几何关系建立如图所示空间直角坐标系，求出面的一个法向量，代入空间点到面的距离公式解一元二次方程可得. 【详解】（1）证明：，，，故． 又面面，面面，面， 面． 面，， 又，面，，面． （2）面，，四边形为菱形， 取的中点为，连接，，为等边三角形． ．又，． 又平面，． 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，． 设为面的一个法向量， 则  令，则． 设为点到面的距离， 则． ，即或． 故存在或，满足题意． 5．（24-25高二上·四川绵阳·期末）如图所示的四棱锥中，，，，且，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求点到直线的距离； (3)若为棱上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值，求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 因为，故为等边三角形，故， 而，故，故， 而，平面，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中，过作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面， 故平面，而平面，故. 设，则， 而，故，故， 故重合，故平面. （2） 在平面中，过作直线，以为轴正向，为轴正向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可得，则，， 故，而，故，而， 故到的距离为. （3） ，故， 设，其中， 故，故 而平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则，故， 故，故， 设平面的法向量为，而，则： 即，取， 故，而二面角的平面角为锐角， 故二面角的平面角的余弦值. 6．（23-24高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D． (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得. 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 异面直线与DE的距离.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 空间向量与立体几何：空间位置关系的向量证明、空间角度与空间距离的向量求法 高频考点分析 1.平面的法向量的求解：已知平面，且 (1)表示平面中两条相交直线所形成的向量. (2)设为平面的一个法向量. (3)利用法向量与平面的所有直线垂直列方程. (4)赋值求解法向量. 2.空间向量与空间位置关系 空间位置关系 向量表示 线线平行： 线面平行： 面面平行： 线线垂直： 线面垂直： 面面垂直： 3.空间向量与空间距离问题 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 4.空间向量与空间角度问题 空间角度问题 向量表示 异面直线所成之角（线线角） 若求直线与直线所称之角 (1)表示、、、四点的坐标. (2)表示与. (3)记直线所成之角为，. 直线与平面所成之角（线面角） 若求直线与平面所成之角 (1)表示、、、、五点的坐标. (2)表示与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解. (4)记直线与平面所成之角为，. 平面与平面所成之角（二面角） 若求平面与平面所成之角 (1)表示、、、、、五点的坐标. (2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. (4)记平面与平面所成之角为，. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 2．（2024·全国甲卷（文）·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 3．（2024·全国甲卷（理）·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 4．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 6．（2024·新课标I卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 实战演练一：空间位置关系的向量证明 1．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 3．（24-25高二下·福建漳州·阶段练习）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 4．（2025·宁夏吴忠·一模·多选）在正方体中，点分别是和的中点，则（    ） A． B． C．平面 D．与平面所成的角为 5．（24-25高三下·北京·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，， (1)求证：平面； 6．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习·节选）如图多面体中，四边形为菱形，且，，，，M，N分别为棱，上的点且，. (1)用向量法证明：平面； 7．（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 8．（24-25高三下·江苏连云港·阶段练习·节选）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：平面平面； 实战演练二：空间角度的向量求法 1．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. (1)证明：平面PAB； (2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值. 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）棱锥中，平面平面，，，是棱的中点. (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值. 3．（2025·广东深圳·一模）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2025·广东汕头·一模）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 5．（2025·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 6．（2025·陕西汉中·二模）如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线． (1)证明：平面平面． (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 7．（2025·山东聊城·模拟预测）如图所示的多面体中，平面，，，，，，，． (1)若点为中点，求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 8．（24-25高二下·甘肃金昌·阶段练习）如图，在长方体 中，，，. (1)证明: 平面 ； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 9．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. (1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值； (2)求点B到平面CDE的距离； 10．（2025·贵州·二模）如图，在四棱锥中，，，，． (1)证明：平面平面． (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 实战演练三：空间距离的向量求法 1．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 2．（2025·天津红桥·一模）如图，已知四棱锥平面ABCD，，，，，E是PA的中点，． (1)求证：∥平面PBC； (2)求平面FPC与平面PBC夹角的余弦值； (3)求点A到平面PBC的距离． 3．（2025·河南信阳·一模）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，，. (1)若为线段的中点，求证：平面. (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 4．（2025·湖南邵阳·二模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面； (2)是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高二上·四川绵阳·期末）如图所示的四棱锥中，，，，且，. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求点到直线的距离； (3)若为棱上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值，求二面角的平面角的余弦值. 6．（23-24高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D． (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$