集合与常用逻辑用语讲义-2025届高三数学三轮冲刺

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 集合与常用逻辑用语 高频考点分析 1.集合的性质：确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合关系的判断及应用 (1)属于与不属于概念： ①属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． ②不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． (2)常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 3.子集的概念 (1)子集的定义：对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”)． (2)真子集：如果集合是集合的子集，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集.记作(或). (3)集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 4.子集的个数 如果集合中含有个元素，则有 (1)的子集的个数有个． (2)的非空子集的个数有个． (3)的真子集的个数有个． (4)的非空真子集的个数有个． 5.并集 (1)定义：由属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记作：（读作“并”），即． (2)性质 ①，； ②； ③； ④． 6.交集 (1)定义：由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记作：（读作“交”），即． (2)性质 ①； ②； ③； ④． 7.补集 (1)定义：对于一个集合，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． (2)性质 ①； ②； ③. 8.充分必要条件 （1）若是的充分条件，则. （2）若是的必要条件，则. （3）若的充分条件是，则. （4）若的必要条件是，则. 9. 全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． (2)全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． ②符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 10. 存在量词与存在量词命题 (1)全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． (2)存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 ②符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 11．含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题 ，它的否定：. (2)特称命题，它的否定：. 12.常见词语的否定 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 或 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 且 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有个 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 10．（2024·新课标I卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 实战演练一：集合的定义、关系与计算 1．（2025·山东济南·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北石家庄·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东·模拟预测）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京西城·一模）已知集合，，那么集合（   ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河北保定·一模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北秦皇岛·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）集合，那么的真子集个数有（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知集合，集合，则子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 11．（2025·河南开封·二模·多选）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·贵州黔东南·一模·多选）已知集合，，，则（   ） A． B．中元素的个数为8 C．是A的一个真子集 D．从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种 13．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末·多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·甘肃白银·期末·多选）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 实战演练二：常用逻辑用语 1．（23-24高一上·江苏·期末）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·安徽·期中）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（24-25高三上·河南周口·期中）若函数的定义域为集合，集合，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）设为实数，则是的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（24-25高三上·海南三亚·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 实战演练三：集合与常用逻辑用语中的含参问题 1．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三下·四川内江·专题练习） ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知集合，，若，则得取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 7．（2024·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 8．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 9．（24-25高三上·河北唐山·期中）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 10．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知集合，，若有两个元素，则实数a的取值范围是 . 12．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高三上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 . 14．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是 ． 15．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）设集合，，若，则的取值范围是 . 实战演练四：集合新定义 1．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）已知数列，记集合. (1)若数列为，写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值． 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记集合中的元素的个数为，设、，，集合，集合是的一个子集，满足：，且中的任意两个元素之和都不等于和． (1)当时，写出的所有可能结果； (2)记的最大值为， ①当时，直接写出，并写出使得的； ②求． 3．（24-25高三上·福建·阶段练习）设正整数（为常数），数列各项均为正数，且任意两项均不相等，设集合，对有限集，记为中的元素个数. (1)若，，，，，求； (2)证明： (3)若，且，证明：存在集合，使得，，，，中的元素按照某种次序排列后成等比数列，中的元素按照某种次序排列后也成等比数列，且这两个数列的公比相同. 4．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）已知集合.设的所有元素按一定顺序排列得到数列和.若和满足，则称和关于全封闭，否则称和关于半封闭. (1)若，写出两个不同的，使得和关于全封闭； (2)设，且，证明：若，则和关于半封闭； (3)设数列，随机变量和分别服从和，，证明：若和关于全封闭，则存在，使得. 5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合. (1)已知集合，求的值； (2)已知集合，若，求的值； (3)已知，记集合或. （ⅰ）当时，证明：的充要条件是； （ⅱ）若，求的所有可能取值. 6．（24-25高三上·北京东城·阶段练习）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立，对于定义. (1)若，求的值及的最大值； (2)从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为，证明：； (3)求证：对于满足的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得. 7．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知某类数集中有个元素，这些元素的和为且它们的某种排列可以构成等差数列，我们就称这样的集合为“好集”.对于一系列互不相同的正整数，若好集满足：，，中的元素个数至多为1，且存在某些使它们的并集（）中元素的某种排列也为等差数列，我们就称可以构成“优集合”.特别的，规定下标最小的好集. (1)证明：好集可以构成优集合. (2)若好集可以构成优集合，证明：不全为偶数. (3)若好集可以构成优集合，试判断是否能为以1为首项的等比数列？若能，请求出所有的通项；若不能，请说明理由. 8．（24-25高三上·广东·期中）记集合，已知函数，． (1)求中的元素个数； (2)若存在，使得存在，，且，求的取值范围； (3)记，对于给定的正整数，判断是否存在正整数，使得存在直线，满足，且．若存在，求出正整数对的个数（用表示）；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 集合与常用逻辑用语 高频考点分析 1.集合的性质：确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合关系的判断及应用 (1)属于与不属于概念： ①属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． ②不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． (2)常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 3.子集的概念 (1)子集的定义：对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”)． (2)真子集：如果集合是集合的子集，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集.记作(或). (3)集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 4.子集的个数 如果集合中含有个元素，则有 (1)的子集的个数有个． (2)的非空子集的个数有个． (3)的真子集的个数有个． (4)的非空真子集的个数有个． 5.并集 (1)定义：由属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记作：（读作“并”），即． (2)性质 ①，； ②； ③； ④． 6.交集 (1)定义：由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记作：（读作“交”），即． (2)性质 ①； ②； ③； ④． 7.补集 (1)定义：对于一个集合，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． (2)性质 ①； ②； ③. 8.充分必要条件 （1）若是的充分条件，则. （2）若是的必要条件，则. （3）若的充分条件是，则. （4）若的必要条件是，则. 9. 全称量词与全称量词命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． (2)全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． ②符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 10. 存在量词与存在量词命题 (1)全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． (2)存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 ②符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 11．含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题 ，它的否定：. (2)特称命题，它的否定：. 12.常见词语的否定 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 或 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 且 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有个 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 故选：C. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 7．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 8．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 10．（2024·新课标I卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 实战演练一：集合的定义、关系与计算 1．（2025·山东济南·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，则， 所以. 故选：B 2．（2025·河北石家庄·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合， 所以集合， 则. 故选：A. 3．（2025·山东·模拟预测）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即，则， 又，故. 故选：B. 4．（2025·北京西城·一模）已知集合，，那么集合（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，. 故选：A. 5．（2025·贵州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在R上单调递增，，，，，，且，所以集合. 集合，由于指数函数的值域是，所以集合. 那么. 故选：B. 6．（2025·河北保定·一模）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得， 所以， 所以. 故选：D 7．（2025·河北秦皇岛·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，， ，. 故选：A. 8．（2025·云南·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 9．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）集合，那么的真子集个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，又，易知， 当时，，当时，，当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的真子集个数为， 故选：D. 10．（24-25高三上·山东淄博·期末）已知集合，集合，则子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为集合， 且，可得， 所以子集的个数为2. 故选：B. 11．（2025·河南开封·二模·多选）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】， 对A，若，则，则根据有，显然矛盾，故A错误； 对B，假设，则，根据有，显然矛盾，则，故B正确； 对C，由A知，，则，故C正确； 对D，显然，必有，故D错误； 故选：BC. 12．（2025·贵州黔东南·一模·多选）已知集合，，，则（   ） A． B．中元素的个数为8 C．是A的一个真子集 D．从中取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有20种 【答案】ABD 【详解】， 由条件可得，正确； ，有8个元素，正确； ，，显然C错误； 由条件可知中有个整数，其中有6个奇数， 所以取3个不同的元素，这3个元素都是奇数的不同取法有，正确； 故选：ABD 13．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末·多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由可得 得， 故,A错误， ,B正确， ，C正确， ，D正确， 故选：BCD 14．（24-25高三上·甘肃白银·期末·多选）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题易知，，所以，， 所以，，，故选项A错误，选项B，C，D正确. 故选：BCD. 实战演练二：常用逻辑用语 1．（23-24高一上·江苏·期末）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得； 反之，取满足，而， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 2．（24-25高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式，得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 3．（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A 4．（2024·广东·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式，可得或，因为是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 5．（23-24高三上·安徽·期中）已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 6．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：C. 7．（24-25高三上·河南周口·期中）若函数的定义域为集合，集合，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，， 所以，集合是集合的真子集，所以，是的必要不充分条件， 故选：B. 8．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）设为实数，则是的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】，故解集为， 而在R内无解，解集为， 由于是任何非空集合的真子集， 故是的必要不充分条件. 故选：C. 9．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在中，由及正弦定理，得 ，则， 而，则，两边平方整理得，而， 于是，，因此为直角三角形； 反之，为直角三角形，或或， 所以“为直角三角形”是“”的必要不充分条件，B正确. 故选：B 10．（24-25高三上·海南三亚·期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到是否定结论而不是否定条件， 所以命题“，”的否定为“，”，A选项正确. 故选：A 实战演练三：集合与常用逻辑用语中的含参问题 1．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以且. 由； 由. 综上可知：. 故选：A 2．（2024高三下·四川内江·专题练习） ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知集合，， ，， ①当时，满足，此时，故； ②当时，因，则，解得． 综上，． 故选：A. 3．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，且满足，， 所以当时满足， 此时，解得， 当时，则有， 解得,综上，， 即实数的取值范围为． 故选：A． 4．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知集合，，若，则得取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，因为，所以，所以. 故选：D. 5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 6．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 7．（2024·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【答案】 【详解】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 8．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】甲：，设此范围对应集合； 由，则乙：，设此范围对应集合， 因为甲是乙的必要不充分条件，则是的真子集， 则，所以的取值范围是：. 故答案为： 9．（24-25高三上·河北唐山·期中）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】命题“，”为假命题， 命题：“，”为真命题． ，，解得． 实数的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】不等式，解得， 依题意，，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为： 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知集合，，若有两个元素，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】，因为有两个元素， 所以或，解得或， 所以. 故答案为： 12．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】解方程得或，即， 又，所以，即的取值范围是. 故答案为： 13．（24-25高三上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】，，. 故答案为：. 14．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知，因为，所以， 所以，即． 可得实数a的取值范围是. 故答案为： 15．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）设集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题可知，，由，得，所以，故的取值范围是. 故答案为：. 实战演练四：集合新定义 1．（24-25高三上·新疆喀什·阶段练习）已知数列，记集合. (1)若数列为，写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)存在， (3)2013 【详解】（1）由题意可得， ，， 所以； （2）假设存在，使得， 则有， 由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，又，， 因为 故令，可得 故存在，使得 （3）首先证明时，对任意的都有， 因为，由于与均大于且奇偶性不同， 所以对任意的都有， 其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数，其中，则当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 当时，由等差数列的性质可得：，此时结论成立， 对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项， 由前面证明可知正整数不是中的项， 所以的最大值为． 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记集合中的元素的个数为，设、，，集合，集合是的一个子集，满足：，且中的任意两个元素之和都不等于和． (1)当时，写出的所有可能结果； (2)记的最大值为， ①当时，直接写出，并写出使得的； ②求． 【答案】(1)或或或或． (2)①，；②答案见解析. 【详解】（1）当时，，则集合中任意两个元素之和不等于和， 所以或或或或． （2）①．． 解释：构造数列、、、、、、、、， 该数列共项，且数列中任意相邻两项和为或， 若，则必然会在上述数列中选出相邻两项，不符合要求，故， 当时，由于只能间隔取数，故选择第、、、、项构成集合， 即，且此时的集合的个数只有一个，是； ②当且为奇数时，构造数列、、、、、、、、、、、、、， 在前项与后项中各任选一项，两项的和一定大于，所以无论前k项怎么选，不影响后项的选择， 对于前项．任意相邻两项的和都为k或，所以最多选出项， 对于后项，任意两项的和都大于，所以都可以选． 故． 当且为偶数时，构造数列、、、、、、、、、、、、、， 同理，前项中最多选出项，后项都可以选，故． 当且为奇数时，构造数列、、、、、、、、、、 同理，前项中最多选出项，后项都可以选，故． 当且为偶数时，构造数列、、、、、、、、、、、， 同理，前项中最多选出项，后项都可以选，故． 所以，为偶数时 ． 为奇数时 ． 3．（24-25高三上·福建·阶段练习）设正整数（为常数），数列各项均为正数，且任意两项均不相等，设集合，对有限集，记为中的元素个数. (1)若，，，，，求； (2)证明： (3)若，且，证明：存在集合，使得，，，，中的元素按照某种次序排列后成等比数列，中的元素按照某种次序排列后也成等比数列，且这两个数列的公比相同. 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题可知，，，，，. 所以，； （2）不妨假设， 一方面，从中任选两数有中选法，所以， 另一方面，因为，所以S中至少有个元素， 又因为，即，至少还有个元素， 所以； 综上：. （3）记， 则由（2）知，，结合知， ，而，，，，所以， ，而，，，，，， 所以， ，其中，而，，，， 所以，所以任意都有， 上式又等价于， 故可取为奇数，且，为偶数，且， 满足，，，. 其中元素从小到大排列均构成公比为的等比数列.故命题得证. 4．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）已知集合.设的所有元素按一定顺序排列得到数列和.若和满足，则称和关于全封闭，否则称和关于半封闭. (1)若，写出两个不同的，使得和关于全封闭； (2)设，且，证明：若，则和关于半封闭； (3)设数列，随机变量和分别服从和，，证明：若和关于全封闭，则存在，使得. 【答案】(1)，，，.（其中任选两个即可）； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【详解】（1），，，.（其中任选两个即可）， 选取其中一个，说明其满足题意， 因为，则， 则，，，， （2）若，则，故. 假设和关于全封闭，因为， 则由题中定义可知和不能为中相同的元素， 即，这与矛盾，假设不成立. 故和关于半封闭. （3）若，由结论所具有的对称性及由(1)所得到的结果猜想:若和关于全封闭， 则存在，使得和关于全封闭.由数列和可构成一个数表（i）： 0 1 交换数表(i)中两行，得到数表(ii): 0 1 调整数表(ii)中各列的顺序，使数表的第一行变为，此时设数表的第二行变为，得到数表(i): 记该过程为第二次操作. 假设，则.不妨设， 则经过第一次操作后，在数表(ii)中与同列:再经过第二次操作后，在数表(i)中0与同列， 因此，故.又因为和关于全封闭， 由(2)可知，，且经过两次操作后和也关于全封闭. 因为，故，这与矛盾. 故若和关于全封闭，则存在，使得和关于全封闭. 因为，故，这与矛盾.故若和关于全封闭，则存在，使得和关于全封闭. 因为和关于全封闭， 则. 所以，同理有，故. 因为随机变量和分别服从和， 故. 因为且，故， 又，故. 5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合. (1)已知集合，求的值； (2)已知集合，若，求的值； (3)已知，记集合或. （ⅰ）当时，证明：的充要条件是； （ⅱ）若，求的所有可能取值. 【答案】(1) (2)2 (3)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2 【详解】（1）当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 综上，结合集合中元素的互异性，. （2）（2）由（1）知，且， 且同时成立，解得，所以， 又， 所以. （3）（3）（ⅰ）先证充分性.因为，所以，且. 从而可以设，其中， 此时中的元素为，故. 再证必要性.设，其中. 注意到和集中的最小元素为，最大元素为， 因为， 所以中间三个元素可以是，也可以是， 它们是对应相等的，所以有， 即. 故，得证. （ⅱ）①若，由（ⅰ）小问的分析知， 设，其中， 此时中的元素为，这与条件矛盾. ②取，其中， 容易验证此时中的元素为，符合条件，所以可以取2. （注：构造方式不唯一，集合中的元素满足有一个，其余均为即可.） ③若，设，其中. 结合知，，其中， 至少存在两个不同的正整数，使得. 不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数. 注意到 （*）， 这是中的个不同的元素. 根据的定义我们有， 即，（★） 当时，由的最小性知，即， 此时我们有， 因此，与（★）矛盾， 当时，有， 由此说明：是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等. 同理，根据的定义有是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等. 因为，所以，此时，矛盾. 注：个元素也可以按照其他从小到大的顺序排列，然后找出不同于这个元素的其他元素. 综上，的取值只能为2. 6．（24-25高三上·北京东城·阶段练习）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立，对于定义. (1)若，求的值及的最大值； (2)从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为，证明：； (3)求证：对于满足的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得. 【答案】(1)，最大值2； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）因为， 所以，故. 因为，所以. 所以. 所以当时，取得最大值2. （2）由的定义知：. 所以 . 设删去的两个数为，则. 由题意知，且当其中至多一个不等式中等号成立， 不妨设时，，所以， 所以， 所以，即. （3）中存在最大数， 不妨记为（若最大数不唯一，任取一个）， 因为，所以存在，使得，即. 由，设集合，则中一定存在元素使得. 否则，，与是最大数矛盾. 所以，即. 7．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知某类数集中有个元素，这些元素的和为且它们的某种排列可以构成等差数列，我们就称这样的集合为“好集”.对于一系列互不相同的正整数，若好集满足：，，中的元素个数至多为1，且存在某些使它们的并集（）中元素的某种排列也为等差数列，我们就称可以构成“优集合”.特别的，规定下标最小的好集. (1)证明：好集可以构成优集合. (2)若好集可以构成优集合，证明：不全为偶数. (3)若好集可以构成优集合，试判断是否能为以1为首项的等比数列？若能，请求出所有的通项；若不能，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)能， 【详解】（1），，，（答案不唯一） （2）由于集合公差不影响结果，不妨设其公差为2.记，由等差数列的性质： 若全为偶数，则为偶数 ，而中的元素同样满足上述性质，所以互为相反数的元素一定属于同一集合 而，所以中必有一个集合的元素公差为2，且公差必为偶数 不妨设，， ①的公差为2：则中有一个公差为，那么另一个集合元素公差为且与中至少有一个不为， 不妨设，则中至少有一个集合必然存在公差为2和或的项，这与中的元素的某种排列为等差数列矛盾，舍去； ②的公差不为2：则此时的相邻两项中包含的个元素，这些元素中必有连续的不超过项来自公差为2的集合（不妨设为）， 那么中集合元素公差应不为2，这时，中元素必然存在公差为2与不为2的项，这与中的元素的某种排列为等差数列矛盾，舍去， 故不全为偶数. （3）能.设的公比为，总项数为（为偶数）或（为奇数）， 因为，所以项数最多的集合公差最小为2，总项数至少为 ①为大于2的偶数，下试证：，即证： 而 ②为大于2的奇数，，由此说明：时不符合题意     ③时，给中元素从小到大编号：. 令，，， ，...，， 所有中元素总数为：，又假设，则： ，等式两边奇偶性不同，可以证明， 中最大元素为，故编号与集合中的元素一一对应， 由等差数列的性质：再证明：集合中任意两个下标和为的项其值和为， 这样令中编号为的元素为0，公差为1就得到了一系列：成立， 所以. 8．（24-25高三上·广东·期中）记集合，已知函数，． (1)求中的元素个数； (2)若存在，使得存在，，且，求的取值范围； (3)记，对于给定的正整数，判断是否存在正整数，使得存在直线，满足，且．若存在，求出正整数对的个数（用表示）；若不存在，说明理由． 【答案】(1)只有一个元素 (2) (3)存在， 【详解】（1），则， 在上单调递增，在上单调递减，且， 表示点，且，， 而，， ，只有一个元素. （2），则， 在上单调递增，在上单调递减，且， ①当时，，此时，，矛盾， ②当时，记，， 在上单调递增，上单调递减，且， 所以当时，， 则必存在使得，此时取， 必有，，且成立， ． （3）①取时，记， 易知，， 取，有，， 故可以为，共种， ②若存在，且时，只需取即可， ，而， 故当时，，其中[ ]为取整符号， i.当时，，此时，或， ii.当时，，此时，， …… 当时，，此时，， 当，，此时，， …… 当时，，此时，， ∴共种， 而①和②有两个重复，且②不成立， 为所求个数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$