精品解析：山东省潍坊第一中学2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试题

高77级下学期第一次质量检测 数学试题 （120分钟，共150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1973年5月出生的男职工退休年龄为（ ） A. 61岁3个月 B. 62岁 C. 62岁1个月 D. 62岁2个月 7. 在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 满足的点共有4个 D. 的最大值为8 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的通项公式为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C独立 C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是、、的中点.则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 若动直线与直线夹角为，且与平面交于点，则点的轨迹构成的图形的面积为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列中，，，则______． 13. 已知直线与圆交于两点，若，则的值为__________. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2． （1）求，的分布列； （2）求，的均值，并以此比较甲、乙的射击技术． 16. 已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，． （1）求与的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下图所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 乙 丙 （1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； （2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率是多少？ 18. 如图，和所在平面垂直，且，. （1）求证：； （2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知抛物线：的准线与椭圆相交所得弦长为. （1）求抛物线的方程； （2）若圆过点，且圆心在抛物线上运动，是圆在轴上截得的弦.求证：弦的长为定值； （3）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和点，求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高77级下学期第一次质量检测 数学试题 （120分钟，共150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，结合椭圆的标准方程可得出该椭圆的焦点坐标. 【详解】在椭圆中，，，则， 所以，椭圆的焦点坐标为和. 故选：B. 2. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程再将点，即可求得结果. 【详解】过点且与直线平行的直线的方程设为：， 再将点代入得，解得：，故直线方程为：. 故选：C 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，利用条件概率的公式即可求解. 【详解】由，得． 因为， 所以． 故选：C． 4. 已知数列满足，，，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式依次计算． 【详解】由题意，，． 故选：A． 5. 若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可由分布列的性质直接求解. 【详解】由随机变量的分布列知: ， 则当时，实数的取值范围是. 故选：C. 6. 按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1973年5月出生的男职工退休年龄为（ ） A. 61岁3个月 B. 62岁 C. 62岁1个月 D. 62岁2个月 【答案】D 【解析】 【分析】设男职工的出生于公元年月，，，设延迟退休月数为，列出函数关系式，再求结论. 【详解】设男职工的出生于公元年月，，，， 设该男职工延迟退休月数为， 则当时，， 当时，， 当时，， 所以年月出生的男职工延迟退休月数为， 所以年月出生的男职工退休年龄为岁个月. 故选：D. 7. 在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系后利用点到直线的距离空间向量求解后可得正确的选项. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设． 因为，平面，平面，故平面， 故直线到平面的距离为到平面的距离. ，， 设平面的法向量为，则由可得： ，取， 故到平面的距离，故，故， 故选：C. 8. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为4 B. 椭圆的离心率为 C. 满足的点共有4个 D. 的最大值为8 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定图形，求出椭圆长、短半长轴、，再逐项计算、判断作答. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，故A选项正确； 显然，，解得，则，离心率，故B选项正确； 以椭圆的对称中心为圆心，为半径作圆，由，可知与椭圆有4个交点，所以满足的点共有4个，故C选项正确； 由椭圆定义，可得，根据不等式，可得，解得，当且仅当时，取得最大值，故D选项错误. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的通项公式为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据通项公式即可作出判断. 【详解】对于A，6是偶数，则，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， ，D错误. 故选：BC. 10. 甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出1球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A与B是互斥事件，A正确，，B错误，利用公式计算CD正确，得到答案. 【详解】对选项A：A与B是互斥事件，正确； 对选项B：，，， ，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是、、的中点.则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 若动直线与直线夹角为，且与平面交于点，则点的轨迹构成的图形的面积为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间坐标系，利用向量判断线面关系，求解平面夹角，求出轨迹可得其面积. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,; ,设是平面的一个法向量， 则，令可得，，即. 对于A，,因为，且平面，所以平面，A正确； 对于B，，因为，所以平面，B正确； 对于C，易知平面的一个法向量为, 设平面与平面的夹角为，则，C不正确； 对于D，设到平面的距离为，,， 由可知平面，设平面，因为直线与直线夹角为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心的圆， 设圆的半径为，则，则，所以点的轨迹构成的图形的面积为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列中，，，则______． 【答案】40 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得成等差数列，从而得所答案. 【详解】因为为等差数列，，， 所以成等差数列， 则， 所以. 故答案为：. 13. 已知直线与圆交于两点，若，则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，由垂径定理得到方程，求出，验证后得到答案. 【详解】变形为， 故，解得， 故圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为， 则， 由垂径定理得，解得，满足要求. 故答案为：1 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解该双曲线的渐近线方程即可. 【详解】 由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为：与， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以， 即双曲线的渐近线方程为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2． （1）求，的分布列； （2）求，的均值，并以此比较甲、乙的射击技术． 【答案】（1） 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2），，由于，所以甲比乙的射击技术好 【解析】 【分析】（1）利用分布列的性质求出及乙射中7环的概率，再列出分布列. （2）由（1）的结论，利用期望的定义求出期望并比较大小即可. 【小问1详解】 依题意，，解得， 由乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，得乙射中7环的概率为， 所以，的分布列分别为 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 【小问2详解】由（1）得； ， 由，说明甲射击的环数的均值比乙高，所以甲比乙的射击技术好. 16. 已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，． （1）求与的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式. （2）利用错位相减法整理化简即可求得前项和． 【小问1详解】 等差数列的前项和为，，，设公差为 所以，解得 所以 正项等比数列中，，，设公比为 所以，所以 解得，或（舍去） 所以 【小问2详解】 由（1）知： 所以 两式相减得： 17. 某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下图所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志． 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 甲 乙 丙 （1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率； （2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件表示“取到的是一只次品”，事件表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，利用全概率公式可求得结果； （2）根据贝叶斯公式可求得，即为所求概率. 【小问1详解】 设事件表示“取到的是一只次品”，事件表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”， 则，，，，，， 由全概率公式可得：， 即在仓库中随机取一只元件，则它是次品的概率为. 【小问2详解】 由贝叶斯公式得：， 即在取到的是次品的条件下，此次品出自甲工厂生产的概率是. 18. 如图，和所在平面垂直，且，. （1）求证：； （2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）延长，过点作，交于点，连接. 由平面平面，平面平面， 平面， 则平面， 由，， 得， 故，. 又，得， 则， 即. 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， 所以，， 因为， 所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，由面面垂直性质定理证明平面，再证明，建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，利用向量方法证明结论. （2）求平面的法向量，再由条件关系求的坐标，再求直线的方向向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为，则， 即， 所以 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 设，由， 得， 所以，，，即点， 所以. 设直线与平面所成角为， 则 ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知抛物线：的准线与椭圆相交所得弦长为. （1）求抛物线的方程； （2）若圆过点，且圆心在抛物线上运动，是圆在轴上截得的弦.求证：弦的长为定值； （3）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和点，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2） 如图，设圆心的坐标为， 由在抛物线上，可知到轴距离为，， 则， ， 故圆心在抛物线上运动时，弦的长为定值4. （3）32. 【解析】 【分析】（1）由抛物线准线与椭圆的相交弦长易得椭圆上的点，代入即可求得的值； （2）设圆心的坐标为，利用圆的弦长公式计算即可证得； （3）设直线，的方程分别为，，点、，由直线与抛物线方程联立，利用抛物线焦半径公式求出和，再求得四边形的面积表达式，利用基本不等式即可求得面积的最小值. 【小问1详解】 由已知，抛物线的准线方程为. 因为直线与椭圆相交所得弦长为. 结合椭圆的对称性， 可得直线与椭圆相交弦的一个端点坐标是， 将代入椭圆方程化简得，解得. 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知. 易知，直线，的斜率存在且不为零， 如图，设直线，的方程分别为，， 点、， 由得， ，， 则， 同理可得， 所以四边形的面积为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即四边形的面积的最小值为32. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与抛物线有关的四边形面积最值问题，属于较难题. 考虑到过焦点的两条弦互相垂直，将直线方程与抛物线方程联立得出韦达定理，利用焦半径公式求出弦长后，可直接写出，最后对于四边形的面积表达式，通过基本不等式求其最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $