4.2平面与平面平行-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

１．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行, 那么这条直线与另一个平面的位置关系为 (　　) A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 ２．已知直线a∥直线b,b∥直线c,c∥平面α,则 (　　) A．a∥α　　　　　B．a⊂α C．a与α相交 D．a∥α或a⊂α ３．梯形ABCD 中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄ 平面α,则 直 线 CD 与 平 面α 的 位 置 关 系 是　　　　． ４．如 图 所 示,四 边 形 ABDC 是 梯 形,AB ∥ CD,且 AB∥平面α,M 是AC 的中 点,BD 与 平 面α 交 于 点 N,AB＝４,CD＝６,则 MN ＝　　　　． ５．如图所示,P 为▱ABCD 所在平面外一点,在 PC上求一点E,使PA∥平面BED,并给出 证明． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．２　平面与平面平行 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．借助长方体,通过直观感知,归纳出平面与平面 平行的判定及性质定理,并加以证明 ２．会应用平面与平面平行的判定及性质定理证明 平面与平面平行 通过探索发现平面与平面平行的判定定理及性 质定理,重点培养数学抽象素养,通过应用平面 与平面平行的判定定理,提升逻辑推理素养及 直观想象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　工人师傅将水平仪(如图(１))在桌面上交叉放 置两次,如果水平仪的气泡两次都在中央,就 能判断桌面是水平平面(注意:当水平仪的气 泡居中时,水平仪所在的直线就是水平线)． 问题　该检测原理即为两平面平行的判定定 理,如何判定两平面平行? [知识梳理] [知识点一]　平面与平面平行的性质定理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　文字叙述:两个平面平行,如果另一个平面与 这两个平面相交,那么两条交线平行． 符号表示:α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b． 图形表示: 作用:证明两直线平行． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９７１􀅰 第六章　立体几何初步 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．平面平行具有传递性吗? 若α∥β, α∥γ,则β∥γ成立吗? ２．若两个平面α与β平行,则平面α内的直 线与平面β有何关系? ３．若α∥β,则在这两个平面内各取一点连得 线段长相等吗? [知识点二]　平面与平面平行的判定定理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　文字叙述:如果一个平面内的两条　　　　与 另一个平面平行,那么这两个平面平行． 符号表示: a⊂α,b⊂α,a∩b＝A,a∥β,b∥β⇒α∥β． 图形表示: 作用:证明平面与平面平行． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．若平面α中有无数条直线与平面β 平行,则平面α与平面β一定平行吗? ５．若一个平面内的两条直线分别与另一个平 面平行,则两个平面有何位置关系? ６．平面与平面平行的判定定理的实质 是 什么? [预习自测] １．已知长方体ABCD－A′B′C′D′,平面α∩平面 ABCD＝EF,平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′, 则EF与E′F′的位置关系是 (　　) A．平行　　　　　　B．相交 C．异面 D．不确定 ２．若平面α∥平面β,直线a∥α,点B∈β,且 B∉a,则在β内过点B 的所有直线中 (　　) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 ３．在长方体 ABCD－A′B′C′D′中,下列正确 的是 (　　) A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′ C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　平面与平面平行性质定理的应用 [例１]如图所示,已知三棱柱 ABC－A′B′C′中,D 是BC 的中点,D′是B′C′的中点, 设平面A′D′B∩平面ABC＝ a,平面ADC′∩平面A′B′C′ ＝b,试判断直线a,b的位置 关系,并证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　由面面平行的性质可得A′D′ ∥a,AD∥b,又A′D′∥AD,由平行线的传 递性可得a∥b． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 常用的面面平行的性质 (１)两个平面平行,其中一个平面内的任 意一条直线平行于另一个平面;(２)平行 于同一个平面的两个平面平行;(３)两条 直线被三个平行平面所截,截得的线段长 对应成比例;(４)经过平面外一点有且只 有一个平面与已知平面平行． 􀳀[变式训练] １．如图所示,P是三角形ABC 所在平面外一点,平面α∥ 平面 ABC,α 分 别 交 线 段 PA,PB,PC 于A′,B′,C′, 若PA′∶AA′＝２∶３,则 △A′B′C′与△ABC的面积 之比为 (　　) A．２∶５　　　　　B．３∶８ C．４∶９ D．４∶２５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０８１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 　　　平面与平面平行的判定定理的应用 [例２]　如图所示,在三棱柱ABC －A１B１C１ 中,点 D,E 分 别 是 BC 与B１C１ 的中点．求证:平面 A１EB∥平面ADC１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　应用判定定理证明面面平行 的关键是在一个平面内找到两条相交线都 与另一个平面平行． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)证明面面平行,可从证明线面平行入 手,而证明线面平行又可通过线面平行 的判定定理转化为证明线线平行．证明 线线平行的途径有很多,如利用对应线 段成比例关系、平行四边形对边平行、 梯形两底边平行、平行公理等,做题时 应灵活应用． (２)判断或证明面面平行的方法 ①平面与平面平行的定义(常用反证 法),此法很少使用． ②平面与平面平行的判定定理． ③判定定理的推论． ④如果两个平面同时平行于第三个平 面,那么这两个平面平行(平行的传送 性)． 􀳀[变式训练] ２．如图,点P 是△ABC所在 平面外一点,点A′,B′,C′ 分 别 是 △PBC,△PAC, △PAB的重心． (１)求证:平面A′B′C′∥平 面ABC． (２)求A′B′∶AB的值． 平行关系的相互转化 [例３]　已知M,N 分别是底面为平行四边形的 四棱锥P－ABCD 棱AB,PC 的中点,平面 CMN 与平面PAD 交于PE,求证: (１)MN∥平面PAD; (２)MN∥PE． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　利用平行之间的相互转化解题． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１８１􀅰 第六章　立体几何初步 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．线线平行、线面平行、面面平行是一个有机 的整体,平行关系的判定定理、性质定理是 转化平行关系的关键,其内在联系如下图 所示: 解题时,往往通过构造辅助平面将线线平 行、线面平行转化为面面平行． ２．平行关系综合问题的证明需灵活运用三种 平行关系的判定和性质定理作为论证的 依据． ３．对于空间平行的探索性问题,可采用猜想 再证明的思路． 􀳀[变式训练] ３．如图,在四棱锥P－ABCD 中,AB∥CD,E,F分别为 PC,PD 的 中 点,在 底 面 ABCD 内是否存在点Q, 使平面EFQ∥平面PAB? 若存在,确定点Q的位置; 若不存在,说明理由． 　　　平行关系中的探索性问题 [例４]如图,已知四棱柱ABCD－A１B１C１D１的 底面为菱形． (１)求证:平面AB１C∥平面DA１C１; (２)在直线CC１上是否存在点P,使BP∥平面 DA１C１? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)要证平面AB１C∥平面 DA１C１,只需证一平面内的两条相交直线分 别平行于另一个平面,由四棱柱的性质得到 A１C１∥AC,AB１∥DC１ 从而A１C１∥平面 AB１C,DC１∥平 面 AB１C,继 而 证 得 平 面 AB１C∥平面DA１C１． (２)利用点动成线,思考C１C上不可能有两 个点P 满足BP∥平面DA１C１(原因是平面 BC１C不平行平面DA１C１),另外发现平面 DA１C１ 中,A１D ∥B１C ⇒A１D ∥ 平 面 BC１C,则只需BP∥B１C即可． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 将证明面面平行问题转化为线面平行问 题,而将证线面平行问题,转化为线线平 行问题．在立体几何中,通过线线、线面、 面面间的位置关系的相互转化,可使问题 顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想 方法．就能找到解题的突破口,这是高考 重点考查证明平行的方法,应引起重视． 􀳀[变式训练] ４．已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中,M,N 分 别是A′D′,A′B′的中点,在该正方体中是否存 在过顶点且与平面AMN 平行的平面? 若存 在,试作出该平面,并证明你的结论;若不存 在,请说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 １．(多选)给出下面四个命题正确的是 (　　) A．分别在两个平行平面内的两直线平行 B．若两个平面平行,则其中一个平面内的任何 一条直线必平行于另一平面 C．如果一个平面内的两条直线平行于另一平 面,则这两个平面平行 D．如果一个平面内的任何一条直线都平行于 另一个平面,则这两个平面平行 ２．下列条件中可以推出平面α∥平面β的是 (　　) A．存在一条直线a,a∥α,a∥β B．存在一条直线a,a⊂α,a∥β C．存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b ∥α D．存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b ∥α ３．给出四种说法: ①若平面α∥平面β,平面β∥平面γ,则平面α ∥平面γ; ②若平面α∥平面β,直线a与α相交,则a与β 相交; ③若平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则PQ⊂α; ④若直线a∥平面β,直线b∥平面α,且α∥β, 则a∥b． 其中正确说法的序号是　　　　． ４．已知三条互相平行的直线a,b,c中,a⊂α,b,c ⊂β,则α与β的位置关系是　　　　． ５．如图,在三棱锥S－ABC中,D, E,F分别是棱AC,BC,SC的中 点．求 证:平 面 DEF ∥ 平 面ABS． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §５．垂直关系 ５．１　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直的性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解直线与平面所成的角,会求直线与平面所成的角 ２．了解直线与平面垂直的概念,掌握直线与平面垂直的性质 定理 通过直线与平面垂直性质的运 用,培养学生的逻辑推理素养和 直观想象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　在阳光下旗杆直立于地 面上,在另一侧路边电线 杆也直立于地面上． 问题　垂直于同一个平 面的两条直线平行吗? [知识梳理] [知识点一]　直线与平面垂直定义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．文字叙述:如果直线l与平面α内的任何一条 直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直,记 作l⊥α,直线l称为平面α的垂线,平面α称为 直线l的垂面,它 们 唯 一 的 公 共 点 P 称 为 垂足． ２．符号表示:任意a⊂α,都有l⊥a⇔l⊥α． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８１􀅰 第六章　立体几何初步 变式训练 １．解:D 为AA′的中点,证明如下: 取BC的中点F,连接AF,EF,设EF 与BC′交于点O,易证 A′E􀱀AF．易知 A′,E,F,A 共面,因为 A′E∥平面 DBC′, A′E⊂平面A′EFA,且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO．所以 A′E∥DO．在平行四边形A′EFA 中,因为O 是EF 的中点 (因为EC′∥BC,且EC′＝BF),所以D 点为AA′的中点． [例２]　[证明]　作PM∥AB 交BE 于点 M,作 QN∥AB 交BC 于 点 N,如图,则PM∥QN, 又∴PMAB＝ EP EA ,QN CD＝ BQ BD． 又∵EA＝BD,AP＝DQ, ∴EP＝BQ． 又AB＝CD,∴PM＝QN． ∴四边形PMNQ 是平行四边形．∴PQ∥MN． 又PQ⊄平面CBE,MN⊂平面CBE, ∴PQ∥平面CBE． 变式训练 ２．证明:如图(１),作 ME∥BC,交BB１ 于E,作 NF∥AD,交 AB 于F,连接EF, 则EF⊂平面AA１B１B, ME BC＝ B１M B１C ,NF AD＝ BN BD． ∵在 正 方 体 ABCD－A１B１C１D１ 中, CM＝DN,∴B１M＝NB． 又B１C＝BD, ∴MEBC＝ BN BD＝ NF AD , ∴ME＝NF． 又 ME∥BC∥AD∥NF, ∴四边形 MEFN 为平行四边形, ∴MN∥EF． ∵MN⊄平面AA１B１B,EF⊂平面AA１B１B, ∴MN∥平面AA１B１B． [例３]　[解]　(１)平行,理由如下: 因为BC∥AD,BC⊄平面PAD, AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD． 又平面PBC∩平面PAD＝l,BC⊂平面PBC, 所以BC∥l． (２)平行．证明如下:如图所示, 取PD 的中点E,连接AE,NE,可以证得 NE∥AM 且NE ＝AM．所以四边形AMNE 是平行四边形,所以 MN∥AE． 又AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD． 所以 MN∥平面PAD． 变式训练 ３．解:直线l∥平面PAC,证明如下: 因为E,F 分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC． 又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC, 所以EF∥平面ABC．而EF⊂平面BEF, 且平面BEF∩平面ABC＝l,所以EF∥l． 因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC, 所以l∥平面PAC． 随堂步步夯实 １．D　[由面面平行的定义可知,若一条直线在两个平行平面 中的一个平面内,则这条直线与另一个平面无公共点,所以 与另一个平面平行．由此可知,本题中这条直线可能在平面 内．否则过此直线作第三个平面与已知两平面相交,用面面 平行的性质定理、平行线的传递性及线面平行的判定定理可 证此直线与另一个平面平行．] ２．D　[∵a∥b,b∥c,∴a∥c,∵c∥α,∴a∥α或a⊂α．] ３．解析:由直线与平面平行的判定定理知CD∥平面α． 答案:平行 ４．解析:∵AB∥平面α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩平面α ＝MN,∴AB∥MN．又 M 是 AC 的 中 点,∴MN 是 梯 形 ABDC的中位线, 故 MN＝１２ (AB＋CD)＝５． 答案:５ ５．证明:如图所示,在PC 上取一点E,连接ED、EB、BD、AC, 设AC∩BD＝O,连接OE, 若PA∥平面BDE, ∵PA⊂平 面 PAC,且 平 面 PAC∩ 平 面 BDE＝EO,∴PA ∥EO． 又∵O 为AC 的中点,∴E 为PC 的中点． 反之,若 E 为 PC 的 中 点,∵O 为 AC 的 中 点,必 有 EO ∥PA． ∵EO⊂平面EBD,PA⊄平面EBD,∴PA∥平面EBD． ４．２　平面与平面平行 课前预习学案　情境引入 　提示:一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行, 则两平面平行． 知识梳理　[思考] １．提示:具有传递性,即平行于同一个平面的两个平面也互相 平行．成立． ２．提示:平行．因为若α∥β,则两平面没有公共点,则平面α内 的任一条直线都与β无交点,故平行． ３．提示:不确定,当各线段平行时,才相等． 知识点二 　相交直线 [思考] ４．提示:不一定．α与β可能相交或平行． ５．提示:当两条直线相交时,两平面平行; 当两条直线平行时,两平面可能相交也可能平行． ６．提示:由线面平行可以得到面面平行． 预习自测 １．A　２．D　３．D　 课堂互动学案 [例１]　[解]　直线a与b平行．证明如下: 连接DD′．∵平面ABC∥平面A′B′C′,平面A′D′B∩平面ABC ＝a,平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′, ∴A′D′∥a． 同理可证AD∥b． ∵D 是BC 的中点,D′是B′C′的中点,BC􀱀B′C′, ∴BD􀱀B′D′,∴四边形BB′D′D 是平行四边形, ∴DD′􀱀BB′, 又BB′􀱀AA′,∴DD′􀱀AA′, ∴四边形AA′D′D 为平行四边形, ∴A′D′∥AD,∴a∥b． 变式训练 １．D　[∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α＝A′B′,平面 PAB∩平面ABC＝AB,∴A′B′∥AB．又∵PA′∶AA′＝２∶ ３,∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝２∶５．同理,B′C′∶BC＝A′C′ ∶AC＝２∶５,∴△A′B′C′与△ABC 相似,∴S△A′B′C′∶S△ABC ＝４∶２５．] [例２]　[证明]　由棱柱的性质知,B１C１∥BC,B１C１＝BC,又 D,E 分别为BC,B１C１ 的中点,所以C１E∥DB,C１E＝DB, 则四边形C１DBE 为平行四边形,因此EB∥C１D,又C１D⊂ 平面ADC１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８６２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 EB⊄平面ADC１, 所以EB∥平面ADC１． 连接DE,同理,EB１∥BD, EB１＝BD, 所以四边形EDBB１ 为平行四边形, 则ED∥B１B,ED＝B１B． 因为 B１B∥A１A,B１B＝A１A(棱 柱 的性质), 所以ED∥A１A,ED＝A１A,则四边 形EDAA１ 为平行四边形,所以A１E ∥AD, 又A１E⊄平面ADC１,AD⊂平面ADC１, 所以A１E∥平面ADC１, 由A１E∥平面ADC１,EB∥平面 ADC１,A１E⊂平面 A１EB, EB⊂平面A１EB, 且A１E∩EB＝E,所以平面A１EB∥平面ADC１． 变式训练 ２．(１)证明　如图,连接PA′,并延长交BC 于点M,连接PB′, 并延长交AC于点N,连接PC′,并延长交AB 于点Q,连接 MN,NQ． ∵A′,B′,C′分别是△PBC,△PAC,△PAB 的重心, ∴M,N,Q 分别是△ABC 的边BC,AC,AB 的中点,且PA′A′M ＝PB′B′N＝２ ,∴△PB′A′∽△PNM, ∴A′B′∥MN． 同理可得B′C′∥NQ． ∵A′B′∥MN,MN⊂平面ABC,A′B′⊄平面ABC, ∴A′B′∥平面ABC． 同理可证B′C′∥平面ABC． 又∵A′B′∩B′C′＝B′,A′B′⊂平面A′B′C′, B′C′⊂平面A′B′C′, ∴平面A′B′C′∥平面ABC． (２)解:由(１)知A′B′∥MN,且A′B′MN ＝ PA′ PM ＝ ２ ３ , 即A′B′＝２３MN． ∵M,N 分别是BC,AC的中点,∴MN＝１２AB． ∴A′B′＝２３MN＝ ２ ３× １ ２AB＝ １ ３AB , ∴A′B′AB ＝ １ ３ ,即A′B′∶AB 的值为１３． [例３]　[证明]　(１)如图,取DC中点Q,连接 MA,NQ． ∵NQ 是△PDC的中位线,∴NQ ∥PD． ∵NQ⊄ 平 面 PAD,PD⊂ 平 面 PAD,∴NQ∥平面PAD． ∵M 是AB 中 点,ABCD 是 平 行 四边形, ∴MQ∥AD,又 MQ⊄平面PAD, AD⊂平面PAD． 从而 MQ∥平面PAD． ∵MQ∩NQ＝Q,∴平面 MNQ∥平面PAD． ∵MN⊂平面 MNQ,∴MN∥平面PAD． (２)由(１)知 平 面 MNQ∥ 平 面 PAD,又 平 面 PEC∩ 平 面 MNQ＝MN,平面PEC∩平面PAD＝PE, ∴MN∥PE． 变式训练 ３．解:取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH,EG． ∵F,G 为DP,DA 的中点, ∴FG∥PA． ∵FG⊄平面PAB,PA⊂平面PAB, ∴FG∥平面PAB． ∵AB∥CD,EF∥CD, ∴EF∥AB． 而 EF ⊄ 平 面 PAB,AB ⊂ 平 面 PAB,∴EF∥平面PAB． ∵EF∩FG＝F,∴平面EFG∥平面 PAB． 又GH∥CD,∴GH∥EF．∴平 面 EFG 即平面EFGH． ∴平面EFGH∥平面PAB． 又点Q∈平面ABCD, ∴点Q∈(平面EFGH∩平面ABCD)． ∴点Q∈GH． ∴点Q 在底面ABCD 的中位线GH 上． [例４]　[解]　(１)证明:由四棱柱的性质知,AB１∥DC１． ∵DC１⊄平面AB１C,AB１⊂平面AB１C, ∴DC１∥平面AB１C． 同理A１C１∥平面AB１C, ∵DC１,A１C１⊂平面DA１C１,且DC１∩A１C１＝C１, ∴平面AB１C∥平面DA１C１． (２)在直线CC１ 上存在这样的点P,使BP∥平面DA１C１． ∵A１B１􀱀AB􀱀DC,∴四边形A１B１CD 为平行四边形, ∴A１D∥B１C．在C１C的延长线上取点P,使C１C＝CP,连接 BP,∵B１B􀱀C１C,∴B１B􀱀CP, ∴四边形BB１CP 是平行四边形,∴BP∥B１C, ∴BP∥A１D,∵BP⊄平面DA１C１,A１D⊂平面DA１C１, ∴BP∥平面DA１C１． 变式训练 ４．解析:存在．证明如下: 过顶点且与平面AMN 平行的平面有如图所示的三种情况 (其中,E,F 均为所在棱的中点)． 下面以图(１)为例进行证明． 连接 ME,D′B′,易知 ME􀱀A′B′􀱀AB, ∴四边形ABEM 是平行四边形, ∴BE∥AM． 又BE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE, ∴AM∥平面BDE． ∵MN 是△A′B′D′的中位线, ∴MN∥B′D′． ∵四边形BDD′B′是平行四边形, ∴BD∥B′D′,∴MN∥BD． 又BD⊂平面BDE,MN⊄平面BDE, ∴MN∥平面BDE． 又AM⊂平面AMN,MN⊂平面AMN, 且AM∩MN＝M, ∴由平面与平面平行的判定定理可得, 平面AMN∥平面BDE． 随堂步步夯实 １．BD　[A错误,可能异面;B正确;C错误,只有这两条直线是 相交直线才满足;D正确．] ２．D　[由面面平行的判定定理知,D正确．] ３．解析:①正确,因平面α与γ 没有公 共点;②正确．若直线a 与平面β 平 行或a⊂β,则由平面α∥平面β知a ⊂α或a 与α 无公共点,这与直线a 与α 相交矛盾,所以a与β 相交;③ 正确．如图,过直线PQ 作平面γ,γ∩ α＝a,γ∩β＝b,由α∥β得a∥b．因为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９６２􀅰 参考答案 PQ∥β,PQ⊂γ,所以PQ∥b．因为过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行,所以直线a与直线PQ 重合．因为a ⊂α,所以PQ⊂α;④错误．若直线a∥平面β,直线b∥平面 α,且α∥β,则a与b平行、相交和异面都有可能． 答案:①②③ ４．平行或相交 ５．证明:∵D,E 分别是棱AC,BC的中点, ∴DE 是△ABC的中位线,∴DE∥AB． ∵DE⊄平面SAB,AB⊂平面SAB, ∴DE∥平面SAB． 同理可得DF∥平面SAB． 又∵DE∩DF＝D,DE⊂平面DEF,DF⊂平面DEF, ∴平面DEF∥平面ABS． §５．垂直关系 ５．１　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直的性质 课前预习学案　情境引入 　提示:平行． 知识梳理　[思考] １．提示:有且只有一条． 知识点二 １．平行　４．(３)垂直于 [思考] ２．提示:垂直． ３．提示:不一定．例如正三棱柱的两个侧面都垂直于底面,但它 们不平行． ４．提示:(１)平行线的传递性;(２)线面平行的性质定理; (３)面面平行的性质定理;(４)线面垂直的性质定理． 预习自测 １．D　２．A　３．①② 课堂互动学案 [例１]　[解析]　当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直 时,l与α不一定垂直,所以①不正确;当l与α 内的一条直 线垂直时,不能保证l与平面α 垂直,所以②不正确;当l与 α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以③不 正确,④正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所 以⑤正确．故填④⑤． [答案]　④⑤ 变式训练 １．B　[对于 A,直线l⊥m,m 并不代表平面α 内任意一条直 线,所以不能判定线面垂直;对于B,因l⊥α,则l垂直α内任 意一条直线,又l∥m,由异面直线所成角的定义知,m 与平 面α内任意一条直线所成的角都是９０°,即m⊥α,故B正确; 对于 C,也有可能是l,m 异面;对于 D,l,m 还可能相交或 异面．] [例２]　[解]　根据直线与平面垂直的性质定理,欲使a∥b, 只须a,b垂直于同一个平面即可,如图所示． 变式训练 ２．解:因为AD１⊥A１D,AD１⊥CD,A１D∩CD＝D,所以AD１⊥ 平面A１DC．又 MN⊥平面A１DC,所以 MN∥AD１． [例３]　[解]　(１)因为 DD１⊥底面 ABCD,所以∠D１AD 是 D１A 与底面ABCD 所成的角． 因为侧面A１ADD１ 是正方形,所以∠D１AD＝４５°． 即D１A 与底面ABCD 所成的角为４５°． (２)如图,连接BD,则BD＝ ２a． 因为 DD１ ⊥ 底 面 ABCD,所 以 ∠D１BD 是D１B 与 底 面ABCD 所 成 的 角,同 时 DD１⊥DB．在Rt△D１BD中,DD１ ＝a, BD＝ ２a,D１B＝ ３a,所以cos∠D１BD ＝ ６３． 即 D１B 与 底 面ABCD 所 成 角 的 余弦值为 ６ ３． 变式训练 ３．解析:由题意得,点P 在平面ABC 上的投影O 为△ABC 的 外心,且PO⊥平面ABC,∴∠PBO 为直线PB 与平面ABC 所成角, 又OB＝１２AC＝ １ ２ AB ２＋BC２＝５２ , ∴cos∠PBO＝OBPB＝ ５ ８． 答案:５ ８ 随堂步步夯实 １．B　[因为直线l和三角形所在的平面垂直,又因为三角形的 边AB 在这个平面内,所以l⊥AB．] ２．B　[由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b⊂ α,故②错误;③中b可能与α相交(不垂直),也可能平行,故 ③不正确．] ３．B　[圆柱的母线垂直于圆柱的底面,所作的垂线也垂直于 底面,由线面垂直的性质定理可知,二者平行．] ４．解析:∵AF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD,∴AF∥DE． 又AF＝DE,∴四边形 AFED 为平行四边形,故 EF＝AD ＝６． 答案:６ ５．解:因 为 MA⊥ 平 面 ABC,所 以 ∠MCA 即 为 MC 与 平 面 ABC 所成的角． 又因为∠MBC＝６０°,所以 MC＝５ ３２ , 所以sin∠MCA＝MAMC＝ ３ ５ ３ ２ ＝２ ３５ ． 第二课时　直线与平面垂直的判定 课前预习学案　情境引入 　提示:直线与平面垂直的判定定理． 知识梳理　知识点 １．两条相交直线 [思考] １．提示:不一定．当直线与平面不垂直时,平面内也有无数条直 线与直线垂直． ２．提示:不一定．只有当a与b相交时,才有l⊥α． 预习自测 １．D　２．B　３．① 课堂互动学案 [例１]　[证明]　连接AE,取AB 的中点F,连接CF,DF． ∵AC＝BC,∴CF⊥AB． 又∵AD＝BD,∴DF⊥AB． ∵CF∩DF＝F,CF⊂平面CDF,DF⊂ 平面CDF, ∴AB⊥平面CDF． 又∵CD⊂平面CDF,∴CD⊥AB． 又∵CD⊥BE,AB∩BE＝B,AB⊂ 平 面ABE, BE⊂平面ABE,∴CD⊥平面ABE． 又∵AH⊂平面ABE,∴CD⊥AH． 又∵AH⊥BE,且BE∩CD＝E,BE⊂平面BCD,CD⊂平面 BCD,∴AH⊥平面BCD． 变式训练 １．证明　(１)∵SA＝SC,D 为AC 的中点, ∴SD⊥AC． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０７２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册