3.3刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、等角定理)-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

１．已知点A,直线a,平面α,以下表述正确的个 数是 (　　) ①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α; ③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α． A．０ B．１ C．２ D．３ ２．下列命题中正确的是 (　　) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内, 则平面α和平面β重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 ３．若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D ∈α,且AC∥BD,则O,C,D 三点的位置关系 是　　　　． ４．如图,已知D,E 是△ABC 的边AC,BC上的点,平面 α经过D,E 两点,若直线 AB与平面α的交点是P, 则点P 与直线DE 的位置 关系是　　　　． ５．已知A∈l,B∈l,C∈l,D∉l(如图),求证:直 线AD,BD,CD共面． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．３　刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实４、等角定理) 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解空间中两条直线的位置关系 ２．理解空间平行线的传递性,会证等角定理 ３．理解异面直线的概念、画法,了解空间四边形 借助实物理解异面直线的概念,进行 两条直线平行的判断,培养学生的直 观想象素养与逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] １．如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两 条直线平行吗? ２．同一平面内,一个角的两条边与另一个角的两 条边分别平行,那么这两个角相等或互补．空 间中是否有类似规律? [知识梳理] [知识点一]　基本事实４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　　　　同一条直线的两条直线互相平行． 用符号表示为a∥b b∥c}⇒a∥c． [知识点二]　异面直线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋(１)异面直线的定义和理解 ①定义:不同在任何一个平面内(不共面)的 两条直线称为异面直线． ②特点:异面直线既不相交又不平行,即不同 在任何一个平面内． (２)异面直线的表示 为了表示异面直线a,b不共面的特点,画图 时,通常用一个或两个平面衬托．如图: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 (３)空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种: 共面 直线 相交直线:在同—平面内,有且只有—个公共点． 平行直线:在同一平面内,没有公共点．{ 异面 直线 :不同在任何一个平面内,没有公共点． ì î í ï ï ï ï 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．没有公共点的两条直线一定是平 行直线吗? ２．异面直线就是在两个不同平面里的两条直 线,这种说法正确吗? [知识点三]　等角定理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　定理:如果空间中两个角的两条边分别　　　　, 那么这两个角相等或互补． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．当两个角的两边分别对应平行,这 两个角什么时候相等,什么时候互补呢? [知识点四]　异面直线所成的角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　如图,已知两条异面直线a, b,过空间任一点O 作直线 a′∥a,b′∥b,这时a′,b′共 面,我们把a′与b′所成的 　　　　　的角称为异面 直线a,b所成的角(或夹角)． 若两条异面直线a,b所成的角是直角,则称这 两条直线　　　　　,记作a⊥b． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．以长方体为例,如何表示空间中点、 直线和平面的基本位置关系呢? [预习自测] １．空间 两 个 角α,β的 两 边 分 别 对 应 平 行,且 α＝６０°,则β为 (　　) A．６０°　B．１２０°　C．３０°　D．６０°或１２０° ２．若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两 对应平行,则这两个三角形 (　　) A．全等　　　　　　B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 ３．如图,在三棱柱ABC－A１B１C１中, E,F分别是AB,AC上的点,且AE ∶EB＝AF∶FC,则EF 与B１C１ 的位置关系是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　基本事实４平行线的传递性的应用 [例１]　如图所示,在空间四 边形ABCD(不共面的四边 形称为空间四边形)中,E, F,G,H 分 别 为 AB,BC, CD,DA的中点． (１)求证:四边形EFGH 是 平行四边形; (２)如果 AC＝BD,求证:四边形EFGH 是 菱形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用基本事实４平行线的传 递性转化． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 证明两条直线平行的方法:(１)定义法,即 在同一平面内没有公共点的两条直线是平 行线;(２)利用三角形的中位线平行于第三 边这一性质;(３)利用基本事实４平行线的 传递性;(４)利用平行四边形的对边互相平 行这一性质． 􀳀[变式训练] １．已知正方体ABCD－A１B１C１D１,E,F分别为 棱AA１,CC１的中点．求证:BF􀱀ED１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７１􀅰 第六章　立体几何初步 空间等角定理及其应用 [例２]　如图,在正方体ABCD－ A１B１C１D１ 中,E,F,E１,F１ 分 别为 棱 AD,AB,B１C１,C１D１ 的 中 点． 求 证: ∠EA１F ＝∠E１CF１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　等角定理的结论是相等或互 补,在实际应用时,一般再借助于图形判断 是相等还是互补,还是两种情形都有可能． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．证明角相等常用以下三种方法: (１)利用三角形相似; (２)利用三角形全等; (３)利用空间等角定理． ２．根据等角定理证明两角相等的步骤: (１)证明两个角的两条边分别对应平行; (２)证明两个角的两条边的方向相同或者 相反． 􀳀[变式训练] ２．如图所示,在正方体 ABCD－ A１B１C１D１ 中,E,E１ 分别是棱 AD,A１D１的中点．求证:∠BEC ＝∠B１E１C１． 异面直线的判定或证明 [例３]　如图,若点P 是△ABC 所在 平 面 外 一 点,PA≠PB, PN⊥AB,N 为垂足,M 为AB 的中点．求证:PN 与MC 为异 面直线． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨] 定 理 法 利用异面直线的判定定理证明 反 证 法 提出假设,将假设作为条件,推 出矛盾,从而肯定结论 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判定或证明异面直线的方法有两种: (１)定义法,由定义法判定两条直线不可能 在同一平面内,常用反证法; (２)判定定理法,过平面外一点与平面内一 点的直线,和这个平面内不经过该点的 直线是异面直线． 􀳀[变式训练] ３．如 图,正 方 体 ABCD － A１B１C１D１,证 明 直 线 A１B 与B１C,AB与B１C为异面直 线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 求异面直线所成角的大小 [例４]　在三棱柱ABC－A１B１C１ 中,AA１ 与 AC,AB 所成的角均为６０°,∠BAC＝９０°,且 AB＝AC＝AA１,求异面直线A１B 与AC１ 所 成角的余弦值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先通过找平行线作出角,再求 解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．平移法作异面直线所成角的策略: (１)直接平移; (２)找等分点(如中点)平移; (３)补形平移． ２．求两条异面直线所成的角的一般步骤; (１)构造:根据异面直线所成角的定义,用平 移法作出异面直线所成的角或其补角; (２)证明:证明作出的角就是要求的角或其 补角; (３)计算:求角度,常利用三角形求解; (４)结论:若求出的角是锐角或直角,则它 就是所求异面直线所成的角;若求出的 角是钝角,则它的补角就是所求异面直 线所成的角． 􀳀[变式训练] ４．(１)如图所示,在正方体ABCD －A１B１C１D１ 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则异面直线 B１C与EF 所成的角的大小为 (　　) A．３０°　　　　　　B．４５° C．６０°　　　　　　D．９０° (２)在直三棱柱ABC－A１B１C１ 中,AC＝AB ＝AA１＝２,E 为BC 的 中 点,BC＝２AE＝ ２ ２,则 异 面 直 线 AE 与 A１C 所 成 的 角 是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如果直线a与b没有公共点,那么直线a与b 的位置关系是 (　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．平行或异面 ２．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直 线,则它与另一条 (　　) A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．平行 ３．如图所示,四棱柱ABCD－ A１B１C１D１ 中,底 面 是 梯 形,AB ∥CD,则 所 有 与 ∠A１AB 相 等 的 角 是　　　　． ４．如图,正方体ABCD－A１B１C１D１ 中,AC 与 BC１所成角的大小是　　　　． ５．在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中, M,N 分别为棱CD,AD 的中点．求证:四边形 MNA′C′是梯形． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５７１􀅰 第六章　立体几何初步 ３．解析:∵AC∥BD,∴AC,BD 确定一个平面β(推论３),∴α ∩β＝CD,AB⊂β,又O∈AB,∴O∈β,又O∈α,∴O∈CD,即 O,C,D 三点共线． 答案:共线 ４．解析:因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC,又 P∈α,平面ABC∩平面α＝DE,所以P∈直线DE． 答案:P∈直线DE ５．证明:因为D∉l,所以D 和l可确定一平面,设为α． 因为A∈l,所以A∈α．又D∈α,所以AD⊂α． 同理BD⊂α,CD⊂α,所以AD,BD,CD 都在平面α 内,即它 们共面． ３．３　刻画空间点、线、面位置关系的公理 (基本事实４、等角定理) 课前预习学案　情境引入 １．提示:不一定．这两条直线可能相交、平行或异面． ２．提示:有．观察图形有∠AOB＝∠A′O′B′． 知识梳理　知识点一 平行 [思考] １．提示:不一定．没有公共点的两条直线也可能是异面直线． ２．提示:不能把异面直线误认为是分别在 不同平面 内 的 两 条 直 线,如 图,虽 然 有 a⊂α,b⊂β,即a,b分别在两个不同的平 面内,但是因为a∩b＝O,所以a与b 不 是异面直线．所以,这种说法是不正确的． 知识点三 　对应平行 [思考] ３．提示:如图: (１)两个角的两条边分别平行,并且方向相同(如图(１))时, 两个角相等; (２)两个角的两条边分别平行,并且方向相反(如图(２))时, 两个角相等; (３)两个角的两条边分别平行,其中一组对应边方向相同,另一 组对应边方向相反时,两个角互补． 知识点四 　不大于９０°　互相垂直 [思考] ４．提示:如图: 位置关系 符号表示 点 A 在 直 线 AA１ 上 A∈AA１ 点 A 不 在 直 线 BC 上 A∉BC 点 A 在 平 面 ABＧ CD 内 A∈ 平面ABCD 点 A 不 在 平 面 A１B１C１D１ 内 A∉平面A１B１C１D１ 直 线 AB 与 直 线 AA１ 相交于点A AB∩AA１＝A 直 线 AB 与 直 线 A１B１ 平行 AB∥A１B１ 直 线 AB 与 直 线 CC１ 异面 直 线 AB 在 平 面 ABCD 内 AB⊂ 平面ABCD 直线 D１B 和 平 面 ABCD 相 交 于 点B D１B∩平面ABCD＝B 直线A１B１ 和平面 ABCD 平行 A１B１∥平面ABCD 平 面 ABCD 与 平 面 BB１C１C 相 交 于直线BC 平面ABCD∩平面 BB１C１C＝BC 平 面 ABCD 与 平 面A１B１C１D１ 平面ABCD∥平面 A１B１C１D１ 预习自测 １．D　２．B　３．平行 课堂互动学案 [例１]　[证明]　(１)因为空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点, 所以EF∥AC,HG∥AC,EF＝HG＝１２AC , 所以EF∥HG,EF＝HG, 所以四边形EFGH 是平行四边形． (２)因为空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为AB,BC, CD,DA 的中点, 所以EH∥BD,EH＝１２BD． 因为EF＝１２AC ,AC＝BD,所以EH＝EF． 又因为EFGH 是平行四边形,所以四边形EFGH 是菱形． 变式训练 １．证 明:如 图．取 BB１ 的 中 点 G,连 接 GC１,GE． ∵F 为CC１ 的中点,∴BG􀱀C１F, ∴四边形BGC１F 为平行四边形, ∴BF􀱀GC１． 又∵EG􀱀A１B１,A１B１􀱀D１C１, ∴EG􀱀D１C１, ∴四边形EGC１D１ 为平行四边形,∴ED１􀱀GC１． ∴BF􀱀ED１． [例２]　[证明]　如图,在正方体ABCD－ A１B１C１D１ 中,取A１B１ 的中点 M,则BF ＝A１M＝ １ ２AB． 连接 MF１,MB,F１C． ∵BF∥A１M, ∴四边形A１FBM 为平行四边形, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 ∴A１F∥BM． ∵F１,M 分别为C１D１,A１B１ 的中点, ∴F１M􀱀C１B１． ∵C１B１􀱀CB,∴F１M􀱀CB, ∴四边形F１MBC为平行四边形, ∴BM∥F１C． 又∵BM∥A１F,∴A１F∥F１C． 取A１D１ 的中点 N, 连接E１C,ND． 同理得A１E∥CE１． ∴∠EA１F 与∠E１CF１ 的两边分别对应平行,且两边方向对 应相反,∴∠EA１F＝∠E１CF１． 变式训练 ２．证明:如图,连接EE１． ∵E１,E 分别为A１D１,AD 的中点, ∴A１E１􀱀AE, ∴四边形A１E１EA 为平行四边形, ∴A１A􀱀E１E． 又A１A􀱀B１B,∴E１E􀱀B１B, ∴四边形E１EBB１ 是平行四边形． ∴E１B１∥EB．同理E１C１∥EC． 又∠B１E１C１ 与∠BEC 的两边分别对应平行,且方向相同, ∴∠B１E１C１＝∠BEC． [例３]　[证明]　假设PN 与MC 不是异面直线,则存在一个 平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α． ∵PA≠PB,PN⊥AB,N 为垂足,M 是AB 的中点,∴点 M 与点N 不重合． ∵M∈α,N∈α,∴直线 MN⊂α． ∵A∈直线 MN,B∈直线 MN,∴A∈α,B∈α． 即A,B,C,P 四点均在平面α 内,这与点P 在平面ABC 外 相矛盾． ∴假设不成立,即PN 与MC 为异面直线． 变式训练 ３．解:∵直线 A１B 与直线D１C 在平面A１BCD１ 内,且没有交 点,∴两直线平行,∵直线 D１D 与直线D１C 相交于D１ 点, 点A１,B,B１ 在平面A１BB１ 内,而点C 不在平面A１BB１ 内, ∴直线A１B 与直线B１C异面．同理,直线AB 与直线B１C异 面． [例４]　 [解]　 如 图 所 示,把 三 棱 柱 补 为 四 棱 柱 ABDC －A１B１D１C１, 连接BD１,A１D１,AD, 由四棱柱的性质知BD１∥AC１, 则∠A１BD１ 就是异面直线 A１B 与AC１ 所成的角． 设AB＝a, ∵AA１ 与 AC、AB 所 成 的 角 均 为６０°,且AB＝AC＝AA１, ∴ A１B ＝ a,BD１ ＝ AC１ ＝ ２AA１cos３０°＝ ３a． 又∠BAC＝９０°,∴在矩形ABDC中,AD＝ ２a, ∴A１D１＝ ２a,∴A１D２１＋A１B２＝BD２１,∴∠BA１D１＝９０°, ∴在 Rt△BA１D１ 中,cos∠A１BD１＝ A１B BD１ ＝ a ３a ＝ ３３． 变式训练 ４．解析:(１)连接B１D１,D１C(图略),则B１D１∥EF,故∠D１B１C 为异面直线B１C与EF 所成的角或其补角． 又B１D１＝B１C＝D１C,∴∠D１B１C＝６０°． (２)如图,取B１C１ 的中点E１,连接A１E１,E１C, ∵AE∥A１E１,∴∠E１A１C是异面直线AE 与A１C 所成的角 或其补角． ∵A１C１＝A１B１＝AA１＝２,B１C１＝２ ２, ∴∠B１A１C１＝９０°． 在正方形AA１C１C中,A１C＝２ ２． ∵A１E１ ⊥B１C１,A１E１ ⊥CC１,B１C１ ∩CC１ ＝C１, ∴A１E１⊥平面BB１C１C,∴A１E１⊥CE１． ∴在 Rt△A１E１C中,cos∠E１A１C＝ A１E１ A１C ＝ ２ ２ ２ ＝１２ , ∴异面直线AE 与A１C所成的角是６０°． 答案:(１)C　(２)６０° 随堂步步夯实 １．D　[由空间中两条直线的位置关系可知,直线a与b的位置 关系是平行或异面．] ２．C　 [如 图 所 示 的 长 方 体 ABCD － A１B１C１D１ 中,直线AA１ 与直线B１C１ 是 异面直线,与B１C１ 平行的直线有A１D１, AD,BC,显然直线AA１ 与A１D１ 相交,与 BC异面．] ３．解析:因 四 棱 柱 ABCD－A１B１C１D１ 中 AA１∥DD１．又AB∥CD,所以∠A１AB 与∠D１DC 相等．又 由于侧面A１ABB１,D１DCC１ 为平行四边形,所以∠A１AB 与 ∠A１B１B,∠D１C１C也相等． 答案:∠D１DC,∠D１C１C,∠A１B１B ４．解析:连接AD１,CD１(图略),则AD１∥BC１, ∴∠CAD１(或其补角)就是AC 与BC１ 所成的角,在正方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,AC＝AD１＝CD１, ∴∠CAD１＝６０°, 即AC与BC１ 所成角的大小为６０°． 答案:６０° ５．证明:如图,连接AC． ∵M,N 分别为棱CD,AD 的中点, ∴MN􀱀１２AC． 由正方体的性质可知AC􀱀A′C′, ∴MN􀱀１２A′C′ ,∴A′N 与MC′相交, 即A′N 不平行于MC′,MN 平行于A′C′, ∴四边形 MNA′C′是梯形． §４．平行关系 ４．１　直线与平面平行 课前预习学案　情境引入 　提示:由线面平行的性质定理知,在A１B１C１D１ 中作过点P 的直线与BC 平行． 知识梳理　知识点一 　交线　l∥α　l⊂β　 [思考] １．提示:这条直线可能在平面α内． ２．提示:若a∥α,在α内除了与a 平行的直线外,其余都与a异 面． 知识点二 　平行　l⊄α　a⊂α　l∥a [思考] ３．提示:不对．直线a可能在α内． ４．提示:不对．直线a可能在α内． ５．提示:线面平行的判定定理包含三个条件: ①直线l在平面α 外,即l⊄α;②直线a在平面α 内,即a⊂ α;③两直线l、a平行,即l∥a,三个条件缺一不可． 预习自测 １．CD　２．B　３．平行 课堂互动学案 [例１]　[证明]　∵AB∥平面 MNPQ,过AB 的平面ABC 交 平面MNPQ 于MN,∴AB∥MN． 又过AB 的平面ABD 交平面MNPQ 于PQ, ∴AB∥PQ,∴MN∥PQ． 同理可证 NP∥MQ． ∴四边形 MNPQ 为平行四边形． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６２􀅰 参考答案