3.2半角公式-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

３．２　半角公式 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变 换的基本思想 ２．能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明 在对公式的推导和应用过程中,发展 学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] １．如何用cos２α表示sin２α,cos２α,tan２α? ２．如何用cosα表示sin２α２ ,cos２α２ ,tan２α２ ? [知识梳理] [知识点]　半角公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．半角公式及其变形公式: (１)半角公式 sinα２＝± １－cosα ２ , cosα２＝± １＋cosα ２ , tanα２＝± １－cosα １＋cosα＝ sinα １＋cosα ＝１－cosαsinα (２)变形 cos２α２＝ １＋cosα ２ ,sin２α２＝ １－cosα ２ , tan２α２＝ １－cosα １＋cosα． ２．降幂公式 sin２α２＝ １－cosα ２ cos２α２＝ １＋cosα ２ tan２α２＝ １－cosα １＋cosα 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．半角公式中的符号是如何确定的? ２．半角公式对α∈R都成立吗? 为什么? [预习自测] １．sinπ１２＝ (　　) A．２ ３　　　　　　B．２＋ ３２ C．２－ ３２ D． ２－ ３ ２ ２．若－π＜θ＜０,cosθ＝－３５ ,则sinθ２＝ (　　) A．２ ５５ B．－ ２ ５ ５ C．５５ D．－ ５ ５ ３．tanπ８＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３１􀅰 第四章　三角恒等变换 　　　应用半角公式求值 [例１]已知sinα＝－４５ ,π＜α＜３π２ ,求sinα２ , cosα２ ,tanα２ 的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　直接利用半角公式求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用半角公式求值的思路 (１)看角:若已知三角函数式中的角是待求 三角函数式中角的两倍,则求解时常常 借助半角公式求解． (２)明范围:由于半角公式求值常涉及符号 问题,因此求解时务必依据角的范围, 求出相应半角的范围． (３)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用 tanα２＝ sinα １＋cosα＝ １－cosα sinα ,其优点是 计算时可避免因开方带来的求角的范 围问题;涉及半角公式的正、余弦值时, 常先利用sin２α２＝ １－cosα ２ ,cos２α２＝ １＋cosα ２ 计算． (４)下结论:结合(２)求值． 􀳀[变式训练] １．(１)已知sinθ＝３５ ,５π ２＜θ＜３π ,那么tanθ２＋ cosθ２ 的值为 (　　) A．１０１０－３　　　　　　B．３－ １０ １０ C．－３－ １０１０ D．３＋ １０ １０ (２)已知cosα＝－３５ ,α∈(π,３π２ ),则tanα２ ＝　　　　． 　　　三角函数式的化简 [例２]化简: (１＋sinα＋cosα)(sinα２－cos α ２ ) ２＋２cosα (１８０° ＜ α ＜３６０°)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　化倍角为单角,统一角,α＝ ２×α２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．化简问题中的“三变” (１)变角:三角变换时通常先寻找式子中各 角之间的联系,通过拆、凑等手段消除 角之间的差异,合理选择联系它们的 公式． (２)变名:观察三角函数种类的差异,尽量 统一函数的名称,如统一为弦或统一 为切． (３)变式:观察式子的结构形式的差异,选 择适当的变形途径．如升幂、降幂、配 方、开方等． ２．化简的要求 ①能求出值的应求出值; ②尽量使三角函数种数最少; ③尽量使项数最少; ④尽量使分母不含三角函数; ⑤尽量使被开方数不含三角函数． ３．化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降 幂或升幂等． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀳀[变式训练] ２．设α∈ ３π２ ,２πæ è ç ö ø ÷,化简:１ ２＋ １ ２ １ ２＋ １ ２cos２α． 　　　三角恒等式的证明 [例３]证明:tan３θ２－tan θ ２＝ ２sinθ cosθ＋cos２θ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　在要证明的题目中,既有θ２ ,θ 和２θ,还有３θ２ ,有切还有弦,可从消除恒等 式左、右两边的差异入手,将右边的角θ,２θ 配凑成３θ ２ ,θ ２ 的形式,注意到: θ＝３θ２－ θ ２ ,２θ＝３θ２＋ θ ２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．证明三角恒等式的原则 (１)由繁到简:一般由式子较复杂的一边 向较简单的一边化简证明． (２)两边夹:对于式子两边都比较复杂的 式子,则采取两边同时化简,找到一个 共同的“第三者”从而证明等式成立． (３)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”, 还是由“倍”到“单”,或是需消去一个 角,从而采取不同的变换． (４)变名:观察函数名称的关系,采用弦切 互化,降幂等方法,实现三角函数名称 的变换． ２．证明恒等式的一般步骤: (１)先观察,找出角、函数名称、式子结构 等方面的差异; (２)本着“复角化单角”“异名化同名”“变 换式子结构”“变量集中”等原则,设 法消除差异,达到证明的目的． 􀳀[变式训练] ３．证明:(１) cos ２α １ tanα２ －tanα２ ＝１４sin２α． (２) ２sinxcosx(sinx＋cosx－１)(sinx－cosx＋１) ＝１＋cosxsinx ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３１􀅰 第四章　三角恒等变换 １．tan１５°等于 (　　) A．２＋ ３　　　　　B．２－ ３ C．３＋１ D．３－１ ２．已知５π＜θ＜６π,cosθ２＝a ,那么sinθ４ 等于 (　　) A．１＋a２ B． １－a ２ C．－ １＋a２ D．－ １－a ２ ３．若－２π＜α＜－３π２ ,则化简 １－cos(α－π) ２ 的 结果是 (　　) A．sinα２ B．cos α ２ C．－sinα２ D．－cos α ２ ４．已 知 sinα＝ ５５ ,cosα＝２ ５５ ,则 tanα２ ＝　　　　． ５．在平面直角坐标系xOy中,以x轴的非负半 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与 单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标 分别为１ ３ ,２ ３ ,求cosα２＋sin β ２＋tan α ２ 的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 [网络构建] 􀅰４３１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 参考答案 五维课堂 -#_7. 2. D [函数 f(r)-sin xcosr= tan(a+③)-tana__ +na+pn1+1(-) .()-1 终以10 3.解析:原式-co-sinco3# 答案 (2)解析:<<\0<-<# n(1) '.cos -- 1-sin 8-- 3. #o) '. sin 20=2sin ocos -- 'cos 2x-sin(-2*) 答案:-29 -2sin(-)cos(-→) -2o[-()]co(-) 5.解:(1)tan(a+) =2 os(+)cos(-). -21-3- $602#200()-24. co(+) (2)- sin 2a 答案 'sin a十sin acos a-cos 2a-1 2sin acos a sin a十sin acos a-(2cos a-1)-1 [例3] [解](1)原式-(1+tan)(1-tan)2tan (1-tan9)(1十tanθ) 1-tan*) 2sin acos a sin a+sin acos a -2cosa -tan 20. ____2tan a (2)原式-1+2sin 2acos 2a+2cos 2a-1 tan{ a+tan a-2 1+2sin 2acos 2a+2sin2a-1 -22-1. 2cos* 2a+2cos 2asin 2a 2+2-2 2sin? 2a+2sin 2acos 2a 3.2 半角公式 2cos 2a(cos 2a+ sin 2a)1 2sin 2a(sin 2a+cos 2a) tan 2' 课前预习学案 情境引入 变式训练 1.提示:根据倍角公式:sin{g-(1-cos 2a), 3.解:原式一 (2o+osin号)(sin-cos# cos{a(1+cos 2a),tan --cos 2. 1+cos 2a 2.提示;sinr(-cosaco(1+os),un #0( o-/ sin)( i-o) 2(1+cos) -10 ##2. 知识梳理 [思考] ##分{in#-) (-) 1.提示:(1)当给出角a的具体范围时,先求一的范围,然后根 20# 据的范围确定符号. #A- (2)如果没有给出决定符号的条件,那么在根号前要保留正、 负号。 .原式一-cos0. 2.提示:公式C,S{对aER都成立,但公式T:要求a≠(2k 随堂步步夯实 +1)(乙). 62 1.C[原式-2 预习自测 sin 70{cos(360*+70) 6#226cos 70-6~sin 70 1.D 2.B 3.v2-1 2 sin 70 cos70 课堂互动学案 sin 70cos 70 00000 [例1][解]:<sin-- #3### #tin 140 .eos=-- #i-40-2 8v6cos(60*+70”) sin40{ 5 -86cos130* sin40{ --8v6sin 40* sin40{ c0 --86.] . 253· 五维课堂 数学·必修第二册 变式训练 变式训练 1.解析:(1)因为5<8<3. cos{a sin a sin a sin a ##以sin. lsin 2a=右边,故原等式成立。 (2)左边一 所以sin2 2sin xcos x -2 (2sincosin”)(2sn+sin”) 2 #4sn /(o0in) #0 cos2 -sinxco 1+cos-右边. #2sinin 2sinc sinr 10 所以原等式成立。 随堂步步夯实 #则6(3-),则由半角公式,得 sin 30 #1#(-#) 答案:(1)B(2)-2 [例2] [解] 原式= ##7# (2cos* +sin-cos)(sincos) 3.D 2 #2· 0 12 -|0 2cos( cos+sin)(sin-cos 2 0 #00-0 cos(-cos a) {3 1-2-5 又因为180{}<a~360}$ 所以90{<180”,所以 cos<o. 答案:V5-2 5.解析:依题意,得coa-co cos(-cos a) 所以原式-- #-cs# -=cosa. 因为a,为锐角, 所以 cos+sin+u# 1-cos{ 变式训练 2.解:':a(3,)(3). 2+ .cos a0.cos<0. 章末归纳提升 归纳提升 #o-60.# 10 锐角。 [例3] [证明]右边--2sin cos +cos 20= 10. 故cos(a+cos aco }-sin in3 #(分)) 10 ## cos #2(0- ) 又0<a十B<π,故a十-# #20os 3分 30.。 (2)[解]'a是锐角:cosa-, sin 30 30 0 #sn -,tan a-3. 一左边,所以等式成立 002 'tan③-tana-(a-$)] · 254·