2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

第四章三角恒等变换 五维课堂色 2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用 课程标准 素养解读 1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦和正切公式 通过两角和与差的正弦、正 2.熟练掌握两角和与差的正弦、正切公式的特征 切公式的应用，培养学生逻 3.能灵活运用公式进行化简和求值 辑推理和数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 3.如何识记两角和与差的正弦公式？ 回顾三角函数的诱导公式 (1)sin(π十a)=sinr十sina对任意a能否成立？ (2)sin +a=sincosa+cossina成 知识点二]两角和与差的正切公式 立吗？ 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 a…3,a十≠ 的正切 Ta tan(a十- x+受，∈乙 两角差 a,3,a-≠ 的正切 T。- tan (a-)= x+受，k∈Z [知识梳理] [知识点一] 两角和与差的正弦公式 ②思考4.两角和与差的正切公式中为什么限制 名称 简记符号 公式 使用条件 aB,a+B,a一B都不等于kx+5(k∈ZD? 两角和 的正弦 Sa+B sin (a+B)= a,B∈R 5.你能借助两角和与差的正、余弦公式推导 tan(a十3)与tan(a-3)吗？ 两角差 的正弦 Sa-B sin (a-B)= a,B∈R 6.对于两角和的正切公式你能写出它的几种常 见变形吗？ 包思考1.你能运用公式S。+3化简7cos20°+ sin20吗2 [预习自测] L.sin62cos28°+cos62sin28的值为 A.-1 B.1 C.0 n号 2.sin75的值为 ( 2.如何推导公式sin(a十3)与sin(a一3). A.②1 B②+1 2 2 C6-2 D.6+2 4 4 3.3-tan30 1+√3tan30 119· 世h维评堂 数学s·必修第二册 课堂。互动学案 题型一】 给角求值问题 题型二 给值求角问题 [例1]化简求值. (1)sin165°； [例2](1)已知a,3∈(0，π)，cosa= 30,者 (2)tan75. [思路点拨]根据式子的特点，进行适当变 sim(2a十p)=7sinB.求a+B的值。 形，再合理选择公式求值. (2)已知tana,tan3是方程x2+3,3.x十4=0的 两根，且e,8e(一吾，引求a十R 汇思路点拨](1)由2a十B=a+(a十B),3= (a十3)一a,利用和与差的正弦公式求解. (2)利用和与差的正切公式，注意角的范围. 规律方法 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题， 一定要本着先整体后局部的基本原则， 如果整体符合三角函数式的形式，则整 体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的 和或差的形式，化为正负相消的项并消 项求值，变换分子、分母的形式进行约 分，解题时要注意逆用或变用公式 ⊙[变式训练] 1.)sin是os看+cossin晋- ( A B号 D.1 规律方法 1.给值求角的一般步骤 2)已知m✉（+)=(}则 (1)求角的某一三角函数值： (2)确定角的范围： sina ( (3)根据角的范围写出所求的角. A32-3 B.32+3 2.选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； 6 C.6 (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函 6 D3 数，若角的范围是0，受引选正、余弦皆 (3)8-an105 ( ) 可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若 1+√3tan105 A.-1 B.1 角的范国为（一受，引选正弦较好 微提醒：确定所求角的哪种三角函数值，要 C.-5 D.- 3 根据具体题目，结合所给角的范围确定， ·120· 第四章三角恒等变换 五雅课堂 ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 2已知sina=5sima-》=- 10a,8均为锐 3者sm+a=品os(任--号0a 角，求3的值. <<<3,求sin(e+)的值。 题型目 给值求值问题 [例3】1已知<月<a<8os(a-)= 12 131 sin(a+》=- 求如2a的值 (2)已知tan(a+B)=5,tan(a-3)=3,求tan2a, (2)已知an(+a=2.ama-= tan 28.tan 2a+ aE(o.i)Be(-i0) [思路点拨](1)2a=(a+3)+(a-): ①求tana的值； (2)23=(a十B)-(a-B). ②求2a-3的值. 规律方法 解此类问题的关键是把“所求角”用“已知 角”表示出来.①当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和 或差的形式，如本题.②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角” 的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变 成“已知角”.③角的拆分方法不唯一，可 根据题目合理地选择拆分方式.如a=(a +-g=月-(g-a)a=2+22g 2 2 a+里_a,,2a=(a+B+(a-8),2p=(a 2 2 +-a-(+@+(+小- a+m,(+a+(--+a-m, ·121· 世h维评堂 数学·必修第二册 随堂。步步夯实 1.sin20°cos10°-cos160°sin10°= ( ) 4.计算：tan22°+tan23°(1+tan22) A.-③ 2 C.- 5.化简：n6叶骨)+2mur-子)-6o(-0 2.tan a=2,tan =3,tan(a-B)= ( ) A.-7 c-号 D- 3.已知sina= 3.cos(a)-1,sin(2a+B)= A.- 3 C温攀提弱 C.- 2 号 学习至此，请完成配套训练 2.3 三角函数的叠加及其应用 课程标准 素养解读 1.初步掌握两角和与差的三角函数公式和公式的由来以及 公式的正用和逆用 通过辅助角公式的应用，培养学生数 2.理解辅助角公式的结构形式，并利用公式进行化简 学运算，逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.辅助角公式有何作用？ 前面我们学习了两个角的和与差的正弦、余 弦、正切公式，那么，如何将asin x十bcos x的三 角函数或化简为Asin(x十o)的形式呢？以利 于研究这类三角函数的图象和性质 2.使用公式asin x十bcos a=√a2+bsin(.x [知识梳理] 十)时应注意什么问题？ [知识点]辅助角公式 1a纸p1长1 [预习自测] 壶e1 1.2sin 02cos 0= m可 A.sin .2/Zi) sineu国 丽恤a+泰w叫 in(a+) 餐的到 C.2厄sim0+f D./Zsin+ 位深定 2.2cos x+6sin x= a+us(ao】 A.2 2cos B.2/cos cn包 实质：是将同角的正弦和余弦函数值与其他常 C.22cos 十x D.2./Zcos 数积的和收缩为一个三角函数. 3.函数fx)=sinx+2cosx的最大值是 ·122·２．B　[∵α∈ π２ ,π( ) ,sinα＝３５, ∴cosα＝－４５． ∴cos π４－α( )＝cos π ４cosα＋sin π ４sinα ＝ ２２× － ４ ５( )＋ ２ ２× ３ ５＝－ ２ １０． ] ３．解析:原式＝cos(１０５°－１５°)＝cos９０°＝０． 答案:０ ４．解析:由诱导公式得sin π２＋α( )＝cosα＝－ ４ ５． 又α∈ π２ ,π( ) ,所以sinα＝３５． 所以cos π３－α( )＝cos π ３cosα＋sin π ３sinα ＝１２× － ４ ５( )＋ ３ ２× ３ ５＝ ３ ３－４ １０ ． 答案:３ ３－４ １０ ５．解:∵α∈ π６ ,２π ３( ) ,∴ π ３＋α∈ π ２ ,π( )． 又sin π３＋α( )＝ １２ １３ , ∴cos π３＋α( )＝－ １－sin ２ π ３＋α( ) ＝－ ５ １３． ∴cosα＝cos π３＋α( )－ π ３[ ] ＝cos π３＋α( )cos π ３＋sin π ３＋α( )sin π ３ ＝－５１３× １ ２＋ １２ １３× ３ ２＝ １２ ３－５ ２６ ． ２．２　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 课前预习学案　情境引入 提示:(１)不成立．因为sin(π＋α)＝－sinα,sinπ＋sinα ＝sinα． (２)因为sin π２＋α( )＝cosα,sin π ２cosα＋cos π ２sinα＝cosα , 所以sin π２＋α( )＝sin π ２cosα＋cos π ２sinα 成立． 知识梳理　知识点一 　sinαcosβ＋cosαsinβ　sinαcosβ－cosαsinβ [思考] １．提示:１２cos２０°＋ ３ ２sin２０°＝sin３０°cos２０°＋cos３０°sin２０° ＝sin(３０°＋２０°)＝sin５０° ２．提示:①sin(α＋β)＝cos[ π ２－ (α＋β)] ＝cos[(π２－α )－β]＝cos( π ２－α )cosβ＋sin( π ２－α )􀅰sinβ ＝sinαcosβ＋cosαsinβ． ②sin(α－β)＝cos[ π ２－ (α－β)] ＝cos[(π２－α )＋β]＝cos( π ２－α )cosβ－sin( π ２－α )􀅰sinβ ＝sinαcosβ－cosαsinβ． ３．提示:可简单记为“正余余正,符号同”,即展开后的两项分别 为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与 展开后两项间的符号相同． 知识点二 　tanα＋tanβ１－tanαtanβ 　tanα－tanβ１＋tanαtanβ [思考] ４．提示:这是由正切函数的定义域决定的． ５．提示:tan(α＋β)＝ sin(α＋β) cos(α＋β) ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ ＝ sinα cosα＋ sinβ cosβ １－sinαsinβcosαcosβ ＝tanα＋tanβ１－tanαtanβ ． 类似地可以推导tan(α－β),也可用－β代替tan(α＋β)中的 β,tan(α－β)＝tan[α＋ (－β)]＝ tanα＋tan(－β) １－tanαtan(－β) ＝tanα－tanβ１＋tanαtanβ ． ６．提示:它的常见变形主要有以下四种: (１)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(１－tanαtanβ); (２)１－tanαtanβ＝ tanα＋tanβ tan(α＋β) ; (３)tanα＋tanβ＋tanαtanβ􀅰tan(α＋β)＝tan(α＋β); (４)tanαtanβ＝１－ tanα＋tanβ tan(α＋β) ． 预习自测 １．B　２．D　３．３３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)sin１６５°＝sin(１２０°＋４５°) ＝sin１２０°cos４５°＋cos１２０°sin４５° ＝ ３２× ２ ２－ １ ２× ２ ２＝ ６－ ２ ４ ． (２)tan７５°＝tan(４５°＋３０°)＝tan４５°＋tan３０°１－tan４５°tan３０°＝ １＋ ３３ １－ ３３ ＝３＋ ３ ３－ ３ ＝２＋ ３． 变式训练 １．(１)B　[sinπ１２cos π ６＋cos π １２sin π ６ ＝sin π１２＋ π ６( )＝sin π ４＝ ２ ２ ,故选B．] (２)A　[∵cos π２＋α( )＝－sinα＝ ３ ３ ,∴sinα＝－ ３３ ,∴－π２＜ α＜０,∴cosα＝ ６３ ,∴sinα＋π３( ) ＝sinαcos π３ ＋cosαsin π ３ ＝ － ３ ３ × １ ２ ＋ ６ ３ × ３ ２ ＝ ３ ２－ ３ ６ ,故选 A．] (３)A　[３－tan１０５° １＋ ３tan１０５° ＝tan６０°－tan１０５°１＋tan６０°tan１０５°＝tan (－４５°)＝ －１．] [例２]　[解]　(１)因为sin(２α＋β)＝ １ ２sinβ , 所以sin[α＋(α＋β)]＝ １ ２sin [(α＋β)－α], 所以sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝ １ ２cosαsin (α＋β)－ １ ２sinαcos (α＋β), 则cosαsin(α＋β)＋３sinαcos(α＋β)＝０, 因为α∈(０,π),cosα＝－３ １０１０ , 所以sinα＝ １－cos２α＝ １０１０ ,α∈ π２ ,π( ) , 则－３ １０１０ sin (α＋β)＋３× １０ １０cos (α＋β)＝０, 所以sin(α＋β)＝cos(α＋β), 所以tan(α＋β)＝１． 又α∈ π２ ,π( ) ,β∈(０,π), 所以α＋β∈ π, ３π ２( ) ,则α＋β＝ ５π ４． (２)因为tanα,tanβ是方程x ２＋３ ３x＋４＝０的两根,所以 tanα＋tanβ＝－３ ３＜０,tanαtanβ＝４＞０,所以tanα＜０,tanβ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 ＜０．又α,β∈ － π ２ ,π ２( ) ,所以α,β∈ － π ２ ,０( ) ,所以－π＜ α＋β＜０． 又tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝－３ ３１－４ ＝ ３ , 所以α＋β＝－ ２π ３． 变式训练 ２．解:因为α,β为锐角,sinα＝ ５ ５ ,所以cosα＝２ ５５ , 又－π２＜α－β＜ π ２ 且sin(α－β)＝－ １０ １０ , 所以cos(α－β)＝ ３ １０ １０ , 所以sinβ＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα ＝ １０１０ × ２ ５ ５ ＋ ３ １０ １０ × ５ ５＝ ２ ２． 因为β为锐角,所以β＝ π ４． [例３]　[解]　(１)∵π４＜β＜α＜ ３π ４ , ∴０＜α－β＜ π ２ ,π ２＜α＋β＜ ３π ２． 又sin(α＋β)＝－ ３ ５ , ∴π＜α＋β＜ ３π ２ ,∴cos(α＋β)＝－ ４ ５． ∵cos(α－β)＝ １２ １３ ,∴sin(α－β)＝ ５ １３． ∴sin２α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋ cos(α＋β)sin(α－β)＝－ ３ ５× １２ １３＋ － ４ ５( )× ５ １３＝－ ５６ ６５． (２)tan２α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan (α＋β)＋tan(α－β) １－tan(α＋β)tan(α－β) ＝ ５＋３１－５×３＝－ ４ ７ , tan２β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝tan (α＋β)－tan(α－β) １＋tan(α＋β)tan(α－β) ＝ ５－３１＋５×３＝ １ ８ , tan ２α＋π４( )＝ １＋tan２α １－tan２α＝ １－４７ １＋４７ ＝３１１． 变式训练 ３．(１)解:因为０＜α＜π４＜β＜ ３π ４ , 所以３π ４＜ ３π ４＋α＜π ,－π２＜ π ４－β＜０ , 又sin ３π４＋α( )＝ ５ １３ ,cos π４－β( )＝ ３ ５ , 所以cos ３π４＋α( )＝－ １－sin ２ ３π ４＋α( ) ＝－ １２ １３ , sin π４－β( )＝－ １－cos ２ π ４－α( ) ＝－ ４ ５ , sin(α＋β)＝－cos π ２＋ (α＋β)[ ] ＝－cos ３π４＋α( )－ π ４－β( )[ ] ＝－cos ３π４＋α( )cos π ４－β( )－sin ３π ４＋α( )sin π ４－β( ) ＝－ －１２１３( )× ３ ５－ ５ １３× － ４ ５( )＝ ５６ ６５． (２)解:①tan π４＋α( )＝ １＋tanα １－tanα＝２ , 得tanα＝１３． ②因为tan(２α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝tanα＋tan (α－β) １－tanαtan(α－β) ＝１, 又α∈ ０,π４( ) ,β∈ － π ４ ,０( ) , 得２α－β∈ ０, ３π ４( ) , 所以２α－β＝ π ４． 随堂步步夯实 １．D　[sin２０°􀅰cos１０°－cos１６０°􀅰sin１０°＝sin２０°􀅰cos１０° ＋cos２０°􀅰sin１０°＝sin３０°＝１２ ,故选 D．] ２．D　[tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanα􀅰tanβ ＝ ２－３１＋２×３＝－ １ ７． ] ３．A　[∵cos(α＋β)＝－１, ∴sin(α＋β)＝０, ∴sin(２α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosα􀅰 sin(α＋β)＝ １ ３× (－１)＋cosα􀅰０＝－１３． ] ４．解析:tan２２°＋tan２３°(１＋tan２２°) ＝tan２２°＋tan２３°＋tan２２°tan２３° ＝tan(２２°＋２３°)(１－tan２２°tan２３°)＋tan２２°tan２３° ＝tan４５°(１－tan２２°tan２３°)＋tan２２°tan２３° ＝１． 答案:１ ５．解:原式＝sinxcosπ３＋cosxsin π ３＋２sinxcos π ３－ ２cosxsinπ３－ ３cos ２π ３cosx－ ３sin ２π ３sinx ＝１２sinx＋ ３ ２cosx＋sinx－３cosx＋ ３ ２cosx－ ３ ２sinx ＝ １２＋１－ ３ ２( )sinx＋ ３ ２－ ３＋ ３ ２ æ è ç ö ø ÷cosx＝０． ２．３　三角函数的叠加及其应用 课前预习学案　[思考] １．提示:辅助角公式asinx＋bcosx＝ a２＋b２􀅰sin(x＋φ)可 以把含sinx,cosx的一次式化为Asin(ωx＋φ)的形式,其中 φ所在象限由点(a,b)决定,大小由tanφ＝ b a 确定．研究形 如f(x)＝asinx＋bcosx的性质都要用到该公式． ２．提示:(１)asinx,bcosx中的x 是同一个角． (２)一般在提取系数时,我们提取 a２＋b２,特殊情况下,也 可以提取－ a２＋b２． (３)θ由cosθ＝ a a２＋b２ ,sinθ＝ b a２＋b２ 决定．通常将θ化 归到区间 －π２ ,π ２[ ] 内． 预习自测 １．C　２．B　３．５ 课堂互动学案 [例１]　[解]　原式＝２ １ ２sin π １２－ ３ ２cos π １２ æ è ç ö ø ÷ ＝２ sin π６sin π １２－cos π ６cos π １２( ) ＝－２cos π６＋ π １２( ) ＝－２cos π４ ＝－ ２． 变式训练 １．解:(１)y＝３sinx－ ３cosx ＝２ ３ sinx􀅰 ３２－cosx 􀅰１ ２ æ è ç ö ø ÷ ＝２ ３ sinx􀅰cos π６－cosx 􀅰sinπ６( ) ＝２ ３sin x－π６( )． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４２􀅰 参考答案