5.3利用数量积计算长度与角度-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

参考答案 五维课堂到 (2)由a+b=(1,3),得a=(2.1)..a-2b=(4,-3), ∴.k2a2+2ka·b+b=3a2-6ka·b+3k2b, .a-2b1=√/4+(-3)7=5. ∴.(k-3)a°十8ka·b+(1-3k)b=0. 答案：(1)C(2)5 ,lal=√cosa+sima=1.b=√cos+sin3=1, [例3][解](1)：点C是直线OP上的一点， k2-3+8a·b+1-3k=0. .向量OC与OP共线， a·b=2+2_+1 设OC-tOP(1∈R),则OC-t(2,1)=(21,t), 8k k· .CA=0A-OC=(1-21.7-1), 2ab-“出=+ CB=OB-OC=(5-2t,1-t), .CA·CB=(1-21)(5-2)+(7-t0(1-t)=52-20t+12 由画数的单调性家易得出，)=(+)在(0，门上单 =5(t-2)2-8. 调递减，在[1，十∞)上单调递增. 当t=2时，CA·CB取得最小值，此时OC-(4,2). ÷当表=1时)=D=×+D=之，即a·b的 (2)由(1)知0C=(4,2), ∴CA=(-3,5),CB=(1,-1) 最小值为号 ∴.lCA=3A,CB=2,CA·CB=-3-5=-8. “cos∠ACB=CA.CB-4 此时a与b的矣角0的余弦值cos0=gh=号 a b2 ∴.0=60. CAIICBI 17 变式训练 变式训练 1.解：(1)AC=(2sin0-1,cos0), 3.解：(1)a=e1-e=(1.0)-(0,1)=(1.-1) b=4e1+3e=4(1.0)+3(0,1)=(4.3). BC=(2sin 0,cos 0-1), .a·b=4×1+3×(-1)=1, ACI=IBCI 1a+b=√/(4+1)+(3-1)=√25+4=√2四. ∴：.√(2sin0-1)+cos0 (2)设(a,b)=0,由a·b=|al blcos0, =√(2sin0)2+(cos0-1)2, ..cos0-x5 10 a·b 1 化简得2sn0=c0s0.tan0=号 随堂步步夯实 (2)OA+2OB=(1,2). 1.A[a·b=-x+6=3,故x=3.] OC=(2sin 0.cos 0), 2.D[ms0=二≥5。-兽.又周为0E[0,.所以0 2×2 ∴.(OA+2OB)·OC=2sin+2cos0=1, 六sim0+cos0=安 3.B[:a·b=(1,w3)·(3,m)=3+3m, [例2][解](1)因为a⊥b,所以a·b=0 即1×(2x十3)十x×(一x)=0,解得x=一1或x=3 a=2,1bl=√/9+m (2)因为a∥b,所以1×（一x)一x(2x十3）=0， 专-9器华 解得x=0或x=一2. 若x=0,则a=(1,0),b=(3,0),a一b=(一2,0)， 4.解析：a十b=(m+1.3), 此时a一b=2. 又1a+b12=|a2+|b 若x=-2,则a=(1,-2),b=(-1.2),a-b=(2,-4), .(m+1)2+3=m2+1+5, 此时a-b=2+(-4)=25.所以|a-b=2或2v5. 解得m=一2. 变式训练 答案：一2 2.解：(1)设c=(x,y), 因为a∥ca=(1,2).所以2.x-y=0, 5.C[与向量丽=（一受2）网方向的单位向量是 B 所以y=2.x,因为c=35,所以+y=35, 所以x十y=45,即x十4x2=45, 所以3或{所以c=(3,6麦c=(-3,-6. √+ (y=6.{y=-6.1 (2)因为(a+2b)⊥(a-b), 5.3利用数量积计算长度与角度 所以(a十2b)·(a-b)=0, 课前预习学案情境引入 所以a+a·b-2b=0,即la+a·b-2b=0. 提示：a⊥b-a·b=0x1x十y1y2=0 又因为a2=5,1b12=2,所以a·b=-1, 知识梳理知识点一 设向量a与b的夹角为0， 别cos0=a·b5·V2 a·b -1 知识点二 四，所以a与b的夹商 10 十y为■0 「思考] 的余孩值为- 10 提示：若a∥b=x1为=西y,即y一x:y=0.若a⊥b白 [例3]「证明]建立如图所示的平而 y 工=一y3为，即西1十y4=0.两个命题不能混淆，可以 直角坐标系，设AB=2, 对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反， 则A(0,0),B(2,0),C(2,2), 预习自测 E(1,2),F(0,1). 1.A2.A3./10 (1)BE=(-1,2).CF=(-2,-1). 课堂互动学案 :.BE·CF=(-1)×(-2)+2× A(0) [例1][解](1)由|a+b=3a一b|.得(a十b) (-1)=0, =3(a-b). ∴BE⊥CF,即BE⊥CF ·237· 世h维评堂 数学s·必修第二册 (2)设点P坐标为(xy),则FP=(x,y-1) §6.平面向量的应用 FC-(2,1). 6.1余弦定理与正弦定理 Fp∥FC. 第一课时余弦定理 ,.x=2(y-1),即x=2y-2, 课前预习学案情境引入 同理，由BP∥BE得y=一2.x+4, 1.提示：根据向量的鼓量积.可得2= 6 BC·BC 由=22得 x=5 =(AC-AB)·(AC-AB) 1y=-2.x+4, y=5 =|AC2-2AC·AB+1ABI ∴点P的丝标为（停）} =AC-2ACI.AB I cos A +ABI* :A√得)+（合）=2=，即AP=AB =b-2bccos A+c, 即a2=b+c2-2 bccos A. 变式训练 2.提示：在△ABC中，设AB边上的高为h, 3.证明：建立如图所示的直角坐标系， 设A(a,0),则B(0a),E(zy). :D是BC的中点D0,号) 又AE=2Ei. .(x-a,y)=2(-x,a-y), 0(C0 即{t-a=-2x. 知识梳理知识点一 {3y=2a-2y. 6+c-2bccos A a'+c'-2accos B a+6-2abcos C =号 3+c2-a2a+e2-8 a+b-c 26 2uc 2ub 解得 [思考] 提示：若a=6十2，则△ABC是直角三角形： (号号) 若a>6+c2,则△ABC是钝角三角形： 若a'<B十2，则△ABC不一定是锐角三角形，因为4不一 :i=(0受）.0)=(-a,受） 定是最大边」 知识点二 o==(÷ besin A 2acsin B 2absin C .=-x号+受×号 预习自测 =-4+4=0… 1.D2.B3号 课堂互动学案 ADLCE.即AD⊥CE. [例1][解] 由余弦定理，得 随堂步步夯实 c2=a3+b-2 abeos C=4+8-2×2×2w2cos15. L.B[由a⊥b,得a·b=0,即4x十x=0,解得x=0,故选B.] 2.B[因为m=(λ+1,1)，n=(A+2,2). cos15=6+2 4 所以m十n=(2λ十3,3)，m-n=(-1,一1). 因为(m十n)⊥(m-n),所以(m十n)·(m一n)=0, ∴2=8-2√12=(W6-2),∴c=6-2. 所以一(2A十3)一3=0，解得1=一3.故选B.] 又osA=+2-a=区 3.解析：由题意得c=a一h=(2,4)一t(一1.1)=(2+t,4一1). 2be 21 b⊥c,.b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t) .A=30°，B=180°-(A+C)=135 =2-21=0,解得t=1. ∴.A=30°.B=135°.c=√6-√2 答案：1 变式训练 4.解析：因为OA⊥AB,所以OA·AB=0. L.解：根据余弦定理得 所以OA.Oi=OA.O+AB)=OA'+OA.A成=0A时 b=a'+e-2accos B =32=9. =(2√3)+(W6+√2)2-2×2W3×(6+√2)×cos45°=8， 答案：9 所以b=2②. 5.解：(1)a=(3,一4)，b=(2x),a∥b, 因为cosA=+2-4 3x+8=0=-号 2bc c=(2y,a⊥c,6-4y=0y=2 3 8+u6+E-名周为0KA< 2X22X(√6+2) 所以A=60°，C=180°-(A+B)=75】 b=(2-)c=()月 [例2][解]已知a:bte=2:√6：(5+1)， (2)设a-2c与-3b的夹角为0，：a-2c=(3,-4)-(4,3) 令a=2k,b=6k,c=(W3+1)k(k>0). =(-1,-7),-3b=(-6,8). 由余孩定理，得 ∴cos0=g2e3h=6=6--夏 osA=6+c2-a-6k+(5+1)k-4-2 a-2c·-3b52×10 2 2×√6k×(W5+1)k 2 0<00=要 oB=2+-N-4+8+1D-6能= 2×2k×(W3+1)k 2 故a-2c与-3b的夫角为票 A=45,B=60 ∴.C=180°-A-B=180°-45°-60°=75. ·238·５．３　利用数量积计算长度与角度 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决有关长度、角 度、垂直等问题 通过学习向量的数学积解决几何问 题,重点培养学生数学运算及逻辑推 理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向 量的表示形式不同,对其运算的表示方式也不 同．向量的坐标表示为我们解决有关向量的线性 运算带来了极大方便． [问题]　设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２)．如何用向 量的坐标来表示a⊥b? [知识梳理] [知识点一]　平面向量数量积的坐标表示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　设向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２)． 数量积 a􀅰b＝x１x２＋y１y２ 模 a２＝x１２＋y１２,即|a|＝　　　　　 夹角 设向量a与b的夹角为θ,则cosθ＝ a􀅰b |a||b|＝ x１x２＋y１y２ x２１＋y２１􀅰 x２２＋y２２ (|a| ≠０,|b|≠０) [知识点二]　两个向量垂直的坐标表示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a⊥b⇔　　　 　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２, y２)．a∥b与a⊥b的坐标表示有何区别? [预习自测] １．已 知 向 量BA → ＝ １ ２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷,BC → ＝ ３ ２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷,则 ∠ABC＝ (　　) A．３０°　　B．４５°　　C．６０°　　D．１２０°　　 ２．已知点A(１,３),B(４,－１),则与向量AB → 同方 向的单位向量为 (　　) A．３５ ,－４５ æ è ç ö ø ÷ B．４５ ,－３５ æ è ç ö ø ÷ C．－３５ ,４ ５ æ è ç ö ø ÷ D．－４５ ,３ ５ æ è ç ö ø ÷ ３．设x∈R,向量a＝(x,１),b＝(１,－２),且 a⊥b,则|a＋b|＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 向量的模与夹角的综合运用 [例１]　已知a＝(cosα,sinα),b＝(cosβ,sinβ),且 |ka＋b|＝ ３|a－kb|(k＞０)． (１)用k表示数量积a􀅰b; (２)求a􀅰b的最小值,并求出此时a与b 的夹 角θ的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用向量的数量积列k的方 程,然后求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６８􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求两向量夹角的步骤 (１)求向量的数量积．利用向量数量积的 坐标表示求出这两个向量的数量积． (２)求模．利用|a|＝ x２＋y２计算两向量 的模． (３)求 夹 角 余 弦 值．由 公 式 cosθ＝ x１x２＋y１y２ x２１＋y２１ x２２＋y２２ 求夹角余弦值． (４)求角．由向量夹角的范围及cosθ求θ 的值． ２．坐标由三角函数表示的向量要注意与 单位圆的关系,模长具有特殊性,比如 可以利用cos２α＋sin２α＝１等．由三角 函数表示的数量积通常可以应用三角 函数的有界性,即sinα,cosα的取值范 围是[－１,１]． 􀳀[变式训练] １．已知点A(１,０),B(０,１),C(２sinθ,cosθ)． (１)若|AC → |＝|BC → |,求tanθ的值． (２)若(OA → ＋２OB →)􀅰OC → ＝１,其中O为坐标原 点,求sinθ＋cosθ的值． 　　　利用向量的坐标运算解决平行与垂直问题 [例２]已知平面向量a＝(１,x),b＝(２x＋３, －x)(x∈R)． (１)若a⊥b,求x的值; (２)若a∥b,求|a－b|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)由平面向量垂直的坐标表 示,得出关于x的等式;(２)由平面向量共线 的坐标表示求得x,可求a－b的坐标,由此 可求|a－b|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 平行与垂直的充要条件 (１)求解平行问题,常用向量平行(共线) 的等价条件:a∥b(b≠０)⇔a＝λb⇔ x１y２－x２y１＝０． (２)求解垂直问题,常用向量垂直的等价 条件:非零向量a,b,a⊥b⇔a􀅰b＝０ ⇔x１x２＋y１y２＝０． 􀳀[变式训练] ２．已知a,b,c在同一平面内,且a＝(１,２)． (１)若|c|＝３ ５,且a∥c,求c; (２)若|b|＝ ２,且(a＋２b)⊥(a－b),求a与b 的夹角的余弦值． 　　　向量数量积的坐标运算在平面几何中应用 [例３]　已知正方形 ABCD 中,E,F 分别是 CD,AD的中点,BE,CF交于点P．求证: (１)BE⊥CF; (２)AP＝AB． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　画出图形,根据图象寻找边与 边之间的关系,在平面直角坐标系中求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７８􀅰 第二章　平面向量及其应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．用向量解决平面几何问题的步骤 (１)建立平面几何与向量的联系,用向量 表示问题中涉及的几何元素,将平面 几何问题转化为向量问题; (２)通过向量运算,研究几何元素之间的 关系,如距离、夹角等问题; (３)把运算结果“翻译”成几何关系． ２．应用向量解决几何问题要注意观察条 件和结构,选择使用向量的某些性质解 决相应的问题,如用数量积解决垂直、 夹角问题,用三角形法则、模长公式解 决平面几何线段长度问题,用向量共线 解决三点共线问题等．如果题设条件中 有向量,则可以联想性质直接使用,如 果没有向量,则更需要有向量工具的应 用意识,强化知识的联系,善于构造向 量解决问题． 􀳀[变式训练] ３．已知在△ABC 中,C 是直角,CA＝CB,D 是 CB 的中点,E是AB 上一点,且AE＝２EB,求 证:AD⊥CE． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．设向量a＝(x,１),b＝(４,x),且a⊥b,则x的 值是 (　　 ) A．±２　　　　　　　　　　B．０ C．－２ D．２ ２．已知向量 m＝(λ＋１,１),n＝(λ＋２,２),若 (m＋n)⊥(m－n),则λ＝ (　　) A．－４　　B．－３　　C．－２　　D．－１ ３．已知向量a＝(２,４),b＝(－１,１),c＝a－tb,若 b⊥c,则实数t＝　　　　． ４．已 知OA → ⊥AB →,|OA → |＝３,则OA → 􀅰OB → ＝　　　　． ５．已知平面向量a＝(３,－４),b＝(２,x),c＝(２, y),a∥b,a⊥c,求: (１)向量b,c的坐标; (２)向量a－２c与－３b的夹角． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §６．平面向量的应用 ６．１　余弦定理与正弦定理 第一课时　余弦定理 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余 弦定理 ２．能用余弦定理解决简单的实际问题 通过推导归纳余弦定理．提升逻辑推 理,数学运算,数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀅰８８􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册