第一章 三角函数 8三角函数的简单应用-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

[例３]　[解]　(１)∵tan ２x＋π３＋π( )＝tan ２x＋ π ３( ) , 即tan ２ x＋π２( )＋ π ３[ ]＝tan ２x＋ π ３( ) ∴f(x)＝tan ２x＋π３( ) 的周期是 π ２． (２)函数的定义域是 x x≠π２＋kπ ,k∈Z}{ , 又∵sin(－x)＋tan(－x)＝－(sinx＋tanx), ∴函数y＝sinx＋tanx是奇函数． 变式训练 ３．解:y＝tan ωx＋π４( )(ω＜０)的周期为 π |ω|＝ π ２ ,解得ω＝２ 或ω＝－２．因为ω＜０,所以ω＝－２, 故y＝tan －２x＋π４( )＝－tan ２x－ π ４( )． 由２x－π４≠kπ＋ π ２ (k∈Z), 解得x≠kπ２＋ ３π ８ (k∈Z), 所以该函数的定义域为 x x≠kπ２＋ ３π ８ ,k∈Z{ },值域为 R． 由于该函数的定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇 函数也不是偶函数． 随堂步步夯实 １．D　[y＝tanx 有 无 数 个 递 增 区 间 kπ－π２ ,kπ＋π２( )(k∈ Z),无递减区间,且在定义域上不是增函数．] ２．A　[x＋π３≠ π ２＋kπ ,k∈Z,∴x≠π６＋kπ ,k∈Z．] ３．C　[令f(x)＝tan ２x－π３( )．由２x－ π ３≠kπ＋ π ２ (k∈Z), 解 得 x ≠ kπ２ ＋ ５π １２ (k ∈ Z), 即 定 义 域 为 x x≠kπ２＋ ５π １２ ,k∈Z{ },由于该 函 数 的 定 义 域 不 关 于 原 点 对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数,故 A 错误; 由正切函数的图象知y＝tan ２x－π３( ) 没有单调递减区间, 故B错误;C中,∵f π６( ) ＝tan０＝０,故 π ６ ,０( ) 为图象的 一个对称中心,C正确;D 中,y＝tan ２x－π３( ) 的最小正周 期T＝π２ ,D错误．] ４．解析:∵－π２＋kπ＜３x＋ π ４＜ π ２＋kπ ,k∈Z． ∴－π４＋ kπ ３＜x＜ π １２＋ kπ ３ ,k∈Z． 答案: －π４＋ kπ ３ ,π １２＋ kπ ３( )(k∈Z) ５．解:由 π３x＋ π ４ ≠kπ＋ π ２ ,k∈Z,得x≠３k＋ ３４ ,k∈Z,故定 义域为 x x≠３k＋３４ ,k∈Z{ }． T＝ π|ω|＝ π π ３ ＝３． 由－π２＋kπ＜ π ３x＋ π ４＜ π ２＋kπ ,k∈Z, 得－９４＋３k＜x＜ ３ ４＋３k ,k∈Z, 故增区间为 －９４＋３k ,３ ４＋３k( ) ,k∈Z, 由 π ３x＋ π ４＝ kπ ２ ,得x＝３２k－ ３ ４ ,k∈Z, 所以对称中心为 ３ ２k－ ３ ４ ,０( ) ,k∈Z． §８．三角函数的简单应用 课前预习学案　情境引入 　提示:水深随时间的变化呈周期性变化． 知识梳理　[思考] 　提示:利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某 种关系,然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这 些散点,从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的 失误． 预习自测 １．B　２．C　　３．－π６ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由 题 图 可 知 A＝３００,设t１ ＝－ １ ９００ ,t２ ＝ １１８０ , 则周期T＝２(t２－t１)＝２ １ １８０＋ １ ９００( )＝ １ ７５． ∴ω＝２πT＝１５０π． 又当t＝ １１８０ 时,I＝０, 即sin １５０π􀅰 １１８０＋φ( )＝０, 而|φ|＜ π ２ ,∴φ＝ π ６． 故所求的解析式为I＝３００sin １５０πt＋π６( )． (２)依题意知,周期T≤ １１５０ ,即２π ω≤ １ １５０ (ω＞０), ∴ω≥３００π＞９４２,又ω∈N＋ , 故所求最小正整数ω＝９４３． 变式训练 １．D　[因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一 周大约需要３０min, 所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周,大约 需要１５min, 又因为摩天轮最高点距离地面高度为１２０m, 所以t＝１５时,H＝１２０, 对于 A,t＝１５时,H＝５５sin π１５×１５－ π ２( ) ＝５５sin π ２＝５５ , 不符合题意; 对于 B,t＝１５ 时,H＝５５sin π１５×１５＋ π ２( ) ＝５５sin ３π ２ ＝ －５５,不符合题意; 对于 C,t＝１５时,H＝５５sin π１５×１５＋ π ２( ) ＋５５＝５５sin ３π ２ ＋５５＝０,不符合题意; 对于 D,t＝１５时,H＝５５sin π１５×１５－ π ２( ) ＋６５＝５５sin π ２ ＋６５＝１２０,符合题意．故选 D．] [例２]　[解]　(１)周期T＝２π２π＝１ (s)． 列表． t ０ １６ ５ １２ ２ ３ １１ １２ １ ２πt＋π６ π ６ π ２ π ３π ２ ２π ２π＋ π ６ ６sin ２πt＋π６( ) ３ ６ ０ －６ ０ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２２􀅰 参考答案 作图,如图所示． (２)①小球开始摆动(即t＝０)时,离开平衡位置为３cm． ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是６cm． ③小球来回摆动一次需要１s(即周期)． 变式训练 ２．解:(１)当t＝０时,E＝２２０ ３sinπ６＝１１０ ３ (伏), 即开始时的电压为１１０ ３伏． (２)电压的最大值为２２０ ３伏, 当１００πt＋π６＝ π ２ ,即t＝ １３００ 秒时第一次获得这个最大值． [例３]　[解]　(１)如图． (２)最低气温为１月份２１．４,最高气温为７月份７３．０, 故T ２＝７－１＝６ ,所以T＝１２． 因为２A 的值等于最高气温与最低气温的差, 即２A＝７３．０－２１．４＝５１．６,所以A＝２５．８． (３)因为x＝月份－１, 所以不妨取x＝２－１＝１,y＝２６．０． 代入①得yA ＝ ２６．０ ２５．８＞１≠cos π ６ ,故①不适合． 代入②得y－４６A ＝ ２６．０－４６ ２５．８ ＜０≠cos π ６ ,故②不适合． 所以应选③． 变式训练 ３．解:(１)设此三角函数模型是d＝Asin(ωt＋φ)＋b(t≥０),根 据题意可知周期T＝３７３ (h)． 所以 ω＝２πT ＝ ６π ３７ ,A＝dmax－dmin２ ＝ ８．４－２．８ ２ ＝２．８ ,b＝ dmax＋dmin ２ ＝ ８．４＋２．８ ２ ＝５．６ , 所以d＝２．８sin ６π３７t＋φ( )＋５．６(t≥０), 又因为当t＝２时,d取得最大值, 所以２．８sin １２π３７＋φ( )＋５．６＝８．４, 所以可取φ＝ １３π ７４ , 所以d＝２．８sin ６π３７t＋ １３π ７４( )＋５．６(t≥０)． (２)１０月４日１５:００相当于t＝３９,此时入口处水的深度d＝ ２．８sin ６π３７×３９＋ １３π ７４( )＋５．６＝８．４(米)． 随堂步步夯实 １．C　[根据题图可得函数的最小值为２, 有－３＋k＝２,k＝５,最大值为３＋k＝８．] ２．D　[当t＝０时,s＝２sin ０＋π４( )＝ ２,故①正确;smin＝－２, 故②正确;函数的最小正周期T＝２π,故③正确．] ３．A　[由题目可知y的最大值为５,所以５＝A×１＋２,得A＝ ３,由于T＝１５,所以ω＝２π１５． ] ４．解析:依题意,A＝３,ω＝２π２π ７ ＝７,φ＝ π ６ ,∴函数解析式为y＝ ３sin ７t＋π６( ) ,t∈[０,＋∞)． 答案:y＝３sin ７t＋π６( ) ,t∈[０,＋∞) ５．解:(１)由题意知 A＋b＝１４ , －A＋b＝－２,{ 解得 A＝８, b＝６,{ 易知T ２＝１４－２ ,所以T＝２４,所以ω＝π１２ , 易知８sin π１２×２＋φ( )＋６＝－２, 即sin π１２×２＋φ( )＝－１, 故 π １２×２＋φ＝－ π ２＋２kπ ,k∈Z, 又|φ|＜π,得φ＝－ ２π ３ , 所以y＝８sin π１２x－ ２π ３( )＋６(x∈[０,２４))． (２)当x＝９时,y＝８sin π１２×９－ ２π ３( )＋６ ＝８sinπ１２＋６＜８sin π ６＋６＝１０． 所以届时学校后勤应该开空调． 章末归纳提升　归纳提升 [例１]　[解]　(１)由题意得,得r＝ ３＋m２, 所以sinθ＝ m ３＋m２ ＝ ２４m． 因为m≠０,所以m＝± ５,故角θ是第二或第三象限角． 当m＝ ５时,r＝２ ２,点P 的坐标为(－ ３,５),角θ是第二 象限角, 所以cosθ＝xr ＝ － ３ ２ ２ ＝－ ６４ , tanθ＝yx ＝ ５ － ３ ＝－ １５３ , 当m＝－ ５时,r＝２ ２,点P 的坐标为(－ ３,－ ５),角θ是 第三象限角,所以cosθ＝xr ＝ － ３ ２ ２ ＝－ ６４ , tanθ＝yx ＝ － ５ － ３ ＝ １５３ ． (２)由题意知 sinx≥０, cosx－１２≥０ ,{ 即 sinx≥０, cosx≥１２ ,{ 如图,结合单位圆知: ２kπ≤x≤２kπ＋π(k∈Z), ２kπ－π３≤x≤２kπ＋ π ３ (k∈Z),{ 解得２kπ≤x≤２kπ＋π３ (k∈Z), ∴函数的定义域为 x ２kπ≤x≤２kπ＋π３ ,k∈Z{ }． 变式训练 １．解:(１)当α终边在第一象限时,取α终边上点P(１,３)． ∴|OP|＝ １０,∴sinα＝ ３ １０ ＝３ １０１０ ,cosα＝ １０１０ , tanα＝３, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 ３．关于函数y＝tan２x－π３ æ è ç ö ø ÷,下列说 法 正 确 的是 (　　) A．是奇函数 B．在区间 ０,π３ æ è ç ö ø ÷上单调递减 C．π６ ,０æ è ç ö ø ÷为图象的一个对称中心 D．最小正周期为π ４．函数y＝２tan３x＋π４ æ è ç ö ø ÷－５的单调递增区间是 　　　　． ５．求函数y＝tan π３x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷的定义域、周期、单调 区间和对称中心． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §８．三角函数的简单应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会用三角函数解决简单的实际问题 ２．体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 通过实际问题,构建三角函数数学模 型,重点提升学生的数学抽象、数学运 算和数学建模素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　 　 温 州 市 区 著 名 景 点———江心屿,江心屿上面 有座寺庙———江心寺,在江 心寺中题了一副非常知名 的对联．上联是:云朝朝 朝 朝朝 朝朝朝散;下联是:潮 长长 长长长 长长长消．该对联巧妙地运用了叠 字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面．下面是瓯 江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水 深的关系表: 时间 ０ １ ３ ６ ８ ９ １２ １５ １８ ２１ ２４ 水深 ６ ６．２５７．５ ５ ２．８４２．５ ５ ７．５ ５ ２．５ ５ 问题　仔细观察表中的数据,你能从中得到一些 什么信息? [知识梳理] [知识点一]　三角函数的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一 种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画 周期变 化 规 律、预 测 未 来 等 方 面 发 挥 重 要 作用． ２．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解 函数模型→检验． [知识点二]　函数y＝Asin(ωx＋φ),A＞０,􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋ω＞０中参数的物理意义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 y＝Asin(ωx＋φ), A＞０,ω＞０ 振幅是A ← 周期T＝２πω ← 频率f＝ １T ＝ ω ２π ← ωx＋φ是相位→ 当x＝０时的相 位φ称为初相 → 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在 建 模 过 程 中,散 点 图 的 作 用 是 什么? [知识点三]　四类周期现象模型 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋(１)潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈ [０,＋∞),A＞０,ω＞０)来表示． (２)单摆弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达 为y＝Asin(ωx＋φ),其中x表示时间,y表 示位移,A表示振幅,|ω|２π 表示频率,φ表示初 相位． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 (３)音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 y＝Asinωx,其中x表示时间,y表示纯音振 动时音叉的位移,|ω| ２π 表示纯音振动的频率 (对应音高),A表示纯音振动的振幅(对应音 强)． (４)交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋ φ),其中x表示时间,y表示电流,A 表示最 大电流,|ω| ２π 表示频率,φ表示初相位． [预习自测] １．弹簧振子的振幅为２cm,在６s内振子通过路 程是３２cm,由此可知该振子振动的 (　　) A．频率为１．５Hz　　　B．周期为１．５s C．周期为６s D．频率为６Hz ２．如图是一向右传播的绳波在 某一时刻绳子上各点的位置 图,经过１ ２ 周期后,乙的位置 将移至 (　　) A．x轴上 B．最低点 C．最高点 D．不确定 ３．函数y＝３sin １２x－ π ６ æ è ç ö ø ÷的初相为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　由模型图象解决问题 [例１]　已知电流I与时间t的 关系为I＝Asin(ωt＋φ)． (１)如 图 所 示 的 是 I＝ Asin(ωt＋φ)ω＞０,|φ|＜ π ２ æ è ç ö ø ÷ 在一个周期内的图象,根据图中数据求I＝ Asin(ωt＋φ)的解析式; (２)如果t在 任 意 一 段 １１５０ 的 时 间 内,电 流 I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值,那 么ω的最小正整数值是多少? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据图象写出解析式,然后求 最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知三角函数图象解决应用问题,首先 由图象确定三角函数的解析式,其关键 是确定参数A,ω,φ,同时在解题中注意 各个参数的取值范围． ２．处理物理学问题的策略 (１)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电 流、机械波等,其共同的特点是具有周 期性． (２)明确物理概念的意义,此类问题往往涉 及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知 其意义并与对应的三角函数知识结合 解题． 􀳀[变式训练] １．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游 客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从 高处俯瞰四周景色．如图,某摩天轮最高点距 离地面高度为１２０m,转盘直径为１１０m,设置 有４８个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转, 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转 一周大约需要３０min．游客甲坐上摩天轮的座 舱,开始转动tmin后距离地面的高度为H m, 如图以轴心O为原点,与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系,在转动一周的过程中,H 关于t的函数解析式为 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 第一章　三角函数 A．H＝５５sin π１５t－ π ２ æ è ç ö ø ÷,x∈(０,３０) B．H＝５５sin π１５t＋ π ２ æ è ç ö ø ÷,x∈(０,３０) C．H＝５５sin π１５t＋ π ２ æ è ç ö ø ÷＋５５,x∈(０,３０) D．H＝５５sin π１５t－ π ２ æ è ç ö ø ÷＋６５,x∈(０,３０) 　　　由模型解析式解决问题 [例２]　一根细线的一端固定,另一端悬挂一个 小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位 移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系 是s＝６sin２πt＋π６ æ è ç ö ø ÷． (１)画出它的图象; (２)回答以下问题: ①小球开始摆动(即t＝０)时,离开平衡位置是 多少? ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是 多少? ③小球来回摆动一次需要多少时间? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　根据图象研究物体的变化规律． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在物理学中,当物体做简谐运动时,可以用 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞０)来表 示运动的位移y随时间x 的变化规律, 其中: (１)A称为简谐运动的振幅,它表示物体运 动时离开平衡位置的最大位移; (２)T＝２πω 称为简谐运动的周期,它表示物 体往复运动一次所需的时间; (３)f＝１T＝ ω ２π 称为简谐运动的频率,它表 示单位时间内物体往复运动的次数． 􀳀[变式训练] ２．交流电的电压E(单位:伏)与时间t(单位:秒)的 关系可用E＝２２０３sin１００πt＋π６ æ è ç ö ø ÷来表示,求: (１)开始时的电压; (２)电压的最大值和第一次获得这个最大值的 时间． 　　　确定模型解决问题 [例３]　下表是某地某年月平均气温(华氏): 月份 １ ２ ３ ４ ５ ６ 平均气温 ２１．４２６．０３６．０４８．８５９．１ ６８．６ 月份 ７ ８ ９ １０ １１ １２ 平均气温 ７３．０７１．９６４．７５３．５３９．８ ２７．７ 以月份为x轴(x＝月份－１),以平均气温为 y轴． (１)描点作图,用正弦曲线去拟合这些数据; (２)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A; (３)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些 数据? ①yA＝cos πx ６ ;②y－４６A ＝cos πx ６ ; ③y－４６－A ＝cos πx ６． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　画出散点图,进行函数拟合, 选择正确的模型求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．根据收集的数据,先画出相应的“散点 图”,观察散点图,然后进行函数拟合获 得具体的函数模型,然后利用这个模型 解决实际问题． ２．解三角函数应用问题的基本步骤 审清 题意 读懂题目中的“文字”“图象”“符 号”等语言,理解所反映的实际问 题的背景,得出相应的数学问题 → 建立 函数 模型 ↓ 整理数据,引入变量,找出变化规 律,运用已掌握的三角函数知识、 物理知识及其他相关知识建立关 系式,即建立三角函数模型 → 解答 函数 模型 ↓ 利用所学的三角函数知识解答得 到的三角函数模型,求得结果→ 得出 结论 ↓ 将所得结论翻译成实际问题的答案→ 􀳀[变式训练] ３．某 港 口 相 邻 两 次 高 潮 发 生 的 时 间 间 隔 为 １２h２０min,低 潮 时 入 口 处 水 的 深 度 为 ２．８m,高潮时为８．４m,已知一次高潮发生在 １０月３日２:００． (１)若从１０月３日０:００开始计算时间,选用 一个三角函数模型来近似描述这个港口入口 处的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系; (２)求出１０月４日１５:００入口处水的深度． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如图,某港口一天６时到１８时的水深变化曲 线近似满足函数y＝３sin π６x＋φ æ è ç ö ø ÷＋k．据此函 数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 (　　) A．５　　B．６　　C．８　　D．１０ ２．弹簧上挂的小球做上下振动,它在时间t(s)时离 开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝ ２sint＋π４ æ è ç ö ø ÷,给出下列三种说法:①小球开始 时在平衡位置上方 ２cm处;②小球下降到最 低点时在平衡位置下方２cm处;③经过２πs 小球重复振动一次,其中正确的说法是(　　) A．①②　　　　　　　B．②③ C．①③ D．①②③ ３．如图是一半径为３m的水轮,水轮圆心O距离 水面２m,已知水轮１min旋转４圈,水轮上的 点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足的函 数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋２,则有 (　　) A．ω＝２π１５ ,A＝３ B．ω＝１５２π ,A＝３ C．ω＝２π１５ ,A＝５ D．ω＝１５２π ,A＝５ ４．已知一弹簧振子的位移y与时间t的函数关 系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A＞０,ω＞０),若已知 此振子的振幅为３,周期为２π７ ,初相为π ６ ,则这 个函数的解析式为　　　　． ５．通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化 的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象． 某年２月下旬某地区连续几天最高温度都出 现在１４时,最高温度为１４℃;最低温度出现 在凌晨２时,最低温度为零下２℃． (１)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋ φ)＋b(A＞０,ω＞０,|φ|＜π,x∈[０,２４))的表 达式; (２)２９日上午９时某高中将举行期末考试,如 果温度低于１０℃,教室就要开空调,请问届时 学校后勤应该开空调吗? 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰 第一章　三角函数