6.1探究ω对y= sinωx的图象的影&6.2探究φ对y = sin(x+φ)的图象的影响响-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求三角函数最值的两种基本类型 (１)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的形式,结合函数图象求最值． (２)将三角函数式化为关于cosx(或sinx)的 二次函数的形式,利用二次函数的性质 和有界性求最值． 􀳀[变式训练] ４．已知函数y＝acos２x＋π３ æ è ç ö ø ÷＋３,x∈ ０,π２[ ] 的最大 值为４,求实数a的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．用五点法作y＝２cosx－１在[０,２π]上的图象 时,应取的五点为 (　　) A．(０,１),π２ ,０æ è ç ö ø ÷,(π,－１),３π２ ,０æ è ç ö ø ÷,(２π,１) B．(０,１),π２ ,－１æ è ç ö ø ÷,(π,－３),３π２ ,－１æ è ç ö ø ÷,(２π,１) C．(０,１),(π,－３),(２π,１),(３π,－３),(４π,１) D．(０,１),π６ ,３－１æ è ç ö ø ÷,π ３ ,０æ è ç ö ø ÷,π ２ ,－１æ è ç ö ø ÷, ２π ３ ,－２æ è ç ö ø ÷ ２．下列函数中,在 π４ ,π ２[ ]上为减函数的是 (　　) A．y＝cos２x＋π３ æ è ç ö ø ÷　　B．y＝cos２x＋π４ æ è ç ö ø ÷ C．y＝cosx－π３ æ è ç ö ø ÷ D．y＝cosx＋π６ æ è ç ö ø ÷ ３．设a＝cosπ１２ ,b＝sin４１π６ ,c＝cos７π４ ,则 (　　) A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a ４．函数y＝２cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷ x∈ －π６ ,π ４[ ] æ è ç ö ø ÷ 的值 域为　　　． ５．求函数y＝ １２－cosx 的定义域． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §６．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 ６．１　探究ω对y＝sinωx的图象的影响 ６．２　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．结合具体实例,了解y＝sin(ωx＋φ)的实际意义 ２．能借助图象了解参数ω,φ的意义 ３．了解参数ω,φ对函数图象的影响 １．通过学习y＝sin(ωx＋φ)的图象,培养学生 数学抽象和直观想象素养 ２．通过对三角函数的图象变换,提升逻辑推 理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具, 因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使 用．明朝科学家徐光启在«农政全书»中用图画描 绘了筒车的工作原理如图． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 　　假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一 个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的 函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的 相对高度与时间的关系吗? [知识梳理] [知识点一]　常数ω,φ对函数y＝sin(ωx＋φ)􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 图象的影响 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．ω(ω＞０)对函数图象的影响 y＝sinx 图象上点的纵坐标保持不变 横坐标变为原来的１ ω →y＝sinωx． ２．φ对函数图象的影响 y＝sinx 当φ＞０时,图象向左平移|φ|个单位 当φ＜０时,图象向右平移|φ|个单位 →y＝ sin(x＋φ) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．由一般的函数f(x)的图象怎样得 到函数f(x＋a)的图象? ２．怎样把函数y＝sin(x＋φ)的图象变换为 y＝sinx的图象? ３．由y＝sinωx(ω＞０)的 图 象 得 到y＝ sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢? [知识点二]　函数y＝sin(ωx＋φ)(ω≠０)的􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 性质 􀪋􀪋 １．定义域:R ２．值域:[－１,１]． ３．周期:最小正周期T＝２π|ω|． ４．当ωx＋φ＝２kπ＋ π ２ ,k∈Z时,y最大值为１; 当ωx＋φ＝２kπ－ π ２ ,k∈Z时,y最小值为－１． 其他性质:函数y＝sin(ωx＋φ)周期的倒数 １ T ＝ω２π 为函数y＝sin(ωx＋φ)的频率．函数y＝ sin(ωx＋φ)中 通 常 称φ 为 初 相,ωx＋φ 为 相位． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．如何画出函数y＝sin(ωx＋φ)在一 个周期上的图象? [预习自测] １．函数y＝sin２x的最小正周期为 (　　) A．π２　　B．π　　C．２π　　D．４π ２．要得到y＝sin１３x 的图象 (　　) A．只需将函数y＝sinx的图象向右平移１３ 个 单位长度 B．只需将函数y＝sinx的图象上每一点纵坐 标不变,横坐标缩短到原来的１ ３ C．只需将函数y＝sinx的图象上每一点纵坐 标不变,横坐标伸长到原来的３倍 D．只需将函数y＝３sinx的图象上每一点纵 坐标伸长到原来的３倍,横坐标也伸长到 原来的３倍 ３．为了得到函数y＝sinx－π３ æ è ç ö ø ÷的图象,只需把 函数y＝sinx的图象 (　　) A．向左平移π３ 个单位长度 B．向右平移π３ 个单位长度 C．向上平移π３ 个单位长度 D．向下平移π３ 个单位长度 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５３􀅰 第一章　三角函数 　　　正弦型函数的周期 [例１]求下列函数的周期: (１)y＝sin２x＋π４ æ è ç ö ø ÷; (２)y＝sin －１２x＋ π ６ æ è ç ö ø ÷; (３)sin|２x|． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对于形如y＝sin(ωx＋φ)(ω≠０)的函数的 最小正周期的求法,常直接利用T＝２π|ω| 来 求解,对于形如y＝|sinωx|的函数的周期 情况常结合图象法来求解． 􀳀[变式训练] １．(１)函 数 y＝sin π２x－ π ４ æ è ç ö ø ÷,x∈R 的 周 期T＝　　　　． (２)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω≠０)的周期为 ３π,则ω＝　　　　． 　　　“五点法”作函数y＝sin(ωx＋φ)的图象 [例２]作出y＝sin２x＋π４ æ è ç ö ø ÷的图象． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用“五点法”作出一个周期 内的图象,然后按周期扩展． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的图象,实质是利用函数的三个零点、两 个最 值 点 画 出 函 数 在 一 个 周 期 内 的 图象． ２．“五点法” 作定区间上图象的关键是列表,列表的 方法是: ①计算x取端点值时ωx＋φ的范围; ②取出ωx＋φ范围内的“五点”,并计算 出相应的x值; ③利用ωx＋φ的值计算y值; ④描点(x,y),连线得到函数图象． ３．用“五点法”作函数y＝sin(ωx＋φ)图象 的步骤 　第一步:列表． ωx＋φ ０ π ２ π ３π ２ ２π x －φω π ２ω－ φ ω π ω－ φ ω ３π ２ω－ φ ω ２π ω－ φ ω y ０ １ ０ －１ ０ 　第二步:在同一坐标系中描出各点． 第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图 象． 􀳀[变式训练] ２．利用“五点法”作出函数y＝sin２x－π４ æ è ç ö ø ÷ 在一 个周期(闭区间)上简图． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６３􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 　　　函数y＝sin(ωx＋φ)的图象变换 [例３]将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数 y＝sin２x＋π４ æ è ç ö ø ÷的图象? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先做周期变换,再做相位变 换,也可以先做相位变换,再做周期变换． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 y＝sinx到y＝sin(ωx＋φ)的变换 (１)变换的要点: ①ω(ω＞０):纵坐标不变,横坐标变为 原来的１ ω 倍; ②φ:左右平移的单位是 φω ． (２)变换的方向:进行图象变换时还要注意 变换的顺序,分清是由哪一个函数变换 到另一个函数． 微提醒:三角函数图象的伸缩变换的实质 是对函数图象的各点的横坐标的伸缩和纵 坐标的伸缩变化． 􀳀[变式训练] ３．要得到函数y＝sin２x＋π３ æ è ç ö ø ÷的图象,只要将函 数y＝sin２x的图象 (　　) A．向左平移π３ 个单位长度 B．向右平移π３ 个单位长度 C．向左平移π６ 个单位长度 D．向右平移π６ 个单位长度 　　　y＝sin(ωx＋φ)的性质应用 [例４]函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞０,０≤φ≤ π ２ )在 x∈(０,７π)内只取到一个最大值和一个最小 值,且当x＝π时,最大值为１,当x＝６π时,最 小值为－１． (１)求此函数的解析式; (２)求此函数的单调递增区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　依据图象变换求ω,φ的值．再 把ωx＋φ看作一个整体,代入y＝sinx的 性质求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数y＝sin(ωx＋φ)单调性问题的解题 策略 求y＝sin(ωx＋φ)的单调区间时,首先 把x的系数ω化为正值,然后利用整体 代换,把ωx＋φ代入相应不等式中,求 出相应的自变量x的范围． ２．确定y＝sin(ωx＋φ)中参数φ的方法 (１)把图象上的一个已知点的坐标代入 来求; (２)寻找“五点作图法”中的某一个点来求, 具体如下:利用“第一点”(即图象上升 时与x轴的交点)时,令ωx＋φ＝０;利 用“第二点”(即图象的“峰点”)时,令 ωx＋φ＝ π ２ ;利用“第三点”时,令ωx＋φ ＝π;利用“第四点”(即图象的“谷点”) 时,令ωx＋φ＝ ３ ２π ;利用“第五点”时, 令ωx＋φ＝２π． 􀳀[变式训练] ４．设函数f(x)＝sin２x－π４ æ è ç ö ø ÷,x∈R． (１)求函数f(x)的最小正周期和单调递增 区间; (２)求函数f(x)在区间 π８ ,３π ４[ ] 上的最小值和 最大值,并求出取最值时x的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 第一章　三角函数 １．函数y＝sin ３２x＋ π ６ æ è ç ö ø ÷的最小正周期为(　　) A．３π２　　B． ２π ３　　C． ４π ３　　D． ３π ４ ２．将函数y＝sinx＋π６ æ è ç ö ø ÷(x∈R)的图象上所有 的点向左平移π ４ 个单位长度,再把图象上各点 的横坐标扩大到原来的２倍,则所得的图象的 解析式为 (　　) A．y＝sin２x＋５π１２ æ è ç ö ø ÷(x∈R) B．y＝sinx２＋ ５π １２ æ è ç ö ø ÷(x∈R) C．y＝sinx２－ π １２ æ è ç ö ø ÷(x∈R) D．y＝sinx２＋ ５π ２４ æ è ç ö ø ÷(x∈R) ３．设g(x)的图象是由函数f(x)＝sin π２＋２x æ è ç ö ø ÷ 的图象向左平移π ３ 个单位得到的,则g π６ æ è ç ö ø ÷ 等于 (　　) A．１　　　B．－１２　　　C．０　　　D．－１ ４．将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩 短到原来的１ ６ (纵坐标不变)得　　　　的 图象． ５．将函数y＝sinx的图象上所有点向左平移π３ 个单位,再把所得图象上各点横坐标扩大到原 来的２倍,求所得图象的函数解析式． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６．３　探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 [情境引入] １．若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数,则φ应满 足什么条件? ２．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)为偶函 数,则φ应满足什么条件? [知识梳理] [知识点一]　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中,􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋A,ω,φ的物理意义􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．振幅:　　　　． ２．初相:　　　　． ３．周期:　　　　　　． ４．频率:f＝　　＝　　　　． [知识点二]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋ω＞０)的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋根据函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)的图 象,我们可以得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞ ０,ω＞０)的性质． (１)定义域:R． (２)值域:[－A,A]．当x＝π２ω－ φ ω＋ ２kπ ω (k∈Z)时,y 取得最大值A;当x＝３π２ω－ φ ω＋ ２kπ ω (k∈Z) 时,y取得最小值－A． (３)单调性:由２kπ－π２≤ωx＋φ≤２kπ＋ π ２ , k∈Z,解得单调递增区间; 由２kπ＋π２≤ωx＋φ≤２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z,解得单 调递减区间． (４)奇偶性:当φ＝kπ(k∈Z)时,函数为奇函数; 当φ＝kπ＋ π ２ (k∈Z)时,函数为偶函数． (５)周期性:T＝２πω． (６)对称性:直线x＝π２ω－ φ ω＋ kπ ω (k∈Z)都是其 对称轴;点 －φω＋ kπ ω ,０æ è ç ö ø ÷(k∈Z)都是其对称 中心． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 [例３]　[解]　y＝３cos π３－ x ２( )＝３cos x ２－ π ３( )． 由２kπ－π≤x２－ π ３≤２kπ (k∈Z), 解得４kπ－４３π≤x≤４kπ＋ ２ ３π (k∈Z), ∴函数y＝３cos π３－ x ２( ) 的单调递增区间为 ４kπ－４３π ,４kπ＋２３π[ ](k∈Z)． 变式训练 ３．A　[函数y＝－２３cosx 的单调递减区间是[π＋２kπ,２π＋２kπ](k ∈Z),单调递增区间是[２kπ,π＋２kπ](k∈Z)． ∵x∈(０,２π),∴y＝－２３cosx 在(０,π)上是增函数,在[π,２π)上是 减函数．] [例４]　[解]　y＝３cos２x－４cosx＋１ ＝３cosx－２３( ) ２ －１３． ∵x∈ π３ ,２π ３[ ] ,∴cosx∈ － １ ２ ,１ ２[ ]． 从而当cosx＝－１２ ,即x＝２π３ 时,ymax＝ １５ ４ ; 当cosx＝１２ ,即x＝π３ ,ymin＝－ １ ４． ∴函数值域为 －１４ ,１５ ４[ ]． 变式训练 ４．解:∵x∈ ０,π２[ ] ,∴２x＋ π ３∈ π ３ ,４π ３[ ] , ∴－１≤cos２π＋π３( ) ≤ １ ２． 当a＞０,cos２x＋π３( )＝ １ ２ 时,y取得最大值１２a＋３ , ∴１２a＋３＝４ ,∴a＝２． 当a＜０,cos２x＋π３( )＝－１时,y取得最大值－a＋３, ∴－a＋３＝４,∴a＝－１, 综上可知,实数a的值为２或－１． 随堂步步夯实 １．B　[当x＝０时,y＝１;当x＝π２ 时,y＝－１;当x＝π时,y＝－３;当 x＝３π２ 时,y＝－１;当x＝２π时,y＝１．故选B．] ２．D　[当x∈ π４ ,π ２[ ] 时,x＋ π ６∈ ５π １２ ,２π ３[ ] , ∵y＝cosx在[０,π]上递减． 所以y＝cosx＋π６( ) 在 π ４ ,π ２[ ] 上递减．] ３．A　[b＝sin４１π６ ＝sin ６π＋ ５π ６( ) ＝sin ５π ６＝sin π ６＝cos π ３ ,c＝ cos７π４＝cos π ４ ,因为π ３＞ π ４＞ π １２ ,且y＝cosx在 ０,π( ) 上是单 调递减函数,所以a＞c＞b．] ４．解析:∵x∈ －π６ ,π ４[ ] , ∴２x＋π６∈ － π ６ ,２π ３[ ] , ∴cos２x＋π６( ) ∈ － １ ２ ,１[ ] , ∴该函数的值域为[－１,２]． 答案:[－１,２] ５．解:可以利用余弦函数的图象来解决．要使函数 有意义,需１ ２－cosx≥０ ,即cosx≤１２ , 则由图象可得定义域为 x|２kπ＋π３≤x≤２kπ＋ ５π ３ ,k∈Z{ }． §６．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 ６．１　探究ω对y＝sinωx的图象的影响 ６．２　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 课前预习学案　情境引入 　提示:因筒车上盛水筒的运动具有周期性,可以考虑利用三角函 数模型刻画它的运动规律． 知识梳理　[思考] １．提示:当a＞０时,将函数f(x)的图象向左平移a个单位;当a＜０ 时,向右平移－a个单位． ２．提示:只需把y＝sin(x＋φ)向右(φ＞０)或向左(φ＜０)平移|φ|个单 位长度即可得到y＝sinx的图象． ３．提示:∵y＝sin(ωx＋φ)＝sinω x＋φω( ) , ∴由y＝sinωx的图象向左(右)平移|φω| 个单位长度． ４．提示:令相位分别等于正弦函数五点法作图中的五点(０,０), π ２ ,１( ) ,(π,０),３π２,－１( ) ,(２π,０)的横坐标,求出x值作为横坐 标,纵坐标不变,五点法作图． 预习自测 １．B　２．C　３．B 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)y＝sin２x＋π４( ) ＝sin２x＋π４＋２π( )＝sin２(x＋π)＋ π ４[ ] , 所以周期为π． (２)y＝sin －１２x＋ π ６( ) 中,ω＝－ １ ２ ,周期T＝２π|ω|＝ ２π |－１２| ＝４π． (３)作图如下． 观察图象可知周期为π ２． 变式训练 １．解析:(１)T＝２ππ ２ ＝４． (２)T＝２π|ω|＝３π ,∴|ω|＝２３ ,∴ω＝±２３． 答案:(１)４　(２)±２３ [例２]　[解]　令X＝２x＋π４ ,则x＝１２ X－ π ４( )． 列表: X ０ π２ π ３π ２ ２π x －π８ π ８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ y ０ ２．５ ０ －２．５ ０ 描点连线,如图所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 变式训练 ２．解:第一步:列表． x π８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ ９π ８ ２x－π４ ０ π ２ π ３π ２ ２π sin２x－π４( ) ０ １ ０ －１ ０ 第二步:描点． 第三步:连线画出图象如图所示: [例３]　[解]　第一步:把y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短 到原来的１ ２ 倍,得y＝sin２x的图象; 第二步:将所得图象沿x轴向左平移π８ 个单位, 得y＝sin２x＋π８( ) ,即y＝sin２x＋ π ４( ) 的图象． 变式训练 ３．C　[因为y＝sin２x＋π３( )＝sin２x＋ π ６( ) ,所以将函数 y＝sin２x的图象向左平移π６ 个单位长度,就可得到函数 y＝sin２x＋π６( )＝sin２x＋ π ３( ) 的图象．] [例４]　[解]　(１)由题意得１２T＝５π ,所以T＝１０π, 所以ω＝２πT＝ １ ５ ,则y＝sin １５x＋φ( )． 因为点(π,１)在此函数图象上, 则sin π５＋φ( )＝１, 又因为０≤φ≤ π ２ ,有φ＝ π ２－ π ５＝ ３π １０ , 所以y＝sin １５x＋ ３π １０( )． (２)当－π２＋２kπ≤ １ ５x＋ ３π １０≤ π ２＋２kπ ,k∈Z, 即－４π＋１０kπ≤x≤π＋１０kπ,k∈Z时, 函数y＝sin １５x＋ ３π １０( ) 单调递增．所以此函数的单调递增区间 为[－４π＋１０kπ,π＋１０kπ](k∈Z)． 变式训练 ４．解:(１)最小正周期T＝２π２＝π , 由２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ (k∈Z),得kπ－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ (k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是 kπ－π８ ,kπ＋３π８[ ](k ∈Z)． (２)令t＝２x－π４ ,则由π ８≤x≤ ３π ４ ,可得０≤t≤５π４ , 所以当t＝５π４ ,即x＝３π４ 时,ymin＝－ ２ ２ ,所以当t＝π２ ,即x＝３π８ 时,ymax＝１． 随堂步步夯实 １．C ２．B　[原函数图象向左平移π４ 个单位后得y＝sinx＋π６＋ π ４( )＝ sinx＋５π１２( )(x∈R)的图象,再把图象上各点的横坐标扩大到原 来的２倍得y＝sin １２x＋ ５π １２( )(x∈R)的图象．] ３．D　[由f(x)＝sin π２＋２x( ) 的图象向左平移 π ３ 个单位得到的 是g(x)＝sin２ π２＋２x＋ π ３( )[ ]＝sin２x＋ ７π ６( ) 的图象, 则g π６( )＝sin２× π ６＋ ７π ６( )＝sin ３π ２＝－１． ] ４．解析:依题意知将y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的 １ ６ 后可得y＝sin６x的图象． 答案:y＝sin６x ５．解析:将函数y＝sinx的图象上所有点向左平移π３ 个单位可得函 数y＝sinx＋π３( ) ,再把所得图象上各点横坐标扩大到原来的２ 倍,即可变为y＝sin １２x＋ π ３( )． ６．３　探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 课前预习学案　情境引入 １．提示:因为y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数,所以f(０)＝０,因此sinφ＝ ０,所以φ＝kπ,k∈Z． ２．提示:因为y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数,所以f(０)＝A 或f(０)＝ －A,即Asinφ＝A或Asinφ＝－A,所以有φ＝kπ＋ π ２ ,k∈Z． 知识梳理　知识点一 １．|A|　２．φ　３．T＝ ２π |ω|　４． １ T　 |ω| ２π 知识点二 [思考] 　提示:对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言,A与ω的正负影响单 调性,如果ω＜０,可以利用诱导公式sin(－α)＝－sinα将负号转 化到函数符号外,再求相应单调区间． 预习自测 １．A　２．A　　３．x＝kπ２＋ π ３ (k∈Z) 课堂互动学案 [例１]　[解]　列表如下所示: x ２＋ π ６ ０ π ２ π ３π ２ ２π x －π３ ２π ３ ５π ３ ８π ３ １１π ３ y ０ ２ ０ －２ ０ 描点作图如图所示: 把 －π３ ,１１π ３[ ] 上的图象向左、向右扩展,即可得它的简图． 由函数的图象可知函数的定义域为R,值域为[－２,２],周期为T ＝２πω＝４π ,f＝１T＝ １ ４π ,初相φ＝ π ６ ,最大值为２,最小值为－２． 令２kπ－π２≤ x ２＋ π ６≤２kπ＋ π ２ (k∈Z),得原函数的增区间为 ４kπ－４π３ ,４kπ＋２π３[ ](k∈Z)． 令２kπ＋π２≤ x ２＋ π ６≤２kπ＋ ３π ２ (k∈Z),得原函数的减区间为 ４kπ＋２π３ ,４kπ＋８π３[ ](k∈Z)． 令x ２＋ π ６＝kπ＋ π ２ (k∈Z), 得原函数的对称轴x＝２kπ＋２π３ (k∈Z)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２２􀅰 参考答案