5.2余弦函数的图象与性质再认识-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

５．２　余弦函数的图象与性质再认识 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能正确使用“五点法”、图象变换法等画出余弦函数的简图 ２．能类比正弦函数的图象与性质得出余弦函数的图象与性质 能通过用不同的方法得到余弦函数 的图象与性质,提升逻辑推理和直 观想象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　过 山 车 是 一 项 富 有 刺 激性的娱乐工具．那种风驰 电掣、有惊无险的快感令不 少人着迷．过山车的运动包 含了许多物理学原理,人们 在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能 亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一 起产生的效果,那感觉真是妙不可言．一个过山 车的基本构造包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山 车没有倒转)等几个循环路径． 问题１　函数y＝cosx的图象也象过山车一样 “爬升”、“滑落”,这是它的什么性质? 问题２　过山车爬升到最高点,接着滑落到最低点, 然后再爬升,对应y＝cosx的什么性质?y＝cosx 在什么位置取得最值? [知识梳理] [知识点一]　余弦函数的图象 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　把正弦函数y＝sinx的图象向左平移π２ 个单 位长度就得到余弦函数y＝cosx的图象,该 图象称为余弦曲线． 也可以用五点法画余弦函数的图象． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在[０,２π]上画余弦函数图象的五 个关键点是什么? [知识点二]　余弦函数的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义域:R ２．周期性:最小正周期是２π． ３．单调性:单调增区间:[(２k－１)π,２kπ](k∈Z),单 调减区间:[２kπ,(２k＋１)π](k∈Z)． ４．值域:[－１,１]． 当x＝２kπ,k∈Z时余弦函数y＝cosx取得最 大值１;当x＝(２k＋１)π,k∈Z时,余弦函数y ＝cosx取得最小值－１． ５．奇偶性:余弦函数y＝cosx在R上是偶函数． ６．对称性:对称轴x＝kπ,k∈Z, 对称中心 kπ＋π２ ,０æ è ç ö ø ÷,k∈Z． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．y＝cosx(x∈R)的图象可由y＝ sinx(x∈R)的图象平移得到的原因是 什么? ３．余弦函数在[－π,π]上,函数值的变化有 什么特点? 推广到整个定义域呢? ４．利用平移法作余弦函数图象的依据是什 么? 为什么不能利用sin π２－x æ è ç ö ø ÷＝cosx 来确定平移的方向和单位长度? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 第一章　三角函数 [知识点三]　正弦函数、余弦函数的图象、性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 对比 􀪋􀪋 函数 y＝sinx y＝cosx 图象 定义域 　　　　 　　　　 值域 　　　　 　　　　 奇偶性 　　　　 　　　　 周期性 最小正周期:　　 最小正周期:　　 最值 当　　　　　　　 时,ymax＝１; 当　　　　　　　 时,ymin＝－１ 当　　　　　　 时,ymax＝１; 当　　　　　　 时,ymin＝－１ 单调性 在　　　　　　　 　　　　　　　　 上单调递增; 在　　　　　　　 　　　上单调递减 在　　　　　　 　　　　　上 单 调递增;在　　　 　　　　　　上 单调递减 零点 kπ,k∈Z π２＋kπ ,k∈Z 续表 对称轴 x＝π２＋kπ ,k∈Z x＝kπ,k∈Z 对称 中心 (kπ,０)(k∈Z) π ２＋kπ ,０æ è ç ö ø ÷ (k∈Z) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．正弦函数在定义域上是增函数,而 余弦函数在定义域上是减函数,这种说法 对吗? [预习自测] １．函数f(x)＝cos４x,x∈R是 (　　) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为π２ 的偶函数 D．最小正周期为π２ 的奇函数 ２．y＝sin ２x＋π２ æ è ç ö ø ÷ 是　　　　函数(填“奇”或 “偶”)． ３．函数y＝－cosx的单调递减区间是　　　　;单 调递增区间是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　余弦函数图象的作法 [例 １]　作 出 函 数y＝３＋２cosx 在 闭 区 间 [０,２π]上的图象,并求函数y＝３＋２cosx在R 上的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　利用五点法或平移法作图． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．作余弦(型)函数图象的方法 (１)五点作图法;(２)图象变换法;(３)平移 坐标轴． ２．用“五点法”画余弦曲线y＝cosx 在 [０,２π]上的图象时,所取的五个关键点 分 别 为 (０,１), π２ ,０æ è ç ö ø ÷,(π,－１), ３π ２ ,０æ è ç ö ø ÷,(２π,１)． ３．作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b),x ∈[０,２π]的图象的三个步骤 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀳀[变式训练] １．画出函数y＝cos２x－π３ æ è ç ö ø ÷,x∈[０,π]的图象． 　利用单调性比较大小 [例２](１)cos１５π８ 与cos１４π９ 的 大 小 关 系 是 　　　　　　　．(用“＞”连接) (２)cos１,cos２,cos３的大小关系是　　　．(用 “＞”连接) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用诱导公式,把自变量化至 同一单调区间,利用y＝cosx的单调性比 较大小． [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角函数值大小比较的策略 (１)利用诱导公式,对于余弦函数来说,一 般 将 两 个 角 转 化 到 [－π,０]或 [０,π]内． (２)不同名的函数化为同名的函数． (３)自变量不在同一单调区间化至同一单 调区间内,借助余弦函数的单调性来 比较大小． 􀳀[变式训练] ２．已知０≤x≤２π,试探索sinx与cosx的大小 关系． 　　　余弦函数的单调性 [例３]　求函数y＝３cos π３－ x ２ æ è ç ö ø ÷ 的单调递增 区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　令u＝x２－ π ３ ,代入y＝cosu 的单调区间． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思 想．即将ωx＋φ看作一个整体,利用基本 三角函数的单调性来求复杂三角函数的单 调区间．若x的系数为负,通常利用诱导公 式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的 定义域． 􀳀[变式训练] ３．函数y＝－２３cosx ,x∈(０,２π)的单调性是 (　　) A．在(０,π]上是增函数,在[π,２π)上是减函数 B．在 ０,π２ æ è ç ], ３π２,２π[ ö ø ÷ 上 是 增 函 数,在 π ２ ,３π ２[ ]上是减函数 C．在[π,２π)上是增函数,在(０,π]上是减函数 D．在 π２ ,３π ２[ ] 上 是 增 函 数,在 ０, π ２ æ è ç ], ３π ２ ,２π[ ö ø ÷上是减函数 　　　余弦函数的值域(最值) [例４]　求函数y＝３cos２x－４cosx＋１,x∈ π ３ ,２π ３[ ]的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　y＝f(x)可看作关于cosx的 二次函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 第一章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求三角函数最值的两种基本类型 (１)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的形式,结合函数图象求最值． (２)将三角函数式化为关于cosx(或sinx)的 二次函数的形式,利用二次函数的性质 和有界性求最值． 􀳀[变式训练] ４．已知函数y＝acos２x＋π３ æ è ç ö ø ÷＋３,x∈ ０,π２[ ] 的最大 值为４,求实数a的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．用五点法作y＝２cosx－１在[０,２π]上的图象 时,应取的五点为 (　　) A．(０,１),π２ ,０æ è ç ö ø ÷,(π,－１),３π２ ,０æ è ç ö ø ÷,(２π,１) B．(０,１),π２ ,－１æ è ç ö ø ÷,(π,－３),３π２ ,－１æ è ç ö ø ÷,(２π,１) C．(０,１),(π,－３),(２π,１),(３π,－３),(４π,１) D．(０,１),π６ ,３－１æ è ç ö ø ÷,π ３ ,０æ è ç ö ø ÷,π ２ ,－１æ è ç ö ø ÷, ２π ３ ,－２æ è ç ö ø ÷ ２．下列函数中,在 π４ ,π ２[ ]上为减函数的是 (　　) A．y＝cos２x＋π３ æ è ç ö ø ÷　　B．y＝cos２x＋π４ æ è ç ö ø ÷ C．y＝cosx－π３ æ è ç ö ø ÷ D．y＝cosx＋π６ æ è ç ö ø ÷ ３．设a＝cosπ１２ ,b＝sin４１π６ ,c＝cos７π４ ,则 (　　) A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a ４．函数y＝２cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷ x∈ －π６ ,π ４[ ] æ è ç ö ø ÷ 的值 域为　　　． ５．求函数y＝ １２－cosx 的定义域． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §６．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 ６．１　探究ω对y＝sinωx的图象的影响 ６．２　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．结合具体实例,了解y＝sin(ωx＋φ)的实际意义 ２．能借助图象了解参数ω,φ的意义 ３．了解参数ω,φ对函数图象的影响 １．通过学习y＝sin(ωx＋φ)的图象,培养学生 数学抽象和直观想象素养 ２．通过对三角函数的图象变换,提升逻辑推 理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具, 因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使 用．明朝科学家徐光启在«农政全书»中用图画描 绘了筒车的工作原理如图． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 ５．解:首先作出y＝sinx在[０,２π]上的图象,如图所示,作直线y＝ １ ２ ,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y＝sinx,x∈[０,２π]的 交点横坐标为π ６ 和５π ６． 作直线y＝ ３２ ,该直线与y＝sinx,x∈[０,２π]的交点横坐标为 π ３ 和２π ３． 观察图象可知,在[０,２π]上,当 π６＜x≤ π ３ 或２π ３≤x＜ ５π ６ 时,不 等式１ ２＜sinx≤ ３ ２ 成立． 所以１ ２＜sinx≤ ３ ２ 的解集为 x π６＋２kπ＜x≤ π ３＋２kπ ,k∈Z{ } 或 x ２π３＋２kπ≤x＜ ５π ６＋２kπ ,k∈Z{ }． ５．２　余弦函数的图象与性质再认识 课前预习学案　情境引入 １．提示:单调性． ２．提示:最值,波峰,波谷． 知识梳理　[思考] １．提示:画余弦函数图象的五个关键点分别是(０,１), π２ ,０( ) , (π,－１), ３２π ,０( ) ,(２π,１)． ２．提示:因为cosx＝sin x＋π２( ) ,所以y＝sinx(x∈R)的图 象向左平移 π ２ 个单位长度可得y＝cosx(x∈R)的图象． ３．提示:观察图象可知: 当x∈[－π,０]时,曲线逐渐上升,是增函数,cosx的值由－１ 增大到１; 当x∈[０,π]时,曲线逐渐下降,是减函数,cosx的值由１减 小到－１． 推广到整个定义域可得 当x∈[２kπ－π,２kπ],k∈Z时,余弦函数y＝cosx是增函 数,函数值由－１增大到１; 当x∈[２kπ,(２k＋１)π],k∈Z时,余弦函数y＝cosx是减函 数,函数值由１减小到－１． ４．提示:平移法作余弦函数图象主要依据诱导公式sin x＋π２( ) ＝cosx．显然在诱导公式sin π２－x( ) ＝cosx 中,两个函数 的解析式中自变量的系数符号相反,所以不能利用该公式确 定平移方向和单位长度． 知识点三 　R　R　[－１,１]　[－１,１]　奇函数　偶函数　２π　２π x＝π２＋２kπ (k∈Z)　x＝－π２＋２kπ (k∈Z)　x＝２kπ(k∈Z)　 x＝π＋２kπ(k∈Z)　 －π２＋２kπ[ , π ２＋２kπ](k∈Z)　 π ２＋２kπ[ , ３π ２＋２kπ](k∈Z)　[－π＋２kπ,２kπ](k∈Z)　[２kπ,π ＋２kπ](k∈Z) [思考] ５．提示:不正确．正弦函数在每个闭区间 ２kπ－π２ ,２kπ＋π２[ ](k∈ Z)上是增函数,并不是在整个定义域上是增函数,同样的,余弦函 数在闭区间[２kπ,２kπ＋π](k∈Z)上是减函数,并不是在整个定义 域上是减函数． 预习自测 １．C　２．偶　３．[－π＋２kπ,２kπ](k∈Z)　[２kπ,２kπ＋π](k∈Z) 课堂互动学案 [例１]　[解]　列表、描点、连线得函数y＝３＋２cosx在闭区间[０, ２π]上的图象,如图中实线所示． 根据图象可知,函数y＝３＋２cosx在[０,２π]上的最大值为５,最小 值为１,又函数的周期为２π,故函数y＝３＋２cosx在R上的值域 为[１,５]． x ０ π２ π ３π ２ ２π y＝cosx １ ０ －１ ０ １ y＝３＋２cosx ５ ３ １ ３ ５ 变式训练 １．解:①列表: x ０ π６ ５π １２ ２π ３ １１π １２ π ２x－π３ － π ３ ０ π ２ π ３π ２ ５π ３ cos２x－π３( ) １ ２ １ ０ －１ ０ １ ２ ②描点画图,如图． [例２]　[解析]　(１)cos１５π８ ＝cos π ８ ,cos１４π９ ＝cos ４π ９ ,因为０＜π８ ＜４π９＜π ,而y＝cosx在[０,π)上单调递减, 所以cosπ８＞cos ４π ９ ,即cos１５π８ ＞cos １４π ９ ． (２)由于０＜１＜２＜３＜π,而y＝cosx在[０,π)上单调递减,所以 cos１＞cos２＞cos３． [答案]　(１)cos１５π８ ＞cos １４π ９ 　 (２)cos１＞cos２＞cos３ 变式训练 ２．解:用“五点法”作出y＝ sinx,y＝cosx(０≤x≤ ２π)的简图． 由图象可知,①当x＝ π ４ 或x＝５π４ 时,sinx＝ cosx; ②当π４＜x＜ ５π ４ 时,sinx＞cosx; ③当０≤x＜π４ 或５π ４＜x≤２π 时,sinx＜cosx． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１２􀅰 参考答案 [例３]　[解]　y＝３cos π３－ x ２( )＝３cos x ２－ π ３( )． 由２kπ－π≤x２－ π ３≤２kπ (k∈Z), 解得４kπ－４３π≤x≤４kπ＋ ２ ３π (k∈Z), ∴函数y＝３cos π３－ x ２( ) 的单调递增区间为 ４kπ－４３π ,４kπ＋２３π[ ](k∈Z)． 变式训练 ３．A　[函数y＝－２３cosx 的单调递减区间是[π＋２kπ,２π＋２kπ](k ∈Z),单调递增区间是[２kπ,π＋２kπ](k∈Z)． ∵x∈(０,２π),∴y＝－２３cosx 在(０,π)上是增函数,在[π,２π)上是 减函数．] [例４]　[解]　y＝３cos２x－４cosx＋１ ＝３cosx－２３( ) ２ －１３． ∵x∈ π３ ,２π ３[ ] ,∴cosx∈ － １ ２ ,１ ２[ ]． 从而当cosx＝－１２ ,即x＝２π３ 时,ymax＝ １５ ４ ; 当cosx＝１２ ,即x＝π３ ,ymin＝－ １ ４． ∴函数值域为 －１４ ,１５ ４[ ]． 变式训练 ４．解:∵x∈ ０,π２[ ] ,∴２x＋ π ３∈ π ３ ,４π ３[ ] , ∴－１≤cos２π＋π３( ) ≤ １ ２． 当a＞０,cos２x＋π３( )＝ １ ２ 时,y取得最大值１２a＋３ , ∴１２a＋３＝４ ,∴a＝２． 当a＜０,cos２x＋π３( )＝－１时,y取得最大值－a＋３, ∴－a＋３＝４,∴a＝－１, 综上可知,实数a的值为２或－１． 随堂步步夯实 １．B　[当x＝０时,y＝１;当x＝π２ 时,y＝－１;当x＝π时,y＝－３;当 x＝３π２ 时,y＝－１;当x＝２π时,y＝１．故选B．] ２．D　[当x∈ π４ ,π ２[ ] 时,x＋ π ６∈ ５π １２ ,２π ３[ ] , ∵y＝cosx在[０,π]上递减． 所以y＝cosx＋π６( ) 在 π ４ ,π ２[ ] 上递减．] ３．A　[b＝sin４１π６ ＝sin ６π＋ ５π ６( ) ＝sin ５π ６＝sin π ６＝cos π ３ ,c＝ cos７π４＝cos π ４ ,因为π ３＞ π ４＞ π １２ ,且y＝cosx在 ０,π( ) 上是单 调递减函数,所以a＞c＞b．] ４．解析:∵x∈ －π６ ,π ４[ ] , ∴２x＋π６∈ － π ６ ,２π ３[ ] , ∴cos２x＋π６( ) ∈ － １ ２ ,１[ ] , ∴该函数的值域为[－１,２]． 答案:[－１,２] ５．解:可以利用余弦函数的图象来解决．要使函数 有意义,需１ ２－cosx≥０ ,即cosx≤１２ , 则由图象可得定义域为 x|２kπ＋π３≤x≤２kπ＋ ５π ３ ,k∈Z{ }． §６．函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 ６．１　探究ω对y＝sinωx的图象的影响 ６．２　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 课前预习学案　情境引入 　提示:因筒车上盛水筒的运动具有周期性,可以考虑利用三角函 数模型刻画它的运动规律． 知识梳理　[思考] １．提示:当a＞０时,将函数f(x)的图象向左平移a个单位;当a＜０ 时,向右平移－a个单位． ２．提示:只需把y＝sin(x＋φ)向右(φ＞０)或向左(φ＜０)平移|φ|个单 位长度即可得到y＝sinx的图象． ３．提示:∵y＝sin(ωx＋φ)＝sinω x＋φω( ) , ∴由y＝sinωx的图象向左(右)平移|φω| 个单位长度． ４．提示:令相位分别等于正弦函数五点法作图中的五点(０,０), π ２ ,１( ) ,(π,０),３π２,－１( ) ,(２π,０)的横坐标,求出x值作为横坐 标,纵坐标不变,五点法作图． 预习自测 １．B　２．C　３．B 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)y＝sin２x＋π４( ) ＝sin２x＋π４＋２π( )＝sin２(x＋π)＋ π ４[ ] , 所以周期为π． (２)y＝sin －１２x＋ π ６( ) 中,ω＝－ １ ２ ,周期T＝２π|ω|＝ ２π |－１２| ＝４π． (３)作图如下． 观察图象可知周期为π ２． 变式训练 １．解析:(１)T＝２ππ ２ ＝４． (２)T＝２π|ω|＝３π ,∴|ω|＝２３ ,∴ω＝±２３． 答案:(１)４　(２)±２３ [例２]　[解]　令X＝２x＋π４ ,则x＝１２ X－ π ４( )． 列表: X ０ π２ π ３π ２ ２π x －π８ π ８ ３π ８ ５π ８ ７π ８ y ０ ２．５ ０ －２．５ ０ 描点连线,如图所示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册