4.4诱导公式与旋转-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角函数式的化简方法 (１)利用诱导公式将任意角的三角函数转 化为锐角三角函数． (２)常用“切化弦”法,即通常将表达式中的 切函数化为弦函数． (３)注意“１”的变形应用． 􀳀[变式训练] ３．化简: (１)cos (－α)sin(７π＋α) sin(π－α)􀅰cos(３π＋α) ; (２)sin (１４４０°＋α)􀅰cos(α－１０８０°) cos(－１８０°－α)􀅰sin(－α－１８０°)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．cos －１７π４ æ è ç ö ø ÷的值为 (　　) A．－ ２２　　　　　　B．－ ３ ３ C．２２ D． ３ ２ ２．已知sin π３－α æ è ç ö ø ÷＝１３ ,则sin２π３＋α æ è ç ö ø ÷＝(　　) A．１３ B．－ １ ３ C．２ ３３ D．－ ２ ３ ３ ３．计算sin(－１５６０°)cos(－９３０°)－cos(－１３８０°)􀅰 sin１４１０°等于　　　　． ４．已 知sin(４５°＋α)＝ ５１３ ,则 sin(２２５°＋α) ＝　　　　． ５．已知f(α)＝sin (π＋α)cos(２π－α) sin(－π－α) ． (１)化简f(α); (２)若α是第三象限角,且sin(α－π)＝１５ ,求 f(α)的值(注:sin２α＋cos２α＝１); (３)若α＝－３１π３ ,求f(α)的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．４　诱导公式与旋转 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握诱导公式的推导,并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 ２．对诱导公式,能作综合归纳,体会出公式的共性与个性,培养由特殊到 一般的数学推理意识和能力 ３．继续体会知识的“发生”“发现”过程,培养研究问题、发现问题、解决问 题的能力 通过诱导公式的应用提 升数学抽象和逻辑推理 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　留恋于湖光山色,观山赏水,看山在水中倒 映,山的巍峨、水的柔媚在那一刻融合􀆺􀆺如果 你的手中拿着一个度数为α的角的模型,你观察 一下湖中的这个角的模型与你手中的这个角的 模型有什么关系? 你当然会准确地回答出来:对 称! 角α关于水平面对称的角的度数是多少? 这两个角的三角函数值有什么关系呢? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 [知识梳理] [知识点一]　诱导公式 α＋π２ æ è ç ö ø ÷的推导 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．终边关系 设锐角α的终边与单位圆交于点P(u,v),将 终边绕点O沿逆时针方向旋转π２ 得到点P′, 即α＋π２ 的终边与单位圆交于点P′． ２．图形 ３．公式 sinα＋π２ æ è ç ö ø ÷＝cosα, cosα＋π２ æ è ç ö ø ÷＝－sinα, 以－α代替α,则sin π２－α æ è ç ö ø ÷＝cosα, cos π２－α æ è ç ö ø ÷＝sinα． [知识点二]　诱导公式２kπ±α(k∈Z)的推导 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．设α为任意角,则２kπ＋α、２kπ－α的终边与α 的终边的对应关系如表: 相关角 终边之间的对应关系 ２kπ＋α与α 终边相同 ２kπ－α与α 关于x轴对称 ２．对任意角α,有下列关系式成立: sin(２kπ＋α)＝sinα,cos(２kπ＋α)＝cosα． sin(２kπ－α)＝－sinα,cos(２kπ－α)＝cosα． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．视α为锐角,则诱导公式中各角所在 象限是什么? [知识点三]　诱导公式的抽象概括 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z) sin(α＋２kπ)＝sinα　cos(α＋２kπ)＝cosα sin(－α)＝－sinα　cos(－α)＝cosα sin(α＋π)＝sin(π＋α)＝－sinα cos(α＋π)＝cos(π＋α)＝－cosα sin(α－π)＝－sinα　cos(α－π)＝－cosα sin(π－α)＝sinα　cos(π－α)＝－cosα sinα＋π２ æ è ç ö ø ÷＝sin π２＋α æ è ç ö ø ÷＝cosα cosα＋π２ æ è ç ö ø ÷＝cos π２＋α æ è ç ö ø ÷＝－sinα sin π２－α æ è ç ö ø ÷＝cosα　cos π２－α æ è ç ö ø ÷＝sinα 通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导 公式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．诱导公式中的角α只能是锐角? [预习自测] １．若sin π２＋θ æ è ç ö ø ÷＜０,且cos π２－θ æ è ç ö ø ÷＞０,则θ是 (　　) A．第一象限角　　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ２．已知sinα＝２３ ,则cos π２－α æ è ç ö ø ÷＝　　　　． ３．已知cosπ６－α æ è ç ö ø ÷＝２３ ,则sin π３＋α æ è ç ö ø ÷＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　利用诱导公式求值 [例１]已知sin π３－α æ è ç ö ø ÷＝１２ ,求cos π６＋α æ è ç ö ø ÷􀅰 sin２π３＋α æ è ç ö ø ÷的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　先化简,再求值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知三角函数值,求其他三角函数值的解 题思路 (１)观察:①观察已知的角和所求角的差 异,寻求角之间的关系; ②观察已知的三角函数名与所求的三 角函数名的差异． (２)转化:运用诱导公式将不同的角转化为 相同的角;将不同名的三角函数化为同 名的三角函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 第一章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(３)注意:如π３－α 与π ６＋α ,π ３＋α 与π ６－α , π ４－α 与π ４＋α 等互余,π ３＋θ 与２π ３－θ , π ４＋θ 与３π ４－θ 等互补,遇到此类问题, 不妨考虑两个角的和,要善于利用角的 变换来解决问题． 􀳀[变式训练] １．(１)已知cosπ２＋φ æ è ç ö ø ÷＝３２ ,且|φ|＜ π ２ ,则sinφ＝ (　　) A．－ ３２　　B． ３ ２　　C．－ ３　　D．３ (２)cos π１２－θ æ è ç ö ø ÷＝１３ ,则sin５π１２＋θ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．１３ B． ２ ２ ３ C．－１３ D．－ ２ ２ ３ 　　　利用诱导公式化简三角函数式 [例２]化简: (１)cos (α－π) sin(π－α) 􀅰sinα－π２ æ è ç ö ø ÷cos π２＋α æ è ç ö ø ÷; (２) sin(２π－α)sin(－２π－α)sin３π２＋α æ è ç ö ø ÷ cos(２π－α)sin(α－π)cos３π２－α æ è ç ö ø ÷ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思 路 点 拨 ] 　 确定角的变换 → 确定诱导公式 → 代入公式化简 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用诱导公式进行化简时的注意点 (１)化简后项数尽可能的少． (２)函数的种类尽可能的少． (３)分母不含三角函数的符号． (４)能求值的一定要求值． (５)含有较高次数的三角函数式,多用因式 分解、约分等． 􀳀[变式训练] ２．已 知 角 α 终 边 上 一 点 P (－４,３),化 简 cos π２＋α æ è ç ö ø ÷sin(－π－α) cos１１π２ －α æ è ç ö ø ÷sin９π２＋α æ è ç ö ø ÷ ． 　　　利用诱导公式证明恒等式 [例３]求证: sinθ＋cosθ sinθ－cosθ＝ ２sinθ－３π２ æ è ç ö ø ÷cosθ＋π２ æ è ç ö ø ÷－１ １－２sin２(π＋θ) (其 中sin２θ＋cos２θ＝１)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　先化简,再证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角恒等式的证明的策略 (１)遵循的原则:在证明时一般从左边到右 边,或从右边到左边,或左右归一,应遵 循化繁为简的原则． (２)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角 法、公式变形法、“１”的代换法． 􀳀[变式训练] ３．求证:cos (６π＋θ)sin(－２π－θ) cos３π２＋θ æ è ç ö ø ÷sin３π２＋θ æ è ç ö ø ÷ ＝１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 　　　诱导公式的综合应用 [例 ４] 在 △ABC 中,若 sin(２π－A)＝ － ２sin(π－B),３cosA＝－ ２cos(π－B),求 △ABC的三个内角(其中sin２A＋cos２A＝１)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先利用诱导公式化简已知的两 个等式,然后结合sin２A＋cos２A＝１,求 出 cosA的值,再利用A＋B＋C＝π进行求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．诱导公式综合应用要“三看” 一看角:①化大为小;②看角与角间的联 系,可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称:一般是弦切互化． 三看式子结构:通过分析式子,选择合适 的方法,如分式可对分子分母同乘一个 式子变形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋２．利用诱导公式解决三角形中有关问题的 基本方法 利用诱导公式解决三角形中有关问题 时,既要注意综合运用诱导公式、同角三 角函数的基本关系式,还要注意三角形 的 隐 含 条 件———三 角 形 内 角 和 等 于 １８０°,以及下面的公式的灵活运用． 　在△ABC中,常用到以下结论: sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC, cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC, sinA２＋ B ２ æ è ç ö ø ÷＝sin π２－ C ２ æ è ç ö ø ÷＝cosC２ , cosA２＋ B ２ æ è ç ö ø ÷＝cos π２－ C ２ æ è ç ö ø ÷＝sinC２． 􀳀[变式训练] ４．如图,以Ox为始边作角α与β (０＜β＜α＜π),它们的终边分 别与单位圆相交于点P,Q,已 知点P的坐标为 －３５ ,４ ５ æ è ç ö ø ÷． (１)求 ３sin(π－α)＋５sinα－１１π２ æ è ç ö ø ÷ ２cos(－α)－cosα＋７π２ æ è ç ö ø ÷ 的值; (２)若α＝β＋ π ２ ,求２sinβcosβ－２cosβ的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．cos π１２－θ æ è ç ö ø ÷＝１３ ,则sin５π１２＋θ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．１３　　　　　　B． ２ ２ ３ C．－１３ D．－ ２ ２ ３ ２．若cos(α＋π)＝－２３ ,则sin－α－３π２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．２３ B．－ ２ ３ C．５３ D．－ ５ ３ ３．化简sinα＋π２ æ è ç ö ø ÷􀅰cosα－３π２ æ è ç ö ø ÷的结果是 (　　) A．１ B．sinαcosα C．－sinαcosα D．－１ ４．sin９５°＋cos１７５°的值为　　　　． ５．已知sinα是方程５x２－７x－６＝０的根,α是第 三象限角,求 sin －α－３π２ æ è ç ö ø ÷cos３π２－α æ è ç ö ø ÷ cos π２－α æ è ç ö ø ÷sin π２＋α æ è ç ö ø ÷ 的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 第一章　三角函数 ５．解:(１)f(α)＝－sinαcosαsinα ＝－cosα． (２)∵sin(α－π)＝－sinα＝１５ , ∴sinα＝－１５． 又α是第三象限角, ∴cosα＝－２ ６５ ．∴f (α)＝２ ６５ ． (３)∵－３１π３ ＝－６×２π＋ ５π ３ , ∴f －３１π３( )＝－cos －６×２π＋ ５π ３( ) ＝－cos５π３＝－cos π ３＝－ １ ２． ４．４　诱导公式与旋转 课前预习学案　知识梳理　[思考] １．提示: 角 ２kπ＋α π－α π＋α －α ２kπ－α 所在 象限 一 二 三 四 四 ２．提示:不一定．诱导公式中角α不仅可以是锐角,还可以是任 意角． 预习自测 １．B　　２．２３　３． ２ ３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　cos π６＋α( ) 􀅰sin ２π ３＋α( ) ＝cos π２－ π ３－α( )[ ] 􀅰sin π－ π ３－α( )[ ] ＝sin π３－α( ) 􀅰sin π ３－α( ) ＝１２× １ ２＝ １ ４． 变式训练 １．解析:(１)由cos π２＋φ( )＝－sinφ＝ ３ ２ , 得sinφ＝－ ３ ２． (２)∵cos π１２－θ( )＝ １ ３ , ∴sin ５π１２＋θ( )＝sin π ２－ π １２－θ( )[ ] ＝cos π１２－θ( )＝ １ ３ ,故选 A． 答案:(１)A　(２)A [例２]　[解]　(１)原式＝cos [－(π－α)] sinα 􀅰sin － π２－α( )[ ] 􀅰 (－sinα) ＝cos (π－α) sinα 􀅰 －sin π２－α( )[ ](－sinα) ＝－cosαsinα 􀅰(－cosα)(－sinα) ＝－cos２α． (２)原式＝ sin(－α)sin(－α)sin π＋ π２＋α( )[ ] cos(－α)sin[－(π－α)]cos π＋ π２－α( )[ ] ＝ －sinα(－sinα) －sin(π２＋α )[ ] －cosαsin(π－α) －cos π２－α( )[ ] ＝ sinαsinα (－cosα) －cosαsinα(－sinα) ＝－sinαsinαcosαcosαsinαsinα ＝－１． 变式训练 ２．解:原式－sinα 􀅰sinα －sinα􀅰cosα＝ sinα cosα． 因为角α终边上一点P(－４,３),所以角α是第二象限角,所 以cosα＝－４５ ,sinα＝３５ ,所以原式＝－３４． [例３]　[证明]　右边＝ －２sin ３π２－θ( ) 􀅰(－sinθ)－１ １－２sin２θ ＝ ２sin π＋ π２－θ( )[ ]sinθ－１ １－２sin２θ ＝ －２sin π２－θ( )sinθ－１ １－２sin２θ ＝ －２cosθsinθ－１ cos２θ＋sin２θ－２sin２θ ＝ (sinθ＋cosθ)２ sin２θ－cos２θ ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ ＝左边,所以原等式成立． 变式训练 ３．证明:左边＝ cosθsin (－θ) cos π２＋θ( )sin π ２＋θ( ) ＝cosθ (－sinθ) －sinθcosθ ＝１＝ 右边． 所以原等式成立． [例４]　[解]　由已知得 sinA＝ ２sinB　① , ３cosA＝ ２cosB　②,{ 由①２＋②２,得２cos２A＝１,∴cosA＝± ２２． 当cosA＝ ２２ 时,cosB＝ ３２． 又A,B 是三角形的内角,∴A＝π４ ,B＝π６． ∴C＝π－(A＋B)＝７１２π． 当cosA＝－ ２２ 时,cosB＝－ ３２． 又A,B 是三角形的内角,∴A＝３４π ,B＝５６π． ∵A＋B＞π, ∴cosA＝－ ２２ 不符合题意,舍去． 综上可知,A＝π４ ,B＝π６ ,C＝７１２π． 变式训练 ４．解:(１)由题意得cosα＝－３５ ,sinα＝４５ , ∴ ３sin(π－α)＋５sinα－１１π２( ) ２cos(－α)－cosα＋７π２( ) ＝３sinα＋５cosα２cosα－sinα ＝ ３×４５＋５× － ３ ５( ) ２× －３５( )－ ４ ５ ＝３１０． (２)由题得β＝α－ π ２ , ∴sinβ＝－cosα＝ ３ ５ ,cosβ＝sinα＝ ４ ５ , ∴２sinβcosβ－２cosβ＝２× ３ ５× ４ ５－２× ４ ５＝－ １６ ２５． 随堂步步夯实 １．A 　 [∵ cos π１２－θ( ) ＝ １ ３ , ∴ sin ５π１２＋θ( ) ＝ sin π２－ π １２－θ( )[ ]＝cos π １２－θ( )＝ １ ３ ,故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１２􀅰 参考答案 ２．A　[因为cos(α＋π)＝－cosα＝－２３ ,所以cosα＝２３． 所以 sin －α－３π２( )＝cosα＝ ２ ３． ] ３．C　[因为sinα＋π２( )＝cosα,cosα－ ３π ２( ) ＝cos π＋ π２－α( )[ ]＝－sinα,所以原式＝ cosα(－sinα)＝－sinαcosα,故选 C．] ４．解析:sin９５°＋cos１７５°＝sin(９０°＋５°)＋cos(１８０°－５°) ＝cos５°－cos５°＝０． 答案:０ ５．解:方程５x２－７x－６＝０的两根为x１＝－ ３ ５ ,x２＝２, 由α是第三象限角,得sinα＝－３５ , 则cosα＝－４５ , ∴ sin －α－３π２( )cos ３π ２－α( ) cos π２－α( )sin π ２＋α( ) ＝ sin π２－α( )cos π ２＋α( ) sinαcosα ＝cosα (－sinα) sinαcosα ＝－１． §５．正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 ５．１　正弦函数的图象与性质再认识 第一课时　正弦函数的图象与性质再认识(一) 课前预习学案　情境引入 　(１)提示:每相隔１个单位重复出现． (２)提示:自变量x增加２π的整数倍时,函数值重复出现,图 象发生“周而复始”的变化． 知识梳理　[思考] １．提示:是　２kπ(k∈Z,k≠０)都是它的周期． ２．提示:对称轴之间的距离相差了π的整数倍．对称中心之间 也相差了π的整数倍． 预习自测 １．２　２．D　３．奇 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)∵２sin x３－ π ６＋２π( )＝２sin x ３－ π ６( ) , 即２sin １３ (x＋６π)－π６[ ]＝２sin x ３－ π ６( ) , ∴y＝２sin x３－ π ６( ) 的周期是６π． (２)∵|sin(π＋x)|＝|－sinx|＝|sinx|． ∴函数y＝|sinx|的周期是π． 变式训练 １．解:sin －π３＋ ５π ３( )＝sin ４π ３＝sin π＋ π ３( ) ＝－sinπ３ , 而sin －π３( )＝－sin π ３． ∴上述等式成立． 但不能说明５π ３ 是y＝sinx的周期． 理由如下:若５π ３ 为y＝sinx的周期, 则对任意实数x都有sin x＋５π３( )＝sinx, 但当x＝０时,sin x＋５π３( ) ≠sinx, 所以５π ３ 不是y＝sinx的周期． [例２]　[解]　(１)显然x∈R, f(－x)＝ ２sin(－２x)＝－ ２sin２x＝－f(x), ∴函数f(x)＝ ２sin２x是奇函数． (２)∵x∈R,f(x)＝sin ３x４＋ ３π ２( )＝－cos ３x ４ , ∴f(－x)＝－cos３ (－x) ４ ＝－cos ３x ４＝f (x), ∴函数f(x)＝sin ３x４＋ ３π ２( ) 是偶函数． 变式训练 ２．解:(１)y＝sinx,x∈(－π,２π), 定义域不关于原点对称, ∴y＝sinx,x∈(－π,２π)为非奇非偶函数． (２)y＝sinx＋１,x∈R, ∵f π２( )＝２,f － π ２( )＝０, ∴f －π２( ) ≠f π ２( ) ,f － π ２( ) ≠－f π ２( )． 所以y＝sinx＋１为非奇非偶函数． (３)y＝sin３x,x∈R, f(－x)＝sin[３(－x)]＝sin(－３x)＝－sin３x＝－f(x), ∴y＝sin３x为奇函数． [例３]　[解]∵f(x)的最小正周期是π, ∴f ５π３( )＝f ５π ３－２π( )＝f － π ３( )． ∵f(x)是 R上的偶函数, ∴f －π３( )＝f π ３( )＝sin π ３＝ ３ ２． ∴f ５π３( )＝ ３ ２． 变式训练 ３．(１)B　[f(x)＝ ２sin x＋π４＋φ( ) 为奇函数,则只需 π ４ ＋φ ＝kπ,k∈Z,从而φ＝kπ－ π ４ ,k∈Z． 显然当k＝０时,φ＝－ π ４ 满足题意．] (２)解析:∵f x＋π２( )＝－f(x),∴f(x＋π)＝f(x),即T＝ π,f ５π３( )＝f ５π ３－２π( )＝f － π ３( ) ＝f π３( )＝１． 答案:１ 随堂步步夯实 １．A　[由于x∈R,且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x), 所以f(x)为奇函数．] ２．ABC　[对于 D,x∈(－１,１)时的图象与其他区间图象不同, 不是周期函数．] ３．B　 [因 为 f(x)＝sin ２x－π２( ) ＝ －sin π ２－２x( ) ＝ －cos２x,所以该函数的最小正周期为π,且为偶函数,故选B．] ４．D　[当θ＝０时,f(x)＝sinx在[０,π]上不单调,故 A 不正 确;当θ＝π２ 时,f(x)＝cosx在[０,π]上单调递减,故B不正 确;当θ＝π时,f(x)＝－sinx在[０,π]上不单调,故C不正确; 当θ＝３π２ 时,f(x)＝ －cosx 在 [０,π]上 单 调 递 增,故 D 正确．] ５．解:(１)y＝|sinx|,定义域为 R． ∴f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x), ∴y＝|sinx|是偶函数． (２)y＝cos ３π２＋x( )＝sinx,定义域为 R, ∴y＝cos ３π２＋x( ) 为奇函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册