4.3诱导公式与对称-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

４．３　诱导公式与对称 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．借助单位圆推导诱导公式(一)(二)(三) ２．了解诱导公式的意义和作用 ３．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和 证明问题 １．通过学习诱导公式的推导培养学生 数学直观和数学抽象素养 ２．根据诱导公式的应用提升逻辑推理 和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如图,作P１ 关于原点 的对称点P２,以OP２ 为终 边的角β与角α 有什么关 系? 角β,α的三角函数值 之间有什么关系? [知识梳理] [知识点]　诱导公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 (１)诱导公式 公式一 公式二 公式三 终 边 关 系 角－α与角α 的终边关于x 轴对称． 角α±π与角 α的终边关于 原点对称． 角π－α与角 α 的 终 边 关 于y轴对称． 图 形 公 式 sin(－α)＝ 　　　　, cos(－α)＝ 　　　　． sin(α＋π)＝ 　　　,cos(α ＋π)＝－cosα, sin(α－π)＝ －sinα,cos(α－ π)＝　　　　． sin(π－α)＝ 　 　 　 　, cos(π－α)＝ 　　　　． (２)本质:单位圆中,终边关于原点、x轴、y轴对 称的角的三角函数之间的关系． (３)作用: 公式一 将负角转化为正角求值． 公式二 将０~２π的 角 转 化 为０~π的 角 求值． 公式三 将π ２~π 的 角 转 化 为 ０~π２ 的 角 求值． (４)应用:通过诱导公式,将任意角的三角函数转 化为锐角三角函数,广泛应用于计算、化简、证明 之中． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．从函数名称和符号变化两个方面观 察公式一至公式三,你能发现什么规律? ２．诱导公式中角α不能是锐角吗? [预习自测] １．sin５８５°的值为 (　　) A．－ ２２　　B． ２ ２　　C．－ ３ ２　　D． ３ ２ ２．sin －２π３ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ３２　　B．－ １ ２　　C． ３ ２　　D． １ ２ ３．cos(－３０°)＝　　　　,sin２π３＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 　　　给角求值问题 [例１]求下列各三角函数值: (１)cos１７π６ ; (２)sin(－８５５°); (３)cos３π４＋sin １１π ６ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　注意不同角之间的关系． (１)１７π６ ＝２π＋ ５π ６ ; (２)－８５５°＝－(２×３６０°＋１３５°); (３)３π４＝π－ π ４ ,１１π ６ ＝２π－ π ６． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 􀳀[变式训练] １．求下列各三角函数式的值: (１)cos２１０°; (２)sin１１π４ ; (３)sin －４３π６ æ è ç ö ø ÷; (４)cos(－１９２０°)． 　　　给值(式)求值问题 [例２]已知cosπ６－α æ è ç ö ø ÷＝３３ ,求cos５π６＋α æ è ç ö ø ÷的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　５π６＋α＝π－ π ６－α æ è ç ö ø ÷,利用诱 导公式把要求角用已知角整体表示． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)解决条件求值问题时,首先要仔细观察 条件与所求式之间的角、函数名称及有 关运算之间的差异及联系． (２)可以将已知式进行变形向所求式转化, 或将所求式进行变形向已知式转化． 􀳀[变式训练] ２．(１)已知A＝sin (kπ＋α) sinα ＋ cos(kπ＋α) cosα (k∈Z),则 A构成的集合是 (　　) A．{－１,１,－２,２}　　B．{１,－１} C．{２,－２} D．{－２,－１,０,１,２} (２)已知cos(α－５５°)＝－１３ ,且α为第四象限 角,并且sin２α＋cos２α＝１,则sin(α＋１２５°)＝ 　　　　． 　　　化简求值问题 [例３]已知α是第四象限角,且 f(α)＝sin (π－α)cos(２π－α)sin(－α＋２π) cos(－α＋π)sin(３π－α) (其 中,sin２α＋cos２α＝１)． (１)化简f(α); (２)若cosα＝３５ ,求f(α); (３)若α＝－３１π３ ,求f(α)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用诱导公式将任意角的三 角函数转化为锐角的三角函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 第一章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角函数式的化简方法 (１)利用诱导公式将任意角的三角函数转 化为锐角三角函数． (２)常用“切化弦”法,即通常将表达式中的 切函数化为弦函数． (３)注意“１”的变形应用． 􀳀[变式训练] ３．化简: (１)cos (－α)sin(７π＋α) sin(π－α)􀅰cos(３π＋α) ; (２)sin (１４４０°＋α)􀅰cos(α－１０８０°) cos(－１８０°－α)􀅰sin(－α－１８０°)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．cos －１７π４ æ è ç ö ø ÷的值为 (　　) A．－ ２２　　　　　　B．－ ３ ３ C．２２ D． ３ ２ ２．已知sin π３－α æ è ç ö ø ÷＝１３ ,则sin２π３＋α æ è ç ö ø ÷＝(　　) A．１３ B．－ １ ３ C．２ ３３ D．－ ２ ３ ３ ３．计算sin(－１５６０°)cos(－９３０°)－cos(－１３８０°)􀅰 sin１４１０°等于　　　　． ４．已 知sin(４５°＋α)＝ ５１３ ,则 sin(２２５°＋α) ＝　　　　． ５．已知f(α)＝sin (π＋α)cos(２π－α) sin(－π－α) ． (１)化简f(α); (２)若α是第三象限角,且sin(α－π)＝１５ ,求 f(α)的值(注:sin２α＋cos２α＝１); (３)若α＝－３１π３ ,求f(α)的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．４　诱导公式与旋转 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握诱导公式的推导,并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 ２．对诱导公式,能作综合归纳,体会出公式的共性与个性,培养由特殊到 一般的数学推理意识和能力 ３．继续体会知识的“发生”“发现”过程,培养研究问题、发现问题、解决问 题的能力 通过诱导公式的应用提 升数学抽象和逻辑推理 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　留恋于湖光山色,观山赏水,看山在水中倒 映,山的巍峨、水的柔媚在那一刻融合􀆺􀆺如果 你的手中拿着一个度数为α的角的模型,你观察 一下湖中的这个角的模型与你手中的这个角的 模型有什么关系? 你当然会准确地回答出来:对 称! 角α关于水平面对称的角的度数是多少? 这两个角的三角函数值有什么关系呢? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 变式训练 ４．解:(１)因为１２０°角是第二象限角, 所以cos１２０°＜０． 因为２６９°角在第三象限内,所以sin２６９°＜０． 所以cos１２０°sin２６９°＞０． (２)因为π＜４＜３π２ ,所以４弧度角是第三象限角, 所以cos４＜０,因为－２３π４ ＝－６π＋ π ４ , 所以－２３π４ 是第一象限角,所以sin －２３π４( ) ＞０, 所以cos４sin －２３π４( ) ＜０． 随堂步步夯实 １．B　[∵y＝cosx的定义域为 R． ∴y＝２＋１３cosx 的定义域为 R．] ２．B　[f(x)＝cosx－π６( ) 的最小正周期为２π．] ３．B　[∵π２＜α＜π ,∴cosα＜０,sinα＞０． ∴点Q 在第二象限．] ４．解析:如图． ymax＝１． ymin＝－ １ ２． 答案:１　－１２ ５．解:当x＝－π６ 时,ymax＝１, 当x＝π２ 时,ymin＝－２． ４．３　诱导公式与对称 课前预习学案　情境引入 　提示　β＝π＋α,P１ 与P２ 横坐标,纵坐标都互为相反数． 知识梳理　知识点 (１)－sinα　cosα　－sinα　－cosα　sinα　－cosα [思考] １．提示:函数的名称都没有变化,符号随角的象限而变化．简 记:函数名不变,符号看象限． ２．提示:诱导公式中角α可以是任意角． 预习自测 １．A　２．A　　３．３２　 ３ ２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)cos１７π６ ＝cos ２π＋ ５π ６( )＝cos ５π ６ ＝cos π－π６( ) ＝－cosπ６＝－ ３ ２． (２)sin(－８５５°)＝－sin８５５°＝－sin(２×３６０°＋１３５°) ＝－sin１３５°＝－sin(１８０°－４５°)＝－sin４５°＝－ ２２． (３)原式＝cos π－π４( )＋sin ２π－ π ６( ) ＝－cosπ４－sin π ６＝－ ２ ２－ １ ２＝－ ２＋１ ２ ． 变式训练 １．解:(１)cos２１０°＝cos(１８０°＋３０°)＝－cos３０°＝－ ３２． (２)sin１１π４ ＝sin ２π＋ ３π ４( )＝sin ３π ４＝ sin π－π４( )＝sin π ４＝ ２ ２． (３)sin －４３π６( )＝－sin ６π＋ ７π ６( )＝－sin ７π ６ ＝－sin π＋π６( )＝sin π ６＝ １ ２． (４)cos(－１９２０°)＝cos１９２０°＝cos(５×３６０°＋１２０°)＝cos１２０° ＝cos(１８０°－６０°)＝－cos６０°＝－１２． [例２]　[解]　cos ５π６＋α( )＝cos π－ π ６－α( )[ ] ＝－cos π６－α( )＝－ ３ ３． 变式训练 ２．解析:(１)当k为偶数时,A＝２;当k为奇数时,A＝－２．故A 构成的集合为{－２,２}． (２)因为cos(α－５５°)＝－１３＜０ ,且α为第四象限角,所以α －５５°是第三象限角, 所以sin(α－５５°)＝－ １－cos２(α－５５°)＝－２ ２３ , 所以sin(α＋１２５°)＝sin[１８０°＋(α－５５°)] ＝－sin(α－５５°)＝２ ２３ ． 答案:(１)C　(２)２ ２３ [例３]　[解]　(１)f(α)＝－sinαcosαsinα－cosαsinα ＝sinα． (２)因为cosα＝３５ ,且α是第四象限角, 所以f(α)＝sinα＝－ １－cos２α＝－ １－９２５＝－ ４ ５． (３)f －３１π３( )＝sin － ３１π ３( )＝sin － π ３( ) ＝－sinπ３＝－ ３ ２． 变式训练 ３．解:(１)原式＝ cosαsin (π＋α) sinα􀅰cos(π＋α) ＝cosα 􀅰(－sinα) sinα􀅰(－cosα)＝１． (２)原式＝sin (４×３６０°＋α)􀅰cos(３×３６０°－α) cos(１８０°＋α)􀅰[－sin(１８０°＋α)] ＝sinα 􀅰cos(－α) (－cosα)􀅰sinα＝ cosα －cosα＝－１． 随堂步步夯实 １．C　[cos －１７π４( ) ＝cos １７π ４ ＝cos ４π＋ π ４( ) ＝cos π ４ ＝ ２ ２ , 故选 C．] ２．A　[sin ２π３＋α( )＝sin π－ π ３－α( )[ ]＝sin π ３－α( )＝ １ ３． ] ３．解析:sin(－１５６０°)cos(－９３０°)－cos(－１３８０°)􀅰sin１４１０° ＝sin(－４×３６０°－１２０°)cos(－３×３６０°＋１５０°)－cos(－４× ３６０°＋６０°)sin(４×３６０°－３０°) ＝sin(－１２０°)cos１５０°－cos６０°sin(－３０°) ＝－ ３２× － ３ ２ æ è ç ö ø ÷＋１２× １ ２＝ ３ ４＋ １ ４＝１． 答案:１ ４．解析:sin(２２５°＋α)＝sin[(４５°＋α)＋１８０°] ＝－sin(４５°＋α)＝－５１３． 答案:－５１３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 ５．解:(１)f(α)＝－sinαcosαsinα ＝－cosα． (２)∵sin(α－π)＝－sinα＝１５ , ∴sinα＝－１５． 又α是第三象限角, ∴cosα＝－２ ６５ ．∴f (α)＝２ ６５ ． (３)∵－３１π３ ＝－６×２π＋ ５π ３ , ∴f －３１π３( )＝－cos －６×２π＋ ５π ３( ) ＝－cos５π３＝－cos π ３＝－ １ ２． ４．４　诱导公式与旋转 课前预习学案　知识梳理　[思考] １．提示: 角 ２kπ＋α π－α π＋α －α ２kπ－α 所在 象限 一 二 三 四 四 ２．提示:不一定．诱导公式中角α不仅可以是锐角,还可以是任 意角． 预习自测 １．B　　２．２３　３． ２ ３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　cos π６＋α( ) 􀅰sin ２π ３＋α( ) ＝cos π２－ π ３－α( )[ ] 􀅰sin π－ π ３－α( )[ ] ＝sin π３－α( ) 􀅰sin π ３－α( ) ＝１２× １ ２＝ １ ４． 变式训练 １．解析:(１)由cos π２＋φ( )＝－sinφ＝ ３ ２ , 得sinφ＝－ ３ ２． (２)∵cos π１２－θ( )＝ １ ３ , ∴sin ５π１２＋θ( )＝sin π ２－ π １２－θ( )[ ] ＝cos π１２－θ( )＝ １ ３ ,故选 A． 答案:(１)A　(２)A [例２]　[解]　(１)原式＝cos [－(π－α)] sinα 􀅰sin － π２－α( )[ ] 􀅰 (－sinα) ＝cos (π－α) sinα 􀅰 －sin π２－α( )[ ](－sinα) ＝－cosαsinα 􀅰(－cosα)(－sinα) ＝－cos２α． (２)原式＝ sin(－α)sin(－α)sin π＋ π２＋α( )[ ] cos(－α)sin[－(π－α)]cos π＋ π２－α( )[ ] ＝ －sinα(－sinα) －sin(π２＋α )[ ] －cosαsin(π－α) －cos π２－α( )[ ] ＝ sinαsinα (－cosα) －cosαsinα(－sinα) ＝－sinαsinαcosαcosαsinαsinα ＝－１． 变式训练 ２．解:原式－sinα 􀅰sinα －sinα􀅰cosα＝ sinα cosα． 因为角α终边上一点P(－４,３),所以角α是第二象限角,所 以cosα＝－４５ ,sinα＝３５ ,所以原式＝－３４． [例３]　[证明]　右边＝ －２sin ３π２－θ( ) 􀅰(－sinθ)－１ １－２sin２θ ＝ ２sin π＋ π２－θ( )[ ]sinθ－１ １－２sin２θ ＝ －２sin π２－θ( )sinθ－１ １－２sin２θ ＝ －２cosθsinθ－１ cos２θ＋sin２θ－２sin２θ ＝ (sinθ＋cosθ)２ sin２θ－cos２θ ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ ＝左边,所以原等式成立． 变式训练 ３．证明:左边＝ cosθsin (－θ) cos π２＋θ( )sin π ２＋θ( ) ＝cosθ (－sinθ) －sinθcosθ ＝１＝ 右边． 所以原等式成立． [例４]　[解]　由已知得 sinA＝ ２sinB　① , ３cosA＝ ２cosB　②,{ 由①２＋②２,得２cos２A＝１,∴cosA＝± ２２． 当cosA＝ ２２ 时,cosB＝ ３２． 又A,B 是三角形的内角,∴A＝π４ ,B＝π６． ∴C＝π－(A＋B)＝７１２π． 当cosA＝－ ２２ 时,cosB＝－ ３２． 又A,B 是三角形的内角,∴A＝３４π ,B＝５６π． ∵A＋B＞π, ∴cosA＝－ ２２ 不符合题意,舍去． 综上可知,A＝π４ ,B＝π６ ,C＝７１２π． 变式训练 ４．解:(１)由题意得cosα＝－３５ ,sinα＝４５ , ∴ ３sin(π－α)＋５sinα－１１π２( ) ２cos(－α)－cosα＋７π２( ) ＝３sinα＋５cosα２cosα－sinα ＝ ３×４５＋５× － ３ ５( ) ２× －３５( )－ ４ ５ ＝３１０． (２)由题得β＝α－ π ２ , ∴sinβ＝－cosα＝ ３ ５ ,cosβ＝sinα＝ ４ ５ , ∴２sinβcosβ－２cosβ＝２× ３ ５× ４ ５－２× ４ ５＝－ １６ ２５． 随堂步步夯实 １．A 　 [∵ cos π１２－θ( ) ＝ １ ３ , ∴ sin ５π１２＋θ( ) ＝ sin π２－ π １２－θ( )[ ]＝cos π １２－θ( )＝ １ ３ ,故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１２􀅰 参考答案