第一章 三角函数 3孤度制-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

§３．弧度制 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解弧度的角的定义,了解弧度制的概念,能进行角度与弧度之间 的互化 ２．体会引入弧度制的必要性 ３．理解弧度制下弧长与面积公式 通过学习弧度制的有关概念 及表示,重点培养学生的数 学抽象、直观想象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] １．在初中学过的角度制中,１度的角是如何规 定的? ２．在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时 用“尺”作单位,有不同的单位制,度量质量时, 可以使用“千克”“磅”等不同的单位制,角的度 量除 了 角 度 制 之 外,是 否 也 有 不 同 的 单 位 制呢? [知识梳理] [知识点一]　度量角的单位制 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制, 规定周角的　　　　等于１度,记作１°． ２．弧度制 (１)单位圆 半径为单位长度　　的圆． (２)弧度制的定义 在单位圆中,把长度等于　　的弧所对的圆 心角称为　　　　,用符号rad表示,读作 弧度． 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧 度制． (３)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个　　　;负角的弧度数 是一个　　　;零角的弧度数是　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．１弧度的定义中,１弧度的角的大小 与圆的半径是否有关系? [知识点二]　角度与弧度的换算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 ３６０°＝　　rad ２πrad＝　　 １８０°＝πrad πrad＝　　 １°＝　　rad≈　　　rad １rad＝　　　　 ≈　　　　　 ２．常用特殊角在两种制度下的对应关系 度 ０° １５°３０°４５°６０°７５°９０°１２０°１３５°１５０° 弧 度 ０ π１２ π ６ π ４ π ３ ５π １２ π ２ ２π ３ ３π ４ ５π ６ 度 １８０°２１０°２２５°２４０°２７０°３００°３１５°３３０°３６０° 弧 度 π ７π６ ５π ４ ４π ３ ３π ２ ５π ３ ７π ４ １１π ６ ２π 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．角度制、弧度制都是角的度量制,那 么它们之间换算的关键是什么? ３．－３０°转化为弧度是多少弧度? ２π３ 转化为角 度是多少度? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 第一章　三角函数 [知识点三]　扇形的弧长及面积公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为α(n°),则 　 　度量单位 类别　　　 n为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝　　 l＝　　 扇形的面积 S＝　　　 S＝　　　 ＝　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．在弧度制下,扇形的弧长公式与面积 公式中有四个量α、r、l、S,根据公式已知几个 量可以求其他量呢? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．你认为式子|α|＝lr 中,比值l r 与所取的圆的 半径大小是否有关? [预习自测] １．下列语句正确的是 (　　) A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度等于半径的圆弧所对的圆 周角 C．一弧度的圆心角所对的弧长为１ D．一弧度的圆心角所夹弧长等于半径 ２．下列各式正确的是 (　　) A．π＝１８０　　　　　　　　B．π＝３．１４ C．９０°＝π２rad D．１rad＝π ３．已知扇形的圆心角为６０°,半径为２,则扇形的 弧长为　　　,扇形的面积为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　角度制与弧度制的换算 [例１](１)把２０２°３０′化成弧度; (２)把－５１２π 化成角度; (３)已知α＝１５°,β＝ π １０ ,γ＝１rad,θ＝１０５°,φ＝ ７π １２ ,试比较α、β、γ、θ、φ的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　第(１)(２)小题可直接利用１°＝ π １８０rad ,１rad＝ １８０π æ è ç ö ø ÷°进行转化,第(３)小题可 先统一单位,由于用弧度表示的角较多,可统 一为弧度,再根据实数大小进行比较． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．角度与弧度的理解 (１)引入弧度制后,角的集合与实数集建立 了一一对应关系． (２)用角度制和弧度制来度量零角,单位不 同,但数量相同(都是０);用角度制和 弧度制度量任意非零角,单位不同,数 量也不同． (３)牢记１８０°＝πrad,充分利用其进行角 度制与弧度制互化． (４)角度的单位“􀳱”不可省略,而弧度的单 位“rad”可以省略． (５)在同一个式子中,角度、弧度不能混合 使用． ２．解答角度与弧度的互化问题的关键在于 抓住“π＝１８０°”这一关系,由它可以得: 度数× π１８０＝ 弧度数,弧度数× １８０π æ è ç ö ø ÷°＝ 度数,同时还要牢记一些特殊角的度数 与弧度数的对应关系． ３．将角度化为弧度,当角度制中含有“分” “秒”单位时,应先将它们统一化为“度” 表示,再利用“１°＝ π１８０rad ”化为弧度 即可． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀳀[变式训练] １．将下列角度与弧度进行互化: (１)５１１６π ;(２)－７π１２ ;(３)１０°;(４)－８５５°． 　　　用弧度制表示任意角 [例２]用弧度制表示终边在坐标轴上的角的 集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先表示出终边在x轴、y轴上 的角的集合,再求它们的并集． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．弧度制下角的集合表示 可联想角度制下的角的集合表示,再转 化为弧度制,求象限角、区域角亦然．难 点是区间合并时,要做到准确无误．如本 题中,前一集合是以π ２ 的偶数倍表示,后 一集合是以π ２ 的奇数倍表示,两者合并, 即用π ２ 的整数倍表示． ２．用弧度制表示终边相同角的两个关注点 (１)用弧度制表示终边相同的角２kπ＋α(k ∈Z)时,其中２kπ是π的偶数倍,而不 是整数倍． (２)还要注意角度制与弧度制不能混用． 􀳀[变式训练] ２．已知α１＝－５７０°,α２＝７５０°,β１＝ ３π ５ ,β２＝－ π ３． (１)将α１,α２ 用弧度制表示出来,并指出它们 各自的终边所在的象限; (２)将β１,β２用角度制表示出来,并在[－７２０°, －１８０°]内找出与它们终边相同的所有角． 　　　扇形的弧长公式及面积公式 [例３]已知扇形的圆心角所对的弦长为２,圆心 角为２π ３． 求: (１)这个圆心角所对的弧长; (２)这个扇形的面积． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用弧长公式和面积公式直 接求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关于弧度制下扇形问题的解决方法 (１)三个公式:|α|＝lr ,S＝１２lr＝ １ ２αr ２,要 恰当选择公式,建立未知量、已知量间 的关系,通过解方程(组)求值． (２)弧长、面积的最值:利用圆心角的弧度 数、半径表示出弧长(面积),利用函数 知识求最值,一般利用二次函数的最值 求解． 􀳀[变式训练] ３．(１)弧长为３π．圆心角为１３５°的扇形的半径为 　　　　,面积为　　　　． (２)已知一扇形的周长为４０cm,当它的半径 和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最 大? 最大面积是多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 第一章　三角函数 １．已知α＝－３rad．则α是 (　　) A．第一象限角　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ２．将－３００°化为弧度数为 (　　) A．－４３π B．－ ５ ３π C．－７６π D．－ ７π ４ ３．角２５π６ 是第　　　　象限角． ４．如图,扇形AOB 的面积是１, 它的弧长是２,则扇形的圆心 角α的弧度数为　　　　;弦 AB的长为　　　　． ５．已知α＝－８００°． (１)把α改写成β＋２kπ(k∈Z,０≤β＜２π)的形 式,并指出α是第几象限角; (２)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈ －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §４．正弦函数和余弦函数的概念及其性质 ４．１　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解单位圆与正弦函数、余弦函数的关系 ２．掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义 通过学习三角函数的定义培养学生直观 想象和数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　如图,如果一个锐角α的终边与单位圆的交点 是P(u,v),根据初中所学在直角三角形中正 弦、余弦、正切的定义,你能否用点P的坐标表 示sinα,cosα,tanα? 这一结论能否推广到α 是任意角时的情形呢? [知识梳理] [知识点一]　正弦函数、余弦函数的定义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１．定 义:如 图,在 直 角 坐 标 系 中,给定单位圆,对于给定的 任意角α,使角α的顶点与原 点重合,始边与x轴正半轴 重合,终边与单位圆交于点 P(u,v),那么点P 的纵坐标v是角α的正弦 函数值,记作v＝　　　　;点P 的横坐标u 是角α的余弦函数值,记作u＝　　　　． ２．对正弦函数、余弦函数定义的理解 ①定义中,α是一个任意角,同时它也可以是 一个实数(弧度数)． ②角α的终边与单位圆O交于点P(u,v),实际 上给出了两个对应关系,即 实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v 对应 →正弦, 实数α(弧度)对应于点P 的横坐标u 对应 → 余弦． ③三角函数 可 以 看成 以 实 数 为 自 变量,以单位圆上 的点 的 坐 标 为 函 数值的函数．角与 实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间 是多对一的,如图所示． ④sinα是一个整体,不是sin与α的乘积,单 独的“sin”“cos”是没有意义的． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 参考答案 五维课堂 .后Z...-4或5. (2).集合M中的第二象限角与120}角的终边相同 即S中适合-720<③~0{的元素有 '-120+h·360”,Z -2020*+4×360--580*. 83.狐度制 -2020*+5×360--220°。 课前预习学案 情境引入 [例3] [解] 图中的阴影部分表示终边由一45逆时针旋转 1.提示:周角的30等于1度. 到120{}的所有角,故B -{a -45^{}+·360{}\a 120{*}+ $$ ·360{},后乙)(注意不含边界). 2.提示:有不同的单位制,即弘度制. #'.'A-{90}+·360 180+·360{},- 知识梳理 知识点一 *$AB- a90+·360{120{+·360{},. 变式训练 3.解:与30{}角的终边在一条直线上的角的集合为S一{aa 2.(1)1(2)1 1狐度(3)正数 负数0 30{}+ ·180{},b 》,与180{}-75^{}-105^{①}角的终边在一条直$ [思考] 线上的角的集合为S.-ga=105^{}+·180{*},乙,因此, 1.提示:一定大小的园心角a所对应的张长与半径的比值是唯 在图中阴影部分的角a的范围为{al30{}+k·180{}<a 105” 一确定的,所以1孤度的角的大小与圆的半径无关. 十·180{,乙. 知识点二 [例4][解]·'90+·360<180+·360”},. (10) 0.01745 1.2π 360*180{ 5718 '.$180+2·360}2~360*+2·360{},-乙. .2a是第三或第四象限角,或是终边落在y轴的非正半轴 [思考] 上的角. 2.提示:计算时,我们要特别注意πrad一180{},用这个公式进 行互化即可。 3.提示120。 当 为偶数时,不妨令b-2n,n乙,则450}+n·360{}{< 知识点三 0 90{十n·360{},此时,号为第一象限角; [思考] 当 为奇数时,令k-2n-1,nz,则225{+n·360{<< 4.提示:知二求二. 5.提示:与半径大小无关,一定大小的圈心角a所对应的孤长 270{}十n·360{,此时,“为第三象限角. 与半径的比值是唯一确定的. 预习自测 .为第一或第三象限角. 1.2.2 变式训练 4. D[:90{}+·360<180{}+360{}·,E . 课堂互动学案 (40#)1# $30{+120{·<<60{}+120*·k,kz. [例1][解](1)202*30'-202.5*= 1 (2)---(180)-70 当 -0时,30{<60{,是第一象限角; (3)-157-15×8 当 -1时,150{}~<180”,是第二象限角; -10-10 当 -2时,270{}~<300{,是第四象限角.] 然<1故#<- 随堂步步夯实 1.D A中的角应与直角终边相同,B中如480}不是钝角,C 变式训练 中如300{不是负角,只有D正确.] 1.解:(151151180°-15 30. 2.B[.600-240*+360*. 6 '.600{与240{终边相同。 '与600{终边相同的角即为与240终边相同. _ .选B.] (3)10-100- 3.解析:因为a与120{角的终边相同. 故有a-·360+120{}b乙. 又因为-990{<a<-630”. 所以-990{}<b·360*+120<-630。 [例2] [解] 角的终边在工轴上的角的集合为 即-1110*·360*<-750。 aa=n,k乙,角的终边在y轴上的角的集合 当--3时,a-(-3)×360*+120--960” #为$aao-+r,e# 答案:-960* 4.解析:集合{a·180{} a·180{}+45{,éZ)中,当 为 '角的终边在坐标轴上的角的集合为 偶数时,此集合与{a0 a 45^{}表示终边相同的角,位于 {ala-kr,kEz)#{aln-+kx, e- 第一象限;当k为奇数时,此集合与{a 180{} a 225^{}表示 终边相同的角,位于第三象限,所以集合a人·180{} 。 #fala-2·#ez{ala-(2+1)·#e2} ·180{}十45{,E乙中角表示的范围为图②所示。 #。#### 答案:② 5.解:(1)令-360{ 30{+b·90{<360{,得-13<b11,; 变式训练 2.解:(1)=-570*-570r19--22-+51 .Z.,k--4,-3,-2,-1,0,1,2,3.集合M中大于 180 6 。= 一360{且小于360{的角共有8个,分别是-330{,一240, 750-75025-2×2x+. -150{,-60{,30{,120,210,300。 180-6 .211· 五维课堂 数学·必修第二册 1一 故二一 S4.正弦函数和余弦函数的概念及其性质 6 6 第一象限。 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 $(2)-3--3×180*-108 课前预习学案 情境引入 55 提示:v=sina,u=cosa. 知识梳理 知识点一 1. sina cos a 3 3 设8-108{*}+·360{( ). [思考] .=-660*+h·360”*(h乙). 1.提示:a终边在x轴非负半轴时,sina-o,cosa-1; 令-72 20 -18 0,-720 -18 0$$$$ a终边在y轴非负半轴时,sina-l,cosa-0; 即-720 $108{*+·360 -180({$$E $ a终边在x轴非正半轴时,sina-o,cosa--1; -7 2 20{}<-60{*}+b·360 -180{}($。 ). a终边在y轴非正半轴时,sina=-1,cosa-0. 得=-2或 =-1,--1. 2.提示:不会,三角函数也是函数,是以角为自变量,以单位圆 故在[-720{},-180{}]内,与B终边相同的角是一612^*}和 上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数;三角函数值只与 一252*,与8终边相同的角是一420{②。 角a的大小有关,即由角a的终边位置决定。 [例3] [解] (1)因为扇形的回心角所对的弦长为2,圆心角 3.提示:因为sina0,所以角a的终边除了在第一或第二象 为2,所以半径,-_2. 限,还有可能在y轴的正半轴上。 sin} 4.提示:正弦值相等,但两角不一定相等,如sin60{}一sin120{ 3 但60-120”。 预习自测 所以这个四心角所对的孤长1-232π4、3 (2)由(1)得扇形的面积s-x234、π4π 9 课堂互动学案 3 [例1] [解析] B [·角a,3的终边与单位圆分别交于点 变式训练 (13})和(一#)# 180二 故由定义知sino-co--3. 面积为13πx46-. .sin acos -×(-号)--3.] 答案:4 6π 变式训练 (2)解:设扇形的圆心角为8,半径为7,张长为7.面积为S. 则/+2r-40,所以7-40-2r, 1.A [.点P在单位圈上,则OP-1. 即 (-3)#+(4a)=1,解得a=士. 所以$-1r-x(40-2r)r--(r-10) +100. :a<o..a-一 所以当半径r一10cm时,扇形的面积最大,最大值为 1. 10ocm,这时-40-2x10-2 rad. .P点的坐称为(一). 10 随堂步步夯实 #sinn-#-_ 1.C ['-r<-3 rad<-..-3 rad是第三象限角.] .sing+2cosa--4+2x3-1 [例2] [解] 因为点P的坐标为(一3a,4a)(a子0),原点 为O. .25是第一象限角. 60 所以r-OP= (-3a)+(4a)-5a. 6 答案:一 1 4.解析:设扇形半径为r,则 r5ā (ar-2. -1. :AB的长为2rsin-2sin1. l,当a0时,则r三一5a,角a在第四象限. 一0 答案:2 2sin1 sina-- -5a 一一 所以2sing+cosa=-- .=-800*-14r(-3)×2r. 综上所述,2sina+cosa=士1. 变式训练 '。与14π的终边相同..a是第四象限角. 2.解析:由题意得x一m,y-、③. .r-oP-m+3, .cos-10.很明显0 ”与。的终边相同..v-2k-14π,kz. m+3 9 ###(一)-2046 乙 解得m-V5. 9 答案V5 解得 --1.).7--2-14---4- [例3] [解] 设直线y-2x与单位围工^}+y}一1的交点分 ☆ 别为A(x.y).B(x。.y:). . 212·