第一章 三角函数 2任意角-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

§２．任意角 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解角的概念 ２．掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义 ３．熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表 示这些角 １．根据角的概念培养数学直观和逻辑 推理素养 ２．通过学习终边相同的角、象限角提 升数学建模素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] １．当钟表慢了(或快了)一点时,我们会将分针按 某个方向转动,把时间调整准确,在调整的过 程中,分针转动的方向是否相同? ２．在跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向 前翻转两周半”等动作,做上述动作时,运动员 转体多少度? 转过的度数还能用０°到３６０°的 角表示吗? [知识梳理] [知识点一]　任意角的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．角的概念 角可以看成平面内　　　　　　　绕着它的 　　　　旋转所成的图形． ２．角的表示 如图,①始边:射线的　　　位 置OA; ②终 边:射 线 的　　　　位 置OB; ③顶点:射线的端点O; ④记法:图中的角α可记为“角α”或“∠α”或 “∠AOB”． ３．角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点 按　　　方向旋转 形成的角 负角 一条射线绕其端点 按　　　方向旋转 形成的角 零角 一 条 射 线 没 有 作 　　旋转形成的角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．当角的始边和终边确定后,这个角就 被确定了吗? ２．你能说出角的三要素吗? ３．正角、负角、零角是根据什么区分的? ４．如果一个角的终边与其始边重合,这个角一 定是零角吗? [知识点二]　平面直角坐标系中的任意角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．象限角 在平面直角坐标系中,若角的顶点与　　　重 合,角的始边与　　　　轴的非负半轴重合, 那么,角的　　在第几象限,就说这个角是第几 　　　;如果角的终边在　　　　,这个角不 属于任何一个象限． ２．各象限角的集合 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k􀅰３６０°＜α＜k􀅰３６０°＋９０°,k∈Z} 第二象限角 {α|k􀅰３６０°＋９０°＜α＜k􀅰３６０°＋１８０°,k∈Z} 第三象限角 {α|k􀅰３６０°＋１８０°＜α＜k􀅰３６０°＋２７０°,k∈Z} 第四象限角 {α|k􀅰３６０°＋２７０°＜α＜k􀅰３６０°＋３６０°,k∈Z} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 第一章　三角函数 ３．终边落在坐标轴上的角 终边落在x轴 的非负半轴上 的角的集合 {α|α＝k􀅰３６０°,k∈Z} 终边落在x轴 的非正半轴上 的角的集合 {α|α＝k􀅰３６０°＋１８０°,k∈Z} 终边落在x轴 上的角的集合 {α|α＝k􀅰１８０°,k∈Z} 终边落在y轴 的非负半轴上 的角的集合 {α|α＝k􀅰３６０°＋９０°,k∈Z} 终边落在y轴 的非正半轴上 的角的集合 {α|α＝k􀅰３６０°＋２７０°．k∈Z} 终边落在y轴 上的角的集合 {α|α＝k􀅰１８０°＋９０°,k∈Z} 终边落在坐标 轴 上 的 角 的 集合 {α|α＝k􀅰９０°,k∈Z} ４．终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可 构成一个集合S＝　　　　　　　　　　　, 即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示 成角α与　　　　　　　的和． ５．对终边相同的角的理解 (１)终边相同的角的前提条件是:角的顶点与原 点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合． (２)α是任意角且k为整数． (３)k􀅰３６０°与α之间用“＋”号连接． (４)终边相同的角的表示形式不唯一,如 {x|x＝k􀅰３６０°－９０°,k∈Z}与{x|x＝k􀅰 ３６０°＋２７０°,k∈Z)均表示终边在y轴的非正 半轴上的角的集合． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．相等的角终边一定相同吗? 不相 等的角终边一定不同吗? ６．角β＝α＋k􀅰７２０°,k∈Z,β与α 终边相 同吗? ７．把一个角放在平面直角坐标系中时,这个 角是否一定就是某一个象限的角? ８．若角α,β满足S＝{β|β＝α＋k􀅰３６０°,k∈ Z)时,角α,β是否是终边相同的角? [预习自测] １．下列各命题正确的是 (　　) A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于９０°的角都是锐角 ２．－１０６０°的终边落在 (　　) A．第一象限　　　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ３．在(－３６０°,０°)内与角１２５０°终边相同的角是 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　任意角的概念 [例１](１)下列结论: ①三角形的内角必是第一、二象限角; ②始边相同而终边不同的角一定不相等; ③小于９０°的角是第一象限角; ④钝角比第三象限角小; ⑤小于１８０°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的结论为　　　　(填序号)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　利用任意角的概念判断． (２)若钟表的时针走过了２小时４０分,则分针 转过的角度为 (　　) A．８０°　　　　　　　　　B．－８０° C．９６０° D．－９６０° [尝试解答]　(１)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　(２)　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝 角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终 边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断 结论正确与否的技巧,判断结论正确需要 证明,而判断结论不正确只需要举一个反 例即可． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀳀[变式训练] １．给出下列四个结论:①－１５°是第四象限角; ②１８５°是第三象限角;③４７５°是第二象限角; ④－３５０°是第一象限角．其中正确的个数为 (　　) A．１　　B．２　　C．３　　D．４ 　　　终边相同的角 [例２]已知α＝－１９１０°． (１)把α写成β＋k􀅰３６０°(k∈Z,０°≤β＜３６０°) 的形式,指出它是第几象限角; (２)求θ,使θ与α 的终边相同,且－７２０°≤θ ＜０°． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　解答本题(１)用α除以３６０°, 使余数为正,且使余数在[０°,３６０°)即可; (２)根据终边相同角的定义,用公式α＋k􀅰 ３６０°列不等式求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．终边落在直线上的角的集合的步骤 (１)写出在０°~３６０°范围内相应的角． (２)由终边相同的角的表示方法写出角的 集合． (３)根 据 条 件 能 合 并 一 定 合 并,使 结 果 简洁． ２．终边相同角常用的三个结论 (１)终边相同的角之间相差３６０°的整数倍． (２)终边在同一直线上的角之间相差１８０° 的整数倍． (３)终边在相互垂直的两直线上的角之间 相差９０°的整数倍． 􀳀[变式训练] ２．已知α＝－２０２０°． (１)写出与角α终边相同的角的集合S,并指 出角α是第几象限的角; (２)写出S 中适合不等式－７２０°≤β＜０°的 角β． 　　　区间角 [例３]设A＝{α|９０°＋k􀅰３６０°≤α≤ １８０°＋k􀅰３６０°,k∈Z},B为终边在 如图所示阴影部分中的角的集合, 求A∩B． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　先写出集合B,再求 A∩B． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 区间角是指终边落在坐标系的某个区域内 的角．其写法可分为三步: (１)先按逆时针的方向找到区域的起始和 终止边界; (２)按由小到大分别标出起始和终止边界 对应的－３６０°到３６０°范围内的角α和 β,写出最简区间{x|α＜x＜β},注意,若 含边界,则不等式中应带“＝”; (３)起始、终止边界对应角α、β再加上３６０° 的整数倍,即得区间角集合． 􀳀[变式训练] ３．如图,角α终边在图中阴影部 分,试指出角α的范围． 　　　象限角的判断 [例４]已知α为第二象限角,问２α,α２ 分别是第 几象限角? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　由角α为第二象限角,可以写 出α的范围:９０°＋k􀅰３６０°＜α＜１８０°＋k􀅰 ３６０°,k∈Z,在此基础上可以写出２α,α２ 的范 围,进而可以判断出它们所在的象限． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 第一章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)解决此类问题,要先确定α的范围,进 一步确定出nα或αn 的范围,再根据k 与n的关系进行讨论． (２)一般地,要确定αn 所在的象限,可以作 出n等分各个象限的从原 点出发的射线,它们与坐 标轴把周角等分成４n个 区域,从x轴的正半轴起, 按逆时针方向把这４n个 区域依次循环标上号码１、２、３、４,则标 号是几的区域,就是α为第几象限角 时,α n 终边可能落在的区域,α n 所在的 象限就可直观地看出．例如,已知角α 所在的象限,可用如图求角α ２ 所在的象 限,也可以用下表来表示: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 α所在的象限 一 二 三 四 α ２ 所在的象限 一、三 一、三 二、四 二、四 (３)这类问题也可采用特值法判断角的终 边位置,如本例中α ２ ,４５°＋k􀅰１８０°＜α２ ＜９０°＋k􀅰１８０°,k∈Z,令k＝１,２,３,４ 分别得α ２ 的终边位于第三、一、三、一象 限,如此循环往复,从而可断定α ２ 是第 一或第三象限角． 􀳀[变式训练] ４．若α是第二象限角,则α３ 是 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第四象限角 D．第一象限或第二象限或第四象限角 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列命题中正确的是 (　　) A．终边在y轴的非负半轴上的角一定是直角 B．第二象限角一定是钝角 C．第四象限角一定是负角 D．始边相同而终边不同的角一定不相等 ２．与６００°终边相同的角表示为(k∈Z) (　　) A．k􀅰３６０°＋２２０°　　B．k􀅰３６０°＋２４０° C．k􀅰３６０°＋６０° D．k􀅰３６０°＋２６０° ３．已知－９９０°＜α＜－６３０°,且α与１２０°角的终边 相同,则α＝　　　　． ４．集合{α|k􀅰１８０°≤α≤k􀅰１８０°＋４５°,k∈Z}中 角 表 示 的 范 围 (用 阴 影 表 示)是 图 中 的 　　　　(填序号)． ５．已知角的集合M＝{α|α＝３０°＋k􀅰９０°,k∈Z},回 答下列问题: (１)集合M 中大于－３６０°且小于３６０°的角是哪 几个? (２)写出集合 M 中的第二象限角β 的一般 表达式． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 参 考 答 案 第一章　三角函数 §１．周期变化 课前预习学案　知识梳理　知识点一 １．间隔　２．重复出现 [思考] １．提示:２０２２年７月４日是星期一,由２００＝２８×７＋４知自 ２０２２年７月４日再过２００天是星期五． 知识点二 １．x＋T∈D　f(x) [思考] ２．提示:不是,例如函数f(x)＝x－[x]的周期就不止一个．若 T 是周期,则nT(n∈N∗ )一定是周期． ３．提示:不能,因为周期函数的定义是对定义域中的每一个x 值来说． 预习自测 １．C　２．C　３．２ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　AD　[对于 A,太阳东升西落是周期现象; 对于B,李明每天上午上学的时间会有差别,不是周期现象; 对于 C,高速公路每天通过的车辆数一般不相同且随机变 化,不是周期现象;对于 D,天干地支表示年份的次序,周而 复始,是周期现象．故选 AD．] 变式训练 １．解:根据题意,钟表的分针每小时转一圈,即钟表的分针每小 时转一圈,分针会重复出现在同一位置,具有“周而复始”的 变化规律,符合周期变化的定义,其变化是周期变化． [例２]　[解析]　B　[由题图可以看出该造父变星的亮度每 经过７天等级相同,所以此变星亮度变化的周期是７天．] 变式训练 ２．D　[从０开始,每四个数一个周期,２０２１÷４＝５０５􀆺􀆺１,故 选 D．] [例３]　[证明]　因为f(x＋１)＝－f(x), 所以f(x＋２)＝－f(x＋１)＝－[－f(x)]＝f(x), 所以f(x)是周期函数,所以f(x)的一个周期是２． 变式训练 ３．证明:因为定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x) (a是不为零的常数), 所以f(x＋２a)＝－f(x＋a)＝f(x), 所以２a是函数y＝f(x)的一个周期． 随堂步步夯实 １．A　２．C ３．解析:函数f(x)是以２为周期的函数,且f(２)＝３,则f(６) ＝f(２＋４)＝f(４)＝f(２＋２)＝f(２)＝３． 答案:３ ４．解析:∵T＝８, ∴f(２５)＝f(３×８＋１)＝f(１)＝f(－１)＝－１＋１＝０． 答案:０ ５．解:因为f(x＋６)＝(x＋６)２＝f(x)不恒成立,所以f(x)不 是以６为周期的周期函数． §２．任意角 课前预习学案　情境引入 １．提示:不同,当钟表慢了,要顺时针转动分针,当钟表快了,要 逆时针转动分针． ２．提示:因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同,因此运 动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转７２０°或逆时针旋 转７２０°,“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转９００°或逆时 针旋转９００°．显然这些角都不在０°~３６０°,不能用０°到３６０° 的角表示． 知识梳理　知识点一 １．一条射线　端点 ２．起始　终止　 ３．逆时针　顺时针　任何　 [思考] １．提示:不是的．虽然始、终边确定了,但旋转的方向和旋转量 的大小(旋转圈数)并没有确定,所以角也就不能确定． ２．提示:角的三要素是顶点、始边、终边． ３．提示:根据组成角的射线的旋转方向． ４．提示:不一定,零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的 角不一定是零角,如３６０°,－３６０°等,角的大小不是根据始 边、终边的位置,而是根据射线的旋转． 知识点二 １．原点　x　终边　象限角　坐标轴上 ４．{β|β＝α＋k􀅰３６０°,k∈Z}　周角的整数倍 [思考] ５．提示:相等的角终边一定相同;不相等的角终边可能相同,也 可能不同． ６．提示:β＝α＋２k􀅰３６０°,故β与α 终边相同． ７．提示:不一定．因为象限角是指的当角的始边与x轴的非负 半轴重合时,终边在哪个象限,我们就说这个角是第几象限 角．如果一个角的终边在坐标轴上时,我们认为这个角不在 任何象限内,又叫轴线角． ８．提示:当角α,β满足S＝{β|β＝α＋k􀅰３６０°,k∈Z}时,表示角 α与β相隔整数个周角,即角α,β终边相同． 预习自测 １．C　２．A　３．－１９０° 课堂互动学案 [例１]　(１)[解析]　①９０°的角既不是第一象限角,也不是第 二象限角,故①不正确; ②始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确; ③小于９０°的角可以是０°角,也可以是负角,故③不正确; ④钝角大 于－１００°,而 －１００°的 角 是 第 三 象 限 角,故 ④ 不 正确; ⑤０°角小于１８０°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故⑤ 不正确． [答案]　② (２)[解析]　D　[∵４０÷６０＝ ２３ ,∴３６０°× ２３ ＝２４０°．∵ 分 针是顺时针旋转,∴时针走过２小时４０分,分针转过的角的 度数为－２×３６０°－２４０°＝－９６０°,故选 D．] 变式训练 １．D　[①－１５°在第四象限; ②１８０°＜１８５°＜２７０°在第三象限; ③４７５°＝３６０°＋１１５°,而９０°＜１１５°＜１８０°,所以４７５°在第二 象限; ④－３５０°＝－３６０°＋１０°是第一象限角． 所以四个结论都是正确的．] [例２]　[解]　(１)∵－１９１０°÷３６０°＝－６余２５０°, ∴－１９１０°＝－６×３６０°＋２５０°, ∴β＝２５０°,从而α＝－６×３６０°＋２５０°是第三象限角． (２)令θ＝２５０°＋k􀅰３６０°(k∈Z), ∵－７２０°≤θ＜０°, ∴－７２０°≤２５０°＋k􀅰３６０°＜０°, 即－９７３６≤k＜－ ２５ ３６． ∵k∈Z,∴k＝－１或－２． 即２５０°＋(－１)􀅰３６０°＝－１１０°, ２５０°＋(－２)􀅰３６０°＝－４７０°． ∴θ＝－１１０°或θ＝－４７０°． 变式训练 ２．解:(１)S＝{β|β＝－２０２０°＋k×３６０°,k∈Z}, ∵１４０°＝－２０２０°＋６×３６０°,∴１４０°与－２０２０°的终边相同． ∵１４０°是第二象限的角,∴－２０２０°是第二象限的角． (２)S由－７２０°≤－２０２０°＋k×３６０°＜０° 解得３１１１８≤k＜５ １１ １８． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 ∵k∈Z,∴k＝４或５, 即S中适合－７２０°≤β＜０°的元素有 －２０２０°＋４×３６０°＝－５８０°, －２０２０°＋５×３６０°＝－２２０°． [例３]　[解]　图中的阴影部分表示终边由－４５°逆时针旋转 到１２０°的所有角,故B＝{α|－４５°＋k􀅰３６０°＜α＜１２０°＋k 􀅰３６０°,k∈Z}(注 意 不 含 边 界), 又∵A＝{α|９０°＋k􀅰３６０°≤α≤１８０°＋k􀅰３６０°,k∈Z}, ∴A∩B＝{α|９０°＋k􀅰３６０°≤α＜１２０°＋k􀅰３６０°,k∈Z}． 变式训练 ３．解:与３０°角的终边在一条直线上的角的集合为S１＝{α|α＝ ３０°＋k􀅰１８０°,k∈Z},与１８０°－７５°＝１０５°角的终边在一条直 线上的角的集合为S２＝{α|α＝１０５°＋k􀅰１８０°,k∈Z},因此, 在图中阴影部分的角α的范围为{α|３０°＋k􀅰１８０°≤α＜１０５° ＋k􀅰１８０°,k∈Z}． [例４]　[解]　∵９０°＋k􀅰３６０°＜α＜１８０°＋k􀅰３６０°,k∈Z, ∴１８０°＋２k􀅰３６０°＜２α＜３６０°＋２k􀅰３６０°,k∈Z, ∴２α是第三或第四象限角,或是终边落在y轴的非正半轴 上的角． 同理４５°＋k２ 􀅰３６０°＜α２＜９０°＋ k ２ 􀅰３６０°． 当k为偶数时,不妨令k＝２n,n∈Z,则４５°＋n􀅰３６０°＜α２＜ ９０°＋n􀅰３６０°,此时,α２ 为第一象限角; 当k为奇数时,令k＝２n＋１,n∈Z,则２２５°＋n􀅰３６０°＜α２＜ ２７０°＋n􀅰３６０°,此时,α２ 为第三象限角． ∴α２ 为第一或第三象限角． 变式训练 ４．D　[∵９０°＋k􀅰３６０°＜α＜１８０°＋３６０°􀅰k,k∈Z, ∴３０°＋１２０°􀅰k＜α３＜６０°＋１２０° 􀅰k,k∈Z, 当k＝０时,３０°＜α３＜６０° ,α ３ 是第一象限角; 当k＝１时,１５０°＜α３＜１８０° ,α ３ 是第二象限角; 当k＝２时,２７０°＜α３＜３００° ,α ３ 是第四象限角．] 随堂步步夯实 １．D　[A 中的角应与直角终边相同,B中如４８０°不是钝角,C 中如３００°不是负角,只有 D正确．] ２．B　[∵６００°＝２４０°＋３６０°, ∴６００°与２４０°终边相同． ∴与６００°终边相同的角即为与２４０°终边相同． ∴选B．] ３．解析:因为α与１２０°角的终边相同, 故有α＝k􀅰３６０°＋１２０°,k∈Z． 又因为－９９０°＜α＜－６３０°, 所以－９９０°＜k􀅰３６０°＋１２０°＜－６３０°, 即－１１１０°＜k􀅰３６０°＜－７５０°． 当k＝－３时,α＝(－３)×３６０°＋１２０°＝－９６０°． 答案:－９６０° ４．解析:集合{α|k􀅰１８０°≤α≤k􀅰１８０°＋４５°,x∈Z}中,当k为 偶数时,此集合与{α|０°≤α≤４５°}表示终边相同的角,位于 第一象限;当k为奇数时,此集合与{α|１８０°≤α≤２２５°}表示 终边相同的角,位于第三象限．所以集合{α|k􀅰１８０°≤α≤k 􀅰１８０°＋４５°,k∈Z}中角表示的范围为图②所示． 答案:② ５．解:(１)令－３６０°＜３０°＋k􀅰９０°＜３６０°,得－１３３ ＜k＜ １１ ３ ,又 ∵k∈Z,∴k＝－４,－３,－２,－１,０,１,２,３,∴集合 M 中大于 －３６０°且 小 于 ３６０°的 角 共 有 ８个,分 别 是－３３０°,－２４０°, －１５０°,－６０°,３０°,１２０°,２１０°,３００°． (２)∵集合 M 中的第二象限角与１２０°角的终边相同, ∴β＝１２０°＋k􀅰３６０°,k∈Z． §３．弧度制 课前预习学案　情境引入 １．提示:周角的 １３６０ 等于１度． ２．提示:有不同的单位制,即弧度制． 知识梳理　知识点一 １．１３６０ ２．(１)１　(２)１　１弧度　(３)正数　负数　０ [思考] １．提示:一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯 一确定的,所以１弧度的角的大小与圆的半径无关． 知识点二 １．２π　３６０°　１８０°　 π１８０　０．０１７４５　 １８０ π( )°　５７°１８′ [思考] ２．提示:计算时,我们要特别注意πrad＝１８０°,用这个公式进 行互化即可． ３．提示:－π６　１２０°． 知识点三 　|n|πr１８０ 　|α|r　 |n|πr２ ３６０ 　 １ ２lR　 １ ２|α|r ２ [思考] ４．提示:知二求二． ５．提示:与半径大小无关,一定大小的圆心角α所对应的弧长 与半径的比值是唯一确定的． 预习自测 １．D　２．C　３．２π３　 ２π ３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)２０２°３０′＝２０２．５°＝ ４０５２( )× π １８０＝ ９ ８π． (２)－５１２π＝－ ５ １２π× １８０ π( )°＝－７５°． (３)α＝１５°＝１５× π１８０＝ π １２ , θ＝１０５°＝１０５× π１８０＝ ７π １２． 显然 π １２＜ π １０＜１＜ ７π １２． 故α＜β＜γ＜θ＝φ． 变式训练 １．解:(１)５１１６π＝ ５１１ ６ ×１８０°＝１５３３０°． (２)－７π１２＝－ ７ １２×１８０°＝－１０５°． (３)１０°＝１０× π１８０＝ π １８． (４)－８５５°＝－８５５× π１８０＝－ １９π ４ ． [例 ２]　 [解]　 角 的 终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集 合 为 α|α＝kπ,k∈Z{ },角 的 终 边 在 y 轴 上 的 角 的 集 合 为 α|α＝π２＋kπ ,k∈Z{ }, ∴角的终边在坐标轴上的角的集合为 {α|α＝kπ,k∈Z}∪ α|α＝π２＋kπ ,k∈Z{ }＝ α|α＝２k􀅰π２ ,k∈Z{ }∪ α|α＝(２k＋１)􀅰π２,k∈Z{ } ＝ α|α＝kπ２ ,k∈Z{ }． 变式训练 ２．解:(１)α１＝－５７０°＝－ ５７０π １８０＝－ １９π ６ ＝－２×２π＋ ５π ６ ,α２＝ ７５０°＝７５０π１８０＝ ２５π ６ ＝２×２π＋ π ６． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１２􀅰 参考答案