第一章 三角函数 1周期变化-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

§１．周期变化 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解周期现象 ２．初步了解周期函数的概念 通过判断简单的实际问题的周期及简单函数的周期性,提升 数学抽象,逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　日出日落,月缺月圆,寒来暑往􀆺􀆺自然界 中有许多“按一定规律周而复始”的现象,这种按 一定规律不断重复出现的现象称为周期现象． [知识梳理] [知识点一]　周期现象 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．以相同　　　　重复出现的变化叫作周期 现象． ２．要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每 隔相同间隔,这种变化是否会　　　　,若重 复出现,则为周期现象;否则不是周期现象． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．２０２２年７月４日再过２００天是星 期几? [知识点二]　周期函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．一般地,对于函数y＝f(x),x∈D,如果存在 一个非零常数T,使得对于任意的x∈D,都有 　　　　且满足f(x＋T)＝　　　　,那么函 数y＝f(x),x∈D称作周期函数,非零常数T 称作这个函数的周期． ２．如果在周期函数y＝f(x),x∈D 的所有周期 中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就 称作函数y＝f(x),x∈D的最小正周期．如果 不加特别说明,本书所指周期均为函数的最小 正周期． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．周期函数的周期是否只有一个? ３．周期函数定义中的“f(x＋T)＝f(x)”,只 有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x),能不 能说T是y＝f(x)的周期? [预习自测] １．下列是周期现象的为 (　　) ①某交通路口的红绿灯每３０秒转换一次; ②某超市每天的营业额; ③某地每年６月份的平均降雨量． A．①③　B．②③　C．①　D．①② ２．把１７ 化成小数,小数点后第２０位是 (　　) A．１ B．２ C．４ D．８ ３．观察“２,０,１,７,２,０,１,７,２,０,１,７,􀆺”寻找规 律,则第２５个数字是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　生活中的周期现象 [例１](多选)下列变化中是周期现象的是 (　　) A．太阳东升西落 B．李明每天上午上学的时间 C．某高速公路每天通过的车辆数 D．天干地支表示年份的次序 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　依据周期现象的特点逐一判断． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断生活问题的周期现象的依据是周期 变化的特征,即每次都以相同的间隔(比 如时间间隔或长度间隔)出现,且现象是 无差别的重复出现． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 第一章　三角函数 􀳀[变式训练] １．钟表的分针每小时转一圈．它的变化是周期变 化吗? 　利用函数的图象判断周期性 [例２]造父变星是一类高光度周期性脉动变星, 其亮度随时间呈周期性变化．下图为一造父变 星的亮度随时间的周期变化图,由图可知此造 父变星亮度变化的周期是 (　　) A．５．５天　　　　　B．７天 C．１４天 D．２０天 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　通过图象可知,每增加７的倍 数,其函数值不变,且这种变化是重复进行的． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 观察函数图象判断周期性,关键是观察图 象是否是周而复始重复出现． 􀳀[变式训练] ２．根据图中箭头指向的规律,判断从２０２１到 ２０２２再到２０２３,箭头方向是 (　　) 　　利用周期定义判断函数的周期 [例３]已知函数f(x)满足f(x＋１)＝－f(x),证明 f(x)是周期函数并求出它的一个周期． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　证明f(x)＝f(x＋２)即可． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用定义法判断周期性,关键是证明对于任意 的x∈D,都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝ f(x)． 􀳀[变式训练] ３．已知定义在 R上的函数y＝f(x)满足f(x＋ a)＝－f(x)(a是不为零的常数),证明:２a是 函数y＝f(x)的一个周期． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这１２ 种动物按顺序轮流代表各年的年号,２０１６年 是猴年,那么１９４９年是 (　　) A．牛年　　　　　　B．虎年 C．兔年 D．龙年 ２．如果今天是星期五,则５８天后的那一天是 星期 (　　) A．五 B．六 C．日 D．一 ３．函数f(x)是以２为周期的函数,且f(２)＝３,则 f(６)等于　　　　． ４．定义域为 R的偶函数f(x)为周期函数,其周 期为８,当x∈[－４,０]时,f(x)＝x＋１,则 f(２５)＝　　　　． ５．函数f(x)＝x２ 满足f(－３＋６)＝f(－３),这 个函数是不是以６为周期的周期函数? 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 参 考 答 案 第一章　三角函数 §１．周期变化 课前预习学案　知识梳理　知识点一 １．间隔　２．重复出现 [思考] １．提示:２０２２年７月４日是星期一,由２００＝２８×７＋４知自 ２０２２年７月４日再过２００天是星期五． 知识点二 １．x＋T∈D　f(x) [思考] ２．提示:不是,例如函数f(x)＝x－[x]的周期就不止一个．若 T 是周期,则nT(n∈N∗ )一定是周期． ３．提示:不能,因为周期函数的定义是对定义域中的每一个x 值来说． 预习自测 １．C　２．C　３．２ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　AD　[对于 A,太阳东升西落是周期现象; 对于B,李明每天上午上学的时间会有差别,不是周期现象; 对于 C,高速公路每天通过的车辆数一般不相同且随机变 化,不是周期现象;对于 D,天干地支表示年份的次序,周而 复始,是周期现象．故选 AD．] 变式训练 １．解:根据题意,钟表的分针每小时转一圈,即钟表的分针每小 时转一圈,分针会重复出现在同一位置,具有“周而复始”的 变化规律,符合周期变化的定义,其变化是周期变化． [例２]　[解析]　B　[由题图可以看出该造父变星的亮度每 经过７天等级相同,所以此变星亮度变化的周期是７天．] 变式训练 ２．D　[从０开始,每四个数一个周期,２０２１÷４＝５０５􀆺􀆺１,故 选 D．] [例３]　[证明]　因为f(x＋１)＝－f(x), 所以f(x＋２)＝－f(x＋１)＝－[－f(x)]＝f(x), 所以f(x)是周期函数,所以f(x)的一个周期是２． 变式训练 ３．证明:因为定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x) (a是不为零的常数), 所以f(x＋２a)＝－f(x＋a)＝f(x), 所以２a是函数y＝f(x)的一个周期． 随堂步步夯实 １．A　２．C ３．解析:函数f(x)是以２为周期的函数,且f(２)＝３,则f(６) ＝f(２＋４)＝f(４)＝f(２＋２)＝f(２)＝３． 答案:３ ４．解析:∵T＝８, ∴f(２５)＝f(３×８＋１)＝f(１)＝f(－１)＝－１＋１＝０． 答案:０ ５．解:因为f(x＋６)＝(x＋６)２＝f(x)不恒成立,所以f(x)不 是以６为周期的周期函数． §２．任意角 课前预习学案　情境引入 １．提示:不同,当钟表慢了,要顺时针转动分针,当钟表快了,要 逆时针转动分针． ２．提示:因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同,因此运 动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转７２０°或逆时针旋 转７２０°,“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转９００°或逆时 针旋转９００°．显然这些角都不在０°~３６０°,不能用０°到３６０° 的角表示． 知识梳理　知识点一 １．一条射线　端点 ２．起始　终止　 ３．逆时针　顺时针　任何　 [思考] １．提示:不是的．虽然始、终边确定了,但旋转的方向和旋转量 的大小(旋转圈数)并没有确定,所以角也就不能确定． ２．提示:角的三要素是顶点、始边、终边． ３．提示:根据组成角的射线的旋转方向． ４．提示:不一定,零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的 角不一定是零角,如３６０°,－３６０°等,角的大小不是根据始 边、终边的位置,而是根据射线的旋转． 知识点二 １．原点　x　终边　象限角　坐标轴上 ４．{β|β＝α＋k􀅰３６０°,k∈Z}　周角的整数倍 [思考] ５．提示:相等的角终边一定相同;不相等的角终边可能相同,也 可能不同． ６．提示:β＝α＋２k􀅰３６０°,故β与α 终边相同． ７．提示:不一定．因为象限角是指的当角的始边与x轴的非负 半轴重合时,终边在哪个象限,我们就说这个角是第几象限 角．如果一个角的终边在坐标轴上时,我们认为这个角不在 任何象限内,又叫轴线角． ８．提示:当角α,β满足S＝{β|β＝α＋k􀅰３６０°,k∈Z}时,表示角 α与β相隔整数个周角,即角α,β终边相同． 预习自测 １．C　２．A　３．－１９０° 课堂互动学案 [例１]　(１)[解析]　①９０°的角既不是第一象限角,也不是第 二象限角,故①不正确; ②始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确; ③小于９０°的角可以是０°角,也可以是负角,故③不正确; ④钝角大 于－１００°,而 －１００°的 角 是 第 三 象 限 角,故 ④ 不 正确; ⑤０°角小于１８０°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故⑤ 不正确． [答案]　② (２)[解析]　D　[∵４０÷６０＝ ２３ ,∴３６０°× ２３ ＝２４０°．∵ 分 针是顺时针旋转,∴时针走过２小时４０分,分针转过的角的 度数为－２×３６０°－２４０°＝－９６０°,故选 D．] 变式训练 １．D　[①－１５°在第四象限; ②１８０°＜１８５°＜２７０°在第三象限; ③４７５°＝３６０°＋１１５°,而９０°＜１１５°＜１８０°,所以４７５°在第二 象限; ④－３５０°＝－３６０°＋１０°是第一象限角． 所以四个结论都是正确的．] [例２]　[解]　(１)∵－１９１０°÷３６０°＝－６余２５０°, ∴－１９１０°＝－６×３６０°＋２５０°, ∴β＝２５０°,从而α＝－６×３６０°＋２５０°是第三象限角． (２)令θ＝２５０°＋k􀅰３６０°(k∈Z), ∵－７２０°≤θ＜０°, ∴－７２０°≤２５０°＋k􀅰３６０°＜０°, 即－９７３６≤k＜－ ２５ ３６． ∵k∈Z,∴k＝－１或－２． 即２５０°＋(－１)􀅰３６０°＝－１１０°, ２５０°＋(－２)􀅰３６０°＝－４７０°． ∴θ＝－１１０°或θ＝－４７０°． 变式训练 ２．解:(１)S＝{β|β＝－２０２０°＋k×３６０°,k∈Z}, ∵１４０°＝－２０２０°＋６×３６０°,∴１４０°与－２０２０°的终边相同． ∵１４０°是第二象限的角,∴－２０２０°是第二象限的角． (２)S由－７２０°≤－２０２０°＋k×３６０°＜０° 解得３１１１８≤k＜５ １１ １８． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册