第19讲 三角函数的实际应用-2025年中考真题分类卷数学

(2)求桥塔A的高度（结果取整数）： 器.2024·州)如图.海中有一个小岛C,某横 第19讲 三角函数的实际应用 参考散张：tnn31广e0,6,tn4g0.1. 船在海中的A点测每小岛C位于有北方向上， 考点过关 考点二在视角类同题中的应用 该静船由西向东航行一段时创后到达4点，测 3(2021·曹前)某校学生并展惊合实线话动，到 得个岛C位于北偏同方科上，再沿北篇东 考点一在实物模型类问题中的应用 0方向能饺机行一段时间后到达D点，这时 层一建筑物D的高度，在建算物旁边有一高 1.(202到·爵州)如图，一数可 测得个岛C位于北篇再0'方向上，已知A,C 度为10来的小棱房AB,小李司学在小楼房楼 调节的笔记本电献支知放置 相知0me求C,D间的座离（计算过程中 在水平桌面上，离节杆C 成」处测得C处的种角为0，在小楼房楼顶A 的数据不取近似值)， ,3:,AB-6,AB的最大种 处测厚C处的间角为0(AB,CD在同一平面 角为：当∠C一45时，则点 内，，D在同一水平面上，则建筑物(D的高 A到桌面的最大高度是 为( A4+点 cos C,a十6 a十wins 2.(2024·苏州)图1是某种可到节支撑架，拟：为 水羊定杆，经直成定杆A程⊥C,活动杆A) 可绕点A旋转，CD为液压埔种督支撑杆，已知 A.20 10 cm.HC20 cmAD50 cm. C,18 10+5, (1)扣2，背福对杆AD处于水平状态时，求可 4.(02:·登城)如图，小明用无人机鳄量教学楼的 神缩支浮杆CD的长度（结果保邢限号）： 高度，无人机垂直上升距地面知m的点P处， (2如函3，当话动轩AD绕点A由水平状志按 测得教学楼底偏点A的第角为厂，再将无人机沿 考点三在方向角类问题中的应用 范时针方向能转角发。，且am=(:为授 教学模方向水平飞行线6m至点Q处，测得锁学 6,(02器·广州)如周，岸中有…小岛A,在B点测 角)，求此时可神端支撑杆CD的长度（站果 楼顶确点书的帝角为5，期教学楼A用的高度的 得小岛A布北偏东0方向上，滴船从B点出 保南积号1 多 (精确到1m,参考数据，sn” 发由西向东黛行10me到达C点，在C点测 40.0o376A).ten3T几75》 很小岛A恰好在正皇方向上，北时流精与小每 A的离为( nmile 3 20 ,10,8 5,(2024·天津)笨合与实置话清中，要用测角仪 测量天律海河上一座桥的桥塔A本的高皮（如 图.某学习小组设计了一个方案，如图2，点 C,D.E依次在日一条本平直线上，DE一36m· EC⊥AB,垂足为C,在D处测得桥塔第B的 7,(023·塘山)-一商图在海上A处测灯塔C在 仰角《∠(DB》为45，测得桥塔底事A的箫角 它的北精东⊙方向，损轿向正东方向林行 (∠)A)为，又在E处测得桥塔顶溶B的和 1多周■到达点B处，测得灯塔C在它的北偏家 角（∠CEB)为31. 4方向，若物船继续宾正东方向航行：，渔船与 (1)求线度D的长〔结果取整数)： 灯塔C的最短胆离是 等里 45 考点四在被角类问题中的应用 境示意周，从以上线段中选出你认为需要测量 2,(023·枚州)嘴二十四届国际数学家大金会徽 AB为 的数站，把表示数据的小写字导填写在“测量 的设计基硅是1了0多年菲中国古代数学家超 术（参考版数：h0心 9(2033·莱圳)爬肢时破角与本平面夹角为。，则 数据”一栏 爽的篮图”，如图，在由四个全等的直角三角形 每良1m耗电1,25一50短1J,若某人爬了 ni3.而ian8~写anda.2到 (2)复累(1中选择的数累，写出求∠a的一阳 (△AE,△ABF,△，△CDH》和中间 1000m,该拔角为0，则他耗能（参号数据 三，解答题 三角函数值的推分过程， 个小正方形EFH拼成的大正方思A以D中， .8e1.732,2e1.414} 5.(22对·湖无)为了防狱需要，某地换提新建一 ∠ABF>∠AF,速接BE,最∠BAF一=， 屠拦水坝，如闭，拦水划的情赛面为株形 ∠EF,若正方形EGH与正方形ACD 的面积之比为1t越，1ae=1n,期w一( ABCD,斜面坡度一3,4是指技面的铅直药 度AF与水半宽度BF的比.已知等键)长 A.8JL159JC,1025J11732J 度为20米，∠C=18°：求斜皱A出的长.（结果 10.(2024·潭山)如图，斜装CD的拔度一1+2 暗确到0.1米，梦考数据：n18e0.31, 在斜被上有一棵球直于水半图的大树AB,当 (8)假设inme0.85,0知w0.52,8aav.6, cms18°=，95，tan10,32) 太闭光与水平面的夹角为60'时，大树在斜城 制影(2)中的雅朵结果，利用计算器求出∠众的 上的影子BE长为0采，大树AB的高 度数.数这择的按键顺序为 A.5 且4 C.3 D.2 m起回口8w▣ 二，填空赠 ￥回回回86▣ 5.(2021·湖南)如图，图1为天工开将)记线的 m@▣▣固回回 用于春(chng)妈谷物的T具一“靡(di”的 ✉0可□5包▣ 结构简图，图空为其平面示意图.已年AB⊥(D 网回回ao▣ 11.(2024·成海1某校九年级竿生开解利用三角 于点B,AB与水平线I相交于点D,OEL.若 四66▣ 角数解决实际国墨的综合与实我活动，话动之 C=4分米，0心=12分米，∠以压=60“，制点 一是调量某护是石组与超平而的领斜角，测量 C到农平线！的原两C下为 分米结 综合集训 根告如下表（简不完整， 单用含制号的式子表示) 间留某护规石圳与地平面的镇杯角 一，进择置 用长。X网 1,(2024·深捐)如明，为了湖量某电子厂的高虔， 现黄 用员：X×X,××关，××× 小明用高1.&m的酒量仪EF测得菌端A的种 明量工其竹竿，彩凡 角为5，小军在小明的岗面5m处用高1,5m 说明：是一笔 的测量仪CD测得原端A的用角为，测电千 4,(024·奉豪)在a合实我喝 的件竿.点D是竹节 广AH的高度为 测量示 上一直.统夏DE的 上，数学兴趣小组用所学数 意用 长度是点D到老面的 (参考数最：一mm5一》 学每凯测址大汶河某可夜的 距离，∠■是是满量的 宽度.他门在河岸一侧的隆 领钢角 里台上做飞一只无人机，如图，无人机在可上方 裤量数国 电水自高0米的点P处湖得膝望台正对岸A 处的衡角为)°，测得康里台属端C处的第角为 .BC-6.AC-c.CE-.DE- 品，5，已知酸里台以：高2米（图中点A:B: =以，AD=青，情根据表中的湖 A.22.7m2这.4mC21.2mD.23.0m C,P在可一平而内).耶么大这河此河段的究 6.(2024+城每1中国古代运用”土之法”判别四 1,(2024÷广州12024年5月2日，”幢城六号”着 8.(2!·厂东)巾国新能源汽年为全球皮对气候 .024+重庆A山如图，甲，乙两2货轮同时从 平，夏至时日悲最延，冬至时日5最长，春分和 陆器科上升潜图合体（算称为~着上组合体”）度 整化和量色低碳转题作出了日大量，为高足 A路出发，分时向B,D两德运送物管，量后到 秋分时日脑长度等于夏至和冬至日影长度的平 功着陆在刀球脊重。某校蜂自实线小组制作了 新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站。 达A港正东方向的C世装运新的物旋。甲货轮 均致.某塘学生运用此法进行实我探累，如图， 一个“者上国合体”的根拟装置，在一次试验中， 如图是新形PQN充电站的平面示意图，矩形 沿A港的东南方寓规行的有里后到达B港。 在示意明中，产生目能的杆子AB意直于地面： 虹用，咸俊氨装管在规这下降斯段从A点重直 AD是其中一个修车位，经湖量，∠AQ 再沿北佩东方向航行一定距两判达C港， AB长8尺，在夏至时，杆子AB在太阳完线AC 下释可B点，再正直下降到着陆点C,从B点测 6.AB-5.4 m.CE -1.6 m,GH CD,GH 乙，新轮沿A港的北编东的方向航行一定距离 慧射下产生的日影为C,在冬至时，怀子AB 相粒面D点的的角为6,87，AD=17米， 是另一个车位的泡，所有车控的长宽相同，按图 到达D淹，再铅南编东3方向敏行一定距离 在太用先线AD厘射下产生的日影为D.已如 D=10米. 示并到划定 到达C港： ∠ACB-7.°，∠ADB-28,8,求春分和秋分 (1)求CD的长， 复据以上信息回答下列问思：（结果精确到 (参考数出：1如1.41.月m1.73w得e25) 时日感长度，（结果精确到C1尺：参考数据： (2)若膜想装置从A点以每秒2米的违度匀速 0,1m,参考数据，31.T3 (1)求A,C两是之间的距离（结果保留小数点 in260045,c028.6a83,an2%.'w0.50, 下降到B点，承禁拟装置从A点下师到B点的 (1U求PQ的长 后一位： n734'=0.54oom73,4气2，tm78.4'-3,353 时同： (2)城充电站有20个停车位.求PN的长 2)若甲，乙两整货轮的速度相同《停堂书，D 日 参考数据：in36.87”v0.0,c3s36.87v0.80。 丙港的时同相可)，愿粮货轮完可达心德？请 an35.870.75, 通过计算说明 47.△AFG∽△ACB an∠ACB=l,∴.CD=AD=6, 福侣指怨 ,∴.BC=BD+CD=8+6=14. :∠FAC=∠GAB,∴.△FAC△GAB, (②：AE是BC边上的中线CE=号BC=7, ÷G器AP.GB=AGFC ∴.DE-CE-CD=7-6=1. :AD⊥BC,AE=AD+DE=√6+1下=V37, 解mA焉聚号AC=8C= .S么MB=16, nnE器-高哥 37 设DE=DG=x,则AD=A'D=2x,AE=AG=5x, 11.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ..AB=CD.AB//CD. ∴.AE=A'D-DE=2x-x=x,∴.SAE=S△Am:=x2. .∠BAE=∠DCF. aE△c怎信- 在△ABE和△CDF中， AB=CD. ∴S△AE￥SaAm=115, ∠BAE=∠DCF, 4 4 六Sm形花=5Sam,=方r AE-CF ∴.△ABE≌△CDF(SAS) :S△B=S△AE十Sm边带证，A'G平分四边形DCBE的 面积，∴，S△MH=S△E十2S四也形E, 2解：品-CH=BH 16=+号r2- ,CH⊥AB于点H.∠H=90, ,∴.BC2=BH2+CH2, =4v丽 13x= A质（含· ,BC=10, 13 ∴.(10)=BH+(3BH)”, AD=865 131 解得BH=1,∴.CH=3. 第18讲 锐角三角函数 在△ACH中，an/CAB--霜-是AMH= .AB=AH-BH=4-1=3, 考点过关 .SaD=AB·CH=3X3=9. 1.C2C3D4号A6B76-日 12.(1)证明：如图1，过点A作AD⊥BC 8.B9.C 4 于点D.在R△ABD中，AD=csinB, 1acLD2号 在Rt△ACD中，AD=bsinC. 1a.(号 14.解：，∠C=90°，AB=5,BC=3, csmB-6c流B最 D (2)解：如图2，过点A作AE⊥BC于点 图1 :AC-VAB-BC-53-4.simA--3. E.,∠BAC=67,∠B=53°，∴∠C 60°， 故AC的长为4，simA的值为亏 在R1△ACE中，AE=AC·sin60° 15.(1)证明：点D是AC的中点，AD=CD.DF=DE, .四边形AECF是平行四边形. 80x9-4ow5m. 又DE⊥AC,平行四边形AECF是菱形. （@屏能-CE=E mBnC,即Q-C 又： BC B53 0.80.9 ∴.BC=90m, 图2 设BE=a,则CE=4a, ,四边形AECF是菱形， 5aur-2×90X403=180W5(m) ∴.AE=CE=4a,AECF, 第19讲 三角函数的实际应用 .∠BEA=∠BCF. ,∠ABC=90°， 考点过关 .AB=VAE-BE=√(4a)-a=√15a, 1.D ∴.tan∠BCF=tan∠BEA AB_压a=5. 2.解：(1)如图1，过点C作CE⊥AD,垂 BE 足为E, 答案：√15 由题意，得AB=CE=10cm,BC= 综合集训 AE=20 cm. 图1 ,'AD=50cm, 1.C2.A3.A4C5.B6.A ∴.ED=AD-AE=50-20=30(cm). 在R:△CED中，CD=√CE+DE=10+30= 10.解：(1)：AD⊥BC,AB=10,AD=6, 101o(cm). ∴.BD=√AB-AD=√10-6=8. .可伸缩支撑杆CD的长度为100cm 22 (2)如图2，过点D作DF⊥BC,交BC (2)如图，过点A作AM⊥CB于点M,则∠AMB=90. 的延长线于点F,交AD'于点G, :DE⊥CB,∴.DE∥ 由题意，得AB=FG=10cm,AG AM,'.△CDEd 面 BF,∠AGD=90°， B DG 3 △cM.: 在R△ADG中，tana一AG4' 图2 CD 地平面 设DG=3rcm,则AG=4.xcm, 即 ∴.AD=√AG+DG=√(4.x)+(3x)F=5.x(cm). AD=50 cm, ..AM-"c ..'sina AM AB ∴5.x=50,解得.x=10, a ..AG=40 cm,DG=30 cm. ③)sia-等且sim=086g】 ,.DF=DG+FG=30+10=40(cm),BF=40cm. .BC=20 cm, .按键顺序为2ndF,sin,0,·.8.6,=, 答案：① ..CF=BF-BC=40-20=20(cm). 在Rt△CFD中，CD=√CF+DF=√20+40 综合集训 20√5(em). 1.A2.C3.(6-25)+.74 5.解：如图，过点D作DE⊥BC,垂足为E, ∴.此时可伸缩支撑杆CD的长度为20√5cm D 3.B4.17 i-34 5.解：(1)设CD=xm,,DE=36m, .CE=CD+DE=(x+36)m. B :EC⊥AB,垂足为C, 由题意，得AF⊥BC,DE=AF, ∴.∠BCE=∠ACD=90. BC C斜面AB的坡度=314，∴茶=号 “tan☑CDB-∠CDB=45, =41 设AF=3r米，则BF=4x米. .BC=CD·tan∠CDB=x·tan45°=xm. 在R△ABF中，AB=√AF2+BF=√(3x)+(4.x)P= m∠cEB∠cB=3 5x(米). 在R△DEC中，∠C=18°，CD=20米， ∴.BC=CE·tan∠CEB=(x+36)·tan31°， .DE=CD·sinl8°≈20×0.31=6.2（米）， ∴.x=(x+36)·tan31°， 解得x 36×1an3136×0.6=54 1-tan31下≈1-0.6 AF=DE=6,2米r=62.解得-得 ∴.AB=5x10.3(米)， 答：线段CD的长约为54m .斜坡AB的长约为10.3米 arm∠cA-S∠cmA= 6.解：在Rt△ABC中，AB=8尺，∠ACB=73.4, ∴.AC=CD·tan∠CDA≈54×0.1=5.4(m). an73.4-C 8 .AB=AC+BC≈5.4十54≈59(m). 答：桥塔AB的高度约为59m 8 an73.4≈335BC≈8.35*2.4尺) 6.D7.(63+6) 在Rt△ABD中，AB=8尺，∠ADB=26.6°， 8.解：如图，过点C作CH⊥AB于点H, CAB=45,AC=30 nmile, 'tan 26.6"-BD' 8 .'.AH=CH=152 nmile. tan26.6°=≈0.50， ∠CBH=60°. ∴BD≈16.0（尺）. .BC= CH_152 ∴.CD=BD-BC=16.0-2.4=13.6(尺)， sin60° =10.6 (nmile). 观察可知：春分和秋分时日影顶端为CD的中点， 2 过点D作DG⊥AB交AB的 2.4+16=2R. 延长线于点G, .春分和秋分时日影长度为9.2尺 ,∴.∠DBG=180°-60°-30° 必 60 7.解：(1)由题意，得AC⊥CD,BECD, 60°=30°. 459 60 .∠EBD=∠BDC=36.87° ∴.∠BDG=60. 在Rt△BCD中，BD=10米， .∠CDB=60, .CD=BD·cos36.87°≈10×0.80=8（米）. BC 106 .CD的长约为8米 .CD= sin60 =20.2 (nmile). 3 (2)在R1△BCD中，BD=10米，∠BDC=36.87°， .BC=BD·sin36.87=≈10×0.6=6（米） 答：C,D间的距离为20√2 nmile. 在R△ACD中，AD=17米，CD=8米， 9.B10.(415-25) ∴.AC=√AD-CD=√17-8=15（米）. 11.解：(1)a,c,ef .AB=AC-BC=15-6=9(米). 23 :模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点， 由题意，得∠CDF=30°，DF∥AG. ∴模拟装置从A点下降到B点的时间=9÷2=4.5（秒）， .∠GAD=∠ADF=60, 模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5秒. ∠ADC=∠ADF+∠CDF=90° 8.解：(1)四边形PQMN是矩形. 在Rt△ACD中，∠CAD=90°-∠GAD=30°， .∠Q=∠P=90. 在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m, CD=AC=(10,E+10,6)海里， AQ-=AB·sm∠ABQ27m,∠QAB=30 AD=3CD=(10√6+302)海里 在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BE=20√2海里， ,四边形ABCD是矩形， .BC=- BE_202 ∴.AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90 =40√2（海里）， 0s60 1 .∠CBE=30°. 2 ∴.BC= an∠CBE=Sm,AD=83 CE 83 ∴甲货轮航行的路程=AB十BC=40十402≈ m. 96.4(海里)， ∠PAD=180°-30°-90°=60°， 乙货轮航行的路程=AD+CD=10√+30,2+102+ 六AP=AD·cos∠PAD=4 5m1, 106=206+40W2≈105.4（海里）. :96.4海里<105.4海里， PQ-AP+AQ-7/ ≈6.1(m). ∴甲货轮先到达C港 2 (2)在Rt△BCE中. 第20讲 平行四边形与多边形 CE BE= sin/CBE=3.2 m. 考点过关 在Rt△ABQ中. 1.D2.D QB=AB·cm5∠ABQ=2.7m. 3证明：AF=CE,AF-EF=CE-EF, ,该充电站有20个停车位， ..AE=CF. ∴.QM=QB+20BE=66.7m: :∠BAC=∠DCA,∴.AB/CD. ,四边形PQMN是矩形. 在△ABE和△CDF中， ∴.PN=QM=66.7m. I∠BAE=∠DCF, 9.解：(1)如图1，过点B作BE⊥AC,垂足为E, AE-CF. ,.△ABE2△CDF(ASA), 北 ∠AEB=∠CFD. 西十东 .AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形 南 4.B5.B6.C7.C8.C9.510.√T 60 1L.证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,ABCD,∴∠BAE=∠DCF. 45 609 在△BAE和△DCF中， AB=CD. ∠BAE=∠DCF, 图1 AE=CF. 在R△ABE中，∠BAE=90°-45°=45，AB=40海里， ,'.△BAE≌△DCF(SAS),'.BE=DF 六AE=AB·cs45°=40x2 12.(1)证明：点E是AB的中点， 2 =20√2（海里） ..AE=BE. BE=AB·sin45°=40x DF=BF,,EF是△ABD的中位线. 2 =202(海里). ∴.EFAD,∴.CF∥AD. 在Rt△BCE中，∠CBE=60°， :AFCD,∴.四边形AFCD为平行四边形. ∴.CE=BE·tan60°=20√2×√3=206（海里）， (2)解：由(1)知EF是△ABD的中位线， .AD=2EF=2. .AC=AE+CE=20√2+20√6≈77.2（海里）， ∴.A,C两港之间的距离约为77.2海里。 “∠EFB=0,乙PEB=3 (2)甲货轮先到达C港， ∴BF=3EF=3. 说明：如图2， ,DF=FB,∴.DF=BF=3. ,ADCE,.∠ADF=∠EFB=90°， 南 AF=√AD+DF=√I3. ,四边形AFCD为平行四边形， .CD=AF=√I3 45 60 DF=BF,CE⊥BD,.BC=CD=√I3. 13.A14.C15.B16.50°17.9 图2 综合集训 1.C2.D3.C4.B 24