高二下学期期中真题百题大通关（提升版）（范围：坐标平面上的直线、圆锥曲线）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

高二下学期期中真题百题大通关（提升版） （范围：坐标平面上的直线、圆锥曲线） 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知，，设直线，其中，给出下列结论： ①直线的法向量与向量垂直； ②若，则直线与直线的夹角为； ③直线与直线平行；上述结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 3．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：    ①“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为； ②阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则； ③在阴影部分中任取一点，则的最大距离为3； ④“水滴”图形的面积是. 其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 6．（22-23高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线C的方程是，给出下列四个结论： ①曲线C与两坐标轴有公共点； ②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点P，Q都在曲线C上，则的最大值是； ④曲线C围成图形的面积大小在区间内． 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 二、填空题 9．（23-24高二下·上海·期中）两条直线，夹角的大小是 ．（结果用反余弦函数值表示） 10．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程 . 11．（23-24高二下·上海·期中）双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为 . 12．（23-24高二下·上海·期中）设，是椭圆与双曲线（，）的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点M，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 13．（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ． 14．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的两条渐近线夹角为 ． 15．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，点都在上，且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则的渐近线方程为 . 16．（23-24高二下·上海·期中）高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率 ． 17．（23-24高二下·上海·期中）已知二次曲线的方程为： ，当m，n为正整数，且时存在两条曲线，其交点P与点满足，则 18．（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的弦与分别平行于轴与轴，且相交于点．已知线段的长分别为，则的面积为 ． 19．（23-24高二下·上海·期中）若无论实数取何值，直线与圆恒有交点，则的取值范围为 ． 20．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为 21．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 22．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知双曲线的左､右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是 （结果用表示） 23．（22-23高二下·上海黄浦·期中）从双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形，则该平行四边形的面积为 . 24．（22-23高二下·上海静安·期中）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是 ． 25．（22-23高二下·上海黄浦·期中）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为 ．    26．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ． 27．（22-23高二下·上海徐汇·期中）双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为 ． 28．（22-23高二下·上海松江·期中）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是 ．（填上你认为所有正确的序号）    ①双纽线C关于原点O中心对称； ②双纽线C上满足的点P只有1个； ③； ④的最大值为． 29．（22-23高二下·上海浦东新·期中）设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为 ． 30．（22-23高二下·上海静安·期中）曲线为到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的编号为 ． ①曲线一定经过原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③的面积不大于8； ④曲线在一个面积为的矩形范围内． 31．（22-23高二下·上海普陀·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了三种圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为 32．（22-23高二下·上海静安·期中）已知两点，，给出下列曲线方程： ①；②；③；④. 则在曲线存在点满足的所有曲线方程的序号是 33．（22-23高二下·上海静安·期中）已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 34．（22-23高二下·上海静安·期中）设直线与圆相交所得弦长为，则 35．（22-23高二下·上海松江·期中）定义两个点集之间的距离集为，其中表示两点､之间的距离.已知，在平面直角坐标系中，点集，若，则的值为 . 36．（22-23高二下·上海松江·期中）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 . 37．（22-23高二下·上海浦东新·期中）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为 . 38．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为 . 39．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 . 40．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为 . 41．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数 . 42．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知点到点和点以及直线的距离相等，若满足条件的点有且只有一个，则实数的值为 . 43．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线方程，若过的直线与该曲线恰有三个不同的交点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 44．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则以下结论：①为定值；②的周长的取值范围是；③当时，为直角三角形；④当时，的面积为．其中正确的是 ．（填序号） 45．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知、分别是椭圆的左、右焦点，是短轴的顶点，直线经过点且与交于、两点，若垂直平分线段，则的周长是 ． 46．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 ． 47．（22-23高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 48．（22-23高二下·上海嘉定·期中）当直线和曲线没有公共点，则实数b的取值范围为 49．（21-22高二下·上海普陀·期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为 ． 50．（21-22高二下·上海普陀·期中）点为双曲线上的点，、为左、右焦点，若，则的面积是 ． 三、解答题 51．（23-24高二下·上海·期中）在中，，，． (1)建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程； (2)求的重心到边所在直线的距离． 52．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 53．（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 54．（22-23高二下·上海静安·期中）已知直线经过两条直线与的交点且与直线的夹角为，求直线的方程. 55．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为：，且边上的中线所在直线的方程为：． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的一般式方程． 56．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知直线和， (1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹； (2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程． 57．（21-22高二下·上海徐汇·期中）已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 58．（21-22高二下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上的任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为. (1)设点，线段，求； (2)设､､，线段，线段，若点是上的动点，请将表示成x的函数. 59．（23-24高二下·上海·期中）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．    (1)设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程； (2)过的直线与相交于点三点，求证：． 60．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆 (1)若双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆C有公共焦点，求此双曲线的方程； (2)过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由． 61．（23-24高二下·上海·期中）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 62．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，圆． (1)求直线与圆相交所得的弦长； (2)求圆关于直线对称所得的圆的方程． 63．（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 64．（23-24高二下·上海·期中）已知点A为椭圆上一点，分别为椭圆的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若点A的横坐标为2，求的长. (3)设的上、下顶点分别为，点为椭圆上一点，记的面积为的面积为，若，求的取值范围. 65．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知椭圆经过点，其左焦点为；过F点的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴的正半轴于点M；    (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l过点F且斜率存在，设斜率为k，求弦长关于k的函数解析式； (3)过点F且与l垂直的直线交椭圆于C，D两点，若四边形的面积为，求直线l的方程； 66．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点， ①求的取值范围； ②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标. 67．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和. (1)求椭圆的标准方程； (2)是轴正半轴上的一点，求的最大值. 68．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知圆经过，圆. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相切，求的值. 69．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B． (1)若P点坐标为，求 (2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 70．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知双曲线C的方程为． (1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值； (2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程． 71．（22-23高二下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上的任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为． (1)设点，线段，求； (2)设l是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积． 72．（22-23高二下·上海松江·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．      (1)若是的一条渐近线的一个法向量，试求的两渐近线的夹角； (2)若，，，，试求双曲线的方程； (3)在（1）的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由． 73．（22-23高二下·上海松江·期中）2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米． (1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程； (2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位） 74．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知曲线C的方程是，其中，，直线l的方程是． (1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线； (2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段中点的横坐标是，求a的值； (3)若，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由． 75．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令． (1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率； (2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程． 76．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线和的交点为P，求以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的标准方程． 77．（22-23高二下·上海静安·期中）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O． (1)当直线l垂直于x轴时，求弦长； (2)当时，求直线l的方程； (3)是否存在位于x轴上的定点使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？ 78．（22-23高二下·上海静安·期中）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为． (1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； (2)若斜率，求的面积； (3)若是等腰三角形且，求实数． 79．（22-23高二下·上海静安·期中）已知圆的方程为，过点作直线l交圆于A、B两点． (1)当直线l的斜率为1时，求弦AB的长； (2)当直线l的斜率变化时，求动弦AB的中点Q的轨迹方程． 80．（22-23高二下·上海普陀·期中）某科学考察队在某地考察时，在距离点20千米处的西侧、东侧分别设立了站点、.现以为坐标系原点，的东侧为轴正方向，的北侧为轴正方向建立平面直角坐标系. (1)若考察发现一点满足(千米)，据此写出所在的曲线方程；若进一步观察到，在的北偏东方向处，求点的坐标； (2)若考察发现一点满足(千米).为进一步得到位置，该考察队在距离点15千米处的南侧、北侧分别设立了站点、，且(千米)，求的距离（精确到1米)和点相对于的方向(精确到). 81．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知抛物线. (1)若上一点到其焦点的距离为4，求的方程； (2)若，斜率为2的直线交于A、B两点，交轴的正半轴于点为坐标原点，，求点的坐标. 82．（22-23高二下·上海静安·期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 83．（22-23高二下·上海黄浦·期中）设抛物线的焦点为F，过F作直线l与C交于A、B两点． (1)若弦长，求直线l的方程； (2)求证：当直线轴时，的面积最小． 84．（22-23高二下·上海松江·期中）如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：直线的斜率之积为定值； (3)求的取值范围. 85．（22-23高二下·上海松江·期中）已知抛物线是它的焦点. (1)过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求线段的长； (2)为抛物线上的动点，点，求的最小值. 86．（21-22高二下·上海黄浦·期末）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度. (1)以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程； (2)若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？ 87．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线，椭圆. (1)证明：直线l与椭圆C恒有两个交点； (2)已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围. 88．（22-23高二下·上海宝山·期中）已知双曲线，及直线. (1)若与有且只有一个公共点，求实数的值； (2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值. 89．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知双曲线：的离心率为； (1)求此双曲线的渐近线方程； (2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围； 90．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知直线，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 91．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线l：与圆C：相交于A、B两点． (1)若，求k； (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 92．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 93．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知抛物线的焦点为F（2，0）； (1)求抛物线的方程； (2)若动点P在抛物线上，线段PF的中点为Q，求点Q的轨迹方程； (3)过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于A，B两点，直线交抛物线于C，D两点，且点M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积的最小值； 94．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程； (3)已知点，求的最小值. 95．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知圆，点. (1)求过点P的圆C的切线l的方程； (2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程. 96．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点，且满足． (1)求动点所在曲线的轨迹方程； (2)过点作斜率为的直线，交（1）中的曲线于、两点，且满足：（为坐标原点），试判断点是否在曲线上，并说明理由． 97．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知圆心在轴上的圆经过两点、． (1)求此圆的标准方程； (2)求过点且与此圆相切的直线的一般式方程． 98．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点，斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同两点，． (1)求抛物线的方程； (2)若，求的值． 99．（20-21高二下·上海浦东新·期中）已知圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣3＝0． (1)求过点（3，2）且与圆C相切的直线方程； (2)若直线y＝x+1与圆C相交于A，B，求弦长|AB|的值． 100．（21-22高二下·上海普陀·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率 (3)求直线被椭圆截得的弦长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期期中真题百题大通关（提升版） （范围：坐标平面上的直线、圆锥曲线） 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】已知直线平行求参数、求直线交点坐标 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 2．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知，，设直线，其中，给出下列结论： ①直线的法向量与向量垂直； ②若，则直线与直线的夹角为； ③直线与直线平行；上述结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【知识点】求直线的方向向量、求直线的法向量、由一般式方程判断直线的平行 【分析】 对①，写出方向向量，由向量共线与坐标的关系即可判断；对②，由斜率及倾斜角的关系求得两直线倾斜角，即可求得夹角；对③，两直线平行需进一步判断是否存在重合. 【详解】对于①，直线的方向向量是，则， 所以向量与向量共线， 故直线的法向量与向量垂直，即①正确； 对于②，当时，直线的斜率是，倾斜角是， 直线的斜率是，㑔斜角是，两直线的夹角为，故②正确； 对于③，直线的斜率是，在轴上的截距是， 直线的斜率是，且在轴上的截距是， 当时，两直线重合，不平行，故③错误； 综上，是真命题的序号是①②； 故选：B. 3．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意知,若 a = 0  ,则倾斜角为, 若,则, ①当时，(当且仅当时，取“”)， ②当时，(当且仅当时，取“”)， ，故， 综上，， 故选：C. 4．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：    ①“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为； ②阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则； ③在阴影部分中任取一点，则的最大距离为3； ④“水滴”图形的面积是. 其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、圆的弧长、面积、圆心角等计算、由方程研究曲线的性质 【分析】对于①②令，可得的范围，可以进行判断；对于③利用圆的参数方程,可得点到原点的距离,结合三角函数求最值；对于④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成. 【详解】①由于，，令， ， 解得，所以“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为，故①正确； ②由①得，阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则，故②错误； ③由于，设，， 所以点到原点的距离，当时，点到原点的距离取到最大值3，故③正确； ④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成，半圆的半径为1，弓形半径为2，圆心角为. 所以. 故④错误. 故选：C. 5．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆、双曲线定义的理解 【分析】首先分四种情况,点在圆内,圆上,圆外,以及点与点重合,四种情况讨论点的轨迹. 【详解】当点在圆内且不与点M重合, 则点的轨迹是以为焦点的椭圆，    当点在圆上时, 由于, 线段的中垂线交直线于,点的轨迹为一个点， 点在圆外时,，.则点的轨迹是以为焦点的双曲线，    当点与重合时,为半径的中点,点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆,所以其中正确的命题序号为①②④⑥共4个. 故选：B. 【点睛】动点轨迹问题的关键是情况分类. 6．（22-23高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】考虑和两种情况，画出曲线和直线图像，根据图像得到答案. 【详解】当时，曲线，即，双曲线右半部分； 一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行； 当时，曲线，即，椭圆的左半部分； 画出曲线和直线的图像，如图所示：    根据图像知有个公共点. 故选：B 7．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知实数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求cosx（型）函数的最值、辅助角公式、由标准方程确定圆心和半径 【分析】把给定方程化成标准形式，再利用圆的意义借助三角代换求解作答. 【详解】方程化为：，表示以为圆心，1为半径的圆， 设，，即， 因此， 其中锐角由确定，显然，于是当，即时， 取得最小值， 所以的最小值是. 故选：C 8．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线C的方程是，给出下列四个结论： ①曲线C与两坐标轴有公共点； ②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③若点P，Q都在曲线C上，则的最大值是； ④曲线C围成图形的面积大小在区间内． 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、圆的弧长、面积、圆心角等计算 【分析】 画出函数图像，根据图像得到①错误，②正确，的最大值是相对的两圆心的距离加上两个半径，计算得到③正确，计算得到，④错误，得到答案. 【详解】当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 圆半径，画出图像，如图所示：    对①：曲线C与两坐标轴没有公共点，错误； 对②：曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，正确； 对③：点P，Q都在曲线C上，则的最大值是相对的两圆心的距离加上两个半径，即，正确； 对④：与轴的一个交点分别为，，中，，故，， 故，，，错误. 故选：C 二、填空题 9．（23-24高二下·上海·期中）两条直线，夹角的大小是 ．（结果用反余弦函数值表示） 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示、求直线的方向向量 【分析】设直线与直线的夹角为，根据题意结合向量夹角公式可得，进而可得结果. 【详解】设直线与直线的夹角为， 由题意可知：直线的斜率，其方向向量可以为， 直线的斜率，其方向向量可以为， 则， 所以直线与直线的夹角为. 故答案为：. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程 . 【答案】或 【知识点】直线的倾斜角、两条直线的到（夹）角公式、直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：直线斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，解得，或（舍去）， 设两直线夹角为，则， 可得，所以. ①当的斜率不存在，则， 此时，可得，符合题意； ②当的斜率存在，设的斜率为， 则，解得， 所以直线，即； 综上所述：的方程为或． 故答案为：或． 11．（23-24高二下·上海·期中）双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出,的反向延长线交于双曲线的左焦点,由已知可得，，设可得由勾股定理可求得进而可求C的离心率. 【详解】由双曲线的光学性质可知,的反向延长线交于双曲线的左焦点,如图所示： 由, 两边平方可得, 所以，所以，所以， 又，所以， 设则， 设，则， 根据双曲线定义，可得， 所以，解得，所以 在中，所以 所以C的离心率为. 故答案为：. 12．（23-24高二下·上海·期中）设，是椭圆与双曲线（，）的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点M，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出、，由勾股定理即可得到、的关系，从而解出的范围． 【详解】由椭圆及双曲线定义得，所以， 因为， 由余弦定理得， 同时除以得， 因为，，， 所以，则， 故答案为： 13．（23-24高二下·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、斜率公式的应用 【分析】根据条件得到点在以为圆心，为半径的半圆上，而表示半圆上的点与点连线的斜率，根据图形，利用几何关系，即可求出结果. 【详解】由得到，所以是以为圆心，为半径的半圆，如图所示， 令，即， 由图知，当过点时，最小，将代入，得到， 当与半圆相切时，最大，由，得到，解得或（舍）， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的两条渐近线夹角为 ． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、直线的倾斜角 【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得渐近线的倾斜角，再结合两条直线夹角的范围即可得答案. 【详解】双曲线可化为， 所以双曲线的渐近线方程为， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角为. 故答案为： 15．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，点都在上，且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则的渐近线方程为 . 【答案】 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求出即可. 【详解】依题意，点，设点，则， 显然，即， 由直线的斜率之积为， 得， 则，又因为双曲线的焦点在轴上， 所以渐近线方程为：. 故答案为：. 16．（23-24高二下·上海·期中）高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率. 【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为 设, 由到直线的距离为1，得，解之得或（舍） 则， 又设直线PN的方程为 由到直线PN的距离为1，得，整理得， 则，又，故 则直线PN的方程为， 故， 由，解得，故椭圆的离心率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，根据直线与圆相切的关系得到直线的斜率，从而求出与，解出即可斜率. 17．（23-24高二下·上海·期中）已知二次曲线的方程为： ，当m，n为正整数，且时存在两条曲线，其交点P与点满足，则 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、椭圆定义及辨析 【分析】可先得为椭圆，为双曲线，结合图象几何性质得到，，然后根据椭圆、双曲线的定义及列出方程组，即可求解. 【详解】由题意可知满足且m，n为正整数的曲线如下： ，，为椭圆， ，，，为双曲线， 结合图形的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点， 故，， 因为，所以， 设，，则根据椭圆、双曲线的定义及可得    可得代入③ 解得， 所以存在这样的，且或或. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用两类曲线的定义建立等量关系式，结合勾股定理，从而得出结果. 18．（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的弦与分别平行于轴与轴，且相交于点．已知线段的长分别为，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】不妨设，根据题意得，得出，进而求得，代入椭圆的方程，求得的值，结合面积公式，即可求解. 【详解】根据椭圆的对称性，不妨设，且， 根据题意，可得，所以， 则，且，即， 将点代入椭圆的方程，可得和， 解得，则， 所以的面积. 故答案为：. 19．（23-24高二下·上海·期中）若无论实数取何值，直线与圆恒有交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线过定点问题 【分析】先求出直线所过定点，然后求出定点到圆心的距离，最后让定点在圆上或圆内求出距离即可. 【详解】由题意可知，因为直线横过定点，圆心为，半径， 又直线与圆恒有交点， 所以圆心到定点的距离小于等于半径即可， 即， 故答案为：. 20．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为 【答案】/ 【知识点】椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】令且，应用两点距离公式及点在椭圆上得到关于的函数，即可求最值. 【详解】令且，则， 而，故， 所以，当时，. 故答案为： 21．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 【答案】 【知识点】根据韦达定理求参数、抛物线的中点弦、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】 根据题意设，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数，最后应用弦长公式求即可. 【详解】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设， 联立抛物线得，，故，， 所以，即， 则. 故答案为： 22．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知双曲线的左､右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是 （结果用表示） 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线向量共线比例问题 【分析】设，根据两点间距离公式表示，由直线倾斜角的大小得出，并结合向量共线的关系进行计算得出结果. 【详解】设，， 由点在双曲线上得，即. 则 ， 同理，，如图，由直线倾斜角为可知，，   ， ， 设，则， ， ， . 故答案为：. 23．（22-23高二下·上海黄浦·期中）从双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形，则该平行四边形的面积为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】设和过点的与两条渐近线的平行线方程，联立方程组求出交点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解. 【详解】设，过点分别作两条渐近线的平行线与渐近线交于点， 则直线和的方程分别为和， 由方程组， 同理可知另一个交点为， 则， 则， 设直线倾斜角为，则， 可得， 所以四边形的面积为. 故答案为：. 24．（22-23高二下·上海静安·期中）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知点到直线距离求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题意得，圆心到直线的距离，列式求解即可． 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆上有四个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离， 所以，解得． 故答案为：． 25．（22-23高二下·上海黄浦·期中）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为 ．    【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】先设出双曲线的标准方程，再根据条件求出，即可求出结果. 【详解】设所求双曲线方程为：， 如图，因为，易知， 又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分点，所以在双曲线上，得到，整理得到， 故所求曲线方程为.    故答案为：. 26．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】根据给定条件，求出过定点的圆的最长、最短弦长，再求出四边形面积作答. 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 点与圆心的距离， 则点在圆内，过点及圆心的直线与圆相交，得最长弦长， 当时，最短，过的最短的弦长， 所以四边形的面积. 故答案为： 27．（22-23高二下·上海徐汇·期中）双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为 ． 【答案】2 【知识点】圆的弦长与中点弦、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，再利用几何法求出弦长作答. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心为，半径，点到渐近线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为：2    28．（22-23高二下·上海松江·期中）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是 ．（填上你认为所有正确的序号）    ①双纽线C关于原点O中心对称； ②双纽线C上满足的点P只有1个； ③； ④的最大值为． 【答案】①②④ 【知识点】圆锥曲线新定义、求平面轨迹方程 【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于②，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于③，根据三角形的等面积法分析判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断. 【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以， 用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确， 对于②，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即， 所以，得，所以这样的点只有一个，所以②正确， 对于③，根据三角形的等面积法可知， 即，所以，所以③错误， 对于④，因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 所以的最大值为，所以④正确， 故答案为：①②④ 29．（22-23高二下·上海浦东新·期中）设P是椭圆上任意一点，F为C的右焦点，的最小值为，则椭圆C的长轴长为 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的长轴、短轴 【分析】的最小值为，即，解得答案. 【详解】的最小值为，即，解得，长轴长为. 故答案为： 30．（22-23高二下·上海静安·期中）曲线为到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的编号为 ． ①曲线一定经过原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③的面积不大于8； ④曲线在一个面积为的矩形范围内． 【答案】③④ 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】求出动点轨迹方程，由方程确定轨迹的性质，判断各结论． 【详解】设，则， 对于①，原点代入方程，得，即方程不成立，曲线一定不经过原点，命题①错误； 对于②以代替，可得成立， 以代替，可得成立， 即曲线关于、轴对称，命题②错误； 对于③，显然、、三点不共线， 设，，，则， 由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，则为锐角，所以， 则的面积为，命题③正确； 对于④，， 可得，得，解得， 由③知，得，即 曲线在一个面积为的矩形内，命题④正确. 综上，正确的命题有③④. 故答案为：③④ 31．（22-23高二下·上海普陀·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了三种圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为 【答案】/0.6 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立坐标系，求出坐标代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，先求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求余弦值即可. 【详解】设交于， 以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立如图所示坐标系， 因为圆锥的高，是中点，且截面垂直于底面， 所以，所以， 又因为底面圆半径， 所以，，所以， 设双曲线方程为，将，，代入解得， 则双曲线的两条渐近线方程为， 由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为， 所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为， 故答案为： 32．（22-23高二下·上海静安·期中）已知两点，，给出下列曲线方程： ①；②；③；④. 则在曲线存在点满足的所有曲线方程的序号是 【答案】②④ 【知识点】由两条直线垂直求方程、判断直线与圆的位置关系、讨论椭圆与直线的位置关系、讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】 所求曲线上存在点满足等价于曲线与线段的垂直平分线有公共点，利用已知条件求出线段的垂直平分线方程，结合直线与曲线的位置关系即可求解. 【详解】由，得,线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为，即. 对于①，显然①中的直线与直线平行，不符合题意. 对于②，因为圆心为到直线的距离为，所以直线与相交，符合题意. 对于③，由，消去，得，所以，故直线与椭圆相离，不符合题意， 对于④，由，得双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线的渐近线平行，所以直线与双曲线有一个交点，符合题意. 故答案为：②④. 33．（22-23高二下·上海静安·期中）已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 【答案】 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】作出图形，利用图形可知，当与抛物线的准线垂直时，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值，联立直线与抛物线的方程，可得出点的坐标. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义，可得，则， 当、、三点共线，即当时，取最小值， 此时直线的方程为，联立，解得，即点. 因此，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为. 故答案为：. 34．（22-23高二下·上海静安·期中）设直线与圆相交所得弦长为，则 【答案】0 【知识点】求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由圆的弦长公式可解. 【详解】依题意，圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式：，可得， 解得. 故答案为：0 35．（22-23高二下·上海松江·期中）定义两个点集之间的距离集为，其中表示两点､之间的距离.已知，在平面直角坐标系中，点集，若，则的值为 . 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】集合表示以为圆心，半径为1的圆上的点，而圆心在双曲线的右支上，集合表示直线上的点.画出图形可知，当直线与双曲线的渐近线平行且距离为1时，满足条件，从而可解. 【详解】集合表示以为圆心，半径为1的圆上的点， 集合表示直线上的点. 而圆心在双曲线的右支上，又因为， 所以由图像可知，当直线与双曲线的渐近线平行且距离为1时 ，满足条件，即. 当时，此时直线在双曲线的渐近线的左上方且距离为1， ，解得； 当时，此时直线在双曲线的渐近线的左下方且距离为1， ，解得. 所以的值为. 故答案为：. 36．（22-23高二下·上海松江·期中）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 . 【答案】/ 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设出双曲线右焦点，连接，利用双曲线的定义和中位线进行解题. 【详解】 不妨将点置于第一象限. 设是双曲线的右焦点，连接. 分别为的中点，故. 又由双曲线定义得， 故. 故答案为： 37．（22-23高二下·上海浦东新·期中）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、椭圆中三角形（四边形）的面积、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可. 【详解】设椭圆方程为， 双曲线方程为， 如下图，连接，所以为平行四边形， 由得， 设， 在椭圆中，由定义可知：， 由余弦定理可知： ， ， 在双曲线中，由定义可知中：：， 由余弦定理可知： ， ， 所以， ，当且仅当时取等号， 所以， 所以与的离心率之积的最小值为． 故答案为： 38．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、求抛物线上一点到定直线的最值 【分析】设，利用点到直线的距离公式求出和，得到关于的函数解析式，利用二次函数知识可求出结果. 【详解】设，因为，所以， ，， ， 对称轴为， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 39．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、极坐标与直角坐标的互化、普通方程与极坐标方程的互化 【分析】由已知得出圆和直线的直角坐标方程，根据点到直线的距离公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得. 因为，所以， 所以圆的直角坐标方程为，圆心为. 直线转化为直角坐标方程为，即. 又点到直线的距离， 即圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 40．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意，求得关于直线的对称点，结合图像即可得到当三点共线时，取得最小值. 【详解】 如图，曲线是以为圆心，以为半径的圆， 则根据圆的性质可知，的最小值为， 设关于直线的对称点为， 则可得，解得，即， 连接，分别交直线与圆于， 则， 当且仅当三点共线时取等号，此时取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为: 41．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知焦点在轴上的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则正数 . 【答案】 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去得到关于的方程，再根据根与系数的关系求得的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出即可． 【详解】由题意焦点在轴上的椭圆， 把直线方程代入椭圆方程整理得． 设弦的两个端点为,，,，则由根与系数的关系可得，， 椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为， 由中点坐标公式可得，，，可得，． 故答案为：． 42．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知点到点和点以及直线的距离相等，若满足条件的点有且只有一个，则实数的值为 . 【答案】或 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由到点和点以及直线的距离相等，可得P的轨迹是抛物线：，且满足 ，把代入第二个方程，对a分类讨论，利用判别式与方程实数根的关系即可得出. 【详解】解：由到点 和到直线 距离相等，可得P的轨迹是抛物线：， 点到点的距离为，点到直线的距离为， 点到点和到直线的距离相等，则满足方程， 把代入方程可得： ，要使满足条件的点P有且只有一个． 时，方程 化为，代入抛物线方程有，可得 ，只有一个解，满足条件． 时，方程只有一解，则， 化为 ，即， 解得 ， 综上可得： 或 . 故答案为： 或 43．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线方程，若过的直线与该曲线恰有三个不同的交点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、由直线与圆的位置关系求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据曲线在不同范围表示圆、双曲线，结合圆和双曲线的性质求解. 【详解】当时，方程可化为， 其图象为个单位圆； 当时，方程可化为， 其图象为焦点在上的双曲线的右下支； 当时，方程可化为， 其图象为焦点在上的双曲线的左上支； 当时，方程可化为，不可能成立； 作出图象如下， 设过点斜率为的直线方程为， 联立，可得， 当时，由，解得(舍)或. 由图可知，当时，直线与该曲线恰有三个不同的交点， 此时直线的倾斜角的取值范围是 . 故答案为: . 44．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则以下结论：①为定值；②的周长的取值范围是；③当时，为直角三角形；④当时，的面积为．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】向量垂直的坐标表示、椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义判断①，由为定值以及的范围判断②；求出、坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断③；求出、坐标，由面积公式得出的面积判断④. 【详解】设椭圆的左焦点为，则 所以为定值，故①正确； 的周长为，因为为定值6， 所以的范围是，所以的周长的范围是，故②正确； 将与椭圆方程联立，解得，即，， 又因为，∴ 所以为直角三角形，故③正确； 将与椭圆方程联立，解得，即，， 所以，故④正确. 故答案为：①②③④ 45．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知、分别是椭圆的左、右焦点，是短轴的顶点，直线经过点且与交于、两点，若垂直平分线段，则的周长是 ． 【答案】. 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、利用向量垂直求参数 【分析】根据已知画出图形，利用中垂线的性质、椭圆的定义与性质以及两直线垂直进行计算求解. 【详解】 如图，因为垂直平分线段，所以， 由椭圆定义可知，的周长为， 由题可知，，，，所以， 所以，, 因为垂直平分线段，所以，解得， 因为，所以，所以的周长为. 故答案为：. 46．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 ． 【答案】15 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、圆的参数方程 【分析】根据题意，写出圆的参数方程，然后将两点坐标表示成参数方程形式，并根据的关系，找到两个点参数形式的角度关系，然后带入求解的式子，利用三角函数的性质即可求解最大值. 【详解】由已知，圆的参数方程为：（为参数）， 因为、是圆上的两个不同的动点， 可令，；，，且， 所以、， 由可得：， 又因为，所以， 所以 ， 其中，， 所以，当时，取得最大值15. 故答案为：15. 47．（22-23高二下·上海杨浦·期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】切线长 【分析】设过点的切线与圆相切于点，分析可知当与直线垂直时，取最小值，再利用勾股定理可求得切线长的最小值. 【详解】设过点的切线与圆相切于点，连接，则， 圆的圆心为，半径为，则， 当与直线垂直时，取最小值，且最小值为， 所以，，即切线长的最小值为. 故答案为：. 48．（22-23高二下·上海嘉定·期中）当直线和曲线没有公共点，则实数b的取值范围为 【答案】或 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系求解. 【详解】由的为如图所示的半圆， 当直线与半圆相切时， 解得或（舍）， 要使直线与曲线没有公共点， 则或， 故答案为: 或. 49．（21-22高二下·上海普陀·期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为 ． 【答案】12 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据椭圆的有界性求范围或最值、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】根据椭圆方程求出，方法一：分类讨论求，进而求的面积，分析运算；方法二：设出的坐标，将的面积用表示，利用的最大值可求出结果. 【详解】由椭圆，得，，． 方法一： 当轴时，为椭圆的短轴，； 当与轴不垂直时，设直线， 由，得，解得，得， 设，不妨取， 所以； 综上所述：的面积的最大值为12． 方法二：设点，则， 故的面积. 故答案为：12. 【点睛】关键点点睛： 方法一：联立方程求点的坐标，进而求的面积，注意分类讨论直线的斜率是否存在； 方法二：根据几何性质可得，再结合的范围分析运算. 50．（21-22高二下·上海普陀·期中）点为双曲线上的点，、为左、右焦点，若，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】利用双曲线的定义可得，结合余弦定理化简求得，根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】由题意得，，且， 由余弦定理得 ， 所以, 所以的面积, 故答案为： 三、解答题 51．（23-24高二下·上海·期中）在中，，，． (1)建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程； (2)求的重心到边所在直线的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线截距式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】（1）由于，故以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，从而得到边所在直线的方程；（2）求出重心坐标，利用点到直线公式即可求解. 【详解】（1）在中，，，，则，则 所以以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如下平面直角坐标系： 所以，，则边所在直线的方程为，化简可得： （2）由于，，，所以的重心坐标为，即重心, 所以的重心到边所在直线的距离 52．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知直线垂直求参数、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 53．（23-24高二下·上海·期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、求平面两点间的距离 【分析】（1）根据题意可得边的垂直平分线的所在的直线方程为，结合题意联立方程求解即可； （2）设，根据题意结合重心坐标公式可得，由外心可得，联立方程求解即可. 【详解】（1）由题意可知：边的中点坐标为，， 边的垂直平分线的所在的直线方程为，即， 联立方程，解得 所以的外心的坐标为. （2）设，则的重心为， 代入欧拉线方程得，整理得， 由（1）可知：的外心坐标为， 可知，则， 整理得， 联立方程，解得或， 当时，点B，C重合，舍去， 所以顶点C的坐标是. 54．（22-23高二下·上海静安·期中）已知直线经过两条直线与的交点且与直线的夹角为，求直线的方程. 【答案】或 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标 【分析】利用联立两条直线方程得出交点坐标，再利用两条直线的夹角公式及直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由，得， 所以， 设直线的斜率为，则 解得， 所以直线的方程为，即， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也满足题意， 所以直线的方程为或. 55．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为：，且边上的中线所在直线的方程为：． (1)求点的坐标； (2)求边所在直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线方程的实际应用、求直线交点坐标、求点关于直线的对称点 【详解】（1）设点的坐标为， 由已知点在直线上，所以， 又线段的中点为， 点在直线上，所以， 解得， 所以点的坐标为； （2）由已知点关于直线的对称点在直线上， 所以，解得，， 所以点的坐标为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 56．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知直线和， (1)求与l1与l2距离相同的点的轨迹； (2)过l1与l2交点作一条直线l，使它夹在两平行线与之间的线段长为，求直线l的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】直线的一般式方程及辨析、求点到直线的距离 【分析】（1）设点满足到两直线的距离相等，则，化简得到答案. （2）计算直线交点为，排除直线斜率不存在的情况，设直线方程为，计算交点坐标，根据两点间距离公式计算得到答案. 【详解】（1）设点满足到两直线的距离相等，则， 即， 即，， 或，， （2），解得，故直线交点为， 当直线的斜率不存在时，线段长度为，不满足； 故设直线方程为， ，解得，即交点， ，解得，即交点， ，整理得到， 解得或， 故直线方程为： ，即，或，即. 57．（21-22高二下·上海徐汇·期中）已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 【答案】或． 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出的倾斜角，根据两直线的夹角，求得的倾斜角，结合直线过点，可求得直线方程. 【详解】由于直线的斜率为，故它的倾斜角为， 由于直线和直线的夹角为，故直线的倾斜角为或， 故直线的斜率不存在或斜率为． 再根据直线经过点，得直线的方程为或， 即或． 58．（21-22高二下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上的任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为. (1)设点，线段，求； (2)设､､，线段，线段，若点是上的动点，请将表示成x的函数. 【答案】(1) (2) 【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离、距离新定义 【分析】（1）根据“点P到线段l的距离”的定义结合两点的距离公式即可得出答案； （2）分别求出线段所在直线和线段所在直线的方程，然后求出过点且垂直于线段的直线方程，与线段所在直线的方程联立，求出交点坐标，再由交点横坐标分情况讨论，从而可得出答案. 【详解】（1）解：可设， 则， 当时，， 所以； （2）解：线段所在直线的方程为， 线段所在直线的方程为， 过点且垂直于线段的直线方程为，即， 联立，解得， 因为点是上的动点，所以， 当时，点到线段的最短距离即为点到线段所在直线的距离， 此时， 当时，点到线段的最短距离即为点到线段上的点的最短距离， 此时， 综上所述，. 59．（23-24高二下·上海·期中）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．    (1)设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程； (2)过的直线与相交于点三点，求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）首先由与轴有两个交点，得出，再由椭圆与双曲线的离心率之积为，即可求出，由直线过点和即可得出直线的方程； （2）由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：，分别与椭圆，双曲线方程联立，求出点的坐标，再计算即可证明． 【详解】（1）因为曲线与轴有两个交点，所以， 由题设可得，解得， 故椭圆方程为：， 双曲线方程为． 由直线过点和，得，则，即． （2）由题意可得的斜率存在且不为零，故设方程为：， 联立，整理得：， ，即且， 解得：或，即． 联立整理得：， 解得：或，即． 所以， 所以，所以． 60．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆 (1)若双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆C有公共焦点，求此双曲线的方程； (2)过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题设条件得到且，即可求出的值，从而求出结果； （2）通过直线斜率为0和不存在两种情况，得出定点，再证明当直线斜率存在且不为0时，以为直径的圆恒过点，设直线，联立椭圆方程得到，利用韦达定理得到，再通过计算，即可解决问题. 【详解】（1）易知椭圆的焦点坐标为， 因为双曲线的一条渐近线方程为，所以①， 又双曲线与椭圆C有公共焦点，所以②， 联立①②得到，所以此双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为0时，直线，由，得到，所以， 故以为直径的圆的方程为③， 当直线的斜率不存在时，易知以为直径的圆的方程为④， 联立③和④，解得， 所以如果存在点，则定点为，下证，当直线斜率存在且不为0时，以为直径的圆恒过点， 设直线，， 由，消得到， 由韦达定理得，， 又因为， 所以， 所以， 故，所以，即以为直径的圆恒过点， 故在坐标平面上存在一个定点满足条件.    61．（23-24高二下·上海·期中）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【答案】(1) (2)拱高、拱宽 【知识点】椭圆与桥梁问题 【分析】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解； （2）由点在椭圆上或在椭圆内得，利用基本不等式即可求出半椭圆的面积的最小值，从而得解. 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 62．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，圆． (1)求直线与圆相交所得的弦长； (2)求圆关于直线对称所得的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据题意，由点到直线的距离公式结合勾股定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由点关于直线对称，即可得到圆心的坐标，即可得到结果. 【详解】（1）设直线与圆相交的弦为线段， 因为圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则， 所以直线与圆相交所得的弦长为. （2）设圆关于直线对称所得的圆为圆， 由题意可得圆心与圆心关于直线对称， 设圆心，则，解得， 则，则圆的方程为. 63．（23-24高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且 (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程； (3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）设圆心，，由距离公式求出，即可得到圆的方程； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）取圆关于轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）设圆心，， 由于，所以，所以， 即圆心的坐标为，则圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时满足直线和圆相切； 若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为， 即， 因为直线和圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 即，此时直线的方程为，即， 所以直线的方程为或； （3）取圆关于轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 64．（23-24高二下·上海·期中）已知点A为椭圆上一点，分别为椭圆的左､右焦点. (1)求椭圆的离心率； (2)若点A的横坐标为2，求的长. (3)设的上、下顶点分别为，点为椭圆上一点，记的面积为的面积为，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求平面两点间的距离、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的参数及范围 【分析】（1）根据椭圆方程求，即可得离心率； （2）设，代入椭圆方程可得，利用两点间距离公式运算求解； （3）设，结合面积关系可得，在利用两点间距离公式结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）由题意可知：， 所以椭圆的离心率. （2）由（1）可知：， 设，则，解得， 所以. （3）由（1）可知：， 设， 则， 若，即，可得， 因为， 由，即，则，可得， 可得，即的取值范围为. 65．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知椭圆经过点，其左焦点为；过F点的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴的正半轴于点M；    (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l过点F且斜率存在，设斜率为k，求弦长关于k的函数解析式； (3)过点F且与l垂直的直线交椭圆于C，D两点，若四边形的面积为，求直线l的方程； 【答案】(1) (2) (3)直线为或. 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的弦长、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据焦点坐标、椭圆所过的点及参数关系求椭圆参数，即得方程； （2）设直线方程，联立椭圆并整理为一元二次方程形式，应用韦达定理及弦长公式写出弦长关于k的函数解析式； （3）由两直线垂直，结合（2）所得写出关于k的表达式，再由列方程求参数k，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意，且，又，可得， 所以. （2）由（1）知：直线为，联立椭圆整理得， 由题意，则，， . （3）由（2）易知，则， 所以，    整理得：，即， 所以或(负值舍去)， 所以直线为或. 66．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点， ①求的取值范围； ②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可求出方程； （2）设直线，，联立直线与双曲线方程，消元、得到 、及；①根据且得到方程组，解得即可；②表示出的方程，令求出，即可得解. 【详解】（1）由题意可得， 所以双曲线的标准方程为； （2）设直线， 联立消去整理可得， 则，又 ，， ①因直线与双曲线交于两支，所以且， 即； ②设， 令，则 ， 所以直线过定点. 67．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和. (1)求椭圆的标准方程； (2)是轴正半轴上的一点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解； （2）设，根据两点间距离公式和二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设， 则 当时， 当时，， 所以. 68．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知圆经过，圆. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相切，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）设出圆的方程，代入点的坐标求解计算即可； （2）经分析两圆外切，把两圆外切转化为圆心距离等于半径之和，列式计算即可. 【详解】（1）设圆，因为圆过三点， 则，所以，所以， 即； （2）圆化为标准方程为， 因为圆与圆的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，且， 则有，解得. 69．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B． (1)若P点坐标为，求 (2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案； （2）设，计算出中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即可. 【详解】（1）因为点坐标为，所以， 又因为，所以,故. （2）设的中点，因为为圆的切线， 所以经过三点的圆是以为圆心，为半径的圆， 故其方程为 化简得， 由，解得（舍）或 所以经过三点的圆经过异于点的定点.    70．（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知双曲线C的方程为． (1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值； (2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】求平面轨迹方程、求双曲线中的弦长、双曲线中的参数及范围 【分析】 （1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出值； （2）设,，利用点差法结合中点公式即可得到，化简即可. 【详解】（1）联立,得， 直线被双曲线截得的弦长为,, 设直线与双曲线交于, 则, 由弦长公式得, 解得. （2）设,，则 ， ， 上式作差得， 当直线的斜率不存在时，根据双曲线对称性知， 当直线的斜率存在时，但时，此时直线为直线，根据双曲线对称性知， 当直线的斜率存在时，且时，， ，，化简得，其中， 而点，适合上述方程， 则线段的中点的轨迹方程是.    71．（22-23高二下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上的任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为． (1)设点，线段，求； (2)设l是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】轨迹问题——圆、距离新定义 【分析】（1）根据“点P到线段l的距离”的定义结合两点的距离公式即可得出答案； （2）设线段的端点分别为A，B，以直线为x轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，,则集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，从而可求解. 【详解】（1）可设， 则， 当时，， 所以； （2）设线段的端点分别为A，B，以直线为x轴，的中点为原点建立直角坐标系， 则，，点集D由如下曲线围成： ，，，， ，，，， ∴集合所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆， ∴其面积为. 72．（22-23高二下·上海松江·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）．      (1)若是的一条渐近线的一个法向量，试求的两渐近线的夹角； (2)若，，，，试求双曲线的方程； (3)在（1）的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，和 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）根据渐近线法向量得到方向向量，可得渐近线的斜率，从而可得渐近线倾斜角正切，利用二倍角的正切公式即可求解； （2）求得，代入双曲线的方程，可求得的值，从而可求得双曲线的方程； （3）求得双曲线的方程，运用三点共线的条件，可得的坐标，假设存在点，运用两直线垂直的条件，结合恒等式，可得定点的坐标 【详解】（1）因为是的一条渐近线的一个法向量， 所以是其中一条渐近线的方向向量， 所以，即其中一条渐近线的斜率为， 设其倾斜角为，则，且， 所以， 所以. （2）设，则由条件知：，，即 所以，， 代入双曲线方程知： 双曲线的方程： （3）因为，所以，由⑴知，，所以的方程为：， 如图，    令，所以，， 令，则，，令，所以， 故以MN为直径的圆的方程为：， 即， 即， 若以MN为直径的圆恒经过定点T 于是 所以圆过x轴上两个定点和 73．（22-23高二下·上海松江·期中）2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米． (1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程； (2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位） 【答案】(1) (2) 【知识点】星体运行轨道问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意求出，即可得出椭圆标准方程； （2）设变轨时，地球位于，根据到原点距离及在椭圆上可得点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离建立不等式求解. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题意知，，， 解得，， 所以， 故所求椭圆的方程为：. （2）由（1）知， 设变轨时，地球位于， 则， 又， 解得， 设过点P的直线方程为， 即， 由， 化简可得 解得 若使地球与木星不会发生碰撞，则“变轨系数”k的取值范围是. 74．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知曲线C的方程是，其中，，直线l的方程是． (1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线； (2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段中点的横坐标是，求a的值； (3)若，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】（1）变换得到，考虑，两种情况，判断即可. （2）设，，代入曲线方程，相减得到，确定的中点坐标，代入直线方程，解得答案. （3）假设存在，设点代入曲线方程，利用点差法得到，再结合点在直线上得到中点坐标，得到直线方程，再联立得到方程无解，得到答案. 【详解】（1），即， 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线； （2）设，，， 则，， 两式相减得到：， 即，故， 故的中点为，代入直线得到， 解得或（舍），故. （3）假设存在，直线方程为，双曲线方程为， 设，，中点为，则，， 两式相减得到， 即，，又， 解得，. 此时直线方程为：，即， ，化简得到，方程无解，故不存在. 75．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知点，依次为双曲线的左、右焦点，且，令． (1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率； (2)若，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为的直线与椭圆C交于两点M，N，且，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据垂直关系得到，确定，解得答案. （2）确定椭圆方程为，设直线方程为，联立方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式计算得到答案. 【详解】（1）渐近线，，，则， 直线与直线垂直，则，即，即， 解得，（舍去负值）. （2）直线的法向量为，设直线方程为， 设椭圆方程为，则，，，， 故椭圆方程为，联立方程，即， ，即， 设，，， ，解得. 故直线方程为或. 76．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线和的交点为P，求以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的标准方程． 【答案】 【知识点】求直线交点坐标、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】联立两直线方程，可以求出交点坐标，根据点到直线距离公式和圆的弦长公式，以及圆的标准方程即可求解. 【详解】联立，解得， 所以P坐标为， 圆心到直线的距离为， 半径为. 圆的标准方程为：. 故圆的标准方程为：. 77．（22-23高二下·上海静安·期中）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O． (1)当直线l垂直于x轴时，求弦长； (2)当时，求直线l的方程； (3)是否存在位于x轴上的定点使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？ 【答案】(1)3 (2) (3)存在， 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆中的弦长、数量积的坐标表示 【分析】（1）求出点A、点B的坐标，进而求得的值. （2）设出直线l的方程，联立直线l的方程与椭圆方程，运用韦达定理及向量坐标运算即可求得结果. （3）当直线l斜率存在时，运用韦达定理可得关于k的式子，要使得为定值，则只需要式子的分子、分母成倍数关系，列式求解可得m的值，检验斜率不存在时是否成立即可. 【详解】（1）由题意知，， 将代入椭圆方程得， 不妨设，， 所以. （2）由（1）知，当直线l斜率不存在时，不妨设，， 则，， 所以，不符合题意，舍去， 所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为：， ， 设，， 则，， 所以， 解得：， 所以， 所以直线l的方程为：. （3）假设是一个定值. ①当直线l的斜率存在时， 由（2）知，，， 因为，， 所以， 要使得是一个定值，则， 解得：， 此时. ②当直线l的斜率不存在时，由（1）知，，， 则，， 所以， 当时，. 综上，存在，位于x轴上的定点使得是一个定值为. 78．（22-23高二下·上海静安·期中）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为． (1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； (2)若斜率，求的面积； (3)若是等腰三角形且，求实数． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线定义的理解 【分析】（1）由抛物线的定义求解即可； （2）由抛物线焦点弦的弦长和点到直线距离求解即可； （3）将抛物线方程与直线方程联立，用表示出中点的坐标，使即可. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线的定义，若点和到准线的距离分别为和，则，， ∴. （2）若斜率，则直线的方程为， 由消去，整理得，， ∵,，∴，， 由抛物线的定义，. 到直线即的距离为， ∴的面积. （3）直线的方程为，（易知） 由消去，整理得，， ∵,，∴，， ∴中点， 其中，，∴， ∵是等腰三角形且，∴， ∴，解得. ∴实数的值为或. 79．（22-23高二下·上海静安·期中）已知圆的方程为，过点作直线l交圆于A、B两点． (1)当直线l的斜率为1时，求弦AB的长； (2)当直线l的斜率变化时，求动弦AB的中点Q的轨迹方程． 【答案】(1) (2)，其中. 【知识点】求平面轨迹方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）由点斜式表示此时直线l的方程，利用弦长公式计算即可； （2）根据几何性质判定Q的轨迹即可. 【详解】（1）直线l的斜率为1时，此时过P的直线可表示为：， 设圆心到的距离为d,圆的半径为r，则. 由题意可得r=3，，所以. （2） 如图所示，根据垂径定理，易知AB中点Q与O的连线垂直于AB，即可得Q在以OP为直径的圆上，同时Q应在圆内，即圆弧. 设圆心为C，则，，则Q在上，与联立可得 故Q轨迹方程为，其中. 80．（22-23高二下·上海普陀·期中）某科学考察队在某地考察时，在距离点20千米处的西侧、东侧分别设立了站点、.现以为坐标系原点，的东侧为轴正方向，的北侧为轴正方向建立平面直角坐标系. (1)若考察发现一点满足(千米)，据此写出所在的曲线方程；若进一步观察到，在的北偏东方向处，求点的坐标； (2)若考察发现一点满足(千米).为进一步得到位置，该考察队在距离点15千米处的南侧、北侧分别设立了站点、，且(千米)，求的距离（精确到1米)和点相对于的方向(精确到). 【答案】(1)， (2)，点在东偏北 【知识点】角度测量问题、求平面两点间的距离、利用双曲线定义求方程、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）由已知结合双曲线的定义，即可得出所在的曲线方程.易知方程为，代入双曲线方程，即可得出点的坐标； （2）根据已知即可推得点所在的两条双曲线方程，且点为双曲线和在第一象限的交点.联立两个双曲线的方程，即可得出点的坐标，进而得出点相对于的方向. 【详解】（1） 由题意知，， 所以，点在以为焦点的双曲线上. 由已知可设，双曲线方程为， 由已知可得，， 所以，，所以. 又，所以为双曲线右支上的一点， 故双曲线的方程为. 因为，则方程为， 代入双曲线方程， 解得，， 即点坐标为. （2）由题意知，， 所以，点在以为焦点的双曲线上. 由已知可设，双曲线方程为， 由已知可得，， 所以，，所以. 又，所以为双曲线右支上的一点， 故双曲线的方程为. 由题意知，， 所以，点在以为焦点的双曲线上. 由已知可设，双曲线方程为， 由已知可得，， 所以，，所以. 又，所以为双曲线上支上的一点， 故双曲线的方程为. 所以，点为双曲线和在第一象限的交点，如图2 联立双曲线和的方程， 得，则(米). 设， 则，则. 所以，点在东偏北. 81．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知抛物线. (1)若上一点到其焦点的距离为4，求的方程； (2)若，斜率为2的直线交于A、B两点，交轴的正半轴于点为坐标原点，，求点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【知识点】数量积的坐标表示、抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义列式求解作答. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，再利用数量积的坐标表示求解作答. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，依题意，，解得， 所以的方程为. （2）设，则直线，而抛物线， 由消去y得：，则， ，而，解得， 所以点坐标为. 82．（22-23高二下·上海静安·期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 【答案】(1) (2)3.11米． 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、直线与圆的实际应用 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为，进而待定系数法求解即可； （2）点的横坐标代入这个圆的方程并解方程即可得答案. 【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系， 设该圆拱所在圆的方程为， 由于圆心在轴上，所以，那么方程即为. 因为都在圆上， 所以它们的坐标都是这个圆的方程的解， 于是有方程组，解得                                              所以，这个圆的方程是． （2）解：由题知点的横坐标为. 所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得， 所以， 因为的纵坐标，故应取正值， 所以，（米）．          所以，支柱的高度约为3.11米. 83．（22-23高二下·上海黄浦·期中）设抛物线的焦点为F，过F作直线l与C交于A、B两点． (1)若弦长，求直线l的方程； (2)求证：当直线轴时，的面积最小． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由弦长求参数、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线定义的理解 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，运用韦达定理及抛物线的焦点弦公式可求得结果. （2）由韦达定理及三角形面积公式可得，转化为求此函数的最小值即可. 【详解】（1）如图所示， 设，, 因为直线l过焦点， 所以直线l的方程为， 联立， 所以，， 所以， 由抛物线的定义知，， 又因为， 所以，解得：， 所以直线l的方程为：. （2）如图所示， 证明：由（1）知，，， 所以， 所以当时，△的面积取得最小值2，此时直线轴. 84．（22-23高二下·上海松江·期中）如图，已知椭圆的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和. (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：直线的斜率之积为定值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】双曲线中的定值问题、求椭圆中的弦长、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可； （2）设点，由斜率的定义可知，再将代入双曲线方程即可求解； （3）利用（2）中结论设直线的方程为，的方程为，分别代入椭圆方程求得即可求解. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意知，且，所以， 所以双曲线的标准方程为：； （2）设点，由题可知， 则， 所以， 由点在双曲线上，可知，即有， 所以，故； （3）由（2）可知，且， 所以可设直线的方程为， 则直线的方程为， 把直线的方程代入椭圆方程， 整理得， 设，则有， 因此 ， 把直线的方程代入椭圆方程， 整理得， 设，，则有，， 因此 ， 所以又， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，， （2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 85．（22-23高二下·上海松江·期中）已知抛物线是它的焦点. (1)过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求线段的长； (2)为抛物线上的动点，点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】（1）根据题意写出直线，然后和抛物线联立，根据韦达定理和抛物线的焦点弦长公式计算； （2）利用抛物线的定义将折线段转化后进行求解. 【详解】（1） 由题意知，直线的方程为：， 设，联立，整理可得：， ，弦长. （2）设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知. 所以，要使最小，只需要最小即可. 由在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为. 86．（21-22高二下·上海黄浦·期末）某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度. (1)以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程； (2)若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？ 【答案】(1) (2)如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有被抓风险. 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系、利用双曲线定义求方程、由两条直线平行求方程 【分析】（1）结合双曲线的定义求得正确答案. （2）求与直线距离为2的平行直线的方程，结合平行直线与点轨迹有无公共点即可. 【详解】（1）依题意，， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， ， 所以点的轨迹方程为. （2）直线的方程为，即， 设与直线的距离为2的平行直线的方程为， 所以， 所以与直线的距离为2的平行直线的方程为或， 双曲线的渐近线为， 直线，即，斜率为，过点， ，所以直线与点的轨迹没有公共点. 直线，即， 由，消去并化简得， ， 又，所以方程存在大于4的实数解， 所以直线与点的轨迹有公共点. 综上所述，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有被抓风险. 87．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线，椭圆. (1)证明：直线l与椭圆C恒有两个交点； (2)已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值、直线过定点问题 【分析】（1）先求直线l所过定点，然后由定点在椭圆内可证； （2）利用椭圆方程带入两点间的距离公式消元，然后由二次函数性质可解. 【详解】（1）整理可得， 由解得，所以直线l过定点. 又，所以点在椭圆内部， 所以直线l与椭圆C恒有两个交点. （2）设点P坐标为，则 所以 令，其对称轴为，且开口向上 所以，当时， 当时， 所以，所以，即 所以的取值范围为 88．（22-23高二下·上海宝山·期中）已知双曲线，及直线. (1)若与有且只有一个公共点，求实数的值； (2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）联立方程组，消元后得到，分、两种情况求解即可； （2）先由题意可得，令直线l与y轴交于点，从而得到，再结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由，消去，得①， 当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）. 当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时）， 综上得的取值是或； （2）设交点，由，消去，得， 首先由，得且， 并且， 又因为与的左右两支分别交于A､B两点， 所以，即，解得， 故. 因为直线l与y轴交于点， 所以， 故. 解得或. 因为，所以. 89．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知双曲线：的离心率为； (1)求此双曲线的渐近线方程； (2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线中的参数及范围 【分析】（1）求出右焦点到渐近线的距离，得出圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组消元，根据方程在上有两解求出的范围，得出线段的中垂线方程，从而得出截距关于的函数，得出的范围． 【详解】（1）双曲线的离心率为．，可得，所以． 可得双曲线． 可得双曲线的渐近线方程为：． （2）设经过点的直线方程为，，，，， 联立方程组，消去得：， ，解得． 的中点为， 线段的中垂线方程为：， 令得截距． 即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是． 90．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知直线，圆. (1)证明：直线与圆相交； (2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)Q，A，B，C四点共圆的证明见解析，点Q恒在直线上，理由见解析 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、判断直线与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）求出直线恒过的定点，利用点与圆的位置关系判断即可； （2）求出圆的圆心坐标，设出M的坐标，利用垂径定理，转化求解轨迹方程即可； （3）设点，证明Q，A，B，C四点共圆，求出圆的方程，求出与圆相交弦的方程，即为直线l的方程，可求点坐标的特征． 【详解】（1）证明：如图所示， 圆，化成标准方程为，圆心，半径为2， 直线过定点，定点到圆心距离为1，即在圆内，故直线l与圆C相交； （2）l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M， 设点，由垂径定理得，即，整理得， 直线l不过圆心C，则， 所以点M的轨迹方程为； （3）依题意有，， 四边形QACB对角互补，所以Q，A，B，C四点共圆， 且QC为圆的直径， 设，则圆心坐标为， 半径为， 则圆的标准方程为 ， 整理得，与圆C的方程联立， 消去二次项得∶，即为直线l的方程， 因为直线过定点，所以，解得：， 所以当m变化时，点Q恒在直线上． 91．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知直线l：与圆C：相交于A、B两点． (1)若，求k； (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）由圆的方程确定圆心和半径，利用几何法求弦长公式和点到直线的距离公式计算即可求解； （2）设，，假设存在点满足题意，即，直线方程联立圆的方程，利用韦达定理表示、，结合两点求斜率公式，化简计算即可求解. 【详解】（1）因为圆C：， 所以圆心坐标为，半径为2，因为， 所以C到AB的距离为， 由点C到直线的距离为：，解得； （2）设，，l的方程为， 则，得， 因为，所以，， 设存在点满足题意，即， 所以， 因为， 所以， 所以，解得． 所以存在点符合题意． 92．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点． (1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心； (2)当弦长时，求直线的方程； (3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)为定值，且 【知识点】数量积的坐标表示、由两条直线垂直求方程、已知圆的弦长求方程或参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）利用垂直时求出，利用点斜式即可得出直线的方程，然后验证圆心在直线上即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据即可得解； （3）先转化，根据直线斜率是否存在分别求出点点坐标，计算后即可得解. 【详解】（1）解：直线与直线垂直，且，. 故直线方程为，即. 圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经过圆心. （2）解：①当直线与轴垂直时，则直线的方程为，圆心到直线的距离为， 且，合乎题意； ②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即， ，是中点，圆圆心为，半径为， ，则由，得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）解：，. ①当与轴垂直时，直线的方程为，联立可得， 即点，则， 又，. ②当的斜率存在时，设直线的方程为，其中， 则由可得，即点，则. . 综上所述，与直线的斜率无关，且. 93．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知抛物线的焦点为F（2，0）； (1)求抛物线的方程； (2)若动点P在抛物线上，线段PF的中点为Q，求点Q的轨迹方程； (3)过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于A，B两点，直线交抛物线于C，D两点，且点M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积的最小值； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求抛物线的轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）根据焦点坐标可直接得到抛物线方程； （2）设点，由题意可得，因为动点P在抛物线上，代入化简即可得出点Q的轨迹方程； （3）设，，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得中点坐标，进而表示出，由，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点为F（2，0）, 所以，解得：. 所以抛物线的方程为：. （2）设点，F（2，0）, 因为线段PF的中点为Q，则，即， 因为动点P在抛物线上，所以，即，化简可得：. 点Q的轨迹方程为. （3）由题意知：直线的斜率均存在， 不妨设，，，，， 则； 由得：，则，即； ，，， ；同理可得： ，， （当且仅当，即时取等号）， 面积的最小值为. 94．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的实轴长为，离心率为.动点P是双曲线C上任意一点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点，求线段的中点Q的轨迹方程； (3)已知点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求平面轨迹方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的最值问题 【分析】（1）根据实轴长，离心率求出基本量，得出双曲线C的标准方程； （2）利用相关点代入法求出点Q的轨迹方程； （3）设，点P是双曲线C上任意一点，则满足双曲线方程，表示，利用换元法求二次函数的最值. 【详解】（1）依题意，， 又离心率为，即，则. 所以， 双曲线C的标准方程. （2）设动点，点，由线段的中点为Q， 则，代入双曲线C的方程得， 所以Q的轨迹方程. （3）动点P是双曲线C上任意一点，设，则， 则，，或， ， ， 当时，取最小值，最小值为. 95．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知圆，点. (1)求过点P的圆C的切线l的方程； (2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解； （2）直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离为，直线被截的弦长为判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，再由直线被截的弦长为求解. 【详解】（1）解：当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，则直线被截的弦长为，成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离为：， 直线被截的弦长为，解得， 所以直线方程为：， 即， 综上：直线方程为：或 96．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点，且满足． (1)求动点所在曲线的轨迹方程； (2)过点作斜率为的直线，交（1）中的曲线于、两点，且满足：（为坐标原点），试判断点是否在曲线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在曲线上，理由见解析. 【知识点】点与曲线的位置关系、轨迹问题——椭圆、根据韦达定理求参数 【分析】（1）求出向量、的坐标，结合条件可得出动点的轨迹方程； （2）得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出的坐标，再判断点是否在曲线上. 【详解】（1）因为，、， 所以，， 因为，所以， 化简得，即， 因此，曲线的方程为； （2）由题意知直线的方程为， 将直线的方程与椭圆的方程联立，得． 方程的判别式， 设点、，由韦达定理得， ， ，， 所以，点的坐标为，而， 所以点的坐标满足曲线的方程， 所以点在曲线上. 97．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知圆心在轴上的圆经过两点、． (1)求此圆的标准方程； (2)求过点且与此圆相切的直线的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）设圆心的坐标为，根据求出的值，可得出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：设圆心的坐标为，由可得，解得， 则圆的半径为， 所以，圆的标准方程为. （2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，此时直线与圆相切，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 98．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点，斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同两点，． (1)求抛物线的方程； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据韦达定理求参数 【分析】（1）求得双曲线的左焦点为，设抛物线的方程为，所以，由此可求得抛物线的方程； （2）直线的方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，利用抛物线定义及，得出的关系，与韦达定理结合可求得. 【详解】（1）双曲线，即，可知左焦点为， 故抛物线的准线方程为， 又因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴， 设抛物线的方程为，所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）抛物线的方程为，则其焦点， 设直线的方程为，， 由，可得：， ，， 根据抛物线定义，， ， 又， 代入得 (舍)或 ， . 99．（20-21高二下·上海浦东新·期中）已知圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣3＝0． (1)求过点（3，2）且与圆C相切的直线方程； (2)若直线y＝x+1与圆C相交于A，B，求弦长|AB|的值． 【答案】(1)y＝2或x＝3； (2). 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）求出圆心与半径r，①当直线斜率不存在时，验证是否满足题意．②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y﹣2＝k（x﹣3），利用点到直线的距离公式求解即可． （2）利用点到直线的距离，结合圆的半径计算弦长即可． 【详解】（1）圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4，圆心为C（1，0），半径r＝2， ①当直线斜率不存在时，由过点（3，2）得直线方程为x＝3，与（1，0）的距离为2，与圆相切，符合题意； ②当直线斜率存在时，可设斜率为k，直线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k＝0， 圆心（1，0）到直线的距离，解得k＝0． ∴直线方程为y＝2． 综上，所求直线方程为y＝2或x＝3． （2）圆心C（1，0）到直线y＝x+1与的距离， 又半径r＝2，∴弦长|AB|＝． 100．（21-22高二下·上海普陀·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)写出椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率 (3)求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】(1) (2)长轴长，短轴长4，焦距4，离心率 (3) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据题意分析可得，结合可求，即可得结果； （2）根据（1）中的，结合椭圆的相关概念运算求解； （3）联立方程，根据弦长公式运算求解. 【详解】（1）因为点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形， 所以，所以， 故椭圆的方程为. （2）由（1）可得：， 故长轴长，短轴长4，焦距4，离心率. （3）设交点， 联立方程，消去y得， 则， 所以． 【点睛】方法定睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$