第八讲利用导数研究不等式恒成立问题讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第八讲：利用导数研究不等式恒成立问题 一、教学目标 ①理解导数与函数的单调性的关系。 ②会利用导数证明一些简单的不等式问题。 ③掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法。 二、教学重难点 重点：利用函数的导数判断函数的单调性 会利用导数解决单调性与含参数相关的问题. 难点：会利用导数解决单调性与含参数相关的问题. 三、知识精讲 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 四、例题精析 【题型一：分离变量法】 1．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2． （1）已知对于恒成立，求实数的取值范围； （2）已知函数，若不等式在R上恒成立，试求a的取值范围. 【变式1】．已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数． (1)当时，求的极值； (2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 【题型二：等价转化法】 例1．已知函数，（其中）． (1)若，求函数的单调区间； (2)若对于任意，都有成立，求的取值范围． 例2．已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 五、课堂小结 六、家庭作业 1．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 2．已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值． (1)求函数的单调区间和极大值； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； 课堂检测 姓名： 时间： 1．已知函数，a∈R． （1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值． 2．已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+b，若曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣x+1． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）讨论函数y＝f（x）的单调性． 3．已知． （1）求曲线y＝f（x）在x＝π处切线的方程； （2）求函数f（x）在区间上的最值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$