期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、点所在的象限及坐标 1．在平面直角坐标系中，点，第四象限一点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点到轴的距离是2 C．直线轴 D．点到原点的距离是 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与平面，两点之间距离公式，点到坐标轴的距离等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 先确定点，即可判断A、B、C，再由两点之间距离公式可判断D． 【详解】解：A、由于第四象限一点到轴的距离为2，到轴的距离为1，故，本选项错误，符合题意； B、点到轴的距离是2，正确，不符合题意； C、由于，，故轴，正确，不符合题意； D、点到原点的距离是，正确，不符合题意， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限是解题的关键． 根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：，， 在平面直角坐标系中，点位于第一象限， 故选A． 3．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度到达点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与平移，根据左右平移只改变点的横坐标，左减右加进行解答．让点的横坐标加3，纵坐标不变即可得到点的坐标． 【详解】解：由题中的平移规律可知：点的横坐标为； 纵坐标为3； ∴点的坐标为． 故选：A． 4．若点与点关于轴对称，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征．熟记相关结论即可．根据关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可解决． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 5．已知点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了第四象限内的点的坐标特点，点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，再由第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴且， ∴， ∴， 故答案为：0． 6．已知到轴和轴的距离相等，则等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．根据到轴和轴的距离相等列方程，并解方程即可． 【详解】解：由题意得， 或 解得或 故答案为：或． 类型二、分式的基本性质 1．如果把的与（，均为正数）都扩大10倍，那么代数式的值（   ） A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．依题意分别用和去代换原分式中的与，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的与， 得：， 则代数式的值扩大10倍， 故选：C． 2．如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值扩大为原来的4倍， 故选：B． 3．根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A．，原计算错误，该选项不符合题意； B．，原计算错误，该选项不符合题意； C．，原计算错误，该选项不符合题意； D．，正确，该选项符合题意； 故选：D． 4．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的性质，掌握比例、分式的性质的计算是解题的关键． 根据题意可得，，代入式子，运用分式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式基本性质运用．分式的求值，熟练运用分式基本性质是关键．把条件化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 6．，求的值 ． 【答案】 【分析】由可得，结合，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，分式的求值，熟记分式的基本性质是解本题的关键． 类型三、一次函数与二元一次方程组结合 1．用图像法解二元一次方程组时，小英所画图像如图所示，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图解法解二元一次方程，确定点坐标是解题关键．首先确定点坐标，然后结合图像即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知直线和直线的交点为， 将点代入直线， 可得，即， 由图像可知，二元一次方程组的解为． 故选：D． 2．如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由于一次函数与的图象交于点， 所以关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 3．如图，直线与直线交于点P，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】将点代入，求出m的值，即可得点P的坐标，根据两函数图象交点的横纵坐标的值为两函数解析式组成的方程组的解，可得答案．本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：两直线的交点与二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，点P的横坐标为 将代入， 得， ∴点P坐标为， ∴方程组的解是． 故答案为：． 4．已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意、求出点的坐标是解题的关键．先求出点的坐标，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴则方程组的解为． 故答案为：． 5．在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系． 已知二元一次方程组 (1)补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________． (2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息． (3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值． 【答案】(1)补全表格见解析， (2)是 与的交点 (3)， 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系； （1）根据函数解析式补全表格，进而根据表格得出方程组的解； （2）根据表格画出函数图象，进而根据函数图象，写出一条所获取的信息． （3）根据两直线交点坐标，得出方程组的解，进而得出关于的二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为 故答案为：． （2）解：如图所示， 根据图象可得，是 与的交点； （3）解：根据函数图象可得和的交点为 ∴方程组的解 ∴原方程组为： 解得： 6．在本册的数学活动中，我们探究了“以方程的解为坐标（的值为横坐标，的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们画方程的图像时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请在图2中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象，无需写过程）． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______． 【拓展延伸】 （3）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求，的值． 【答案】（1）见解析，（2），，（3）， 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图像． （1）分别取两个点，让它们的坐标满足方程与，然后过这两点画直线即可； （2）观察图像，可得出所画两直线的交点坐标，根据一次函数与二元一次方程组的关系即可求解； （3）将和代入方程解方程组即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： （2）观察图像，可得出所画两直线的交点坐标为：， 由此可得这个二元一次方程组的解为： （3）将和代入方程， 得 解得：，． 类型四、一次函数与正比例函数结合 1．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想． 首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：将点代入得，， 解得：， 所以点A的坐标为， 由图可知，不等式的解集为． 故选B． 2．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，依据正比例函数的图象从左往右下降，则，进而得到一次函数的图象与轴交于负半轴，故A选项正确． 【详解】解：A、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象与轴交于负半轴，故A选项符合题意； B、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象应该与轴交于负半轴，故B选项不符合题意； C、若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数 的图象与应该轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项不符合题意； D、正比例函数的图象应该要过原点，明显D选项不符合题意． 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为．若正比例函数的图象与线段有公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，求出函数分别过两点时的的值，即可得出结果． 【详解】解：当过点时，则：， ∴； 当过点时，则：， ∵正比例函数的图象与线段有公共点， ∴或； 故答案为：或． 4．若点是正比例函数图象上的一点，且，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，先把点A坐标代入正比例函数解析式中得到，再由得到，则． 【详解】解：∵点是正比例函数图象上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的取值范围为 【分析】本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法求解析式，正比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设，把时，代入计算即可； （2）根据正比例函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵与成正比例关系， ∴设， 当时，， ∴， 解得，， ∴，整理得，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）可得，与之间的函数解析式为， ∴， ∴随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，的取值范围为． 6．已知和成正比例，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由（1）中所求表达式，将代入解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：和成正比例， 设， 代入得，解得， ； （2）解：由（1）知， 点是该函数图象上的一点， 把点代入，得，解得． 类型五、分式的增根与无解 1．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，求解方程可得，再由方程无解可得分式方程没有意义时，或，两种情况即可求的值，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∵方程无解，可分为以下两种情况： 分式方程没有意义时，或， 此时， 整式不成立时，， ∴， ∴的值为或， 故选：． 2．关于的分式方程有增根，则它的增根是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解产生增根的原因是解题的关键． 先去分母，然后把分母为0的值代入整式方程，可求的值，则有增根，整式方程不成立，则没有增根． 【详解】解：， 方程两边都乘以去分母得： ， ∵关于的分式方程有增根， ∴或， 当时，， 解得， ∴当时有增根， 当时，不成立， ∴分式方程只有一个增根， 故选择：． 3．若关于的分式方程无解，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程得到，再根据原方程无解，可得是原方程的增根，据此建立关于m的方程求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的分式方程无解， ∴是原方程的增根，且， ∴， ∴， 故答案为：． 4．按照解分式方程的一般步骤解关于的分式方程出现增根，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的增根、解分式方程，先将分式方程去分母，化为整式方程，再将增根代入计算即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 将增根代入得：， 解得：， 故答案为：3． 5．若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】m的值为或 【分析】本题考查的是分式方程无解的知识，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵原分式方程无解． ∴，即或． 解得或． 当时，； 当时，． ∴m的值为或． 6．已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程的增根， （1）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得，再结合得出方程，求出解即可； （2）当时原方程有增根，可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 因为，所以． 当此方程的解为时，，解得； （2）当此方程会产生增根时，， 即， 所以， 解得． 类型六、分式的解为正(负)数 1．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解法，解分式方程，再根据题意列不等式即可求出答案．解题的关键是熟练运用分式方程的解法． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为正数， ，解得， 当时，，此时分式方程无解， 故， a的取值范围是且， 故选：C． 2．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型要求掌握． 按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值，求m的范围． 【详解】解：方程去分母得：， ∴， ∵关于的方程的解为负数， ∴， 解得：． 又， ∴， 则m的取值范围是． 故选：C． 3．关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出，，即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或或或或 ∵为整数，且，， ∴ ∴， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 4．若关于的不等式组，有解且至多有1个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，先解不等式组，再根据解集的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解的情况，确定的值，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组，有解且至多有1个偶数解， ∴， 解得：， 解分式方程得：， ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴且为整数，， ∴的值为，，， ∵， ∴或5， ∴符合条件的整数的值的和为， 故答案为：． 5．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程，解方程即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组，解不等式组，求出答案即可． 本题主要考查了分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∵分式方程有增根， ∴， 解得：， ∴， ， ， ； （2）解：∵分式方程的解为非负数， ∴， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ∴a的取值范围是：且． 6．关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的解． (2)若这个方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要进行检验是解题关键． （1）直接利用解分式方程的方法求解即可； （2）先解分式方程，然后依据题意求解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘， 解得， 检验：当时，， 所以当时， 分式方程的解为； （2）， 方程两边同乘， 解得， 这个方程的解为正数， 且， 解得且． 类型七、一次函数与反比例函数结合 1．已知一次函数与反比例函数（）的图象没有交点，则k的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据题意，先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出的取值范围，找出符合条件的的值即可．根据题意把函数的交点问题转化为求一元二次方程解的问题是解答此题的关键． 【详解】解：反比例函数与一次函数的图象没有交点， 方程组无解，即无解． 方程的，解得． 四个选项中只有，所以只有选项B符合条件． 故选：B． 2．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得点A的横坐标为2，因为正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，故点B的横坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点B的横坐标为， 则当时，x的取值范围是或， 故选：B 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，涉及面积的求解，正确求出交点坐标是解题的关键． 先求出，再求出反比例函数解析式，与一次函数解析式联立求得，然后利用求解即可． 【详解】解：将代入得， 解得：， ∴ 将代入得， ∴反比例函数解析式为：， ∴， 解得：或 ∴， 记直线与轴交于点，如图： 当，， ∴， ∴， 故答案为：16． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．求出反比例函数的表达式为．得到点．由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 反比例函数的表达式为． 点的横坐标为6， 点． 由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即． 故答案为：或 5．如图，反比例函数()与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式，解决本题的关键是根据一次函数的解析式与反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求三角形的面积． 把点的坐标反比例函数的解析式与一次函数的解析式，利用待定系数法求函数的解析式即可； 根据分别求出点、的坐标，再根据一次函数的解析式与反比例函数的解析式求出点的坐标，根据三点的坐标求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：把点的坐标代入反比例函数()， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把点的坐标代入一次函数， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作， ， 点、的横坐标为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 解方程：， 整理得： 可得：(不符合题意，舍去)，， 点的横坐标为， ， 的面积为． 6．一次函数与反比例函数的图像相交于、两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数解析式； (2)求点A的坐标，连接、，求的面积； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)3 (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数求出，再将点代入一次函数求出即可求解本题； （2）先求出直线的解析式，然后求出直线与轴交点及的长，最后利用求解即可； （3）根据图像求不等式的解集即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在反比例函数的图像上， ， 将点代入得， 解得， 将代入，得， ， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）由（1）得、， 设直线为， ， 解得，， 直线的解析式为， 当时，，解得， ， ； （3）如图可知，当时，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，两函数的交点问题，求三角形的面积，根据图像求二次不等式的解集，解题的关键是将点代入函数解析式，利用图像求不等式的解集． 类型八、用表格、图象、关系式表示函数 1．已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（   ） 放水时间 0 1 2 3 4 … 池中水量 50 48 46 44 42 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，需要通过读懂题意，识别函数关系式是解题的关键． 依据题意，通过水池中的水量和放水时间的关系表，分析出水池中水量每分钟减少，从而可得函数关系式，最后可求出当放水时水池中的水量． 【详解】解：由题意知，水池中水量每分钟减少， 设水池中剩余水量为，放水时间为 ∴， ∴当时，． 即当放水时，水池中有水． 故选：C． 2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（单位：）与所挂物体的质量（单位：）（不超过）间有下面的关系： 则下列说法不正确的是（   ） A．在变化过程中，是自变量，是因变量 B．物体质量每增加，弹簧长度增加 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数，解决本题的关键是能够根据所给的表格中的数据，分析变量的值的变化情况，根据数据的变化规律得出答案． 【详解】解：A选项：在变化过程中，随着的变化而变化，所以是自变量，是因变量，故A选项正确； B选项：从表格中的数据可以得到：物体质量每增加，弹簧长度增加，故B选项正确； C选项：从表格中的数据可以得到：弹簧不挂重物时的长度为，故C选项正确； D选项：从表格中的数据可以得到：当所挂物体质量为时，弹簧的长度为，故D选项错误． 故选： D． 3．如图，这是关于变量的计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出因变量的值为 ． 【答案】42 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，把代入，如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴输出因变量． 故答案为：． 4．中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，根据一个木构件的长度为6，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加5，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 5．有若干张长、宽的长方形白纸，按如下图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为． (1)将下列表格补充完整： 白纸张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条长度 30 84 111 … … (2)设x张白纸黏合后的总长度为，则y与x之间的关系式是什么？ (3)按照上述黏合方式，至少需要多少张白纸，才能使得黏合起来的纸条总长度达到或超过？ 【答案】(1)57，273 (2) (3)至少需要75张白纸，才能使得黏合起来的纸条总长度达到或超过 【分析】本题考查了函数的实际应用．根据题意确定函数关系式是解题关键． （1）根据题目所述的“黏合方式”即可求解； （2）根据表格数据即可确定关系式； （3）代入即可求解． 【详解】（1）解：2张白纸黏合时，纸条长度为：； 10张白纸黏合时，纸条长度为：； 故答案为：57；273； （2）解：根据题意，得， 即y与x之间的关系式是； （3）解：把代入， 解得， 所以至少需要75张白纸，才能使得黏合起来的纸条总长度达到或超过． 6．下表是兰州白兰瓜的销售额随卖出质量的变化表： 质量\kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 销售额\元 3 5 7 9 11 13 15 17 19 … (1)这个变化过程中，自变量是因变量是 (2)当白兰瓜卖出时，销售额是 元 (3)如果用x表示白兰瓜卖出的质量，表示销售额，按表中给的关系，与x之间的关系式为 (4)当白兰瓜的销售额是元时，共卖出多少千克白兰瓜？ 【答案】(1)白兰瓜卖出的质量与销售额之间的关系，白兰瓜卖出的质量是自变量，销售额是因变量； (2)； (3)； (4)共卖出千克白兰瓜． 【分析】本题考查常量与变量，变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量；常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量；熟练掌握定义是解题关键． （1）根据表格第一列确定变量，再结合自变量和因变量的定义确定自变量与因变量； （2）根据表格解答即可； （3）根据表格可知单价，由单价×数量=总价即可得出与的关系式； （4）把代入（3）中的关系式，即可求出白兰瓜销售数量． 【详解】（1）解：白兰瓜卖出的质量与销售额之间的关系，白兰瓜卖出的质量是自变量，销售额是因变量； （2）解：由表格可知：白兰瓜卖出时，销售额是元； 故答案为：； （3）解：由表格可知白兰瓜的销售只有为元，超过的则按元， ； 故答案为：． （4）解：当时，即， 解得，． 答：共卖出千克白兰瓜． 类型九、网格中画图象 1．世界上大部分国家都使用摄氏温度（），但仍有一些国家和地区使用华氏温度（），两种计量之间有如下对应： 摄氏温度 0 华氏温度 (1)请在所给的平面直角坐标系中描出上表中相应的点，并用光滑的线连接； (2)观察你画出的图象，猜想y与x之间满足我们学过的哪类函数关系，并求出y与x之间的函数表达式； (3)求华氏0度时所对应的摄氏温度． 【答案】(1)见解析 (2)y与x之间满足一次函数关系， (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象及其应用，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先描点，再连线； （2）判定得出是一次函数，根据待定系数法求解即可； （3）当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图： （2）y与x之间满足一次函数关系， 设这条直线所对应的函数表达式为， 将、代入， 得， 解得：， ∴这条直线所对应的函数表达式为：； （3）令，得， 解得：， ∴华氏0度时所对应的摄氏温度为． 2．已知一次函数，完成下列问题： (1)求此函数图象与轴的交点坐标． (2)画出此函数的图象：观察图象，当时，的取值范围是　　． (3)平移一次函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式． 【答案】(1) (2)作图见详解； (3) 【分析】（1）令，解出x的值即为函数图象与x轴的交点的横坐标，纵坐标为0； （2）令解出y的值即为函数图象与y轴的交点的纵坐标，再结合（1）中与x轴的交点，作出两点所在直线即为函数图象；再观察图象即可求出y的取值范围； （3）设平移后的函数解析式为：，将点代入，解出b的值即可得到答案． 【详解】（1）令，解得：， 此函数与x轴交点的坐标为． （2）令代入，解得： 次函数与y轴交点的坐标为； 故作图如下： 由图观察可知，当时，y的取值范围是． （3）设平移后的函数表达式为，将代入，解得． 函数解析式为． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定符合此函数的解析式是解答此题的关键． 3．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式、画函数图象、利用函数图象研究函数性质”的学习过程下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： x … 0.5 1 2 3 4 5 6 … y … 2.5 2 2.5 3.3 4.3 5.2 6.2 … (1)当y＝2.5时，x＝　　． (2)根据表中数值描点（x，y）并画出函数图象； (3)观察画出的函数图象，写出这个函数的一条性质． 【答案】(1)0.5或2； (2)作图见解析； (3)由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． 【分析】（1）根据表格可知，当y＝2.5时，x＝0.5或2； （2）在给出坐标系中，先描点，再连线； （3）根据函数图象写出一条性质，如当x＞1时，y随x的增大而增大． 【详解】（1）解：由表格可知，当x＝0.5或2时，y＝2.5； 故答案为：0.5或2； （2）解：在给出坐标系中，先描点，再连线，如下图所示： （3）解：由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，求函数自变量的值，根据函数图象获取信息，数形结合是解题的关键． 4．已知一次函数y＝﹣2x+4，完成下列问题： （1）在所给直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）根据函数图象填空： ①图象与x轴的交点为A（ 　 　，　 　），与y轴的交点为B（ 　 　，　 　）． ②当x　 　时，y＞2；当0≤y≤4时，相应x的取值范围是 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）①2，0；0，4；②＜1；0≤x≤2． 【分析】（1）列表，描点，连线即可； （2）①利用函数图象得出y=0时，x的值；令x=0时，y的值；即可解题；②观察y＞2时，函数图象对应的x的取值；观察函数图象，即可确定当0≤y≤4时，x对应的取值范围． 【详解】（1）列表： x 2 0 y＝﹣2x+4 0 4 描点，连线可得： （2）①根据函数图象可得： 当y=0时，x=2，故方程﹣2x+4＝0的解是x=2； 当x=0时，y=4， 故答案为：2，0；0，4； ②由图象可知，当x＜1时，y＞2； 当0≤y≤4时，相应x的取值范围是0≤x≤2． 故答案为：＜1；0≤x≤2． 【点睛】本题考查的是作一次函数的图象及一次函数与不等式的关系，能把式子与图象结合起来是关键． 5．已知一次函数（，是常数，）的图象过，两点. （1）在图中画出该一次函数并求其表达式； （2）若点在该一次函数图象上，求的值； （3）把的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图形，并直接写出新函数图象对应的表达式. 【答案】（1） 一次函数的表达式为 ；图象见详解；（2）新函数图象见详解，新函数的表达式为 【分析】（1）将A,B两点连线即可画出该一次函数的图象，用待定系数法即可求出其表达式； （2）将点的坐标代入表达式中，建立一个关于a的方程，即可求出a的值； （3）直接把（1）中的图象向下平移3个单位长度即可得到新函数图象，根据平移规律即可得到新函数的表达式. 【详解】（1）因为在函数图象上，将点代入得 ，解得 ∴一次函数的表达式为 图象如图： （2）新函数图象如图，新函数的表达式为 即新函数的表达式为 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数的表达式及图象的平移，掌握待定系数法及图象的平移规律是解题的关键. 6．已知直线经过点和 (1)求该直线的函数表达式并画出此函数图像 (2)求直线与坐标轴所围成的三角形面积 【答案】(1)，图像见解析 (2)1 【分析】（1）将点的坐标代入求出和的值，即可得出函数解析式，从而画出图像； （2）根据解析式分别求出直线与轴和轴的交点，根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：直线经过点和， ， 解得：， 则解析式为； 函数图像如下： （2）在中， 令，则，令，则， ∴一次函数与x轴，y轴分别交于，， ∴直线与坐标轴所围成的三角形面积为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是结合图像解答． 类型十、分式化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第一个分式的分子分母同时分解因式后约分，再把两个分式通分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．已知，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式． 3．先化简，后求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ． 当、时，原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，即时， 原式 ． 5．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的混合运算—化简求值； 将除法变成乘法，同时对分子、分母进行因式分解，约分后即可得出最简结果，然后再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题 【专题过关】 类型一、点所在的象限及坐标 1．在平面直角坐标系中，点，第四象限一点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点到轴的距离是2 C．直线轴 D．点到原点的距离是 2．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度到达点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若点与点关于轴对称，则的值是 ． 5．已知点在第四象限，点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，则m的值为 ． 6．已知到轴和轴的距离相等，则等于 ． 类型二、分式的基本性质 1．如果把的与（，均为正数）都扩大10倍，那么代数式的值（   ） A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的 2．如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．不变 D．缩小到原来的 3．根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果，那么 ． 5．已知，则分式的值为 ． 6．，求的值 ． 类型三、一次函数与二元一次方程组结合 1．用图像法解二元一次方程组时，小英所画图像如图所示，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线与直线交于点P，则方程组的解是 ． 4．已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为 ． 5．在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系． 已知二元一次方程组 (1)补全表格： 表格1 表格2 通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________． (2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息． (3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值． 6．在本册的数学活动中，我们探究了“以方程的解为坐标（的值为横坐标，的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们画方程的图像时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）请在图2中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象，无需写过程）． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______． 【拓展延伸】 （3）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求，的值． 类型四、一次函数与正比例函数结合 1．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   3．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为．若正比例函数的图象与线段有公共点，则m的取值范围是 ． 4．若点是正比例函数图象上的一点，且，，则k的值为 ． 5．已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 6．已知和成正比例，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值． 类型五、分式的增根与无解 1．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．关于的分式方程有增根，则它的增根是（　　） A． B． C．或 D． 3．若关于的分式方程无解，则实数的值为 ． 4．按照解分式方程的一般步骤解关于的分式方程出现增根，那么的值为 ． 5．若关于的分式方程无解，求的值． 6．已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 类型六、分式的解为正(负)数 1．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 2．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 4．若关于的不等式组，有解且至多有1个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 5．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 6．关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的解． (2)若这个方程的解为正数，求的取值范围． 类型七、一次函数与反比例函数结合 1．已知一次函数与反比例函数（）的图象没有交点，则k的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 2．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则的面积为 ． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为 ． 5．如图，反比例函数()与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 6．一次函数与反比例函数的图像相交于、两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数解析式； (2)求点A的坐标，连接、，求的面积； (3)当时，直接写出x的取值范围． 类型八、用表格、图象、关系式表示函数 1．已知蓄水池有水，现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如下表所示，则放水后，池中水量为（   ） 放水时间 0 1 2 3 4 … 池中水量 50 48 46 44 42 … A． B． C． D． 2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（单位：）与所挂物体的质量（单位：）（不超过）间有下面的关系： 则下列说法不正确的是（   ） A．在变化过程中，是自变量，是因变量 B．物体质量每增加，弹簧长度增加 C．弹簧不挂重物时的长度为 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 3．如图，这是关于变量的计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出因变量的值为 ． 4．中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为 ． 5．有若干张长、宽的长方形白纸，按如下图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为． (1)将下列表格补充完整： 白纸张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条长度 30 84 111 … … (2)设x张白纸黏合后的总长度为，则y与x之间的关系式是什么？ (3)按照上述黏合方式，至少需要多少张白纸，才能使得黏合起来的纸条总长度达到或超过？ 6．下表是兰州白兰瓜的销售额随卖出质量的变化表： 质量\kg 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 销售额\元 3 5 7 9 11 13 15 17 19 … (1)这个变化过程中，自变量是因变量是 (2)当白兰瓜卖出时，销售额是 元 (3)如果用x表示白兰瓜卖出的质量，表示销售额，按表中给的关系，与x之间的关系式为 (4)当白兰瓜的销售额是元时，共卖出多少千克白兰瓜？ 类型九、网格中画图象 1．世界上大部分国家都使用摄氏温度（），但仍有一些国家和地区使用华氏温度（），两种计量之间有如下对应： 摄氏温度 0 华氏温度 (1)请在所给的平面直角坐标系中描出上表中相应的点，并用光滑的线连接； (2)观察你画出的图象，猜想y与x之间满足我们学过的哪类函数关系，并求出y与x之间的函数表达式； (3)求华氏0度时所对应的摄氏温度． 2．已知一次函数，完成下列问题： (1)求此函数图象与轴的交点坐标． (2)画出此函数的图象：观察图象，当时，的取值范围是　　． (3)平移一次函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式． 3．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式、画函数图象、利用函数图象研究函数性质”的学习过程下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： x … 0.5 1 2 3 4 5 6 … y … 2.5 2 2.5 3.3 4.3 5.2 6.2 … (1)当y＝2.5时，x＝　　． (2)根据表中数值描点（x，y）并画出函数图象； (3)观察画出的函数图象，写出这个函数的一条性质． 4．已知一次函数y＝﹣2x+4，完成下列问题： （1）在所给直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）根据函数图象填空： ①图象与x轴的交点为A（ 　 　，　 　），与y轴的交点为B（ 　 　，　 　）． ②当x　 　时，y＞2；当0≤y≤4时，相应x的取值范围是 　 　． 5．已知一次函数（，是常数，）的图象过，两点. （1）在图中画出该一次函数并求其表达式； （2）若点在该一次函数图象上，求的值； （3）把的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图形，并直接写出新函数图象对应的表达式. 6．已知直线经过点和 (1)求该直线的函数表达式并画出此函数图像 (2)求直线与坐标轴所围成的三角形面积 类型十、分式化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 2．已知，求的值． 3．先化简，后求值：，其中，． 4．先化简，再求值：，其中． 5．先化简，再求值：，其中，． 6．先化简，再求值：，其中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$