第2讲 人造卫星宇宙速度-【创新教程】2026年高考物理总复习大一轮讲义（人教版2019）

在星球表面GMm R２ ＝mg,可得 M＝gR ２ G ,根据密度 公式可得ρ＝ M V＝ gR２ G ４ ３πR ３ ＝ ３g４πGR , 其中RP＝３RQ,可得星球 P和星球 Q 的密度之比 为ρP ρQ ＝gPgQ 􀅰RQ RP ＝３１× １ ３＝ １ １ ,故选B．] 　估算天体质量和密度时应注意的问题 １．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算 天体质量时,估算的只是中心天体的质量,并非环 绕天体的质量． ２．区别天体半径R 和卫星轨道半径r,只有在天体表 面附近的卫星才有r≈R;计算天体密度时,V＝ ４ ３πR ３中的R 只能是中心天体的半径． 　(２０２５􀅰北京海淀区期末) 如图所示,某人造地球卫 星对地球的张角为２θ,卫 星绕地球做匀速圆周运动 的周期为 T,万有引力常 量为 G,由此可估算地球 的平均密度为 (　　) A．３πsin ２θ GT２ B． ３π GT２sin３θ C．３πtan ３θ GT２ D． ３π GT２cos３θ 解析:B　[设地球半径为R,卫星的轨道半径为r, 根据几何关系可得sinθ＝Rr ,根据万有引力提供向 心力GMm r２ ＝m４π ２ T２ r,解得 M＝４π ２r３ GT２ ,又 M＝ρV＝ ρ􀅰 ４ ３πR ３,解得ρ＝ ３π GT２ 􀅰r ３ R３ ＝ ３π GT２sin３θ ,故选B．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２讲　人造卫星　宇宙速度 　　　　　　学生用书　P８２ [知识点一]　人造卫星 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．基本公式 (１)线速度:由GMm r２ ＝mv ２ r 得v＝ GMr ． (２)角速度:由GMm r２ ＝mω２r得ω＝ GM r３ ． (３)周期:由GMm r２ ＝m ２πT æ è ç ö ø ÷ ２ r得T＝２π r ３ GM． (４)向心加速度:由GMm r２ ＝ma得a＝GM r２ ． 结论:同一中心天体的不同卫星,轨道半径r越 大,v、ω、a越小,T 越大,即越高越慢． ２．人造卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心,一般分为赤道 轨道、极地轨道和其他轨道,同步卫星的轨道是赤 道轨道． (１)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球 自转,极地卫星可以实现全球覆盖． (２)静止卫星 ①轨道平面与赤道平面共面,且与地球自转的方 向相同． ②周期与地球自转周期相等,T＝２４h． ③高度固定不变,h＝３􀆰６×１０７ m． ④运行速率约为v＝３􀆰１km/s． (３)近地卫星 轨道在地球表面附近的卫星,其轨道半径r＝R (地球半径),运行速度等于第一宇宙速度v＝７􀆰９ km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度), T＝８５min(人造地球卫星的最小周期)． 提醒:近地卫星可能为极地卫星,也可能为赤道卫星． [知识点二]　宇宙速度 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇 宙速度 ７􀆰９ 地球卫星最小发射速度 (最大环绕速度) 第二宇 宙速度 １１􀆰２ 物体挣脱地球引力束缚的 最小发射速度(脱离速度) 第三宇 宙速度 １６􀆰７ 物体挣脱太阳引力束缚的 最小发射速度(逃逸速度) ２．第一宇宙速度的计算方法 (１)由GMm R２ ＝mv ２ R 得v＝ GMR ． (２)由mg＝mv ２ R 得v＝ gR． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１１􀅰 高考总复习　物理 １．(人教版必修第二册P６４􀅰T４ 改编)我国首次火星 探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为 地球质量的１０％,半径约为地球半径的５０％,下列 说法正确的是 (　　) A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第 二宇宙速度之间 C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 解析:A　[火星探测器已经脱离地球的束缚,故其 发射速度应大于地球的第二宇宙速度,A 正确,B 错误;由GMm R２ ＝mv ２ R 得,v火 ＝ GM火 R火 ＝ ０．１M地 G ０．５R地 ＝ ５５v地 ,故火星的第一宇宙速度小于地球的第一 宇宙速度,C错误;由GMm R２ ＝mg得,g火 ＝G M 火 R火２ ＝ G ０．１M地 (０．５R地 )２ ＝０􀆰４g地 ,故火星表面的重力加速度小 于地球表面的重力加速度,D错误．] ２．(人教版必修第二册 P７１􀅰B组 T４ 改编)利用三颗 位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两 点之间保持无线电通讯．目前,地球同步卫星的轨 道半径约为地球半径的６．６倍．假设地球的自转周 期变小,若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的, 则地球自转周期的最小值约为 (　　) A．１h　　B．４h　　C．８h　　D．１６h 解析:B　[设 地 球 半 径为 R,画 出 仅 用 三 颗地球同步卫星使地 球赤道上任意两点之 间保持无线电通讯时 同步卫星的最小轨道 半径示意图,如图所示．由图中几何关系可得,同步 卫星的最小轨道半径r＝２R．设地球自转周期的最 小值为 T,则 由 开 普 勒 第 三 定 律 可 得 (６．６R)３ (２R)３ ＝ (２４h)２ T２ ,解得T≈４h,选项B正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　学生用书　P８３ 考点一　卫星参量的分析与比较 １．人造卫星的运行规律 一 种 模 型 无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体 (如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点, 围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动． 两 条 思 路 ①万有引力提供向心力,即GMm r２ ＝ma． ②天体对其表面的物体的万有引力近似等 于重力,即GMm R２ ＝mg或gR２＝GM(R、g分别 是天体的半径、表面重力加速度),公式gR２＝ GM 应用广泛,被称为“黄金代换”． ２．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律 规 律 GMm r２ ＝ (r＝R地 ＋h) mv ２ r➝v＝ GM r ➝v∝ １ r mω２r➝ω＝ GMr３ ➝ω∝ １ r３ m４π ２ T２r➝T＝ ４π２r３ GM ➝T∝ r ３ ma➝a＝GMr２ ➝a∝ １ r２ ì î í ï ï ï ïï ï ï ï ï ü þ ý ï ï ï ïï ï ï ï ï 越 高 越 慢 mg＝GMmR２地 (近地时)➝GM＝gR２地 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ïï ３．极地卫星和近地卫星 (１)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球 自转,极地卫星可以实现全球覆盖． (２)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周 运动的卫星,其运行的轨道半径可近似认为等于 地球的半径,其运行线速度约为７．９km/s． (３)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心． ４．同步卫星的六个“一定” 轨道平面一定 轨道平面与赤道平面共面 周期一定 与地球自转周期相同,即 T＝２４h 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 由G Mm(R＋h)２ ＝m４π ２ T２ (R＋h) 得同步卫星离地面的高度 h＝ ３ GMT２ ４π２ －R≈６R(恒量) 速率一定 v＝ GMR＋h 绕行方向一定 与地球自转的方向一致 [典例１]　(２０２５􀅰内蒙古通辽期末)嫦娥六号探测 器于２０２４年５月８日进入环月轨道,后续经调整 环月轨道的高度和倾角,实施月球背部软着陆．当 探测器的轨道半径从r１ 调整到r２ 时(两轨道均视 为圆形轨道),其速度大小和加速度大小从v１、a１ 分别变为v２、a２．下列关系正确的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第五章　万有引力与宇宙航行 A． v１ v２ ＝ r１ r２ ,a１ a２ ＝ r１２ r２２ 　　B． v１ v２ ＝ r１ r２ ,a１ a２ ＝ r２２ r１２ C． v１ v２ ＝ r２ r１ ,a１ a２ ＝ r１２ r２ D． v１ v２ ＝ r２ r１ ,a１ a２ ＝ r２２ r１２ [解析]　D　[万有引力提供向心力GMm r２ ＝mv ２ r , v＝ GMr ,则v１ v２ ＝ r２ r１ ,根据GMm r２ ＝ma, a＝GM r２ ,则a１ a２ ＝ r２２ r１２ ,故选 D．] [典例２]　(２０２５􀅰八省联考河南卷,T３)水星是太阳 系中距离太阳最近的行星,其平均质量密度与地球 的平均质量密度可视为相同．已知水星半径约为地 球半径的３ ８ ,则靠近水星表面运动的卫星与地球近 地卫星做匀速圆周运动的线速度之比约为 (　　) A．６４∶９　B．８∶３　C．３∶８　D．９∶６４ 解析:C　[由万有引力提供向心力GMm R２ ＝mv ２ R , 解得v＝ GMR ＝ Gρ ４ ３πR ３ R ＝ ４GπρR ２ ３ , 所以 v水 v地 ＝ R２水 R２地 ＝ R水 R地 ＝ ３ ８ ,故选C．] [典例３]　(多选)(２０２５􀅰福建莆田期末)我国将发 射首个大型巡天空间望远镜(CSST),该望远镜在 轨绕地球运行时可看成匀速圆周运动,将与天宫空 间站共轨独立飞行．已知该望远镜运行轨道离地面 高度约为４００km．则该望远镜在轨运行时 (　　) A．线速度大于７．９km/s B．周期比静止卫星的周期小 C．角速度比静止卫星的角速度小 D．向心加速度大于静止卫星的向心加速度 [解析]　BD　[地球第一宇宙速度７􀆰９km/s是卫 星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度,等于地球 表面轨道卫星的线速度,则望远镜运行的线速度小 于７􀆰９km/s,故 A 错误;由万有引力提供向心力有 GMm r２ ＝mω２r＝m４π ２ T２ r＝man,解得ω＝ GM r３ ,T＝ ４π２r３ GM ,an＝ GM r２ ,由于望远镜的轨道半径比静止卫 星的小,则周期比静止卫星的周期小,角速度比静 止卫星的角速度大,向心加速度大于静止卫星的向 心加速度,故B、D正确,C错误．] 　人造卫星问题的解题技巧 １．利用万有引力产生向心加速度的不同表述形式． GMm r２ ＝man＝m v２ r＝mω ２r＝m ２πT æ è ç ö ø ÷ ２ r＝m(２πf)２r． ２．第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最 大速度,轨道半径r近似等于地球半径 v＝ GMR ＝７．９km /s 万有引力近似等于卫星的重力,即 mg＝mv ２ R ,v＝ Rg＝７．９km/s ３．静止卫星:抓住①具有特定的线速度、角速度和 周期．②具有特定的位置高度和轨道半径．③运 行轨道平面必须处于地球赤道平面上,只能静 止在赤道上方特定的点上． 比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫 星与同步卫星的参量来确定． 　(多选)(２０２５􀅰贵州铜仁期末)我国建成的载人空 间站轨道距地面高度约４００km,设该空间站绕地 球做匀速圆周运动,其运动周期为 T,轨道半径为 r,万有引力常量为G,地球半径为R,地球表面重 力加速度为g,下列说法正确的是 (　　) A．空间站的运行周期小于地球的自转周期 B．空间站的向心加速度大小为gR ２ r２ C．空间站的线速度大小为 gr D．空间站的质量为４π ２r３ GT２ 解析:AB　 [根 据 G Mm r２ ＝m ４π ２ T２ r,可 得 T＝ ２π r ３ GM ,可知空间站的运动周期小于地球同步卫 星的周期,而同步卫星的周期等于地球自转周期, 可知空间站的运行周期小于地球的自转周期,选项 A正确;根据GMm r２ ＝ma,G Mm０ R２ ＝m０g,可知空间 站的向心加速度大小为a＝gR ２ r２ ,选项B正确;根据 GMm r２ ＝mv ２ r ,G Mm０ R２ ＝m０g,空间站的线速度大小 为v＝ GMr ＝ gR２ r ,选项 C 错误;根据 GMm r２ ＝ m４π ２ T２ r,可得地球的质量为 M＝４π ２r３ GT２ 不能求解空 间站的质量,选项 D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２１􀅰 高考总复习　物理 考点二　宇宙速度 １．第一宇宙速度的推导 方 法 一 由GMm R２ ＝m v２１ R ,得 v１＝ GM R ＝７􀆰９×１０ ３ m/s． 方 法 二 由mg＝m v２１ R ,得 v１＝ gR＝７􀆰９×１０３ m/s． 第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度, 也是地球人造卫星的最大环绕速度,此时它的运 行周期最短,Tmin＝２π R g ＝８４􀆰８min． ２．宇宙速度与运动轨迹的关系 (１)v发 ＝７􀆰９km/s时,卫星在地球附近绕地球做匀速 圆周运动． (２)７􀆰９km/s＜v发 ＜１１􀆰２km/s,卫星绕地球运动的 轨迹为椭圆． (３)１１􀆰２km/s≤v发 ＜１６􀆰７km/s,卫星绕太阳做椭圆 运动． (４)v发 ≥１６􀆰７km/s,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞 到太阳系以外的空间． [典例４]　我国成功发射了“天问一号”火星探测器, 该探测器着陆火星之前在距离火星表面高度h＝ R ３ 位置绕火星运行一周用时为T,其中R 为火星的 半径．则火星的第一宇宙速度可表示为 (　　) A．１６ ３πR３T 　　　　　　B． １６ ３πR ９T C．１６πR３T D． １６πR ９T [解析]　B　[由万有引力提供向心力得GMm r２ ＝ m４π ２ T２ r,解得GM＝４π ２r３ T２ ＝ ４π２ R＋R３ æ è ç ö ø ÷ ３ T２ ,在火星 表面附近,则GMm R２ ＝mv ２ R ,解得火星的第一宇宙 速度v＝ GMR ,联立得v＝１６ ３πR９T ,故选B．] [典例５]　(２０２３􀅰湖南卷)根据宇宙大爆炸理论,密 度较大区域的物质在万有引力作用下,不断聚集可 能形成恒星．恒星最终的归宿与其质量有关,如果 质量为太阳质量的１~８倍将坍缩成白矮星,质量 为太阳质量的１０~２０倍将坍缩成中子星,质量更 大的恒星将坍缩成黑洞．设恒星坍缩前后可看成质 量均匀分布的球体,质量不变,体积缩小,自转变 快．不考虑恒星与其他物体的相互作用．已知逃逸 速度为第一宇宙速度的 ２倍,中子星密度大于白矮 星．根据万有引力理论,下列说法正确的是 (　　) A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前 的大 C．恒星坍缩前、后的第一宇宙速度不变 D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 [解析]　B　[A．恒星可看成质量均匀分布的球 体,同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提 供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度, 不同位置向心加速度可能不同,故不同位置重力加 速度的大小和方向可能不同,A 错误;B．恒星两极 处自转的向心加速度为零,万有引力全部提供重力 加速度．恒星坍缩前、后可看成质量均匀分布的球 体,质量不变,体积缩小,由万有引力表达式F万 ＝ GMm R２ 可知,恒星表面物体受到的万有引力变大,根 据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重 力加速度比坍缩前的大．B正确;C．由第一宇宙速 度物理意义可得GMm R２ ＝mv ２ R ,整理得v＝ GMR , 恒星坍缩前、后质量不变,体积缩小,故第一宇宙速 度变大,C错误;D．由质量分布均匀球体的质量表 达式 M＝４π３R ３ ρ得R＝ ３ ３M ４πρ ,已知逃逸速度为第一 宇宙速度的 ２倍,则v′＝ ２v＝ ２GMR , 联立整理得v′２＝２v２＝２GMR ＝２G ３ ４πρM ２ ３ , 由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星,结 合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星 的逃逸速度,D错误．故选B．] 　我国火星探测器“天问一号”成功发射,开启了我国 首次行星探测之旅．火星半径约是地球半径的０．５３ 倍,火星质量约是地球质量的０．１１倍．已知地球半 径约为６．４×１０６ m,地球表面的重力加速度g＝１０ m/s２,逃逸速度为第一宇宙速度的 ２倍．根据以上 信息请你估算火星的逃逸速度约为 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第五章　万有引力与宇宙航行 A．３．０km/s　　　　　B．４．０km/s C．５．０km/s D．６．０km/s 解析:C　[在地球附近的卫星满足GMm R２ ＝mv ２ R , GMm R２ ＝mg,解得地球的第一宇宙速度v＝ gR≈ ８．０km/s,由v＝ GMR 得火星的第一宇宙速度v１＝ ０．１１ ０．５３v≈３．６km /s,则火星的逃逸速度v２＝ ２v１ ≈５．０km/s,选项C正确,A、B、D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　学生用书　P８５ 双星、三星模型 １．双星模型 定 义 绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我 们称之为双星系统．如图所示． 特 点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提 供,即Gm１m２ L２ ＝m１ω２１r１, Gm１m２ L２ ＝m２ω２２r２ ②两颗星的周期及角速度都相同,即 T１＝T２,ω１＝ω２ ③两颗星的半径与它们之间的距离关系为: r１＋r２＝L ④两颗星到圆心的距离r１、r２ 与星体质量成 反比,即m１ m２ ＝ r２ r１ ． ２．三星模型 (１)三颗星位于同一直线上,两颗环绕星围绕中央星 在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图甲所 示)．其中一个环绕星由其余两颗星的引力提供向 心力:Gm ２ R２ ＋ Gm ２ (２R)２ ＝ma． (２)三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个 顶点上(如图乙所示)．每颗行星运动所需向心力 都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供． ２×Gm ２ L２ cos３０°＝ma,其中L＝２Rcos３０°． [典例１]　(２０２５􀅰甘肃白银期末) 如图所示,宇宙中存在着离其他 恒星较远、由质量均为m 的三颗 星组成的三星系统,可忽略其他 星体对三星系统的影响．三颗星位于同一直线上, 两颗星围绕中央星在同一半径为R 的轨道上运行, 引力常量为G．则这两颗星绕中央星运行的周期为 (　　) A．πR R５Gm　　　　　B．２πR R ５Gm C．４πR R５Gm D．６πR R ５Gm [解析]　C　[左边星体受到中央星和右边星体的 两个万有引力作用,其向心力由它们的合力充当, 则Gmm R２ ＋G mm(２R)２ ＝m４π ２ T２ R,解得 T＝４πR R５Gm ,故选C．] 　解答双星问题应注意“两等”“两不等” １．“两等” (１)它们的角速度相等． (２)双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有 引力提供,即它们受到的向心力大小总是相等的． ２．“两不等” (１)双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一 点,所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的 距离是不相等的,它们的轨道半径之和才等于它 们间的距离． (２)由 m１ω２r１＝m２ω２r２ 知由于 m１ 与 m２ 一般不相 等,故r１ 与r２ 一般也不相等． [典例２]　(多选)太空中存在一些离其他恒星较远 的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可 忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的 三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星 位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边 三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２１􀅰 高考总复习　物理 形轨道运行．设这三个星体的质量均为 M,并设两 种系统的运动周期相同,则 (　　) A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B．直线三星系统的运动周期T＝４πR R５GM C．三角形三星系统中星体间的距离L＝ ３ １２ ５R D．三角形三星系统的线速度大小为１２ ５GM R [解析]　BC　[直线三星系统中甲星和丙星的线 速度大小相同,方向相反,选项 A 错误;三星系统 中,对直线三星系统有GM ２ R２ ＋G M ２ (２R)２ ＝M４π ２ T２ R, 解得T＝４πR R５GM ,选项 B正确;对三角形三星 系统根据万有引力定律可得２GM ２ L２ cos３０°＝M４π ２ T２ 􀅰 L ２cos３０° ,联立解得L＝ ３ １２ ５R ,选项 C正确;三角 形三星系统的线速度大小为v＝２πrT ＝ ２π L２cos３０° æ è ç ö ø ÷ T ,代 入解 得v＝ ３６ × ３ １２ ５ × ５GM R ≠ １ ２ ５GM R ,选 项 D 错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P８６ 星球瓦解与物体的“飘起” (１)星球恰好能维持自转不瓦解,说明万有引力恰好 能提供其表面物体做圆周运动所需的向心力． (２)星体表面上的物体随星体自转,其公转周期与星 体自转周期相等,其公转半径与星体半径相等． [典例１]　２０１８年２月,我国５００m口径射电望远镜 (天眼)发现毫秒脉冲星“J０３１８＋０２５３”,其自转周 期T＝５．１９ms,假设星体为质量均匀分布的球体, 已知万有引力常量为６．６７×１０－１１N􀅰m２/kg２,以 周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为 (　　) A．５×１０９kg/m３　　　　　B．５×１０１２kg/m３ C．５×１０１５kg/m３ D．５×１０１８kg/m３ [解析]　C　[毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力 提供其表面物体做圆周运动的向心力,根据GMm R２ ＝m４π ２R T２ ,M＝ρ􀅰 ４ ３πR ３,得ρ＝ ３π GT２ ,代入数据解 得ρ≈５×１０ １５kg/m３,C正确．] [典例２]　(多选)近期天文学界有很多新发现,若某 一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为 T,引力常量为G．下列说法正确的是 (　　) A．如果该星体的自转周期T＜２π R ３ Gm ,则该星体 会解体 B．如果该星体的自转周期T＞２π R ３ Gm ,则该星体 会解体 C．该星体表面的引力加速度为GmR D．如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动, 则该卫星的速度大小为 Gm R [解析]　AD　[如果在该星体“赤道”表面有一物 体,质量为m′,当它受到的万有引力大于跟随星体 自转所需的向心力时,即Gmm′ R２ ＞m′R４π ２ T２ 时,有 T＞２π R ３ Gm ,此时,星体处于稳定状态不会解体, 而当该星体的自转周期T＜２π R ３ Gm 时,星体会解 体,故选项A正确,B错误;在该星体表面有Gmm′ R２ ＝ m′g′,所以g′＝GmR２ ,故选项C错误;如果有质量为 m″的 卫 星 靠 近 该 星 体 表 面 做 匀 速 圆 周 运 动,有 Gmm″ R２ ＝m″v ２ R ,解得v＝ GmR ,故选项 D正确．] 卫星的变轨问题 １．卫星发射及变轨过程概述 人造卫星的发射过程要经过多次 变 轨 方 可 到 达 预 定 轨 道,如 图 所示． (１)为了节省能量,在赤道上顺着地 球自转方向发射卫星到圆轨道 Ⅰ上． (２)在A 点点火加速,由于速度变大,万有引力不足 以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ． (３)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ． ２．四个运行物理量的大小比较 速 度 设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别 为v１、v３,在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分 别为vA、vB．在A 点加速,则vA＞v１,在B 点 加速,则v３＞vB,又因v１＞v３,故有vA＞v１＞ v３＞vB． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第五章　万有引力与宇宙航行