素养培优7 圆周运动的临界问题-【创新教程】2026年高考物理总复习大一轮讲义（人教版2019）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学生用书　P７３ 培优点一　水平面内的圆周运动临界问题 １．运动特点 (１)运动轨迹是水平面内的圆． (２)合外力沿水平方向指向圆心,提供向心力,竖直方 向合力为零,物体在水平面内做匀速圆周运动． ２．常见的两种临界极值问题 (１)与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间 的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力． (２)与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为 零;绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无 弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等． ３．解题技巧 首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态;其次 分析该状态下物体的受力特点;最后结合圆周运动 知识,列出相应的动力学方程综合分析． [典例１]　(多选)如图所示,三角 形为一光滑圆锥体的正视图,锥 面与竖直方向的夹角为θ＝３７°． 一根长为l＝１m的细线一端系 在圆锥体顶端,另一端系着一可 视为质点的小球,小球在水平面 内绕圆锥体的轴做匀速圆周运 动,重力加速度g＝１０m/s２,sin３７°＝０􀆰６,不计空 气阻力,则 (　　) A．小球受重力、支持力、拉力和向心力 B．小球可能只受拉力和重力 C．当ω０＝ ５ ２ ２rad /s时,小球对圆锥体的压力刚 好为零 D．当ω＝２ ５rad/s时,小球受重力、支持力和拉力 作用 [解析]　BC　[向心力是效果力,不是小球实际受 到的力;对小球受力分析,小球受重力、细线的拉 力,小球可能受圆锥体的支持力,也可能不受圆锥 体的支 持 力;转 速 较 小 时,小 球 紧 贴 圆 锥 面,则 FTcosθ＋FNsinθ＝mg,FTsinθ－FNcosθ＝ mω２lsinθ,随着转速的增加,FT 增大,FN 减小,当 转速达到ω０ 时支持力为零,支持力恰好为零时有 mgtanθ＝mω２０lsinθ,解得ω０＝ ５ ２ ２rad /s,A 错 误,B、C 正确;因 ２ ５rad/s＞５ ２２ rad /s,所以当 ω＝２ ５rad/s时,小球已经离开斜面,小球只受重 力、拉力的作用,D错误．] [典例２]　如图所示,AC、BC 两绳系一 质量为m＝０􀆰１kg的小球,AC绳长L ＝２m,两绳的另一端分别固定于轴的 A、B 两处,两绳拉直时与竖直轴的夹 角分别为３０°和４５°．小球在水平面内 做匀速圆周运动时,若两绳中始终有 张力,小球的角速度可能是(g取１０m/s２)(　　) A．２rad/s　　　　B．２􀆰５rad/s C．３􀆰５rad/s D．４rad/s 　甲　　　　　乙 [解析]　B　[当上绳绷紧、 下绳恰好伸直但无张力时, 小球受力如图甲所示,由牛 顿第二定律得mgtan３０°＝ mω２１r,又有r＝Lsin３０°,解 得 ω１ ＝ １０ ３ ３ rad /s≈ ２􀆰４rad/s,当下绳绷紧、上绳恰好伸直无张力时,小 球受力如图乙所示,由牛顿第二定律得 mgtan４５° ＝mω２２r,解 得 ω２ ＝ １０rad/s≈３􀆰２rad/s,故 当 ２􀆰４rad/s＜ω＜３􀆰２rad/s时,两绳始终有张力,故 B正确,A、C、D错误．] [典例３]　如图所示、放在 水平转台上可视为质点 的长方体 A、B、C 随转 台一起以角速度ω匀速 转动,A、B、C的质量分 别为３m、２m、m,A与C之间的动摩擦因数为２μ、B 和C与转台间的动摩擦因数均为μ,A、C以及B离 转台中心的距离分别为１􀆰５r、r．设最大静摩擦力等 于滑动摩擦力,重力加速度为g,下列说法正确 的是 (　　) A．物体 A受到的摩擦力大小为６μmg B．转盘对物体C的摩擦力大小为９mω２r C．维持物体 A、B、C能随转台一起转动,转盘的角 速度应满足ω≤ ２μg３r D．随着转台角速度增大,最先被甩出去的是物体B [解析]　C　[若物体 AC随转盘一起转动恰不相 对转盘滑动,则μ×４mg＝４mω ２ １×１􀆰５r,解得ω１＝ ２μg ３r ,则此时 AC 之间的静摩擦力为FfAC＝３mω２１ ×１􀆰５r＝３μmg,物体 AC 之间的最大静摩擦力为 FfmA＝２μ×３mg＝６μmg,则此时 AC之间不会产生 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　抛体运动　圆周运动 滑动,则物体 A 受到的摩擦力大小为３μmg,选项 A 错误;当转盘以角速度ω 匀速转动时,转盘对物 体C的摩擦力大小为FfC＝４mω２×１􀆰５r＝６mω２r, 选项B错误;若转盘角速度增加,B恰能产生滑动, 则根据μ×２mg＝２mω ２ ２r,可得ω２＝ μgr ＞ω１ ,可知 随着转盘角速度增大,最先被甩出去的是物体 AC; 若要维持物体 A、B、C能随转台一起转动,这只需 AC相对 转 盘 不 产 生 滑 动,则μ×４mg≥４mω ２× １􀆰５r,即转盘的角速度应满足ω≤ ２μg３r ,选项 C正 确,D错误．] 　解决相对滑动临界问题的注意事项 １．先确定研究对象、受力情况,看哪些力充当向心力, 哪些力可能突变引起临界问题． ２．注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转 速的变化而发生变化． ３．关注临界状态,即静摩擦力达最大值时．典例３中, 随转台转动、静摩擦力提供向心力,随转速的增大, 静摩擦力增大,当达到最大静摩擦力时开始滑动, 出现临界情况,此时对应的角速度为临界角速度． 　(多选)如图所示,两个质量均 为m 的小木块a和b(可视为质 点)放在水平圆盘上,a与转轴 OO′的距离为l,b与转轴的距离为２l．木块与圆盘 间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加 速度大小为g．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加 速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,且最大静摩 擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是 (　　) A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝ kg２l 是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝ ２kg３l 时,a所受摩擦力的大小为kmg 解析:AC　[小木块a、b做圆周运动时,由静摩擦 力提供向心力,即Ff＝mω２R．当角速度增大时,静 摩擦力增大,当增大到最大静摩擦力时,发生相对 滑动,对木块a有Ffa＝mωa２l,当Ffa＝kmg时,kmg ＝mωa２l,ωa＝ kg l ;对木块b有Ffb＝mωb２􀅰２l,当 Ffb＝kmg 时,kmg＝mωb２􀅰２l,ωb＝ kg ２l ,则ω＝ kg ２l 是b开始滑动的临界角速度,所以b先达到最 大静摩擦力,即 b比a先开始滑动,选项 A、C 正 确;两 木 块 滑 动 前 转 动 的 角 速 度 相 同,则 Ffa＝ mω２l,则Ffb＝mω２􀅰２l,Ffa＜Ffb,选项 B错误;ω＝ ２kg ３l＜ωa＝ kg l ,a没有滑动,则Ffa′＝mω２l＝ ２ ３kmg , 选项 D错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 培优点二　竖直面内的圆周运动临界问题 １．模型概述 拱形桥 模型 凹形桥 模型 ２．模型特点及规律 拱 形 桥 模 型 ①最高点:FN ＝mg－m v２ R ,失重;②v≥ gR,汽车脱离,做平抛运动． 续表 凹 形 桥 模 型 ①最低点:FN＝mg＋ mv２ R ,超重;②v≠０,v 越大,FN 越大． ３．解题技巧 (１)物体通过圆周运动最低点、最高点时,利用合力提 供向心力列牛顿第二定律方程; (２)物体从某一位置到另一位置的过程中,用动能定 理找出两处速度关系; (３)注意:求对轨道的压力时,转换研究对象,先求物 体所受支持力,再根据牛顿第三定律求出压力． [典例４]　(２０２５􀅰陕西渭南期末)一般的曲线运动 可以分为很多小段,每一小段都可以被看作是圆周 运动的一部分．如图所示为一摩托车匀速率运动过 程中经过高低不平的一段赛道的示意图,最低点A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４０１􀅰 高考总复习　物理 和最高点B 两个位置对应 的圆弧半径分别为r１、r２, 且r１＜r２．下列说法正确 的是 (　　) A．在B 点摩托车对赛道的压力等于摩托车的重力 B．摩托车在A、B 两点的向心加速度aA＞aB C．摩托车在A、B 两点的向心力FA＜FB D．在A 点摩托车处于失重状态 [解析]　B　[在B 点由牛顿第二定律有mg－FNB ＝mv ２ r２ ,解得FNB＝mg－m v２ r２ ＜mg,知在B 点摩 托车对赛道的压力小于摩托车的重力,故 A 错误; 根据题意,摩托车匀速率运动过程中,由a＝v ２ r ,r１ ＜r２,得aA＞aB,由向心力F＝ma,得FA＞FB,故B 正确,C错误;在A 点有FNA－mg＝ mv２ r１ ,解得FNA ＝mg＋mv ２ r１ ＞mg,则在A 点摩托车处于超重状态, 故 D错误．] [典例５]　(２０２５􀅰高三全国专题练 习)如图所示,轻杆长３L,在杆两端 分别固定质量均为m 的球 A和B, 光滑水平转轴穿过杆上距球 A 为 L处的O 点,外界给系统一定能量 后,杆和球在竖直平面内转动,球B运动到最高点 时,杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力,则球B 在最高点时 (　　) A．球B的速度为零 B．球 A的速度大小为 ２gL C．水平转轴对杆的作用力为１􀆰５mg D．水平转轴对杆的作用力为２􀆰５mg [解析]　C　[球 B运动到最高点时,杆对球 B恰 好无作用力,即重力恰好提供向心力,有 mg＝m v２B ２L ,解得vB＝ ２gL,故 A 错误;由于 A、B两球的 角速度相等,由v＝ωr可知,球 A 的速度大小vA＝ １ ２vB＝ ２gL ２ ,故 B错误;球 B到最高点时,对杆无 弹力,此时球 A 所受重力和拉力的合力提供向心 力,有F－mg＝m v２A L ,解得F＝１．５mg,故水平转轴 对杆的作用力为１􀆰５mg,故C正确,D错误．] [典例６]　(多选)(２０２５􀅰吉林四平期中)如图甲、乙 所示,分别用长度均为１m的轻质细绳和轻质细杆 的一端拴质量均为１kg的小球 A、B,另一端分别 固定在O、O′点,现让A、B两小球分别绕O、O′点在 竖直平面内做圆周运动,小球均可视为质点,不计 空气阻力,重力加速度g取１０m/s２．下列说法正确 的是 (　　) A．A球做圆周运动到最高点的最小速度为 １０m/s B．B球做圆周运动到最高点的最小速度为 １０m/s C．某次 A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力 大小分别为２N、５N,则此时 A、B两球经过最高 点时的速度大小之比可能为２ １５∶５ D．某次 A、B两球运动到最高点对绳、杆的作用力 大小分别为２N、５N,则此时 A、B两球经过最高 点时的速度大小之比可能为２∶ ５ [解析]　ACD　[A 球与细绳相连,则恰好能到最 高点时有 mg＝m v２１ L ,解得v１＝ gL＝ １０m/s,故 A 正确;B球与杆相连,则恰好能到最高点的速度 大小为v２＝０,故 B错误;对 A 球在最高点时由牛 顿第二定律有FA＋mg＝m v２２ L ,代入数据解得v２＝ ２ ３m/s,对B球有两种情况:a．杆对小球B为支持 力时,则有 mg－FB１＝m v２３ L ,代入数据解得v３＝ ５m/s,b．杆对小球B 为拉力时,则有 mg＋FB２＝ m v２４ L ,代入数据解得v４＝ １５m/s,则小球A、B 在 最高点的速度大小之比为v２∶v３＝２ ３∶ ５或 v２∶v３＝２ １５∶５,和v２∶v４＝２∶ ５或２ ５∶５, 故C、D正确．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 解决“轻绳、轻杆”约束下临界问题的思路 １．定模型:首先判断是轻绳模型还是轻杆模型, 两种模型在最高点的临界条件不同,其原因 主要是“绳”不能支持物体,而“杆”既能支持 物体,也能拉物体． ２．确定临界点:v临 ＝ gr,对轻绳模型来说是能 否通过最高点的临界点,而对轻杆模型来说是 FN 表现为支持力还是拉力的临界点． ３．受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力 分析,根据牛顿第二定律列出方程:F合＝F向． ４．过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律列 式,将初、末两个状态联系起来． 　(多选)(２０２５􀅰四川德阳阶段练习) 如图所示,一个固定在竖直平面上的 光滑圆形管道,管道里有一个直径略 小于管道内径的小球,小球在管道内 做圆周运动．下列说法中正确的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５０１􀅰 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第四章　抛体运动　圆周运动 A．小球通过管道最低点时,小球对管道的压力一 定竖直向下 B．小球通过管道最低点时,小球对管道的压力一定 竖直向上 C．小球通过管道最高点时,小球对管道的压力一定 不为零 D．小球通过管道最高点时,小球对管道的压力可 能为零 解析:AD　[小球通过管道最低点时,管道对小球 的支持力与向下的重力的合力提供向心力,可知管 道对小球的支持力竖直向上,则小球对管道的压力 一定竖直向下,选项 A 正确,B错误;小球通过管道 最高点时,当速度满足mg＝mv ２ r 时,小球对管道的 压力为零,选项C错误,D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 培优点三　斜面上圆周运动的临界模型 　　在斜面上做圆周运动的物体,因所受的控制因素 不同,如静摩擦力控制、绳控制、杆控制,物体的受力 情况和所遵循的规律也不相同．下面列举三类实例． [典例７]　如图所示,一倾斜的匀质 圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以 恒定角速度ω转动,盘面上离转轴距 离２．５m处有一小物体与圆盘始终 保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为 ３２ (设 最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面的夹角 为３０°,g取１０m/s２．则ω的最大值是 (　　) A．５rad/s　　　　　　　B．３rad/s C．１．０rad/s D．０．５rad/s [解析]　C　[物体随圆盘做圆周运动,运动到最低 点时最容易滑动,因此物体在最低点且刚好要滑动 时的转动角速度为最大值,这时,根据牛顿第二定 律有,μmgcos３０°－mgsin３０°＝mrω ２,求 得 ω＝ １．０rad/s,C项正确,A、B、D项错误．] [典例８]　 如图所示,在倾角为 α＝３０°的光滑斜面上,有一根长 为L＝０．８m 的轻杆,一端固定 在O 点,另一端系一质量为m＝ ０．２kg的小球,沿斜面做圆周运动．g取１０m/s２．若要 小球能通过最高点A,则小球在最低点B 的最小速 度是 (　　) A．４m/s B．２ １０m/s C．２ ５m/s D．２ ２m/s [解析]　A　[小球受轻杆控制,在 A 点的最小速 度为零,由动能定理得２mgLsinα＝１２mv ２ B,可得 vB＝４m/s,A 正确．] 　(多选)如图所示,一块足够大的光 滑平板放置在水平面上,能绕水平 固定轴MN 自由转动从而实现调 节其与水平面所成的倾角．板上有一根长为l＝０．５ m的轻绳,一端系住一个质量为 m＝０．５kg的小 球,另一端固定在板上的O点．当平板倾角为α时,先将 轻绳平行于水平轴MN 拉直,然后给小球一沿着平板 并与轻绳垂直的初速度v０＝２m/s,g取１０m/s２, 则 (　　) A．若α＝０°,则轻绳对小球的拉力大小为FT＝４N B．若α＝９０°,则小球相对于初始位置可上升的最大 高度为０．３m C．小球能在平板上绕O 点做完整的圆周运动,α必 须满足的条件为sinα≤２５ D．小球能在平板上绕O 点做完整的圆周运动,α必 须满足的条件为sinα≤４１５ [解析]　AD　[小球在平板上运动时受轻绳的拉 力、重力和平板的弹力．在垂直平板方向上合力为 零,重力沿平板方向的分力为mgsinα,小球在最高 点时,由轻绳的拉力和重力沿平板方向的分力的合 力提供向心力,有FT＋mgsinα＝m v２１ l ① 研究小球从释放点到最高点的过程,据动能定理有 －mglsinα＝１２mv ２ １－ １ ２mv ２ ０ ② 若恰好通过最高点,轻绳拉力FT＝０,联立①②解 得sinα＝ v２０ ３gl＝ ４ １５ , 故C错误,D正确; 若α＝０°,则轻绳对小球的拉力大小为 FT＝m v２０ l＝４N ,故 A 正确; 若α＝９０°,小球不能到达最高点,假设能够上升０．３m, 重力势能的增加量 mgh＝１．５J,初动能１２mv ２ ０＝ １J,机械能不守恒,故B错误．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６０１􀅰 高考总复习　物理