第五单元 认识方程-2024-2025学年北师大版数学四年级下学期易错笔记优选题培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学四年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第五单元 认识方程 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点01：用字母表示数: 字母表示数的意义： 在数学中，我们经常使用字母来表示一个数或一类数。这种表示方法不仅使数学表达式更加简洁，还能更清楚地展示数量之间的关系。 例如，在描述长方形的周长时，我们可以用字母a和b分别表示长和宽，然后写出公式C=2(a+b)。 字母表示数的写法： 当字母与数字相乘时，乘号可以省略不写，数字要写在字母的前面。例如，5乘以a可以写作5a。 字母与字母相乘时，乘号也可以省略不写，或者可以用“·”来表示。例如，a乘以b可以写作ab或a·b。 当两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方形式。例如，a乘以a可以写作a²。 用字母表示运算定律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 知识点02：含字母式子的求值 含义： 在数学中，我们经常需要根据给定的条件来求出含字母的式子的值。这个过程被称为含字母式子的求值。 具体的操作方法是，先将已知的数值代入到式子中，然后按照四则运算的顺序进行计算，最后得出结果。 例子： 例如，如果有一个式子为3a+2b，已知a=5，b=3，那么我们可以将这两个值代入到式子中，得到3×5+2×3=15+6=21。所以，当a=5，b=3时，式子3a+2b的值为21。 注意事项： 在代入数值时，要注意运算的顺序和符号的变化。 当遇到括号时，要遵循“先乘除后加减”和“括号里的优先计算”的原则。 当字母表示的数带有单位时，在代入数值后也要注意单位的转换和统一。 知识点03：等式的意义: 等式是数学中表示两个量或表达式相等的一种关系。在等式中，使用等号“=”来连接两个相等的部分。等式的基本特点是两边的值相等，无论是对数字还是代数表达式都适用。例如，5 = 5，x + 2 = 5 都是等式。 等式的性质主要有两个： 等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c。 等式两边同时乘或除以同一个不为零的数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b（a、b 不为零），那么 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 知识点04：方程的意义: 方程是数学中表示两个量或表达式相等，并且含有未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。例如，x + 2 = 5 就是一个方程，其中 x 是未知数。 方程在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述和解决各种实际问题。 知识点05：方程与等式的关系: 方程与等式的关系是：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。换句话说，方程是等式的一个子集，等式的范围更大，而方程的范围更小。 具体来说，一个等式如果含有未知数，那么它就是方程；如果不含有未知数，那么它就是一般的等式。例如，5 = 5 是一个等式，但它不是方程，因为它不含有未知数；而 x + 2 = 5 既是一个等式，又是一个方程，因为它不仅表示两边的值相等，还含有一个未知数 x。 当然，以下是小学数学中等式的性质、方程的意义以及方程求解过程的详细阐述： 知识点06：等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a + c = b + c 或 a - c = b - c（c 为任意实数或式子）。 等式两边同时乘或除以同一个非零数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a × c = b × c 或 a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 等式的传递性：如果 a = b 且 b = c，那么 a = c。 知识点07：方程的意义: 方程是数学中用来表示两个量或表达式相等，并且至少含有一个未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。方程是数学中的一个重要工具，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。 知识点08：方程求解的过程 识别方程：首先，我们需要识别出一个给定的数学表达式是否为方程。方程必须包含等号，并且等号两边至少有一个未知数。 去括号：如果方程中含有括号，我们需要按照先小括号、再中括号、最后大括号的顺序去除括号。这通常涉及到分配律和结合律的应用。 移项：将含有未知数的项移到方程的一侧，将常数项移到另一侧。这可以通过等式的性质（加或减同一个数或式子）来实现。 合并同类项：将方程中的同类项合并成一个项。这可以使方程更加简洁，并有助于后续的求解。 系数化为1：将未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。这可以通过等式的性质（乘或除以同一个非零数或式子）来实现。 北师大版小学数学四年级下册中，列方程解应用题的相关知识点主要包括以下几个方面： 知识点09：列方程解应用题 审题：理解题意，全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。特别是要弄清题目中涉及的一些概念术语，如增加、减少、倍数等。 确定未知数：用x表示所求的数量或有关的未知量。通常，我们需要根据题目中的条件，直接将要求的数量设为未知数。 等量关系：是列方程必不可少的条件。在应用题中，我们需要从题目中找出已知数与未知数之间的等量关系。 列出方程：根据找到的等量关系，我们可以列出一个含有未知数的等式，即方程。在列方程时，应尽量将未知数放在等式的左侧，以便于后续求解。 解方程：通过等式的性质，对方程进行变形和求解，从而找出未知数的值。在解方程时，需要注意将等号对齐，确保每一步都是等价的变换。 检验：求出未知数的值后，我们需要将其代入原方程进行检验，确保所求得的解满足原方程的条件。 易错点01：没有准确理解方程的定义： 错误理解：有些学生会误以为含有未知数的式子就是方程。 正确理解：方程是指含有未知数的等式。也就是说，除了含有未知数，还必须是等式。 易错点02：没有用字母准确表示出数量关系 错误示例：在描述“36减去某个数”时，学生可能只是简单地写为“36-α”，但没有明确“α”所代表的具体含义。 正确方法：应该明确“α”所代表的意义，如“α吨”或“α元”等，以准确表示数量关系。 易错点03：没有正确运用运算定律化简含有字母的式子 错误示例：学生在化简“(14+8)a”时，可能会误用乘法分配律，得到“14a+8”。 正确方法：根据运算定律，应该先进行括号内的加法运算，得到“22a”。 易错点04：对方程中等号的意义理解不透彻 错误理解：学生可能会误认为在等号两边进行任何操作都是等价的。 正确理解：等号表示两边的值是相等的。在等号两边进行相同的操作（如加、减、乘、除等），等式仍然成立。但需要注意的是，不能随意改变等号两边的操作顺序或进行不等价的变换。 易错点05：在解方程时，没有保持等式的平衡 错误示例：在解方程“3x = 18”时，学生可能会误写成“x = 18/3 = 6”，但没有明确说明为什么可以将3x变为x。 正确方法：在解方程时，应该明确每一步的变形依据，如“将方程两边同时除以3”，以保持等式的平衡。 易错点06：混淆了方程的解和解方程的过程 错误理解：有些学生会将方程的解误认为是解方程的过程。 正确理解：方程的解是指使方程成立的未知数的值；而解方程的过程是指找到这个解的方法和步骤。 易错点07：在列方程时，没有正确设置未知数 错误示例：在描述“比某个数多3的数是10”时，学生可能会设置两个未知数x和y，导致方程变得复杂。 正确方法：应该只设置一个未知数x（即“某个数”），然后列出方程“x+3=10”。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（本题2分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）近年来，深圳推进绿色低碳交通发展，新能源车辆等推广应用走在全球前列。深圳某汽车制造厂计划全年生产新能源汽车a辆，实际比计划每月多生产b辆，则该厂实际每月生产新能源汽车（    ）辆。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】由题意得，深圳某汽车制造厂计划全年生产新能源汽车a辆，实际比计划每月多生产b辆，那么用a÷12求出计划每月生产的辆数，然后再加上b即可算出该厂实际每月生产新能源汽车多少辆。 【完整解答】根据分析可知：a÷12＋b即该厂实际每月生产新能源汽车的辆数。 故答案为：B 2．（本题2分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）一个长方形的周长是36米，长是12米，设宽是米，下面列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】设宽是x米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，将长方形周长、长带入即可列出方程。 【完整解答】设宽是x米，由长方形的周长是36米，长是12米，可得36＝（12＋x）×2，即（x＋12）×2＝36。 故答案为：C 3．（本题2分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）把下面两个长方形拼成一个大长方形，大长方形的面积不可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路点拨】根据题意，首先明确长方形的面积＝长×宽，把下面两个长方形拼成一个大长方形，大长方形的长可以是（b＋c），宽是a，由此可知，大长方形的面积是a×（b＋c），或者是ac＋ab，以此答题即可。 【完整解答】A．（a＋c）×（b＋a），不能表示大长方形的面积。 B．ac＋ab，能表示大长方形的面积。 C．a×（b＋c），能表示大长方形的面积。 故答案为：A 4．（本题2分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）下列问题不可以用“”进行解答的是（    ）。 A．每篮苹果重千克，篮苹果重多少千克？ B．汽车每小时行千米，小时行多少千米？ C．一件上衣售价元，一条裤子售价元，买这套衣服要多少元？ D．长方形的长是厘米，宽是厘米，长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】C 【思路点拨】选项A中用每篮苹果的重量乘篮数即可一共重多少千克；选项B中根据路程＝速度×时间，即可求出行多少千米；选项C中用上衣的价格加上裤子的价格，即可求出这套衣服要多少元；选项D中根据长方形面积＝长×宽，即可求出面积是多少平方厘米，据此选出不可以用a×b解答的即可。 【完整解答】A．a×b＝（a×b）千克，可以用a×b解答； B．a×b＝（a×b）千米，可以用a×b解答； C．a＋b＝（a＋b）元，不可以用a×b解答； D．a×b＝（a×b）平方厘米，可以用a×b解答。 不可以用“a×b” 进行解答的是一件上衣售价a元，一条裤子售价b元，买这套衣服要多少元。 故答案为：C 5．（本题2分）（19-20四年级下·辽宁·期末）用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（    ）根小棒 A．20 B．24 C．25 【答案】C 【思路点拨】图1用5根小棒摆成，图2用9根小棒摆成，图3用13根小棒摆成，仔细观察发现，每增加一个五六边形其小棒根数增加4根，所以可得第n个图形需要小棒5＋4（n－1）＝4n＋1根，据此即可解答问题。 【完整解答】由图可知： 图形1的小棍根数为5； 图形2的小棍根数为9； 图形3的小棍根数为13； … 由该搭建方式可得出规律：图形每增加1，小棍的个数增加4， 所以可以得出规律：搭第6个图形需要小棍根数为： 5＋4×（6－1） ＝5＋4×5 ＝5＋20 ＝25（根） 故答案为：C 【易错点拨】本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可。 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分15分，每空1分） 6．（本题2分）（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）淘气买了2副乒乓球拍和5盒乒乓球共用去300元，已知5盒乒乓球80元，若设每副乒乓球拍m元，则可列方程为( )，解方程可知每副乒乓球拍( )元。 【答案】 2m＋80＝300 110 【思路点拨】根据题意，用每副乒乓球拍的钱数乘买的副数再加上5盒乒乓球的钱数，等于一共用去的钱数，据此列方程即可；根据等式的性质1和2解方程即可。 【完整解答】解：设每副乒乓球拍m元。 2m＋80＝300 2m＋80－80＝300－80 2m＝220 2m÷2＝220÷2 m＝110 淘气买了2副乒乓球拍和5盒乒乓球共用去300元，已知5盒乒乓球80元，若设每副乒乓球拍m元，则可列方程为2m＋80＝300，解方程可知每副乒乓球拍110元。 7．（本题2分）（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）小丽出生时，妈妈26岁。妈妈今年b岁，小丽今年( )岁；10年后，妈妈( )岁。 【答案】 b－26 b＋10 【思路点拨】小丽出生时妈妈26岁，说明两人年龄差始终为26岁。妈妈今年b岁，则小丽今年年龄为妈妈的年龄减去年龄差，即（ b－26）岁。10年后妈妈的年龄为当前年龄加10，即（b＋10 ）岁。 【完整解答】由分析可知：小丽出生时，妈妈26岁。妈妈今年b岁，小丽今年（ b－26）岁；10年后，妈妈（b＋10 ）岁。 8．（本题4分）（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）在（    ）里填上合适的数，使每个方程的解都是x＝2。 ( )－x＝0.2    x－( )＝0.22   ( )×x＝2.22   x÷( )＝0.02 【答案】 2.2 1.78 1.11 100 【思路点拨】把方程的解x＝2代入（  ）－x＝0.2得（  ）－2＝0.2，用0.2＋2即可算出括号里应填几。 把方程的解x＝2代入x－（  ）＝0.22得2－（  ）＝0.22，用2减去0.22即可算出括号里应填几。 把方程的解x＝2代入（  ）×x＝2.22得（  ）×2＝2.22，2.22除以2，括号里就填几。 把方程的解x＝2代入x÷（  ）＝0.02得2÷（  ）＝0.02，0.02乘几得100，括号里就填几。 【完整解答】0.2＋2＝2.2 2－0.22＝1.78 2.22÷2＝1.11 0.02×100＝2 2.2－x＝0.2    x－1.78＝0.22    1.11×x＝2.22   x÷100＝0.02 9．（本题3分）（23-24四年级下·广东深圳·期末）三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要3根木棒，拼2个三角形需要5根木棒，拼4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼n个三角形需要( )根木棒。 【答案】 稳定 9 【思路点拨】根据所学，三角形具有稳定性，观察图形可知，摆1个、2个、3个三角形分别要小棒的数量是3根、5根、7根……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找到规律。 【完整解答】观察图形可知： 摆1个三角形要3根小棒，3＝1×2＋1； 摆2个三角形要5根小棒，5＝2×2＋1； 摆3个三角形要7根小棒，7＝3×2＋1； …… 按此规律摆下去，摆n个三角形要（2n＋1）根小棒。 所以三角形具有稳定性，拼4个三角形需要9根木棒，以此类推，拼n个三角形需要（2n＋1）根木棒。 【易错点拨】本题是找规律的题型，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 10．（本题1分）（18-19五年级下·四川成都·期末）如下图，要把1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6六个数填入圆中，使每条边上的三个数之和都相等。笑笑已经填了三个，那么A处应填( )。 【答案】1.2 【思路点拨】如图： 因为每条边上的三个数之和相等，所以1.3＋A＋C＝1.1＋1.4＋ C，由等式性质，两边同时减去（1.3＋C），即可得解。 【完整解答】由分析可得： 故A＝1.2。 【易错点拨】考查了小数的加减法灵活运用以及等式的性质。 11．（本题1分）（18-19五年级下·四川·课后作业）小莲提一篮玉米到集贸市场去兑换大米，每来2千克玉米兑换1千克大米，用称一称连篮子和玉米恰好20千克，于是商贩连篮子和大米给小莲共称10千克，在这个过程总小莲亏了，如果篮子重a千克，小莲亏了 千克大米． 【答案】a 【完整解答】由题意可知：小莲有的玉米数量为20﹣a公斤，小贩给小莲的大米数量为10﹣a公斤，玉米大米兑换比为2：1，小贩应该给小莲的大米数量为 =10﹣ a千克， 则在这过程中小莲吃亏，数额是 10﹣ a﹣（10﹣a）= a千克大米． 故答案为 a． 12．（本题1分）（18-19四年级下·辽宁·课后作业）如图，一根1米长的竹竿，在它的左端挂1千克的物体，右端挂4千克的物体时，如果处于平衡状态，那么拴绳子的点0应位于离左端 米的地方． 【答案】0.8 【思路点拨】由题意并结合杠杆的平衡原理可得：左端物体的重量×距O点的距离=右端物体的重量×距O点的距离，由此可设拴绳子的点0应位于离左端x米的地方，则距右端就是（1﹣x）米，利用得到的等量关系式列方程解答即可． 【完整解答】解：设拴绳子的点0应位于离左端x米的地方，则距右端就是（1﹣x）米 由题意得：1×x=4×（1﹣x） x=4﹣4x 5x=4 x=0.8 答：拴绳子的点0应位于离左端0.8米的地方． 故答案为0.8． 13．（本题1分）（2019四年级下·辽宁·专题练习）甲乙两数之和是33，乙丙两数之和是44，丙丁两数之和是66，那么甲丁两数之和是( )． 【答案】55 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（本题2分）（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）12＋3x是一个方程。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据题意，方程的定义是含有未知数的等式，必须包含等号。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。题目中的“12＋3x”只有代数式（由数字、字母和运算符号组成），但缺少等号和另一侧的表达式，因此不构成方程。 【完整解答】根据分析可知： 12＋3x它仅是含有未知数，不是等式，所以不是方程。原题说法错误。 故答案为：× 15．（本题2分）（23-24四年级下·陕西榆林·期末）x＝1是方程x＋3＝3的解。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据等式的性质一，两边同时减去3，求出方程x＋3＝3的解，即可解答。 【完整解答】x＋3＝3 解：x＋3－3＝3－3 x＝0 所以方程x＋3＝3的解是x＝0，题中说法错误。 故答案为：× 【易错点拨】此题主要考查了根据等式的性质一解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去同一个数，等式仍然成立。 16．（本题2分）（23-24四年级下·陕西榆林·期末）一个三位数，百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，那么这个三位数是100a＋10b＋c。( ) 【答案】√ 【思路点拨】百位上的数字是几就表示几个百，十位上的数字是几就表示几个十，个位上的数字是几就表示几个一。这个百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，那么它有a个百，即100a；b个十，即10b；c个一，即c。 【完整解答】一个三位数，百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，那么这个三位数是100a＋10b＋c。 故答案为：√ 17．（本题2分）（23-24四年级下·河北·期末）a÷b＝8（b≠0），如果把a和b都乘100，商是800。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据商的变化规律，在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答即可。 【完整解答】a÷b＝8（b≠0），如果把a和b都乘100，商是8。原题说法错误。 故答案为：× 18．（本题2分）（19-20五年级下·陕西宝鸡·期末）甲数是30，比乙数的倍少，乙数就是。( ) 【答案】√ 【思路点拨】由题意知：甲数是30，比乙数的倍少，意思就是甲数再加上就正好是乙的倍，据此解答。 【完整解答】由分析知：乙数是 故答案为：√ 【易错点拨】理解“比乙数的倍少”，就是30加上才是乙数的倍。是解答本题的关键。 四、看图列式，准确计算（共1小题，共10分） 19．（本题4分）（24-25四年级下·全国·课后作业）看图列方程。 【答案】40＋x＝150 【思路点拨】天平左右相等，故左面两个砝码重量相加等于右面的砝码重量，即可解答。 【完整解答】通过分析可得： 40＋x＝150 解：40＋x-40＝150-40 x＝110 20．（本题6分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）解方程。                  【答案】x＝260；x＝143；x＝5 【思路点拨】（1）根据等式的性质2，两边同时乘13即可得解； （2）根据等式的性质1，两边同时减去45，再根据等式的性质2，等式两边同时除以5即可得解； （3）根据等式的性质1，两边同时加2.5，再根据等式的性质2，等式两边同时除以3即可得解。 【完整解答】（1）x÷13＝20 解：x÷13×13＝20×13 x＝260 （2）45＋5x＝760 解：45＋5x－45＝760－45 5x＝715 5x÷5＝715÷5 x＝143 3x－2.5＝12.5 解：3x－2.5＋2.5＝12.5＋2.5 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 五、联系生活，解决问题（共10小题，共55分） 21．（本题5分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）航模小组制作了27个飞机模型和一些军舰模型，飞机模型比军舰模型的2倍多3个。航模小组制作的军舰模型有多少个？（列方程解答） 【答案】12个 【思路点拨】飞机模型比军舰模型的2倍多3个，军舰模型的数量×2＋3＝飞机模型的数量，设军舰模型有x个，根据等量关系列出方程。再根据等式的性质一、等式的性质二解出方程即可。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个（不为0的数），左右两边仍相等。 【完整解答】解：设航模小组制作的军舰模型有x个。 x＝12 答：航模小组制作的军舰模型有12个。 22．（本题5分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）植树节当天，四年级和五年级同学一共植树240棵，五年级有5个班，平均每班植树32棵。四年级有4个班，平均每班植树多少棵？（列方程解答） 【答案】20棵 【思路点拨】用五年级平均每个班植树的棵数×5求出五年级一共植树多少棵，再用四年级平均每个班植树的棵数×4，求出四年级一共植树多少棵，再把两者相加就是一共植树240棵；设四年级平均每个班植树x棵，据此列出方程，并根据等式的性质一、等式的性质二解出方程即可。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个（不为0的数），左右两边仍相等。 【完整解答】解：设四年级平均每班植树x棵。 4x＝80 答：四年级平均每班植树20棵。 23．（本题5分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）某希望小学四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多名学生，四（3）班比四（2）班少名学生。 （1）四（2）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （2）四（3）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （3）当，时，四（3）班有多少名学生？ 【答案】（1）46＋x （2）46＋x－a （3）48名 【思路点拨】（1） 已知四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多x名学生， 那么四（2）班的学生人数为四（1）班的人数加上多的人数，即（46＋x） 名。 （2） 因为四（3）班比四（2）班少a名学生，四（2）班有（46＋x）名学生，所以四（3）班的学生人数为四（2）班的人数减去少的人数，即（46＋x−a）名。 （3）把x＝3， a＝1代入 即可解答。 【完整解答】（1）四（2）班有（46＋x）人； （2）四（3）班有（46＋x－a）人； （3）当x＝3，a＝1时； 46＋3－1 ＝49－1 ＝48（名） 答：四（3）班有48名学生。 24．（本题5分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）鞋子的长度和码数之间可以相互换算。如：鞋子的长度为18厘米，鞋子的码数为（码）；鞋子的长度为21厘米，鞋子的码数为（码）。刘叔叔穿44码的鞋子，他穿的鞋子的长度是多少厘米？（列方程解答） 【答案】27厘米 【思路点拨】根据题意可知，鞋子的长度×2－10＝鞋子的码数，设刘叔叔穿的鞋子的长度为x厘米，根据等量关系式列出方程2x－10＝44，根据等式的性质一方程两边都加10得2x＝54 ，再根据等式的性质二方程两边都除以2得x＝27。 【完整解答】解：设刘叔叔穿的鞋子的长度为x厘米。 2x－10＝44 2x－10＋10＝44＋10 2x＝54 2x÷2＝54÷2 x＝27 答：刘叔叔穿的鞋子的长度是27厘米。 25．（本题5分）（24-25四年级下·辽宁·随堂练习）2022年广西进一步推进无障碍环境建设，为残障人士出行提供便利。据相关规定：每1米高的斜坡，至少需要8米的水平长度。 （1）2米高的斜坡，至少需要多少米的水平长度？4米、x米高呢？ （2）某建筑物前的空地长24米，那么此处斜坡最高多少米？ 【答案】（1）16米；32米；8x米 （2）3米 【思路点拨】（1）由题意得，每1米高的斜坡，至少需要8米的水平长度。求2米、4米或x米高的斜坡至少需要多少米的水平长度，直接用斜坡的高度乘上8即可解答。 （2）某建筑物前的空地长24米，求此处斜坡最高多少米，直接用24除以8即可解答。 【完整解答】（1）2×8＝16（米） 4×8＝32（米） x×8＝8x（米） 答：2米高的斜坡，至少需要16米的水平长度。4米高的斜坡，至少需要32米的水平长度。x米高的斜坡，至少需要8x米的水平长度。 （2）24÷8＝3（米） 答：某建筑物前的空地长24米，那么此处斜坡最高3米。 26．（本题6分）（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【答案】10天 【思路点拨】根据题意可知数量关系为：贝贝已做的120个＋贝贝再做的个数＝丽丽已做的150个＋丽丽再做的个数，并设x天后两人做的兰花数量同样多；根据每天做的个数×做的天数＝再做的个数，分别表示出贝贝再做的个数是15x个，丽丽再做的个数是12x个；根据数量关系列出方程，再根据等式的性质（一）（二）及乘法分配律解方程即可。据此解答。 【完整解答】解：设x天后两人做的兰花数量同样多； 120＋15x＝150＋12x 120＋15x－120＝150＋12x－120 15x＝150－120＋12x 15x＝30＋12x 15x－12x＝30＋12x－12x （15－12）x＝30 3x＝30 3x÷3＝30÷3 x＝10 答：10天后两人做的兰花数量同样多。 【易错点拨】本题首先要抓住“多少天后两人做的兰花数量同样多”找到等量关系；解方程时，要根据等式的性质把方程两边的数字和未知数分别合并到一起，再根据乘法分配律把两个未知数变成一个未知数，从而把复杂的方程逐步变得简单。 27．（本题6分）（23-24四年级下·辽宁·假期作业）小朋友分苹果，每人分18个，多出2个；每人分20个，有一个小朋友没有分到苹果。一共有多少个小朋友？有多少个苹果？ 【答案】11个；200个 【思路点拨】由于每人分18个，多出2个，每人分20个，有一个小朋友分不到，说明此时还少20个，如果再来20个苹果，则每人分20个苹果即可全部分到并分完；那么此时的苹果数量比给每人分18个苹果，会多出：2＋20＝22（个）苹果，每个小朋友从18个苹果分到20个苹果是多分2个，则看22里有几个2，则就有几个小朋友，即22÷2＝11（个）小朋友，之后再用小朋友的人数×18再加上2即可求出一共有多少个苹果。 【完整解答】20－18＝2（个）         2＋20＝22（个）     22÷2＝11（个）     11×18＋2 ＝198＋2 ＝200（个） 答：一共有11个小朋友，有200个苹果。 【易错点拨】本题主要考查盈亏问题，要注意后面加上20个苹果的时候，如果每人分18个会多出2个的基础上再加上多加的20个苹果，也可以用解方程的方法来解答。 28．（本题6分）（20-21四年级下·广东深圳·期末）甲、乙、丙三位小朋友共有85本书。如果把甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等。甲、乙、丙原来各有多少本书？ 【答案】甲32本；乙36本；丙17本 【思路点拨】根据甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等可知：甲＋2＝乙－2＝2丙；设丙的本数为x，所以甲的本数为：（2x－2）本；乙的本数为：（2x＋2）本，再根据甲、乙、丙三位小朋友共有85本书可知甲＋乙＋丙＝85，即可解方程求得x，然后再求得甲乙即可。 【完整解答】解：设丙的本数为x。 甲：（2x－2）本；乙：（2x＋2）本 （2x－2）＋ （2x＋2）＋x＝85 2x－2＋2x＋2＋x＝85 5x＝85 5x÷5＝85÷5 x＝17 甲：2×17－2 ＝34－2 ＝32（本） 乙：2×17＋2 ＝34＋2 ＝36（本） 答：甲有32本，乙有36本，丙有17本。 【易错点拨】明确甲、乙的书本数和丙的本数的关系是解决本题的关键。 29．（本题6分）（18-19四年级下·辽宁·课后作业）有一张长方形纸，用一条直线可以将它分为2个部分，两条直线可以分为4个部分，三条直线可以分为7个部分，如果有n条直线，那么可以将长方形纸分为多少个部分？当n为25时，可将长方形纸分为多少个部分？ 【答案】1＋(1＋n)·n÷2; 326 【思路点拨】一条直线分为2个部分，两条直线分为4个部分，三条直线分为7个部分，由此总结出公式：划分的部分数=1＋(1＋n)×n÷2．其中n表示直线的条数．最后把公式中的n换作25，求出式子的值． 【完整解答】通过在长方形纸上画出前几条直线，就可以发现规律，然后利用求和公式进行求解． 一张纸没有被直线分割时，就是1个部分，用一条直线分割可将它在原来的基础上增加1个部分；两条直线增加2个部分；三条直线增加3个部分，…，n条直线就增加n个部分． 1条直线：1＋1＝2；2条直线：1＋1＋2＝4；3条直线：1＋1＋2＋3＝7；4条直线：1＋1＋2＋3＋4＝11，…，n条直线：1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋(1＋n)·n÷2．当n＝25时，1＋(1＋25)×25÷2＝1＋325＝326．故n条直线可将长方形纸分为1＋(1＋n)·n÷2个部分；当n＝25时，可将长方形纸分为326个部分． 30．（本题6分）（2019四年级下·辽宁·专题练习）幼儿园分糖果，如果每人分4颗，则多出10颗，如果每人分6颗，则缺8颗．幼儿园有小朋友多少人？糖果共有多少颗？ 【答案】9人    46颗 【完整解答】略 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学四年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第五单元 认识方程 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点01：用字母表示数: 字母表示数的意义： 在数学中，我们经常使用字母来表示一个数或一类数。这种表示方法不仅使数学表达式更加简洁，还能更清楚地展示数量之间的关系。 例如，在描述长方形的周长时，我们可以用字母a和b分别表示长和宽，然后写出公式C=2(a+b)。 字母表示数的写法： 当字母与数字相乘时，乘号可以省略不写，数字要写在字母的前面。例如，5乘以a可以写作5a。 字母与字母相乘时，乘号也可以省略不写，或者可以用“·”来表示。例如，a乘以b可以写作ab或a·b。 当两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方形式。例如，a乘以a可以写作a²。 用字母表示运算定律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 知识点02：含字母式子的求值 含义： 在数学中，我们经常需要根据给定的条件来求出含字母的式子的值。这个过程被称为含字母式子的求值。 具体的操作方法是，先将已知的数值代入到式子中，然后按照四则运算的顺序进行计算，最后得出结果。 例子： 例如，如果有一个式子为3a+2b，已知a=5，b=3，那么我们可以将这两个值代入到式子中，得到3×5+2×3=15+6=21。所以，当a=5，b=3时，式子3a+2b的值为21。 注意事项： 在代入数值时，要注意运算的顺序和符号的变化。 当遇到括号时，要遵循“先乘除后加减”和“括号里的优先计算”的原则。 当字母表示的数带有单位时，在代入数值后也要注意单位的转换和统一。 知识点03：等式的意义: 等式是数学中表示两个量或表达式相等的一种关系。在等式中，使用等号“=”来连接两个相等的部分。等式的基本特点是两边的值相等，无论是对数字还是代数表达式都适用。例如，5 = 5，x + 2 = 5 都是等式。 等式的性质主要有两个： 等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c。 等式两边同时乘或除以同一个不为零的数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b（a、b 不为零），那么 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 知识点04：方程的意义: 方程是数学中表示两个量或表达式相等，并且含有未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。例如，x + 2 = 5 就是一个方程，其中 x 是未知数。 方程在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述和解决各种实际问题。 知识点05：方程与等式的关系: 方程与等式的关系是：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。换句话说，方程是等式的一个子集，等式的范围更大，而方程的范围更小。 具体来说，一个等式如果含有未知数，那么它就是方程；如果不含有未知数，那么它就是一般的等式。例如，5 = 5 是一个等式，但它不是方程，因为它不含有未知数；而 x + 2 = 5 既是一个等式，又是一个方程，因为它不仅表示两边的值相等，还含有一个未知数 x。 当然，以下是小学数学中等式的性质、方程的意义以及方程求解过程的详细阐述： 知识点06：等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a + c = b + c 或 a - c = b - c（c 为任意实数或式子）。 等式两边同时乘或除以同一个非零数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a × c = b × c 或 a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 等式的传递性：如果 a = b 且 b = c，那么 a = c。 知识点07：方程的意义: 方程是数学中用来表示两个量或表达式相等，并且至少含有一个未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。方程是数学中的一个重要工具，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。 知识点08：方程求解的过程 识别方程：首先，我们需要识别出一个给定的数学表达式是否为方程。方程必须包含等号，并且等号两边至少有一个未知数。 去括号：如果方程中含有括号，我们需要按照先小括号、再中括号、最后大括号的顺序去除括号。这通常涉及到分配律和结合律的应用。 移项：将含有未知数的项移到方程的一侧，将常数项移到另一侧。这可以通过等式的性质（加或减同一个数或式子）来实现。 合并同类项：将方程中的同类项合并成一个项。这可以使方程更加简洁，并有助于后续的求解。 系数化为1：将未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。这可以通过等式的性质（乘或除以同一个非零数或式子）来实现。 北师大版小学数学四年级下册中，列方程解应用题的相关知识点主要包括以下几个方面： 知识点09：列方程解应用题 审题：理解题意，全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。特别是要弄清题目中涉及的一些概念术语，如增加、减少、倍数等。 确定未知数：用x表示所求的数量或有关的未知量。通常，我们需要根据题目中的条件，直接将要求的数量设为未知数。 等量关系：是列方程必不可少的条件。在应用题中，我们需要从题目中找出已知数与未知数之间的等量关系。 列出方程：根据找到的等量关系，我们可以列出一个含有未知数的等式，即方程。在列方程时，应尽量将未知数放在等式的左侧，以便于后续求解。 解方程：通过等式的性质，对方程进行变形和求解，从而找出未知数的值。在解方程时，需要注意将等号对齐，确保每一步都是等价的变换。 检验：求出未知数的值后，我们需要将其代入原方程进行检验，确保所求得的解满足原方程的条件。 易错点01：没有准确理解方程的定义： 错误理解：有些学生会误以为含有未知数的式子就是方程。 正确理解：方程是指含有未知数的等式。也就是说，除了含有未知数，还必须是等式。 易错点02：没有用字母准确表示出数量关系 错误示例：在描述“36减去某个数”时，学生可能只是简单地写为“36-α”，但没有明确“α”所代表的具体含义。 正确方法：应该明确“α”所代表的意义，如“α吨”或“α元”等，以准确表示数量关系。 易错点03：没有正确运用运算定律化简含有字母的式子 错误示例：学生在化简“(14+8)a”时，可能会误用乘法分配律，得到“14a+8”。 正确方法：根据运算定律，应该先进行括号内的加法运算，得到“22a”。 易错点04：对方程中等号的意义理解不透彻 错误理解：学生可能会误认为在等号两边进行任何操作都是等价的。 正确理解：等号表示两边的值是相等的。在等号两边进行相同的操作（如加、减、乘、除等），等式仍然成立。但需要注意的是，不能随意改变等号两边的操作顺序或进行不等价的变换。 易错点05：在解方程时，没有保持等式的平衡 错误示例：在解方程“3x = 18”时，学生可能会误写成“x = 18/3 = 6”，但没有明确说明为什么可以将3x变为x。 正确方法：在解方程时，应该明确每一步的变形依据，如“将方程两边同时除以3”，以保持等式的平衡。 易错点06：混淆了方程的解和解方程的过程 错误理解：有些学生会将方程的解误认为是解方程的过程。 正确理解：方程的解是指使方程成立的未知数的值；而解方程的过程是指找到这个解的方法和步骤。 易错点07：在列方程时，没有正确设置未知数 错误示例：在描述“比某个数多3的数是10”时，学生可能会设置两个未知数x和y，导致方程变得复杂。 正确方法：应该只设置一个未知数x（即“某个数”），然后列出方程“x+3=10”。 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（本题2分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）近年来，深圳推进绿色低碳交通发展，新能源车辆等推广应用走在全球前列。深圳某汽车制造厂计划全年生产新能源汽车a辆，实际比计划每月多生产b辆，则该厂实际每月生产新能源汽车（    ）辆。 A． B． C． D． 2．（本题2分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）一个长方形的周长是36米，长是12米，设宽是米，下面列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（本题2分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）把下面两个长方形拼成一个大长方形，大长方形的面积不可能是（    ）。 A． B． C． 4．（本题2分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）下列问题不可以用“”进行解答的是（    ）。 A．每篮苹果重千克，篮苹果重多少千克？ B．汽车每小时行千米，小时行多少千米？ C．一件上衣售价元，一条裤子售价元，买这套衣服要多少元？ D．长方形的长是厘米，宽是厘米，长方形的面积是多少平方厘米？ 5．（本题2分）（19-20四年级下·辽宁·期末）用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第6个图形用了（    ）根小棒 A．20 B．24 C．25 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分15分，每空1分） 6．（本题2分）（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）淘气买了2副乒乓球拍和5盒乒乓球共用去300元，已知5盒乒乓球80元，若设每副乒乓球拍m元，则可列方程为( )，解方程可知每副乒乓球拍( )元。 7．（本题2分）（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）小丽出生时，妈妈26岁。妈妈今年b岁，小丽今年( )岁；10年后，妈妈( )岁。 8．（本题4分）（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）在（    ）里填上合适的数，使每个方程的解都是x＝2。 ( )－x＝0.2    x－( )＝0.22   ( )×x＝2.22   x÷( )＝0.02 9．（本题3分）（23-24四年级下·广东深圳·期末）三角形具有( )性。如下图，拼一个三角形需要3根木棒，拼2个三角形需要5根木棒，拼4个三角形需要( )根木棒，以此类推，拼n个三角形需要( )根木棒。 10．（本题1分）（18-19五年级下·四川成都·期末）如下图，要把1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6六个数填入圆中，使每条边上的三个数之和都相等。笑笑已经填了三个，那么A处应填( )。 11．（本题1分）（18-19五年级下·四川·课后作业）小莲提一篮玉米到集贸市场去兑换大米，每来2千克玉米兑换1千克大米，用称一称连篮子和玉米恰好20千克，于是商贩连篮子和大米给小莲共称10千克，在这个过程总小莲亏了，如果篮子重a千克，小莲亏了 千克大米． 12．（本题1分）（18-19四年级下·辽宁·课后作业）如图，一根1米长的竹竿，在它的左端挂1千克的物体，右端挂4千克的物体时，如果处于平衡状态，那么拴绳子的点0应位于离左端 米的地方． 13．（本题1分）（2019四年级下·辽宁·专题练习）甲乙两数之和是33，乙丙两数之和是44，丙丁两数之和是66，那么甲丁两数之和是( )． 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（本题2分）（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）12＋3x是一个方程。( ) 15．（本题2分）（23-24四年级下·陕西榆林·期末）x＝1是方程x＋3＝3的解。( ) 16．（本题2分）（23-24四年级下·陕西榆林·期末）一个三位数，百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，那么这个三位数是100a＋10b＋c。( ) 17．（本题2分）（23-24四年级下·河北·期末）a÷b＝8（b≠0），如果把a和b都乘100，商是800。( ) 18．（本题2分）（19-20五年级下·陕西宝鸡·期末）甲数是30，比乙数的倍少，乙数就是。( ) 四、看图列式，准确计算（共1小题，共10分） 19．（本题4分）（24-25四年级下·全国·课后作业）看图列方程。 20．（本题6分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）解方程。                  五、联系生活，解决问题（共10小题，共55分） 21．（本题5分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）航模小组制作了27个飞机模型和一些军舰模型，飞机模型比军舰模型的2倍多3个。航模小组制作的军舰模型有多少个？（列方程解答） 22．（本题5分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）植树节当天，四年级和五年级同学一共植树240棵，五年级有5个班，平均每班植树32棵。四年级有4个班，平均每班植树多少棵？（列方程解答） 23．（本题5分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）某希望小学四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多名学生，四（3）班比四（2）班少名学生。 （1）四（2）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （2）四（3）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （3）当，时，四（3）班有多少名学生？ 24． （本题5分）（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）鞋子的长度和码数之间可以相互换算。如：鞋子的长度为18厘米，鞋子的码数为（码）；鞋子的长度为21厘米，鞋子的码数为（码）。刘叔叔穿44码的鞋子，他穿的鞋子的长度是多少厘米？（列方程解答） 25．（本题5分）（24-25四年级下·辽宁·随堂练习）2022年广西进一步推进无障碍环境建设，为残障人士出行提供便利。据相关规定：每1米高的斜坡，至少需要8米的水平长度。 （1）2米高的斜坡，至少需要多少米的水平长度？4米、x米高呢？ （2） 某建筑物前的空地长24米，那么此处斜坡最高多少米？ 26．（本题6分）（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 27． （本题6分）（23-24四年级下·辽宁·假期作业）小朋友分苹果，每人分18个，多出2个；每人分20个，有一个小朋友没有分到苹果。一共有多少个小朋友？有多少个苹果？ 28．（本题6分）（20-21四年级下·广东深圳·期末）甲、乙、丙三位小朋友共有85本书。如果把甲的书的本数加2，乙的书的本数减2，丙的书的本数乘2后，三人书的本数相等。甲、乙、丙原来各有多少本书？ 29．（本题6分）（18-19四年级下·辽宁·课后作业）有一张长方形纸，用一条直线可以将它分为2个部分，两条直线可以分为4个部分，三条直线可以分为7个部分，如果有n条直线，那么可以将长方形纸分为多少个部分？当n为25时，可将长方形纸分为多少个部分？ 30．（本题6分）（2019四年级下·辽宁·专题练习）幼儿园分糖果，如果每人分4颗，则多出10颗，如果每人分6颗，则缺8颗．幼儿园有小朋友多少人？糖果共有多少颗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$