（易错讲义）第六单元 正比例和反比例（5个易错点+4个常考点+8个突破点）-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

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突破题型八反比例解决复杂问题 22 第一部分 五大易错知识点 1、错误理解正比例关系。 举例分析，圆的半径和面积的关系，经常认识圆的面积和半径成正比例，这是错误的。圆的面积与半径不成正比例,与半径的平方成正比例。 2、对正比例关系中两种量理解有误。 判断成正比例的前提是两种量存在联系,即相关联,身高和体重不是相关联的量,即使在某个时间段这两种量同时扩大,它们也不成正比例关系。 3、对正比例图像认识不深刻。 吊起的物品的质量与弹簧伸长的长度成正比例,弹簧伸长的长度等于吊起物品后弹簧的长度减去没有吊物品时弹簧的长度。 4、混淆了成反比例的两种量。 经常出现在铺砖问题中，铺地的面积一定,方砖边长的平方与所需方砖的块数成反比例。 5、错误理解反比例的意义。 判断两种相关联的量是否成反比例的关键是看它们的积是否一定。 第二部分 四大常考易错点 易错点一：对正比例关系中两种量理解有误。 判断：小明的身高和体重成正比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】小明的身高和体重不是两种相关联的量，它们的比值是不确定的，不成正比例。如人成年后，身高基本不发生变化，体重却发生变化。 【正确答案】错误 易错点二：错误理解正比例关系。 判断：圆的面积与半径成正比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在没有理解成正比例的量的意义，根据圆的面积公式S=Πr2得，=Πr，r不一定，Πr也不一定，即圆的面积与半径的比值不一定，所以圆的面积与半径不成正比例。 【正确答案】错误 易错点三：对正比例图像认识不深刻。 填空：在弹簧秤上吊物品时,所吊物品的质量与弹簧长度的变化如下图。 当吊起的物品的质量是5千克时,弹簧伸长了( )厘米。 【错误答案】20 【错解分析】本题错在混淆了“弹簧的长度”和“弹簧伸长的长度”。在没有吊物品时,弹簧长10厘米,所以当吊起的物品的质量是5千克时,弹簧伸长了20-10=10(厘米)。 【正确答案】10 易错点四：错误理解反比例的意义。 判断：六(1)班出勤人数和缺勤人数成反比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在没有正确理解反比例的意义。虽然出勤人数与缺勤人数是相关联的量,出勤人数+缺勤人数=全班人数(一定),但是它们只是和一定,不是积一定,所以出勤人数和缺勤人数不成反比例。 【正确答案】错误 第三部分 八种易错题型突破 突破题型一正比例的意义和辨识 1．表示m和n成正比例的关系式是（    ）。 A．m＋n＝k（一定） B．m×n＝k（一定） C．（一定） 【答案】C 【分析】判断m和n成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【解答】A．m＋n＝k（一定），是和一定，所以m和n不成比例； B．m×n＝k（一定），是乘积一定，所以m和n成反比例； C． （一定），是比值一定，所以m和n成正比例。 故答案为：C。 2．刘媛用四根木条制成了一个长方形框架，在她将长方形框架拉成平行四边形的过程中，平行四边形的面积和高（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．A和B都有可能 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积－定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积－定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【解答】因为在这个变化过程中平行四边形的底不变，根据平行四边形的面积÷高＝底（－定）它们的比值不变，所以平行四边形的面积和高成正比例。 故答案为：A 3．①订阅《小学生学习报》的钱数和份数； ②一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数； ③正方形的周长和边长； ④圆的半径和面积。 在上面各题中，两种相关联的量成正比例关系的有（    ）个。 A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】比值（商）一定的两个量成正比例关系。据此分析解题。 【解答】①总价÷数量＝单价（一定），那么订阅《小学生学习报》的钱数和份数成正比例关系； ②吃掉的大米＋剩下的＝一袋大米，那么一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数不成比例； ③周长÷边长＝4，那么正方形的周长和边长成正比例关系； ④面积÷半径÷半径＝3.14，那么圆的半径和面积不成正比例关系。 所以，两种相关联的量成正比例关系的有2个。 故答案为：C 4．下面的式子，（    ）中与成正比例。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。根据以上知识逐项进行分析即可得到答案。 【解答】A．，与的和一定，故与不成正比例； ．，即与的商一定，故与成正比例； ．，即与的乘积一定，故与不成正比例； ．，即与的乘积一定，故与不成正比例。 故答案为：B 突破题型二反比例的意义和辨识 5．下面不成比例的是（    ）。 A．正方形的周长和边长 B．某同学从家到学校步行速度和所用时间 C．圆柱的体积和表面积 【答案】C 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值（商）不一定，就不成比例，据此解答。 【解答】A．由“正方形的周长＝边长×4”可知，正方形的周长÷边长＝4（一定），所以正方形的周长和边长成正比例； B．从某同学家到学校的路程不变，步行速度×所用时间＝从某同学家到学校的路程（一定），所以某同学从家到学校步行速度和所用时间成反比例； C．，，圆柱的体积和表面积同时受底面半径和高的影响，且二者的变化关系无法保持固定的比例，所以圆柱的体积和表面积不成比例。 故答案为：C 6．下列说法正确的是（    ）。 ①被除数一定，商和除数成反比例； ②一个人的年龄和体重既不成正比例关系，也不成反比例关系； ③圆柱的底面积一定，体积和高成反比例关系； ④飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。 【解答】①商×除数＝被除数（一定），所以商和除数成反比例；原题说法正确； ②一个人的年龄和体重既不成比例关系，说法正确； ③圆柱的底面积＝圆柱的体积÷圆柱的高，所以圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系，原题说法错误； ④因为速度＝路程÷时间，所以飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例，说法正确。 所以说法正确的有①②④。 故答案为：B 7．下面各题的两种量，成反比例的有（    ）个。 ①花生的出油率一定，花生的质量和榨出油的质量。 ②已知ab＝36，a和b。 ③长方形的周长一定，它的长和宽。 ④在没有余数的除法算式中，被除数一定，除数和商。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】①榨出油的质量÷花生的质量×100%＝出油率（一定），花生的质量和榨出油的质量成正比例； ②已知ab＝36（一定），a和b成反比例； ③周长＝（长＋宽）×2；长＋宽＝周长×（一定），和一定，长和宽不成比例； ④被除数÷除数＝商；除数×商＝被除数（一定），在没有余数的除法算式中，被除数一定，除数和商成反比例。 成反比例的是②④，有2个。 故答案为：B 8．下列各式中，与（、均不为0）成反比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【解答】A．由可得：（一定），比值一定，则与成正比例，不符合题意； B．由可得：（一定），比值一定，则与成正比例，不符合题意； C．由可得：（一定），积一定，则与成反比例，符合题意； D．由可得：（一定），比值一定，则与成正比例，不符合题意。 故答案为：C 突破题型三根据正反比例填表 9．表中的x和y是两种相关联的量，若x和y成正比例，则y＝( )；若x和y成反比例，则y＝( )。 x 3 9 y 120 【答案】360 40 【分析】因为两个相关联的量之间成正比例，比值是一定的；如果成反比例，则乘积是一定的，由此解答。 【解答】x和y成正比例： 3∶120＝9∶y y＝120×9÷3 y＝1080÷3 y＝360 x和y成反比例： 3×120＝9×y y＝3×120÷9 y＝360÷9 y＝40 若x和y成正比例，则y＝360；若x和y成反比例，则y＝40。 10．如表，如果a和b成正比例，那么◆表示的数是( )；如果a和b成反比例，那么◆表示的数是( )。 a 3 ◆ b 20 25 【答案】3.75 2.4 【分析】根据正比例的意义：正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量相的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。 反比例的意义：指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此解答即可。 【解答】正比例：3∶20＝◆∶25 20◆＝3×25 20◆＝75 20◆÷20＝75÷20 ◆＝3.75 反比例：3×20＝◆×25 60＝25◆ 25◆÷25＝60÷25 ◆＝2.4 所以如果a和b成正比例，那么◆表示的数是3.75；如果a和b成反比例，那么◆表示的数是2.4。 11．如表，当和成正比例时，空格里应填( )；当和成反比例时，空格里应填( )。 3 40 120 【答案】9 1 【分析】正比例关系式：（一定），两个变化的量的比值（商）一定，这两个变化的量成正比例关系； 反比例关系式：（一定），两个变化的量的乘积一定，这两个变化的量成反比例关系； 据此分别列出正比例、反比例方程，求出空格里应填的数。 【解答】当和成正比例时 ＝ 解：40＝3×120 40＝360 ＝360÷40 ＝9 当和成反比例时 120＝3×40 解：120＝120 ＝120÷120 ＝1 当和成正比例时，空格里应填9；当和成反比例时，空格里应填1。 12．下表中若x、y成正比例，则a是( )，b是( )；若x、y成反比例，则a是( )，b是( )。 x 4 0.5 b y 16 a 32 【答案】2 8 128 2 【分析】若x，y成正比例，则x和y的比值一定，即；若x，y成反比例，则x与y的乘积一定，即；据此解答。 【解答】若x，y成正比例，则。 因此，解得，。 若x，y成反比例，则。 因此，解得，。 因此表格中若x、y成正比例，则a是2，b是8；若x、y成反比例，则a是128，b是2。 突破题型四正比例的图像应用 13．如图表示的是一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系。这辆汽车行驶的路程与时间的比值是( )，它们成( )比例。 【答案】60 正 【分析】根据比和除法的关系，比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，统计图可知，用行驶的路程÷行驶的时间，即可求出这辆汽车行驶的路程与时间的比值，也就是这辆车的速度；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【解答】60÷1＝60（千米/时） 120÷2＝60（千米/时） 180÷3＝60（千米/时） 240÷4＝60（千米/时） 300÷5＝60（千米/时） 这辆汽车行驶的路程与时间的比值是60； 60∶1＝120∶2＝180∶3＝240∶4＝300∶5＝60（一定），这辆汽车行驶的路程与时间成正比例。 这辆汽车行驶的路程与时间的比值是60，它们成正比例。 14．小刚骑行的基本信息如图。根据图像显示，小刚骑行的( )和时间成正比例。看图可知，他骑行3千米，需要( )分钟；骑行5分钟，大约骑了( )米（保留整数）。 【答案】路程 9 1667 【分析】根据正比例图像的特点：正比例的图像是一条经过原点的射线，由此即可知道小刚骑行的路程和时间成正比例；通过图观察，当骑行3千米的时候，用了9分钟；根据正比例的含义，两个相关联的量比值一定，则成正比例，即＝＝，由此即可知道路程＝×时间，当骑行5分钟的时候，把时间等于5分钟代入式子，×5，算出结果再保留到整数即可。 【解答】由分析可知小刚骑行的路程和时间成正比例； 他骑行3千米，需要9分钟； ×5＝≈1667（米） 【点评】熟练掌握正比例的图像并灵活运用。 15．如下图表示一工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所用时间成( )比例，照这样计算，修长750米公路需要( )天。 【答案】正 7.5 【分析】横轴代表时间，纵轴代表修路长度，如果修路长度与所用时间的比值一定，它们成正比例关系；如果修路长度与所用时间的乘积一定，它们成反比例关系，据此解答即可。 【解答】100÷1＝100（米/天） 200÷2＝100（米/天） 300÷3＝100（米/天） 400÷4＝100（米/天） 500÷5＝100（米/天） …… 所以修路长度与所用时间的比值一定，它们成正比例关系。 修路的效率是平均每天修100米，则修长750米公路需要：750÷100＝7.5（天） 16．下边的图像表示一个水龙头打开后出水量与时间的关系。这个水龙头打开后的出水量和时间成( )比例，出水8升要用( )秒。 【答案】正 40 【分析】图像成一条直线，出水量和时间的比值一定，说明出水量和时间成正比例关系。 观察统计图可知，图像的横轴代表时间，纵轴代表出水量，找出这个水龙头出水8升所对应的时间，由图可知出水8升需要40秒。 【解答】由分析可知，图像成一条直线，这个水龙头打开后的出水量和时间成正比例关系。出水8升要用40秒。 突破题型五正比例的简单应用 17．某公司积分兑换话费活动开始了，兑换比例是60∶1（60积分兑换1元话费）。王叔叔兑换了50元话费，他花了多少积分？（用比例知识解答） 【答案】3000积分 【分析】根据题意知道，积分和兑换的话费的比值一定，即积分和兑换的话费成正比例，由此列式解答即可。 【解答】解：他花了x积分。 x∶50＝60∶1 x＝50×60 x＝3000 答：他花了3000积分。 【点评】解答此题的关键是先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 18．李叔叔想开车去武汉旅游，他从某导航软件左下角看到该地图的比例尺是，量得地图上从家到武汉的距离是7.5厘米。已知李叔叔的汽车每行驶100千米耗油7.5升，按这个耗油量，他出发前加满40升汽油，去的途中还需要加油吗？请说说你的理由。（用比例解答） 【答案】不用加油 【分析】根据比例尺可知，图上1厘米的距离表示实际距离60千米，据此用60乘7.5即可求出李叔叔从家到武汉的实际距离。根据题意，汽车行驶的路程÷耗油量＝每升汽油可以显示的路程（一定），则汽车行驶的路程和耗油量的商一定，则汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。设汽车行驶450千米耗油x升，根据比例关系可列出比例：100∶7.5＝450∶x，解出比例求出李叔叔从家到武汉需要多少升汽油，据此判断中途是否需要加油。 【解答】60×7.5＝450（千米） 解：设汽车行驶450千米耗油x升。 100∶7.5＝450∶x 100x＝7.5×450 100x＝3375 100x÷100＝3375÷100 x＝33.75 40＞33.75 答：去的途中不用加油。 19．用100千克黄豆可以榨油16千克，照这样计算，50吨黄豆可以榨油多少吨？（用比例解） 【答案】8吨 【分析】根据题意，100千克黄豆可以榨油16千克，每千克黄豆榨油的千克数一定，则油的千克（或吨）数与黄豆的千克（或吨）数成正比例，设50吨黄豆可以榨油x吨，列比例：100∶16＝50∶x，解比例，即可解答。 【解答】解：设50吨黄豆可以榨油x吨。 100∶16＝50∶x 100x＝16×50 100x＝800 x＝800÷100 x＝8 答：50吨黄豆可以榨油8吨。 20．天津到济南高速公路距离大约为320千米，北京到天津大约为120千米，一辆汽车从北京出发经天津开往济南，当行驶到天津时用了1.5小时，按照这个速度，北京到济南全程需要多少小时？（用比例知识解答） 【答案】5.5小时 【分析】由于按照这个速度，说明速度不变，根据公式：路程÷时间＝速度，根据比和除法的关系，比号相当于除号，即路程∶时间＝速度（一定），说明路程和时间成正比例关系；可以设北京到济南全程需要x小时，用北京到天津的路程∶北京到天津的时间＝北京到济南的路程∶北京到济南的时间，据此即可列比例，再解比例即可。 【解答】解：设北京到济南全程需要x小时。 120∶1.5＝（320＋120）∶x 120x＝440×1.5 120x＝660 x＝660÷120 x＝5.5 答：毕竟到济南全程需要5.5小时。 【点评】本题主要考查用比例解答问题，关键是要看清楚两个相关联的量是正比例还是反比例，同时要注意北京到济南的全程是多少千米。 突破题型六反比例的简单应用 21．北京市修建地铁第19号线二期北延及北延支线，天天工程队原计划每天修160米，50天完成。如果要提前10天完成，天天工程队每天要修多少米？ 【答案】200米 【分析】由题意可知，工作总量不变，那么每天修的长度和需要的天数成反比例，实际需要的天数×实际每天修的长度＝原计划需要的天数×原计划每天修的长度，据此解答。 【解答】解：设天天工程队每天要修x米。 （50－10）x＝160×50 40x＝160×50 40x＝8000 x＝8000÷40 x＝200 答：天天工程队每天要修200米。 22．王叔叔开一辆小货车从邹城去济南进货。去时空车每小时行90千米，2小时到达。返回时由于载货，每小时只能行60千米，需要多少小时返回邹城？（用比例知识解） 【答案】3小时 【分析】设平均每小时行x千米，根据题意总路程不变，速度和时间成反比例，由此列式解答即可。 【解答】解：设平均每小时行x千米。 60x＝90×2 60x＝180 60x÷60＝180÷60 x＝3 答：需要3小时返回邹城。 23．打一篇文稿，每小时打800字，需要6小时。改进方法后，只用了5小时，每小时打多少字？（用比例知识解答） 【答案】960字 【分析】由题意可知，这份文稿的总字数不变，每小时打的字数×需要的小时数＝这份书稿的总字数（一定），则每小时打的字数和需要的小时数成反比例，据此解答。 【解答】解：设每小时打x字。 5x＝800×6 5x＝4800 5x÷5＝4800÷5 x＝960 答：每小时打960字。 24．工程队修一条水渠，原计划6人12天完成；后来要求提前3天完成。如果每人工作效率不变，需要增派多少人才能按时完成任务？（用比例知识解） 【答案】2人 【分析】根据题意可知，修这条水渠的工作总量不变，即工作效率×工作时间＝工作总量（一定），乘积一定，那么工作效率与工作时间成反比例关系，（原计划的人数＋增加的人数）×（计划的天数－提前的天数）＝原计划的人数×计划的天数，据此列出反比例方程，并求解即可。 【解答】解：设应增加人才能按时完成任务， （12－3）×（6＋）＝12×6 9×（6＋）＝12×6 9×（6＋）＝72 6＋＝72÷9 6＋＝8 ＝8－6 ＝2 答：应增加2人才能按时完成。 突破题型七正比例解决复杂问题 25．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 …… 产品数量/个 51 102 153 204 …… （1）生产产品的时间和产品数量成 比例关系。 （2）照这样计算，33分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 【答案】（1）正　 （2）561个 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （2）由上一题可知，生产产品的时间和产品数量成正比例关系，那么产品数量∶生产产品的时间＝每分钟生产产品的数量（一定），据此列出正比例方程，并求解。 【解答】（1）＝＝＝＝…＝17（一定） 比值一定，所以生产产品的时间和产品数量成正比例关系。 （2）解：设33分钟生产个产品。 ＝ 3＝51×33 3＝1683 ＝1683÷3 ＝561 答：33分钟生产561个产品。 26．一辆汽车行驶的路程与耗油情况如表所示。 路程/千米 20 40 60 80 … 耗油量/升 1.8 3.6 5.4 7.2 … （1）这辆汽车行驶的路程与耗油量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，汽车行驶240千米耗油多少升？（用比例解） 【答案】（1）正；（2）21.6升 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例； （2）设照这样计算，汽车行驶240千米耗油x升，根据汽车行驶的路程与耗油量成正比例关系，列比例解答即可。 【解答】（1）1.8÷20＝0.09 3.6÷40＝0.09 5.4÷60＝0.09 7.2÷80＝0.09 耗油量÷路程＝0.09（一定），商一定，所以汽车行驶的路程与耗油量成正比例关系。 （2）解：设照这样计算，汽车行驶240千米耗油x升。 x∶240＝1.8∶20 20x＝240×1.8 20x＝432 20x÷20＝432÷20 x＝21.6 答：照这样计算，汽车行驶240千米耗油21.6升。 27．下图表示速度是120千米/时的火车1小时、2小时、3小时……所行驶的路程。看图估计一下： （1）这列火车2.5小时能行驶多少千米？ （2）这列火车3.5小时能行驶多少千米？ （3）这列火车5.5小时能行驶多少千米？ 【答案】（1）300千米 （2）420千米 （3）660千米 【分析】（1）根据题意，2.5小时在2小时与3小时中间，图中一段对角线表示的路程为120千米，那么2.5小时大概在2小时的路程再多120千米的一半； （2）3.5小时在3小时与4小时中间，图中一段对角线表示的路程为120千米，那么3.5小时大概在3小时的路程再多120千米的一半； （3）5.5小时在5小时与6小时中间，图中一段对角线表示的路程为120千米，那么5.5小时大概在5小时的路程再多120千米的一半。 【解答】（1）240＋120÷2 ＝240＋60 ＝300（千米） 答：这列火车2.5小时能行驶300千米。 （2）360＋120÷2 ＝360＋60 ＝420（千米） 答：这列火车3.5小时能行驶420千米。 （3）600＋120÷2 ＝600＋60 ＝660（千米） 答：这列火车5.5小时能行驶660千米。 28．一台榨油机的生产情况如表所示。 时间/时 1 2 3 4 5 6 产量/吨 4 8 12 16 20 24 （1）判断产量与时间成什么比例，并说明理由。 （2）把表中时间和产量所对应的点描在下面的方格纸上，再顺次连接。 （3）生产3.5时可以榨油（    ）吨，榨油36吨，用了（    ）时。 【答案】（1）正比例；理由见详解 （2）见详解 （3）14；9 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据所给数据可知，产量和时间之间的关系：4÷1＝8÷2＝12÷3＝……＝24÷6＝4，即比值一定，所以产量与时间之间是除法关系； （2）根据统计表提供的数据，绘制统计图； （3）根据题意可知，产量和时间是除法关系，先求出每小时榨油的产量，用榨油总产量÷榨油时间，求出每小时榨油产量，再根据总产量×榨油时间，求出3.5小时榨油的产量；再用36吨除以每小时榨油产量，求出榨油36吨需要的榨油时间。据此解答。 【解答】（1）4÷1＝4 8÷2＝2 12÷3＝4 16÷4＝4 20÷5＝4 24÷6＝4 即4∶1＝8∶2＝12∶3＝16∶4＝20∶5＝24∶6＝4（一定），所以产量与时间成正比例。 （2）如图： （3）4÷1＝4（吨） 4×3.5＝14（吨） 36÷4＝9（时） 生产3.5时可以榨油14吨，榨油36吨，用了9时。 突破题型八反比例解决复杂问题 29．如图是两个互相啮（niè）合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。尝试回答下面的问题。 （1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，哪个齿轮转得更快？哪个齿轮转的圈数多？ （2）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是什么关系？ （3）大齿轮有40个齿，小齿轮有24个齿。如果大齿轮每分转90圈，小齿轮每分转多少圈？ 【答案】（1）小齿轮；小齿轮 （2）反比例关系 （3）150圈 【分析】（1）根据“它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的”，可知小齿轮转得更快，转的圈数也多。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 （3）根据上一题可知，每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例，据此列出反比例方程，并求解。 【解答】（1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，小齿轮转得更快，小齿轮转的圈数多。 （2）每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，所以每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 （3）解：设小齿轮每分转圈。 24＝90×40 24＝3600 ＝3600÷24 ＝150 答：小齿轮每分转150圈。 30．一辆汽车开往240千米外的目的地，如果要2小时到达，每小时应行多少千米？如果要3小时、4小时、5小时……到达呢？把下表填写完整。 时间/时 2 3 4 5 6 … 速度/（千米/时） …… （1）相对应的两个数的乘积分别是多少？ （2）这个乘积表示什么意义？用式子表示它与行驶时间和速度之间的关系。 （3）行驶时间和速度成反比例吗？为什么？ 【答案】填表见详解 （1）240 （2）见详解 （3）见详解 【分析】根据，代入数据计算即可填空。 （1）用速度乘时间分别求出积。 （2）根据可知，乘积表示的是路程，据此解答。 （3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【解答】（千米/时） （千米/时） （千米/时） （千米/时） （千米/时） 时间/时 2 3 4 5 6 速度（千米/时） 120 80 60 48 40 （1）（千米） （千米） （千米） （千米） （千米） 相对应的两个数的乘积都是240。 （2）答：这个乘积表示的意义是两地之间的路程；表示它与行驶时间和速度之间的关系的式子是速度×时间＝路程（一定） （3）答：行驶时间和速度成反比例；因为它们是两个相关联的量，而且乘积一定。 31．某牛奶公司把一批牛奶进行灌装，如表给出了几种不同的灌装方案。 方案 一 二 三 每瓶容量/升 0.25 0.2 0.5 瓶数 800 1000 400 （1）这批牛奶的总量是（    ）升。 （2）（    ）没有变化，每瓶容量和灌装的瓶数成（    ）比例。 （3）如果将这批牛奶装入250个瓶子里，每瓶要装多少升？（用比例解） 【答案】（1）200 （2）这批牛奶的总量；反 （3）0.8升 【分析】（1）通过每瓶容量与瓶数的乘积可求出牛奶总量； （2）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。据此判断每瓶容量和灌装瓶数的关系； （3）利用牛奶总量不变，每瓶容量和灌装瓶数成反比例这一性质列方程求解。 【解答】（1）0.25×800＝200（升） 所以这批牛奶的总量是200升。 （2）这批牛奶的总量没有变，每瓶容量和灌装的瓶数成反比例。 （3）解：设每瓶要装x升。 250x＝0.25×800 250x＝200 250x÷250＝200÷250 x＝0.8 答：每瓶要装0.8升。 32．一个儿童玩具组装车间要完成一批儿童玩具组装任务，每天组装玩具的个数与需要的天数如下表。 每天组装数量/个 600 750 900 1200 1500 组装天数/天 30 24 20 15 12 （1）如果每天组装数量用p表示，组装天数用t表示，组装玩具总数用s表示，请你用式子表示出三者之间的关系。 （2）如果这批组装任务需要在8天内完成，每天要组装多少个玩具？（用比例解答） 【答案】（1） （2）2250个 【分析】（1）根据总数量一定，每天组装的数量×需要的天数＝总数量，表示出p、t和组装玩具总数s之间的关系即可。（2）这批任务的数量是一定的，所以p和t成反比例；设每天组装x个玩具，根据每天组装的数量×需要的天数＝总数量，列出反比例方程解答即可。 【解答】（1）p、t和组装玩具总数s之间的关系式：。 （2）解：设每天组装x个玩具。 答：每天要组装2250个玩具。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第五单元 确定位置 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：五大易错知识点 2 第二部分：四大常考易错点 3 易错点一：对正比例关系中两种量理解有误。 3 易错点二：错误理解正比例关系。 3 易错点三：对正比例图像认识不深刻。 4 易错点四：错误理解反比例的意义。 4 第三部分：八大易错题突破 4 突破题型一正比例的意义和辨识 4 突破题型二反比例的意义和辨识 5 突破题型三根据正反比例填表 7 突破题型四正比例的图像应用 8 突破题型五正比例的简单应用 9 突破题型六反比例的简单应用 10 突破题型七正比例解决复杂问题 11 突破题型八反比例解决复杂问题 13 第一部分 五大易错知识点 1、错误理解正比例关系。 举例分析，圆的半径和面积的关系，经常认识圆的面积和半径成正比例，这是错误的。圆的面积与半径不成正比例,与半径的平方成正比例。 2、对正比例关系中两种量理解有误。 判断成正比例的前提是两种量存在联系,即相关联,身高和体重不是相关联的量,即使在某个时间段这两种量同时扩大,它们也不成正比例关系。 3、对正比例图像认识不深刻。 吊起的物品的质量与弹簧伸长的长度成正比例,弹簧伸长的长度等于吊起物品后弹簧的长度减去没有吊物品时弹簧的长度。 4、混淆了成反比例的两种量。 经常出现在铺砖问题中，铺地的面积一定,方砖边长的平方与所需方砖的块数成反比例。 5、错误理解反比例的意义。 判断两种相关联的量是否成反比例的关键是看它们的积是否一定。 第二部分 四大常考易错点 易错点一：对正比例关系中两种量理解有误。 判断：小明的身高和体重成正比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】小明的身高和体重不是两种相关联的量，它们的比值是不确定的，不成正比例。如人成年后，身高基本不发生变化，体重却发生变化。 【正确答案】错误 易错点二：错误理解正比例关系。 判断：圆的面积与半径成正比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在没有理解成正比例的量的意义，根据圆的面积公式S=Πr2得，=Πr，r不一定，Πr也不一定，即圆的面积与半径的比值不一定，所以圆的面积与半径不成正比例。 【正确答案】错误 易错点三：对正比例图像认识不深刻。 填空：在弹簧秤上吊物品时,所吊物品的质量与弹簧长度的变化如下图。 当吊起的物品的质量是5千克时,弹簧伸长了( )厘米。 【错误答案】20 【错解分析】本题错在混淆了“弹簧的长度”和“弹簧伸长的长度”。在没有吊物品时,弹簧长10厘米,所以当吊起的物品的质量是5千克时,弹簧伸长了20-10=10(厘米)。 【正确答案】10 易错点四：错误理解反比例的意义。 判断：六(1)班出勤人数和缺勤人数成反比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在没有正确理解反比例的意义。虽然出勤人数与缺勤人数是相关联的量,出勤人数+缺勤人数=全班人数(一定),但是它们只是和一定,不是积一定,所以出勤人数和缺勤人数不成反比例。 【正确答案】错误 第三部分 八种易错题型突破 突破题型一正比例的意义和辨识 1．表示m和n成正比例的关系式是（    ）。 A．m＋n＝k（一定） B．m×n＝k（一定） C．（一定） 2．刘媛用四根木条制成了一个长方形框架，在她将长方形框架拉成平行四边形的过程中，平行四边形的面积和高（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．A和B都有可能 3．①订阅《小学生学习报》的钱数和份数； ②一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数； ③正方形的周长和边长； ④圆的半径和面积。 在上面各题中，两种相关联的量成正比例关系的有（    ）个。 A．1 B．3 C．2 D．4 4．下面的式子，（    ）中与成正比例。 A． B． C． D． 突破题型二反比例的意义和辨识 5．下面不成比例的是（    ）。 A．正方形的周长和边长 B．某同学从家到学校步行速度和所用时间 C．圆柱的体积和表面积 6．下列说法正确的是（    ）。 ①被除数一定，商和除数成反比例； ②一个人的年龄和体重既不成正比例关系，也不成反比例关系； ③圆柱的底面积一定，体积和高成反比例关系； ④飞机的速度一定，飞行的时间与航程成正比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．下面各题的两种量，成反比例的有（    ）个。 ①花生的出油率一定，花生的质量和榨出油的质量。 ②已知ab＝36，a和b。 ③长方形的周长一定，它的长和宽。 ④在没有余数的除法算式中，被除数一定，除数和商。 A．1 B．2 C．3 8．下列各式中，与（、均不为0）成反比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 突破题型三根据正反比例填表 9．表中的x和y是两种相关联的量，若x和y成正比例，则y＝( )；若x和y成反比例，则y＝( )。 x 3 9 y 120 10．如表，如果a和b成正比例，那么◆表示的数是( )；如果a和b成反比例，那么◆表示的数是( )。 a 3 ◆ b 20 25 11．如表，当和成正比例时，空格里应填( )；当和成反比例时，空格里应填( )。 3 40 120 12．下表中若x、y成正比例，则a是( )，b是( )；若x、y成反比例，则a是( )，b是( )。 x 4 0.5 b y 16 a 32 突破题型四正比例的图像应用 13．如图表示的是一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系。这辆汽车行驶的路程与时间的比值是( )，它们成( )比例。 14．小刚骑行的基本信息如图。根据图像显示，小刚骑行的( )和时间成正比例。看图可知，他骑行3千米，需要( )分钟；骑行5分钟，大约骑了( )米（保留整数）。 15．如下图表示一工程队修筑公路的长度与所用时间的关系，这个工程队修路长度与所用时间成( )比例，照这样计算，修长750米公路需要( )天。 16．下边的图像表示一个水龙头打开后出水量与时间的关系。这个水龙头打开后的出水量和时间成( )比例，出水8升要用( )秒。 突破题型五正比例的简单应用 17．某公司积分兑换话费活动开始了，兑换比例是60∶1（60积分兑换1元话费）。王叔叔兑换了50元话费，他花了多少积分？（用比例知识解答） 18．李叔叔想开车去武汉旅游，他从某导航软件左下角看到该地图的比例尺是，量得地图上从家到武汉的距离是7.5厘米。已知李叔叔的汽车每行驶100千米耗油7.5升，按这个耗油量，他出发前加满40升汽油，去的途中还需要加油吗？请说说你的理由。（用比例解答） 19．用100千克黄豆可以榨油16千克，照这样计算，50吨黄豆可以榨油多少吨？（用比例解） 20．天津到济南高速公路距离大约为320千米，北京到天津大约为120千米，一辆汽车从北京出发经天津开往济南，当行驶到天津时用了1.5小时，按照这个速度，北京到济南全程需要多少小时？（用比例知识解答） 突破题型六反比例的简单应用 21．北京市修建地铁第19号线二期北延及北延支线，天天工程队原计划每天修160米，50天完成。如果要提前10天完成，天天工程队每天要修多少米？ 22．王叔叔开一辆小货车从邹城去济南进货。去时空车每小时行90千米，2小时到达。返回时由于载货，每小时只能行60千米，需要多少小时返回邹城？（用比例知识解） 23．打一篇文稿，每小时打800字，需要6小时。改进方法后，只用了5小时，每小时打多少字？（用比例知识解答） 24．工程队修一条水渠，原计划6人12天完成；后来要求提前3天完成。如果每人工作效率不变，需要增派多少人才能按时完成任务？（用比例知识解） 突破题型七正比例解决复杂问题 25．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 …… 产品数量/个 51 102 153 204 …… （1）生产产品的时间和产品数量成 比例关系。 （2）照这样计算，33分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 26．一辆汽车行驶的路程与耗油情况如表所示。 路程/千米 20 40 60 80 … 耗油量/升 1.8 3.6 5.4 7.2 … （1）这辆汽车行驶的路程与耗油量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，汽车行驶240千米耗油多少升？（用比例解） 27．下图表示速度是120千米/时的火车1小时、2小时、3小时……所行驶的路程。看图估计一下： （1）这列火车2.5小时能行驶多少千米？ （2）这列火车3.5小时能行驶多少千米？ （3）这列火车5.5小时能行驶多少千米？ 28．一台榨油机的生产情况如表所示。 时间/时 1 2 3 4 5 6 产量/吨 4 8 12 16 20 24 （1）判断产量与时间成什么比例，并说明理由。 （2）把表中时间和产量所对应的点描在下面的方格纸上，再顺次连接。 （3）生产3.5时可以榨油（    ）吨，榨油36吨，用了（    ）时。 突破题型八反比例解决复杂问题 29．如图是两个互相啮（niè）合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。尝试回答下面的问题。 （1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，哪个齿轮转得更快？哪个齿轮转的圈数多？ （2）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是什么关系？ （3）大齿轮有40个齿，小齿轮有24个齿。如果大齿轮每分转90圈，小齿轮每分转多少圈？ 30．一辆汽车开往240千米外的目的地，如果要2小时到达，每小时应行多少千米？如果要3小时、4小时、5小时……到达呢？把下表填写完整。 时间/时 2 3 4 5 6 … 速度/（千米/时） …… （1）相对应的两个数的乘积分别是多少？ （2）这个乘积表示什么意义？用式子表示它与行驶时间和速度之间的关系。 （3）行驶时间和速度成反比例吗？为什么？ 31．某牛奶公司把一批牛奶进行灌装，如表给出了几种不同的灌装方案。 方案 一 二 三 每瓶容量/升 0.25 0.2 0.5 瓶数 800 1000 400 （1）这批牛奶的总量是（    ）升。 （2）（    ）没有变化，每瓶容量和灌装的瓶数成（    ）比例。 （3）如果将这批牛奶装入250个瓶子里，每瓶要装多少升？（用比例解） 32．一个儿童玩具组装车间要完成一批儿童玩具组装任务，每天组装玩具的个数与需要的天数如下表。 每天组装数量/个 600 750 900 1200 1500 组装天数/天 30 24 20 15 12 （1）如果每天组装数量用p表示，组装天数用t表示，组装玩具总数用s表示，请你用式子表示出三者之间的关系。 （2）如果这批组装任务需要在8天内完成，每天要组装多少个玩具？（用比例解答） 学科网（北京）股份有限公司 $$