导数常考小题归纳（切线，单调性，极值最值与不等式）讲义-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习考点通关 【导数常考小题题型归纳】【真题+模拟精选】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：在某点出的切线方程】 知识讲解 1. 明确切线的定义：切线是指一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。对于函数，在点处的切线，是当割线的两个端点无限趋近于该点时，割线的极限位置所确定的直线。 2. 求切线斜率：根据导数的几何意义，函数在点处的导数就是曲线在点处切线的斜率。所以，首先需要对函数求导，然后将代入导函数中，得到切线的斜率。 3. 确定切点坐标：已知要求切线方程的点为，其中。这个点既在曲线上，也在切线上。 4. 使用点斜式求切线方程：点斜式方程为，将求得的斜率和切点坐标代入点斜式方程，即可得到曲线在点处的切线方程。 例题精选 【例题1】（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 【例题2】（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 【例题3】（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 相似练习 【相似题1】（2019·天津·高考真题） 曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程． 【详解】， 当时其值为， 故所求的切线方程为，即． 【点睛】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 【相似题2】（2019·全国I卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】. 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解： 所以， 所以，曲线在点处的切线方程为，即． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 【相似题3】（2015·新课标Ⅱ·高考真题）已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ． 【答案】8 【详解】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得. 考点：导函数的运用. 【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数． 【题型2：过某点的切线方程或未知切点的切线问题】 知识讲解 1. 判断该点是否在曲线上 把该点的坐标代入曲线方程，如果等式成立，则该点在曲线上；否则，该点不在曲线上。 2. 当点在曲线上时 设切点坐标为，因为点在曲线上，所以。 对函数求导，得到导函数。 根据导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率。 由点斜式可得切线方程为。 3. 当点不在曲线上时 设切点坐标为，则。 对函数求导，得到导函数，那么切线斜率。 由点斜式写出切线方程。 因为切线过已知点，将其代入切线方程可得。 又因为，所以得到关于的方程，解这个方程求出的值。 将的值代入和，再利用点斜式即可写出切线方程。 例题精选 【例题1】（2007·全国·高考真题）已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点为，，由题知：， 所以，解得：或（舍去）. 故选：A 【例题2】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 【例题3】（2020·全国I卷·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 【答案】 【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为， ，所以切点坐标为， 所求的切线方程为，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 相似练习 【相似题1】（2004·湖南·高考真题）经过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是 ． 【答案】2x－y＋4＝0. 【解析】根据导数的几何意义求得切线的斜率，再根据两直线平行得到所求直线的斜率，最后根据点斜式即可求得答案. 【详解】因为y′＝6x－4，所以y′|x＝1＝2， 所以所求直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0. 故答案为：2x－y＋4＝0 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了直线方程的点斜式，属于基础题. 【相似题2】（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 . 【答案】. 【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点，则.又， 当时，， 点A在曲线上的切线为， 即， 代入点，得， 即， 考查函数，当时，，当时，， 且，当时，单调递增， 注意到，故存在唯一的实数根，此时， 故点的坐标为. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 【相似题3】（2008·江苏·高考真题）直线是曲线的一条切线，则实数 ． 【答案】 【详解】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以． 【题型3：切线的条数问题】 知识讲解 1. 设切点 设切点坐标为，其中。因为切线是在切点处与曲线相切的直线，所以设出切点是解题的关键第一步。 2. 求切线方程 对函数求导，得到导函数。根据导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率。 由点斜式可得切线方程为。 3. 代入已知点 如果是过某已知点作曲线的切线，将该点代入切线方程，得到。 4. 转化为方程求解 将代入上式，得到关于的方程。此时方程的解的个数就是切线条数。一般来说，这个方程可能是一个超越方程或高次方程，需要通过分析函数的性质来确定解的个数。 5. 分析函数性质 构造函数：将关于的方程变形为的形式，构造函数。 求导分析单调性：对求导，分析其单调性和极值情况。通过判断函数的单调性和极值与的关系，来确定函数与轴的交点个数，即方程的解的个数，从而得出切线条数。 例题精选 【例题1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 【例题2】（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出切线方程，将点代入切线方程，转化为交点问题，结合导数分析函数单调性，求出参数范围即可. 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程， 而过，将代入方程得到， 令，， 令，，此时单调递减， 令，，此时单调递增， 故有极小值，有极大值， 则得到，故A正确. 故选：A. 【例题3】（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义求出切线方程，用表示出，再构造函数，利用导数探讨函数图象性质，进而求出的范围. 【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为， 由切线过点，得， 令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点， ，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，而当时，恒有， 又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键. 相似练习 【相似题1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 【相似题2】（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围. 【详解】设公切线为是与的切点，由，得， 设是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得， 依题意两条直线重合，可得， 消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则， 当或时，；当时，， 所以有极小值为，有极大值为， 因为，，，所以， 当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 故的图象简单表示为下图: 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 【题型4：公切线问题，切线垂直问题】 知识讲解 1. 明确两条曲线的方程 设两条曲线分别为和，清楚它们的具体表达式，以便后续进行求导等运算。 2. 分别求两条曲线的导数 对求导得，对求导得。导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，所以和分别表示两条曲线在任意点处切线的斜率。 3. 设公切线与两条曲线的切点 设公切线与曲线的切点为，与曲线的切点为。 则，。 4. 根据导数几何意义写出公切线方程 对于曲线，在点处的切线方程为，即。 对于曲线，在点处的切线方程为，即。 5. 利用公切线的条件建立等式 因为是公切线，所以两条切线方程表示的是同一条直线，那么它们的斜率和截距都相等。 可得方程组。 6. 分析方程求解及公切线条数 通过解方程组来确定和的值。 一般情况下，将进行变形，用表示（或反之），代入中，得到一个关于（或）的方程。 然后分析这个方程解的个数： 若方程有唯一解，则公切线有条。 若方程有两个不同的解，则公切线有条。 若方程无解，则公切线不存在。 在分析方程解的个数时，可能需要对得到的方程进行进一步的变形和分析，比如构造函数，通过研究函数的单调性、极值、最值等性质来确定函数零点的个数，即方程解的个数，从而确定公切线条数。 例题精选 【例题1】（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题 【例题2】（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 【例题3】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解. 相似练习 【相似题1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程过原点得出切线方程为，再次利用导数的几何意义求得的切点，再带入点计算求参. 【详解】因为的导数为，设切点为， 所以切线斜率为， 所以曲线在处的切线过原点，所以，即，所以，切线为， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 故答案为：. 【相似题2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 . 【答案】/ 【分析】根据导数几何意义可分别用和表示出切线方程，根据切线方程相同可构造方程组，化简得到，代入所求式子整理即可. 【详解】曲线在点处的切线与曲线相切于点， ， ∴曲线在点处的切线斜率， 曲线在点处的切线斜率， ∴曲线在点处的切线方程为， 或， ，即， ，易知，， . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：求导数中的公切线问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题. 【相似题3】（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 【答案】/0.375 【分析】由题意得出两抛物线在第一象限相切，设两抛物线的公共切点为，借助导数，求出两条曲线在该点处的切线斜率，利用斜率相等建立方程求出切点坐标，代入函数即可得解. 【详解】 由题意可知，两抛物线与只可能在第一象限相切； 设两个抛物线相切于，在该点处的切线的斜率为， 抛物线在第一象限的图象为函数在第一象限的图象, 函数在该点处的切线的斜率为：， 所以有，解方程得：， 所以切点为代入，解得. 故答案为： 【题型5：求函数的单调性与参数范围】 知识讲解 1. 导数求函数单调性 · 知识讲解：对于函数，在某区间内，若，函数单调递增；若，函数单调递减。导数为零的点是驻点，驻点对单调性判断有重要意义。 · 解题思路 i. 对函数求导得。 ii. 令，求驻点。 iii. 依据驻点划分定义域区间，判断各区间正负。 iv. 根据正负确定函数在各区间单调性。 2. 已知单调性求参数范围 · 知识讲解：已知函数单调性求参数范围，是将其转化为导数对应的不等式恒成立问题，再求解参数范围。 · 解题思路 i. 若函数在区间单调递增，则在区间恒成立；若单调递减，则在区间恒成立。 ii. 把（或）转化为含参数不等式。 iii. 通过分离参数、构造函数等方法解不等式，得出参数取值范围。 例题精选 【例题1】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 【例题2】（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 -1; . 【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围. 【详解】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 【例题3】（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2014·大纲版·高考真题）若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】解法一：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，． 解法二：由， 令， 则， 因为函数在区间内是减函数， 所以在递减， 又的对称轴为，且开口向下， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【相似题2】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数在上单调递减，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用给定的单调性列出恒成立的不等式求解. 【详解】函数，求导得， 依题意，，而当时，， 则，所以a的取值范围为. 故答案为： 【相似题3】（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得. 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 【题型6：函数的极值与最值】 知识讲解 1. 导数求函数极值 · 知识讲解：函数极值点处导数为 0（但导数为 0 的点不一定是极值点）。若在点左侧，右侧，则为极大值点；反之，左侧，右侧，为极小值点。 · 解题思路 i. 对函数求导得。 ii. 令，求解得到可能的极值点。 iii. 以这些点划分区间，判断各区间正负，确定是极大值点还是极小值点，进而求出极值。 2. 导数求函数最值 · 知识讲解：函数在闭区间$[a,b]$上的最值，可能在端点处取得，也可能在极值点处取得。 · 解题思路 i. 按求极值步骤求出函数在开区间内的极值。 ii. 计算函数在区间端点与的值。 iii. 比较极值与端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值。 例题精选 【例题1】（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 【例题2】（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 【例题3】（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 相似练习 【相似题1】多选题（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 【相似题2】（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 【相似题3】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 【题型7：三次函数的性质】 知识讲解 1. 表达式：三次函数的一般形式为（）。 2. 单调性 当时，函数先递减后递增再递减，或先递增后递减再递增。 当时，函数先递增后递减再递增，或先递减后递增再递减。 其单调性可通过求导来确定，对求导得，根据导数的正负来判断函数的单调性。 3. 极值：三次函数可能有两个极值点，也可能没有极值点。令，根据判别式来判断： 当时，函数有两个不同的极值点。 当时，函数无极值点。 4. 对称性：三次函数的图像是中心对称图形，其对称中心的横坐标为，将代入函数可得到对称中心的纵坐标。 5. 零点个数 当时，若函数的极大值大于且极小值小于，则函数有三个不同的零点；若极大值等于或极小值等于，则函数有两个零点；若极大值小于或极小值大于，则函数有一个零点。 当时，情况与时类似，只是极大值与极小值的大小关系相反。 6. 渐近线：三次函数没有渐近线。 7. 值域：当时，值域为；当时，值域也为。 8. 拐点：三次函数的二阶导数，令，解得，所以三次函数的拐点为，这也是函数的对称中心。在拐点处，函数的凹凸性发生改变。 例题精选 【例题1】多选题（2024·广东江苏·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 【例题2】多选题（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 【例题3】多选题（2025·河北石家庄·一模）函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的极小值为0 B．若有3个零点，，，则 C．若，则为奇函数 D．当时，在区间上单调递增 【答案】BD 【分析】利用导数求出的极小值，即可判断A；利用韦达定理求出的零点之和判断B；利用奇函数的定义判断C；利用的导函数在区间上的正负判断D. 【详解】对于A，当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以为的极小值，故A错误； 对于B，由可知是其一个零点，令， 令，设是的两个根，由韦达定理得， 所以，若函数的3个零点为，，， 则，故B正确； 对于C，令，当时， ， 所以函数不是奇函数，故C错误； 对于D，， 因为当时，，当时，， 所以， 所以，当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：BD. 相似练习 【相似题1】多选题（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数满足，，则（   ） A． B．对于任意，有三个零点 C．对于任意，有两个极值点 D．存在，使得点为曲线对称中心 【答案】AB 【分析】根据，即可判断A；由A选项知，，利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；要使点为曲线对称中心，则为定值，由此即可判断D. 【详解】对于A，由，， 可得，即，故A正确； 对于B，由A选项可得， 则，则， 当时，令，则， 令，则或， 令，则， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 由，可得， 而，所以， 又当时，，当时，， 所以函数在和都存在一个零点， 所以对于任意，有三个零点，故B正确； 对于C，当时， ，则， 由， 得恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以函数无极值点，故C错误； 对于D，要使点为曲线对称中心， 则为定值， 而 ， 因为为定值， 所以，解得， 所以不存在，使得点为曲线对称中心，故D错误. 【相似题2】多选题（2025·江西宜春·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有2条 【答案】ACD 【分析】因式分解，解方程可判断A的真假；求的值，可判断B的真假；结合函数草图，可判断C的真假；写出函数在处的切线方程，根据切线过点确定的个数，判断D的真假. 【详解】对A：由或或.所以函数有3个零点.故A正确； 对B：因为， 所以的图象关于点对称，故B错误； 对C：因为函数有3个零点，结合三次函数的性质，可得函数草图如下： 所以函数既有极大值又有极小值.故C正确； 对D：设函数图象上任意一点， 因为， 所以函数在该点处的切线方程为： ， 因为切线过点，所以， 整理得：， 因式分解得：或. 故过点与函数的图象相切的直线有两条. 故D正确. 故选：ACD 【相似题3】多选题（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）已知函数，则下列命题中正确的是（    ） A．0是的极小值点 B．当时， C．若，则 D．若存在极大值点，且，其中，则 【答案】ACD 【分析】讨论a的取值情况，利用导数研究函数的单调性和极值，进而判断A；当时，利用导数得到函数的单调性，判断，的大小关系，进而判断B；根据题意推得，在根据对称性计算即可判定C；若存在极大值点，则，即，因为，化简等式，即可判断 【详解】由题意可得， 令，当时，得或， 对于A，当时，令，解得或，则在和上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以在处取得极小值， 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值； 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 对于B，当时，在上单调递减， 又，，所以，故B错误； 对于C，若，则，则 . 所以，，则，故C选项正确. 对于D，若存在极大值点，则，即， 因为，所以， 所以，， 即， 又，所以，故D正确. 故选：ACD. 【题型8：函数的零点问题】 知识讲解 1. 求函数的导数：对给定的函数求导，得到。通过导数来分析函数的单调性、极值等性质。 2. 分析函数单调性：根据的正负性确定函数的单调区间。令，解得的区间为函数的单调递增区间；令，解得的区间为函数的单调递减区间。 3. 确定函数的极值点和极值：令，求出函数的极值点。将极值点代入中得到对应的极值。这些极值对于判断函数零点的个数非常关键。 4. 分析函数的端点值或极限值：计算函数在区间端点处的值，或者考虑当趋近于正无穷、负无穷时函数的极限值。结合函数的单调性和极值，来确定函数与轴的交点情况。 5. 根据零点存在定理判断零点个数：如果函数在某区间两端点的值异号，即，那么在区间内至少存在一个零点。再结合函数的单调性和极值情况，进一步确定零点的具体个数。 例题精选 【例题1】（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 【例题2】（2015·新课标Ⅰ·高考真题）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，. 所以，函数的最小值为. 又，. 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到，设，，作出与的大致图象求解. 【详解】令，得， 设，， 则，易知当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当时，，当时，． 当时，， 易得的图象在处的切线方程为， 作出与的大致图象如图1所示， 可知与的图象有且仅有一个交点，即只有一个零点，不符合题意； 当时，作出与的大致图象如图2所示， 可知与的图象没有交点，即没有零点，不符合题意； 当时，作出与的大致图象如图3所示， 可知与的图象有两个交点，即有两个零点，符合题意． 综上，实数的取值范围为， 故选：B． （另解：令，得．令，，通过研究，的图象的交点情况求解） 相似练习 【相似题1】（2024·广东·一模）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用参变分类可得和的图象有两个交点，结合导数讨论后者的性质后可得参数的取值范围. 【详解】由得， 则问题转化为和的图象有两个交点， 而， 令，解得，令，解得， 故在上单调递增， 在单调递减，则， 当时， 的图象有两个交点； 当时， 的图象有两个交点； 大致图象如右所示： 结合图象可知，的取值范围是， 故选：D 【相似题2】（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化问题为函数的图象与函数的图象只有一个交点，作出函数图象，结合导数分析求解即可. 【详解】因为函数仅有一个零点， 所以函数的图象与函数的图象只有一个交点. 函数恒过定点，， 同一坐标系内作出两函数图象，如图所示， 两个函数图象已经有一个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数在处相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 时，，其导函数， 当直线与函数在处相切时，只有一个交点， 此时，解得，则当时，有两个交点. 综上，要使函数仅有一个零点，则实数的取值范围是. 故答案为：. 【相似题3】（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】解法一：先通过等价变形将函数的三个零点转化为函数有三个零点；再根据奇函数的定义得出函数是上的奇函数，进一步将条件转化为在上有一个零点；最后求出，分类讨论，利用导函数和零点存在性定理判断出函数的单调性即可求解. 解法二：先根据，为上偶函数，将题目条件转化为直线与函数的图象在上有一个交点；再利用导数判断出函数在上单调性，求出函数值域，即可求解. 解法三：先根据题意构造函数，，与都是上的奇函数，将题目条件问题转化为函数与在上恰有一个交点；再根据函数在上单调递增及导数的几何意义，数形结合即可解答. 【详解】解法一：. ， 的零点等价于函数的零点. 又函数定义域为，且 是上的奇函数， 只需要考虑在上有一个零点即可. 又函数在上单调递增，函数在上单调递增， 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减，的值域是. 当时，，此时在上单调递增，，无零点，不符合题意； 当时，，此时在上单调递减，，无零点，不符合题意； 当时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数，使. 当时，，此时在上单调递增，，； 当时，，此时在上单调递减； 又，，， ，在上存在唯一零点，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 解法二：，是的一个零点. 当时，由，得，令，. 函数定义域为， 为上偶函数. 则问题转化为直线与函数的图象在上有一个交点. 由，可得，设， 则.在上单调递增， 则，即当时， ， 在上单调递减. 又，，在上的值域为， 故，即，故实数的取值范围是. 解法三：令，得，设.，. 函数的定义域为，且； 函数的定义域为，且， 与都是上的奇函数， 则问题转化为函数与在上恰有一个交点. 又函数在上单调递增，. 又，，在单调递减， 又，作出函数与直线的图象， ，即，故实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型9：构建函数比较大小】 知识讲解 1. 观察式子特征，构造函数 分析结构相似性：观察待比较大小的两个式子，寻找它们结构上的相似之处，以此为依据构造函数。例如，若两个式子都形如与，且和中的次数、运算关系有规律，可尝试构造 。比如比较与的大小，可构造。 考虑常见函数模型：联系常见函数及其导数性质，如指数函数（）、对数函数（）、幂函数（）等。若式子中出现，可构造，其导数 。 2. 对构造函数求导 运用求导公式和法则：准确运用求导公式、、等，以及求导的四则运算法则，，对构造函数求导。例如，对求导，根据上述公式和法则可得 。 3. 分析导数性质，确定函数单调性 判断导数正负：根据给定的的取值范围，分析导数的正负情况。例如在中，当时，，所以；当时，，则。 确定函数单调性：由导数正负确定函数单调性。当时，函数在对应区间单调递增；当时，函数在对应区间单调递减。所以在上单调递减，在上单调递增。 4. 利用函数单调性比较大小 找到对应自变量值：确定所比较大小的两个数在构造函数定义域内对应的自变量，。例如要比较与的大小，此时 。 依据单调性判断：根据函数单调性，若且函数在区间单调递增，则；若函数单调递减，则。对于，因为在单调递增，，，所以，即。 例题精选 【例题1】 （2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 【例题2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 【例题3】（2025·山西临汾·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数求导可证明，即可求解，进而根据指数以及对数的性质求解. 【详解】记则， 故当时，，故在单调递增， 当时，，故在单调递减， 故，因此对任意的，都有， 当且仅当时取到等号， 故，故，故， 由于，因此， 故选：A 相似练习 【相似题1】（2025·云南·一模）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式求解． 【详解】设，，则. 令得，所以函数在区间单调递减. 因为，所以， 即，所以． 故选：C 【相似题2】（2025·海南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数利用导数确定单调性，进而比较函数值大小. 【详解】依题意，， 令，则，在上单调递增， 则，即，因此，即； 令，则当时，，函数在上单调递增， 则，因此，即.2，即， 所以. 故选：D 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 【相似题3】（2024·甘肃·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦及指数函数性质有，，构造研究的大小，即可得答案. 【详解】因为，故，而， 设，则，所以在上为增函数． 又，所以，即，所以． 综上，． 故选：D 【题型10：不等式的恒成立问题】 知识讲解 1. 变量分离 将不等式中的参数与变量分离，使不等式一边只含有参数，另一边只含有变量及其函数形式。例如对于不等式（）恒成立，可变形为（）。这样就把问题转化为求右边函数在给定区间上的最值问题。 2. 构造函数 根据分离变量后的式子，构造一个新的函数。如上述例子中构造函数（）。构造函数时要注意函数的定义域，需与原不等式中变量的取值范围一致。 3. 求导分析函数单调性 对构造的函数求导，得到。利用求导公式和法则准确计算导数。例如对于，根据除法求导法则，，，，，可得。 接着分析在定义域内的正负性。通过对进一步分析（如再求导判断其单调性等），确定的单调区间。例如设，对求导得，当时，，在单调递增，，即，所以在单调递增。 4. 求函数最值 根据函数单调性，求出函数在给定区间上的最值。若函数在区间单调递增，则最小值在区间左端点取得（若左端点取不到，则求极限值）；若单调递减，则最大值在区间左端点取得。如在单调递增，（利用等价无穷小或洛必达法则），所以。 5. 确定参数范围 因为原不等式恒成立，所以参数大于函数的最大值或者小于函数的最小值。如由（）恒成立，且，可得。若分离变量后是参数小于函数形式，则参数小于函数的最小值。 若分离变量不可行，则考虑第二种思路： 1. 构造函数 直接将不等式移项，构造函数，使（或）恒成立。例如对于不等式恒成立，构造。 2. 求导分析 对求导得，通过讨论导数的零点情况以及在不同区间上的正负性，分析的单调性。对于，。 当时，，所以，在上单调递增。 当时，令，即，解得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。 3. 求函数最值并确定参数范围 根据函数单调性求出的最小值（或最大值）。当时，在单调递增，，不满足恒成立。 当时，在处取得最小值。要使恒成立，即。设，对求导分析其单调性，可得在时取得最大值，所以时满足条件，即。 例题精选 【例题1】（2019·天津·高考真题）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立． 【详解】∵，即， （1）当时，， 当时，， 故当时，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当函数单增，当函数单减， 故，所以．当时，在上恒成立； 综上可知，的取值范围是， 故选C． 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 【例题2】（2025·湖北·模拟预测）函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简结合对数函数单调性得出，再构造，根据导函数得出函数单调性即可求解. 【详解】由题设在上恒成立， 知，此时在上都单调递增， 所以只需在上的零点相同， 即，所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 故选：D 【例题3】（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数和，求导，结合零点存在性定理可得为方程的两个实数根，所以，，．进而建立间的等量关系，化简，构造函数，求导即可求解.或者将不等式变形为，作出函数，，的大致图象，根据图象可得为方程的两个根，即可根据解法一求解. 【详解】由题意得的定义域为．设， 则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以在内有两个零点，设为， 则当时，，当时，． 设， 由，得当时，， 当时，，则为方程的两个实数根， 所以，，． 又，，所以，， 所以， 即，则，所以． 易知，，故， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故的最小值为e． 解法二 由，，， 得． 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的大致图象， 数形结合可知，若， 则与，的图象的两个交点重合， 如图，设这两个交点分别为，则为方程的两个实数根， 所以，，． 易知为方程的两个实数根，所以，， 以下同解法一． 故选：C. 相似练习 【相似题1】（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】找到的零点可得，构造函数，由导数分析单调性找到最小值即可. 【详解】当时，，不满足恒成立； 当时，令，可得或， 函数的零点为和， 因为恒成立，所以， 所以， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则， 所以的最小值为1. 故选：D 【相似题2】（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知函数，，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知不等式变形为，可得出，令，利用导数求出的取值范围，可得出，然后分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二、三种情况下，结合参变量分离法可求出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，，即，即， 因为，故，故， 令，其中，则， 由可得，由可得，所以， 由题意可得恒成立， 当时，显然该不等式成立，此时，； 当时，则，令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，； 当时，则，令，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则. 综上所述，，即实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 【相似题3】（2025·江西·模拟预测）设函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意得，再由对任意恒成立，可得，求出的导数和单调区间，可得最小值，即可得到的最大值． 【详解】当时，，定义域为不恒成立，不合题意； 当时，定义域为在定义域内单调递增， 当时，，不合题意； 当时，定义域为， ， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， ， 令， ， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为. 故答案为：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【导数常考小题题型归纳】【真题+模拟精选】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：在某点出的切线方程】 知识讲解 1. 明确切线的定义：切线是指一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。对于函数，在点处的切线，是当割线的两个端点无限趋近于该点时，割线的极限位置所确定的直线。 2. 求切线斜率：根据导数的几何意义，函数在点处的导数就是曲线在点处切线的斜率。所以，首先需要对函数求导，然后将代入导函数中，得到切线的斜率。 3. 确定切点坐标：已知要求切线方程的点为，其中。这个点既在曲线上，也在切线上。 4. 使用点斜式求切线方程：点斜式方程为，将求得的斜率和切点坐标代入点斜式方程，即可得到曲线在点处的切线方程。 例题精选 【例题1】（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 相似练习 【相似题1】（2019·天津·高考真题） 曲线在点处的切线方程为 . 【相似题2】（2019·全国I卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【相似题3】（2015·新课标Ⅱ·高考真题）已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ． 【题型2：过某点的切线方程或未知切点的切线问题】 知识讲解 1. 判断该点是否在曲线上 把该点的坐标代入曲线方程，如果等式成立，则该点在曲线上；否则，该点不在曲线上。 2. 当点在曲线上时 设切点坐标为，因为点在曲线上，所以。 对函数求导，得到导函数。 根据导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率。 由点斜式可得切线方程为。 3. 当点不在曲线上时 设切点坐标为，则。 对函数求导，得到导函数，那么切线斜率。 由点斜式写出切线方程。 因为切线过已知点，将其代入切线方程可得。 又因为，所以得到关于的方程，解这个方程求出的值。 将的值代入和，再利用点斜式即可写出切线方程。 例题精选 【例题1】（2007·全国·高考真题）已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【例题2】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【例题3】（2020·全国I卷·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 相似练习 【相似题1】（2004·湖南·高考真题）经过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是 ． 【相似题2】（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 . 【相似题3】（2008·江苏·高考真题）直线是曲线的一条切线，则实数 ． 【题型3：切线的条数问题】 知识讲解 1. 设切点 设切点坐标为，其中。因为切线是在切点处与曲线相切的直线，所以设出切点是解题的关键第一步。 2. 求切线方程 对函数求导，得到导函数。根据导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率。 由点斜式可得切线方程为。 3. 代入已知点 如果是过某已知点作曲线的切线，将该点代入切线方程，得到。 4. 转化为方程求解 将代入上式，得到关于的方程。此时方程的解的个数就是切线条数。一般来说，这个方程可能是一个超越方程或高次方程，需要通过分析函数的性质来确定解的个数。 5. 分析函数性质 构造函数：将关于的方程变形为的形式，构造函数。 求导分析单调性：对求导，分析其单调性和极值情况。通过判断函数的单调性和极值与的关系，来确定函数与轴的交点个数，即方程的解的个数，从而得出切线条数。 例题精选 【例题1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（    ）. A． B． C． D． 【例题3】（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【相似题2】（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 【题型4：公切线问题，切线垂直问题】 知识讲解 1. 明确两条曲线的方程 设两条曲线分别为和，清楚它们的具体表达式，以便后续进行求导等运算。 2. 分别求两条曲线的导数 对求导得，对求导得。导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，所以和分别表示两条曲线在任意点处切线的斜率。 3. 设公切线与两条曲线的切点 设公切线与曲线的切点为，与曲线的切点为。 则，。 4. 根据导数几何意义写出公切线方程 对于曲线，在点处的切线方程为，即。 对于曲线，在点处的切线方程为，即。 5. 利用公切线的条件建立等式 因为是公切线，所以两条切线方程表示的是同一条直线，那么它们的斜率和截距都相等。 可得方程组。 6. 分析方程求解及公切线条数 通过解方程组来确定和的值。 一般情况下，将进行变形，用表示（或反之），代入中，得到一个关于（或）的方程。 然后分析这个方程解的个数： 若方程有唯一解，则公切线有条。 若方程有两个不同的解，则公切线有条。 若方程无解，则公切线不存在。 在分析方程解的个数时，可能需要对得到的方程进行进一步的变形和分析，比如构造函数，通过研究函数的单调性、极值、最值等性质来确定函数零点的个数，即方程解的个数，从而确定公切线条数。 例题精选 【例题1】（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【例题2】（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【例题3】（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 相似练习 【相似题1】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ． 【相似题2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 . 【相似题3】（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 【题型5：求函数的单调性与参数范围】 知识讲解 1. 导数求函数单调性 · 知识讲解：对于函数，在某区间内，若，函数单调递增；若，函数单调递减。导数为零的点是驻点，驻点对单调性判断有重要意义。 · 解题思路 i. 对函数求导得。 ii. 令，求驻点。 iii. 依据驻点划分定义域区间，判断各区间正负。 iv. 根据正负确定函数在各区间单调性。 2. 已知单调性求参数范围 · 知识讲解：已知函数单调性求参数范围，是将其转化为导数对应的不等式恒成立问题，再求解参数范围。 · 解题思路 i. 若函数在区间单调递增，则在区间恒成立；若单调递减，则在区间恒成立。 ii. 把（或）转化为含参数不等式。 iii. 通过分离参数、构造函数等方法解不等式，得出参数取值范围。 例题精选 【例题1】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【例题2】（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 【例题3】（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 相似练习 【相似题1】（2014·大纲版·高考真题）若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是 . 【相似题2】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数在上单调递减，则a的取值范围为 . 【相似题3】（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【题型6：函数的极值与最值】 知识讲解 1. 导数求函数极值 · 知识讲解：函数极值点处导数为 0（但导数为 0 的点不一定是极值点）。若在点左侧，右侧，则为极大值点；反之，左侧，右侧，为极小值点。 · 解题思路 i. 对函数求导得。 ii. 令，求解得到可能的极值点。 iii. 以这些点划分区间，判断各区间正负，确定是极大值点还是极小值点，进而求出极值。 2. 导数求函数最值 · 知识讲解：函数在闭区间$[a,b]$上的最值，可能在端点处取得，也可能在极值点处取得。 · 解题思路 i. 按求极值步骤求出函数在开区间内的极值。 ii. 计算函数在区间端点与的值。 iii. 比较极值与端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值。 例题精选 【例题1】（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【例题3】（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【相似题2】（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【相似题3】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）函数的最小值为 . 【题型7：三次函数的性质】 知识讲解 1. 表达式：三次函数的一般形式为（）。 2. 单调性 当时，函数先递减后递增再递减，或先递增后递减再递增。 当时，函数先递增后递减再递增，或先递减后递增再递减。 其单调性可通过求导来确定，对求导得，根据导数的正负来判断函数的单调性。 3. 极值：三次函数可能有两个极值点，也可能没有极值点。令，根据判别式来判断： 当时，函数有两个不同的极值点。 当时，函数无极值点。 4. 对称性：三次函数的图像是中心对称图形，其对称中心的横坐标为，将代入函数可得到对称中心的纵坐标。 5. 零点个数 当时，若函数的极大值大于且极小值小于，则函数有三个不同的零点；若极大值等于或极小值等于，则函数有两个零点；若极大值小于或极小值大于，则函数有一个零点。 当时，情况与时类似，只是极大值与极小值的大小关系相反。 6. 渐近线：三次函数没有渐近线。 7. 值域：当时，值域为；当时，值域也为。 8. 拐点：三次函数的二阶导数，令，解得，所以三次函数的拐点为，这也是函数的对称中心。在拐点处，函数的凹凸性发生改变。 例题精选 【例题1】多选题（2024·广东江苏·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【例题2】多选题（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【例题3】多选题（2025·河北石家庄·一模）函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的极小值为0 B．若有3个零点，，，则 C．若，则为奇函数 D．当时，在区间上单调递增 相似练习 【相似题1】多选题（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数满足，，则（   ） A． B．对于任意，有三个零点 C．对于任意，有两个极值点 D．存在，使得点为曲线对称中心 【相似题2】多选题（2025·江西宜春·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有2条 【相似题3】多选题（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）已知函数，则下列命题中正确的是（    ） A．0是的极小值点 B．当时， C．若，则 D．若存在极大值点，且，其中，则 【题型8：函数的零点问题】 知识讲解 1. 求函数的导数：对给定的函数求导，得到。通过导数来分析函数的单调性、极值等性质。 2. 分析函数单调性：根据的正负性确定函数的单调区间。令，解得的区间为函数的单调递增区间；令，解得的区间为函数的单调递减区间。 3. 确定函数的极值点和极值：令，求出函数的极值点。将极值点代入中得到对应的极值。这些极值对于判断函数零点的个数非常关键。 4. 分析函数的端点值或极限值：计算函数在区间端点处的值，或者考虑当趋近于正无穷、负无穷时函数的极限值。结合函数的单调性和极值，来确定函数与轴的交点情况。 5. 根据零点存在定理判断零点个数：如果函数在某区间两端点的值异号，即，那么在区间内至少存在一个零点。再结合函数的单调性和极值情况，进一步确定零点的具体个数。 例题精选 【例题1】（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2015·新课标Ⅰ·高考真题）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2024·广东·一模）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 . 【相似题3】（2025·江西九江·二模）已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是 . 【题型9：构建函数比较大小】 知识讲解 1. 观察式子特征，构造函数 分析结构相似性：观察待比较大小的两个式子，寻找它们结构上的相似之处，以此为依据构造函数。例如，若两个式子都形如与，且和中的次数、运算关系有规律，可尝试构造 。比如比较与的大小，可构造。 考虑常见函数模型：联系常见函数及其导数性质，如指数函数（）、对数函数（）、幂函数（）等。若式子中出现，可构造，其导数 。 2. 对构造函数求导 运用求导公式和法则：准确运用求导公式、、等，以及求导的四则运算法则，，对构造函数求导。例如，对求导，根据上述公式和法则可得 。 3. 分析导数性质，确定函数单调性 判断导数正负：根据给定的的取值范围，分析导数的正负情况。例如在中，当时，，所以；当时，，则。 确定函数单调性：由导数正负确定函数单调性。当时，函数在对应区间单调递增；当时，函数在对应区间单调递减。所以在上单调递减，在上单调递增。 4. 利用函数单调性比较大小 找到对应自变量值：确定所比较大小的两个数在构造函数定义域内对应的自变量，。例如要比较与的大小，此时 。 依据单调性判断：根据函数单调性，若且函数在区间单调递增，则；若函数单调递减，则。对于，因为在单调递增，，，所以，即。 例题精选 【例题1】 （2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·山西临汾·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·云南·一模）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025·海南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2024·甘肃·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型10：不等式的恒成立问题】 知识讲解 1. 变量分离 将不等式中的参数与变量分离，使不等式一边只含有参数，另一边只含有变量及其函数形式。例如对于不等式（）恒成立，可变形为（）。这样就把问题转化为求右边函数在给定区间上的最值问题。 2. 构造函数 根据分离变量后的式子，构造一个新的函数。如上述例子中构造函数（）。构造函数时要注意函数的定义域，需与原不等式中变量的取值范围一致。 3. 求导分析函数单调性 对构造的函数求导，得到。利用求导公式和法则准确计算导数。例如对于，根据除法求导法则，，，，，可得。 接着分析在定义域内的正负性。通过对进一步分析（如再求导判断其单调性等），确定的单调区间。例如设，对求导得，当时，，在单调递增，，即，所以在单调递增。 4. 求函数最值 根据函数单调性，求出函数在给定区间上的最值。若函数在区间单调递增，则最小值在区间左端点取得（若左端点取不到，则求极限值）；若单调递减，则最大值在区间左端点取得。如在单调递增，（利用等价无穷小或洛必达法则），所以。 5. 确定参数范围 因为原不等式恒成立，所以参数大于函数的最大值或者小于函数的最小值。如由（）恒成立，且，可得。若分离变量后是参数小于函数形式，则参数小于函数的最小值。 若分离变量不可行，则考虑第二种思路： 1. 构造函数 直接将不等式移项，构造函数，使（或）恒成立。例如对于不等式恒成立，构造。 2. 求导分析 对求导得，通过讨论导数的零点情况以及在不同区间上的正负性，分析的单调性。对于，。 当时，，所以，在上单调递增。 当时，令，即，解得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。 3. 求函数最值并确定参数范围 根据函数单调性求出的最小值（或最大值）。当时，在单调递增，，不满足恒成立。 当时，在处取得最小值。要使恒成立，即。设，对求导分析其单调性，可得在时取得最大值，所以时满足条件，即。 例题精选 【例题1】（2019·天津·高考真题）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 【例题2】（2025·湖北·模拟预测）函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【相似题2】（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知函数，，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025·江西·模拟预测）设函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$