安徽省七下数学期中真题必刷压轴80题-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

期中真题必刷压轴80题 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的运算．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，计算，再逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴所有可能的值为6和7，③正确； 若， 那么， ． ，故④不正确； 故选：B． 2．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k的值的和为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】由于方程的解为非负数解得，再解一元一次不等式组得到，根据不等式有解得到，即可得到的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：由于方程的解为非负数， ∴ ， 解一元一次不等式组， 解得， 联立即为，不等式组有解， ， 故， 整数的取值为，，，， 整数k的值的和为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次不等式以及一元一次不等式组．本题解题的关键在于找出的取值范围． 3．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）若关于的不等式组仅存个整数解，则的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】根据解一元一次不等式组得，再根据关于的不等式组仅存个整数解即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的不等式组仅存个整数解， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组解求参数的取值范围，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 4．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）定义为不超过x的最大整数，如，，．对于任意实数x，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（n为整数） D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、新定义下的实数运算 【分析】根据定义为不超过x的最大整数，进行计算即可． 【详解】解：∵定义为不超过x的最大整数，， ∴，故A选项错误； 例如，，， ∵， ∴， ∵不成立，故B选项错误； 例如，，， ∴， ∴（n为常数）不成立，故C选项错误； ∵为不超过x的最大整数， ∴成立，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 5．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）若不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：由，得：， 解不等式，得：， 不等式组无解， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）4张长为m，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则m，n满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式四则混合运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键．根据正方形，以及，建立关于m，n的等式，即可解题． 【详解】解：由图知，正方形， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 7．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）小聪在学校的社团《数学新天地》读物里阅读到“整式串”的题目．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作， ①第二次操作后整式串为：a，，3，a，； ②第二次操作后，当，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有18个整式； ④第2024次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算、整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式是解题关键．根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：第一次操作后的整式串为：a，3，， 第二次操作后的整式串为a，，3，a，， 即a，，3，a，，故①的结论正确，符合题意； 第二次操作后整式的积为， ， ，即， ， 即第二次操作后，当时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意； 第三次操作后整式串为 第四次操作后整式串为共17个，故③的说法错误，不符合题意； 第一次操作后所有整式的和为， 第二次操作后所有整式的和为， 第三次操作后所有整式的和为， ， 第n次操作后所有整式的积为， ∴第2024次操作后，所有的整式的和为， 故④的说法正确，符合题意；        正确的说法有①④，       故选：D． 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的性质，因式分解的应用．熟练掌握完全平方公式，根据相等关系，代入消元，运用完全平方公式分解因式，判断各选项即可． 【详解】A．若，则，即，则： ，故A正确； B．若，则， 把代入得： ， ∴， 把，代入得： ， 分解因式得：， ∴或 ∴或，故B错误； C．若，则， ∴， ∴，故C错误； D．若，则 把代入得：， ∴，故D错误． 故选：A． 9．（21-22七年级下·安徽合肥·期中）如图，点是线段的中点，点在上，分别以、为边，在线段同侧作正方形和正方形，连接和，设、，且，，则    图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】先求出两个正方形的面积，根据图可得阴影面积两正方形面积之和，再将，关系代入即可． 【详解】解：，， ， ， ， 又点是的中点，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的转化，解题的关键在于正确表示出阴影部分的面积． 10．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）已知实数满足：，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】不等式的性质、因式分解的应用 【分析】利用等式的性质，不等式的性质，可得到与0的关系，排除A、B，再利用因式分解，配方法可判断与0的关系，来判断C、D，从而得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，， ，即， ∴A、B选项错误； ， ∴C选项错误，D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质、因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握不等式的性质、因式分解． 11．（22-23七年级下·安徽安庆·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章》算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如： … 请你猜想的展开式中所有系数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、多项式乘法中的规律性问题 【分析】根据题目中已知的展开式找出规律即可得到解答． 【详解】解：∵， ， ， ， …， 展开式共有项，系数的和为：， ∴各项系数的和为：． 故选． 【点睛】本题考查了完全平方公式，展开式，观察分析已知数据，找出规律是解题的关键． 12．（20-21七年级下·安徽合肥·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则；④若，则或．其中正确结论的序号是（    ） A．②④ B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】利用题中的新定义计算分别计算四个结论，得到结果，即可做出判断． 【详解】解：①，故原结论正确； ②∵， ∴，故原结论不正确； ③， ∴， ， ∵， ∴若，则，故原结论正确； ④∵， ∴， ∴或，故原结论不正确． 故选：D 【点睛】此题考查了新定义运算，整式的混合运算等知识，熟练掌握新定义并根据题意灵活应用是解本题的关键． 二、填空题 13．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，数轴上A，B两点分别表示和，点C与点B到原点的距离相等且在原点的两侧． （1）的中点表示的数是 ． （2）的值是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题考查实数与数轴，两点间的距离： （1）根据中点公式进行计算即可； （2）求出和的长，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上A，B两点分别表示和， ∴的中点表示的数是； 故答案为：； （2）∵点C与点B到原点的距离相等且在原点的两侧， ∴点表示的数为， ∴； 故答案为：． 14．（22-23七年级下·安徽六安·期中）一只蚂蚁从点A沿数轴正方向爬了2个单位长度到达点，点A表示，设点所表示的数为． （1） ； （2）化简 ． 【答案】 / 2 【知识点】实数与数轴、化简绝对值 【分析】（1）根据沿数轴正方向爬了2个单位长度进行加法运算即可得到答案； （2）把（1）中得到得到m值代入，按照绝对值的意义进行化简求值即可． 【详解】解：（1）由题意得到， 故答案为： （2）， 故答案为：2 【点睛】此题考查了实数与数轴、绝对值的化简等知识，求出是解题的关键． 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知非负实数，，满足．请解决下列问题． （1）的取值范围是 ； （2）若设的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解不等式组及代数式求值，解决本题的关键是熟练掌握解不等式组及代数式求值； （1）由题意列出不等式组并求解即可； （2）由题意求得，所以当时，，此时的值最大，即；当时，，此时的值最小，即；最后可求得结果． 【详解】解：（1）因为， 所以，，． 因为，，为非负实数， 所以，解得． （2）由（1）知，，， 所以， 所以当时，， 此时的值最大，即； 当时，， 此时的值最小，即， 所以． 16．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组． （1）若，不等式组的整数解 ． （2）若不等式组有3个整数解，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，然后得出不等式组的整数解即可； （2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，原不等式组可变为， ∴原不等式组解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：； 故答案为：； （2）解不等式组得：， ∵不等式组有3个整数解， ∴． 故答案为：． 17．（22-23七年级下·安徽亳州·期中）已知关于的不等式． （1）当时，该不等式的解集为 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有四个，则 的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】（1）把代入，根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质得出，根据该不等式的负整数解有且只有四个，得出，求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）由不等式，得． ∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 18．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为，对于实数对； （1）若，则 ； （2）若，则x的最大整数值为 ； 【答案】 8 0 【知识点】求一元一次不等式的整数解、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据题干信息先求出和，再求，最后代入计算即可； （2）根据题干信息先求出和，再求解不等式即可． 【详解】解：（1）∵对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， ∴对于实数对， ∴ ∴当时，， 故答案为：8； （2）由（1）得， ∵， ∴，解得，， ∴x的最大整数值为0， 故答案为：0 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，求代数式的值，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式． 19．（21-22七年级下·安徽合肥·期中）高斯是德国著名数学家，被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：函数y=[x]，也称为取整函数，即[x]表示不大于x的最大整数，如[-2.5]=-3，[3.14]=3，根据这个规定： （1）[-+1]= ； （2）若[]=2022，则x的取值范围是 ． 【答案】 -2 4043≤x＜4045 【知识点】求不等式组的解集、新定义下的实数运算 【分析】（1）先算出的取值范围，再根据定义算出[-+1]的值； （2）根据定义，得出的范围，再化简即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴此时[-+1]表示不大于的最大整数应为， 故[-+1]=； 故答案为：-2 （2）根据定义可知， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，理解题意并掌握运算法则是解题的关键． 20．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别S1，S2．    （1）与的大小关系： ．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数有且仅有5个，则的值为 ． 【答案】 > 1010 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】解：（1）∵ ， ， ∴ ， ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2） ， ∵的整数n有且只有5个， ∴这四个整数解为2024，2023，2022，2021，2020， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 故答案为：1010． 21．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）如图所示，现有甲、乙两个正方形纸片，将乙纸片放到甲的内部得到图1，将甲、乙并列放置后得到图2，已知点H为的中点，连接，，又知甲、乙两个正方形边长之和为6，图1的阴影部分面积为2，则： （1）甲、乙两个正方形的面积之和为 ； （2）图2的阴影部分面积为 ． 【答案】 19 10 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的运用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键． 设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b， 根据题意可得：， ， ， ， 是的中点， ， ，， ． 故答案为：19，10． 22．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，． （1）若是完全平方式，则 ； （2）的最小值是 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查的是完全平方公式，完全平方式的定义； （1）根据完全平方式的定义求解即可； （2）先求出，再配方计算即可． 【详解】（1）∵是完全平方式，是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∴当，时，有最小值，最小值是， 故答案为：． 23．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期中）我们知道下面的结论：若，则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出关于之间的关系式：；；；．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】根据同底数幂的除法的逆运算法则可以判断；根据同底数幂的乘法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断；根据根据同底数幂的乘法的逆运算法则、同底数幂的除法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断；根据根据同底数幂的乘法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断可以判断． 【详解】解：，， ， ，故正确，符合题意； ， ， ，故正确，符合题意； ，， ， ，故正确，符合题意； ，， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算及幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 24．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如图1，7张长为，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设． （1） ；（用含、、的代数式表示） （2）当的长度变化时，按照同样的放置方式，若左上角与右下角阴影部分的面积差始终保持不变，写出满足条件的、的一组数值 ， ． 【答案】 3 1 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）分别表示出矩形中和的长度，根据，代入字母即可求得的长度； （2）表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差始终保持不变，即可求出与的关系式，写出满足条件的一组，即可． 【详解】解：（1）由图可得，矩形中宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ， 即； （2）由（1）可得：阴影部分面积之差为 ， 阴影部分的面积差保持不变， ，即， 则满足条件的一组数据为：3，1． 故答案为：；3，1． 【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，根据图形和题意，找出各边的等量关系是解答本题的关键． 25．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）对于实数，，定义运算“”如下：． （1）计算： （2）若，则 【答案】 24 【知识点】一元一次方程解的综合应用、运用完全平方公式进行运算、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据新定义进行运算即可； （2）利用新定义得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：24； （2）解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，根据新定义正确列出算式或方程是解题的关键． 26．（21-22七年级下·安徽合肥·期中）有边长为的大正方形和边长为的小正方形，现将放在内部得到图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得到图乙，图甲和图乙阴影部分的面积分别是和，则 （1）根据图甲、乙中的面积关系，可以得到 ， ． （2）若个正方形和个正方形按图丙摆放，阴影部分的面积为 ． 【答案】 29 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形 【分析】（1）图甲中阴影面积等于所在大正方形面积减去正方形的面积，再减去两个长方形面积；图乙中阴影部分面积等于所在大正方形面积减去正方形A的面积，再减去正方形B的面积；据此列出算式后，利用完全平方公式计算即可； （2）图丙中阴影部分面积等于所在大正方形面积减去3个正方形A的面积，再减去2个正方形B的面积，据此列出算式后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可；． 【详解】解：（1）图甲阴影面积可以表示为：， ，（舍去）， 图乙中阴影部分面积可以表示为：， ， 故答案为：，； （2）图丙中阴影部分面积为： ， ，， ， ， ，（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的关键． 27．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的应用； （1）根据题意得出，进而即可求解； （2）根据完全平方公式得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以自然数； 故答案为：． （2）， ∴只有时，原式为完全平方数，即自然数. 故答案为：． 三、解答题 28．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）【阅读材料】 因为 < < ，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 【解答问题】 （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）如果 的小数部分为a，的整数部分为b， 的值； （3）已知，中x是整数，且，求的值． 【答案】（1）5，；（2）121；（3） 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分和小数部分的估算，代数式求值.估算一个无理数的整数部分和小数部分时，首先需要准确分析出该无理数处于哪两个相邻整数之间，小于该无理数的整数即为该无理数的整数部分，该无理数减去其整数部分便可得到其小数部分. （1）用阅读材料中的方法直接求解即可； （2）先用阅读材料中的方法求出a、b的值，再代入计算即可； （3）先估算，再估算，根据估算确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5，； （2）∵, ∴, ∴的整数部分是11，小数部分是, ∴,， ∴； （3）∵， ∴， ∴ ∵，中x是整数，且， ∴的整数部分是，小数部分是， 而的整数部分是，小数部分是， ∴，， ∴， ∴ 29．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，____；当时，____． (2)当输入的值小于100，且输出y的值是时，输入的值可以是______． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、程序流程图与有理数计算、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查流程图，涉及算术平方根定义与运算、无理数概念等知识，看懂流程图，熟练掌握算术平方根运算是解决问题的关键． （1）按照无理数筛选器的工作流程图，代值运算即可得到答案； （2）按照无理数筛选器的工作流程图，逆运算即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根得，是有理数；当时，取算术平方根得，是无理数；则； 当时，取算术平方根得，是有理数；当时，取算术平方根得，是有理数；当时，取算术平方根得，是无理数；则； 故答案为：； （2）解：根据无理数筛选器的工作流程图，逆运算如下： 当输出y的值是时，则；；； 输入的值可以是， 故答案为：． 30．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似． 例如：；． 【应用新知】 （1）填空：______；______． （2）计算：． 【答案】（1）1；；（2）． 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查实数的新定义运算，根据题意解答是解题的关键． （1）根据，分别求出、的值即可； （2）把与的实部、虚部分别相加，求出的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：1；． （2）． 31．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，已知A点表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B (1)则点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数与数轴、求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【详解】（1）解：设点表示的数为，由题意得： 点表示的数为， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：与互为相反数， ， ，， 解得：．， ， 的平方根是． 32．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中m是整数，且，求的绝对值． 【答案】(1)4， (2) (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）估算出，即可得出答案； （2）估算出，，即可得出的值，代入进行计算即可； （3）估算出，得出，从而得出的值，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：， ，即， ， ， ，即， ， ； （3）解：， ，即， ． ，其中m是整数，且， ，， ， 的绝对值是． 33．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； (3)写出一组含有的“组合平方数” ． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数” (2) (3)，，（答案不唯一） 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据题目所给“组合平方数”的定义，进行判断即可； （2）根据题目所给“组合平方数”的定义，得出或，再根据，m，互不相等，即可求解； （3）根据题目所给“组合平方数”的定义， 符合条件的数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”； （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”， ∴，，都是整数， ∴或， ①当时，， 则，符合题意； ②当时，， ∵，m，互不相等， ∴不符合题意， 综上：； （3）解：，，， ∵，，， ∴，，是“组合平方数”． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，正确理解“组合平方数”的意义是解题的关键． 34．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的绝对值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】（1）根据和，即可得出和，即可得出和值，即可求出的值； （2）根据推出，即可推出，根据题意即可求出和的值，代入即可求出绝对值． 【详解】（1）解：，， ，， 的整数部分为的整数部分为， ，， ； （2）解：， ， ， ，其中是整数，且， ，， ． 【点睛】本题考查的主要是估算无理数的大小，解题的关键是熟练掌握无理数估算大小的方法． 35．（22-23七年级下·安徽池州·期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)4， (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】（1）先估算的大小，继而即可求得其整数部分与小数部分； （2）由已知条件可先求出，从而求出，代入即可求解． 【详解】（1）， ， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4；； （2）， ，， 是的小数部分，是小数部分， ，， ． 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的计算是关键． 36．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现． (1)第个数是______ ，第个数是______ ． (2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？ 【答案】(1)， (2)和为，共有个数的平方相加得到 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】（1）根据每六个数一循环解答即可； （2）根据每六个数的平方和等于，利用循环规律解答即可． 【详解】（1）， 第个数在这六个数中排在第，即， ， 第个数是这六个数中排在第，即， 故答案为：，； （2），，，，这六个数的平方加起来是， 且， 和为是由前个循环组的平方和再加上得到， 而，由个数平方相加得到， 和为，共有个数的平方相加得到． 【点睛】本题考查数字变化类规律探究，解答时涉及平方根的性质，解题的关键是探究出循环规律，利用规律解答问题． 37．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）阅读理解题． 定义，如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，把形如（a、b为实数）的数叫作复数，其中a叫这复数的实部，b叫这个复数的虚部，它的加减乘法运算与整数的加减乘法运算类似； 例如：计算， 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___， ___ (2)计算： (3)计算： 【答案】(1)；1 (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据题目中给出的进行计算即可； （2）根据题目中给出的信息进行解答即可； （3）找出数字规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ； 故答案为：；1． （2）解： ． （3）解：∵，，，，…， ∴4个一循环，且每4个和为：， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律． 38．（22-23七年级下·安徽亳州·期中）你能找出规律吗？ (1)计算：____，_____，_____，_______． (2)请按找到的规律计算： ①________； ②________； (3)已知：，，则 （用含、的式子表示）． 【答案】(1)6，6，20，20 (2)①14，②4 (3) 【知识点】数字类规律探索、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】（1）按算术平方根的定义进行计算即可解答； （2）分析（1）中所得结果可知：当时，·=，按照所得规律进行计算即可； （3）按照所得规律可知：，再结合，即可解答． 【详解】（1）解：，，，． 故答案为6，6，20，20． （2）解：由（1）中的计算结果可知：当时， ， ∴ ． 故答案为：①14，②4． （3）解：∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了阅读理解题、算术平方根的定义等知识点，根据题目中的信息获取规律是解答本题的关键． 39．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）某公司要将一批物资运往超市，计划租用A，B两种型号的货车．在每辆货车都满载的情况下，若租用12辆A型货车和18辆B型货车可装载570箱物资；若租用10辆A型货车和20辆B型货车可装载550箱物资． (1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ (2)初步估算，运输的这批物资不超过1215箱．若该公司计划租用A，B两种型号的货车共70辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的4倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明． 【答案】(1)型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资 (2)租车方案共有3种，具体如下：①型货车14辆，型货车56辆；②型货车15辆，型货车55辆；③型货车16辆，型货车54辆． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用 （1）设A型号的货车每辆可装载x箱防疫物资，B型号的货车每辆可装载y箱防疫物资，由题意：若租用12辆A型货车和18辆B型货车可装载570箱物资；若租用10辆A型货车和20辆B型货车可装载550箱物资．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用m辆A型号的货车，则租用辆B型号的货车，由题意：公司要运输的这批防疫物资不超过1215箱．且B型货车的数量不超过A型货车数量的4倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设型货车每辆可装载箱物资，型货车每辆可装载箱物资 由题意，得， 解得， 答：型货车每辆可装载25箱物资，型货车每辆可装载15箱物资． （2）解：设租用型货车辆，型货车辆．由题意，得 ， 解得， 因为是整数， 所以或， 所以租车方案共有3种，具体如下：①型货车14辆，型货车56辆；②型货车15辆，型货车55辆；③型货车16辆，型货车54辆． 40．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学计划组织七年级师生赴某研学基地开展研学活动．现有A，B两种型号的客车，载客量和租金如表所示： A型号客车 B型号客车 载客量（人/辆） 50 45 租金（元/辆） 600 520 已知学校租用A，B两种型号的客车共10辆，租车的总费用不超过5800元． (1)最多能租用多少辆A型号客车? (2)若七年级师生共有480人，请写出所有可行的租车方案． 【答案】(1)最多能租用7辆A型号客车 (2)有两种租车方案．方案一：租用A型号客车6辆，B型号客车4辆；方案二：租用A型号客车7辆，B型号客车3辆 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式（组）的应用； （1）设租用A型号客车x辆，则租用B型号客车辆．根据题意列出不等式，解不等式，即可求解； （2）根据题意得，结合（1）中的结论，x为整数，且，得出整数解，即可求解． 【详解】（1）设租用A型号客车x辆，则租用B型号客车辆． 依题意，得， 解得：． 又∵x为整数， ∴x的最大值为7． 答：最多能租用7辆A型号客车． （2）依题意，得， 解得：． 又∵x为整数，且， ∴或7． ∴有两种租车方案．方案一：租用A型号客车6辆，B型号客车4辆； 方案二：租用A型号客车7辆，B型号客车3辆． 41．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知2台A型设备和3台B型设备日处理能力一共为72吨；3台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为52吨． (1)求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为多少吨？ (2)根据实际情况，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．要求B型设备不多于A型设备的3倍，且购回的设备日处理能力不低于144吨．请你利用不等式的知识为该景区设计购买A、B设备的方案． 【答案】(1)1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为12、16吨． (2)该景区购买方案共有2种，方案1：购买A型设备为3台，则购买B型设备为7台；方案2：购买A型设备为4台，则购买B型设备为6台． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用： （1）设1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为x、y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买A型设备为m台，则购买B型设备为台，根据题意列出一元一次不等式组，进而求正整数解即可求解． 【详解】（1）解：设1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为x、y吨，由题意得： ， 解得， 答：1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为12、16吨． （2）解：设购买A型设备为m台，则购买B型设备为台． 由题意得：， 解得， ∴， ∵m为正整数， ∴或4， ∴该景区购买方案共有2种， 方案1：购买A型设备为3台，则购买B型设备为7台； 方案2：购买A型设备为4台，则购买B型设备为6台． 42．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“”两种产品共件，需购买价格为元/千克的A种材料和价格为元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息： 信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克； 信息2：生产一件“”需A种材料3千克，B种材料4千克． 根据以上信息，解决下列问题：        (1)现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过元，且生产“”不少于件，请问有哪几种符合条件的生产方案？ (2)在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费元，生产一件“”需加工费元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？ 【答案】(1)方案1：生产“笨笨”件，“” 件， 方案2：生产“笨笨”件，“” 件， 方案3：生产“笨笨”件，“” 件， 方案4：生产“笨笨”件，“” 件； (2)选择方案4：生产“笨笨”件，“” 件最划算； 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）设生产“笨笨”x件，则生产“” 件，根据资金及“”不少于件列不等式组列式求解即可得到答案； （2）根据（1）的方案，求出费用比较即可得到答案； 【详解】（1）解：设生产“笨笨”x件，则生产“” 件，由题意可得， ， 解得：（取整数）， 故x可取：，，，， ∴有4种方案如下： ①方案1：生产“笨笨”件，“” 件， ②方案2：生产“笨笨”件，“” 件， ③方案3：生产“笨笨”件，“” 件， ④方案4：生产“笨笨”件，“” 件； （2）解：由（1）得， 方案1费用：（元）， 方案2费用：（元）， 方案3费用：（元）， 方案4费用：（元）， ∵， ∴选择方案4：生产“笨笨”件，“” 件最划算； 【点睛】本题考查不等式的实际应用及择优方案问题，解题的关键是正确找到不等关系列不等式组． 43．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）合肥市琥珀中学计划组织七年级师生举行“春季研学游”活动，活动组织负责人从旅游公司了解到如下租车信息： 车型           载客量人辆           租金元辆           校方从实际情况出发，决定租用，型客车共辆，且两种车型都要租用租车费用不超过元． (1)请问校方最多租用型客车多少辆？ (2)在（1）的条件下，校方根据自愿原则，统计发现共有人参加本次活动，请问合理的租车方案有哪几种？最省钱的租车方式是哪一种？ 【答案】(1)校方最多租用型客车辆 (2)有三种租车方案，最省钱的租车方式是租用型客车辆，型客车辆 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设租用A型客车x辆，由租车费用不超过元，得，解得：，根据x为正整数，可得校方最多租用A型客车5辆； （2）根据共有人参加本次活动，得，即可解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆， 租车费用不超过元， ， 解得：， 两种车型都要租用， ， x为正整数， 校方最多租用A型客车辆； （2）共有人参加本次活动， ， 解得：， ， 可取，，， 有三种租车方案： 租用A型客车辆，B型客车辆，租车费用为元， 租用A型客车辆，B型客车辆，租车费用为元， 租用A型客车辆，B型客车辆，租车费用为元， 其中最省钱的租车方式是租用A型客车辆，B型客车辆． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式． 44．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）身体质量指数（）的计算公式：，这里为体重（单位：），为身高（单位：），男性的身体质量指数正常范围是．（计算结果保留位小数） (1)如果一位男体育老师的身高为，体重为kg，请计算说明他的是否正常？ (2)一位成年男同学的身高为，且他的正常，请求出他的体重范围． 【答案】(1)他的不正常 (2) 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、有理数除法的应用 【分析】（1）根据的计算公式求解即可； （2）根据，可得，根据他的正常，可得体重的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 他的不正常； （2）解：男性的身体质量指数正常范围是， ， ， 他的体重范围是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题中的公式是解题的关键． 45．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解， （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 46．（23-24七年级下·安徽六安·期中）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形． (1)请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：______； (2)已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值； (3)用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力、多项式乘多项式与几何图形面积： （1）由观察图2可得两种方法表示出图2的总面积为和，关于a，b的等式 ； （2）由题意得：，，两个等式作差可求得此题结果； （3）由题意得，再将，代入即可求解； 掌握根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用是关键． 【详解】（1）解：由图2得： 图2的面积表示为：和， 关于a，b的等式， 故答案为：． （2）由题意得：，， ． （3）由题意得图3中阴影部分的面积为： ， 当， 时， 图3中阴影部分的面积为： ． 47．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．    例如，由图1，可得等式：． (1)由图2，可得等式：_____________________________； (2)利用（1）中所得结论：若，，求的值； (3)如图3，将两个边长为，的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，且满足，．请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、完全平方公式及三角形面积等知识点，按条件整理代数式是解题关键． （1）用正方形面积公式和拆开求各个小矩形面积的两种方法求面积，即可解答． （2）由（1）得，再代入条件即可求解． （3）按照图形求出阴影面积，再把代数式整理成满足所给条件的形式，代入即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 故答案为：； （2）由（1），得. 因为，， 所以. （3）因为，， 所以 ， 所以阴影部分的面积为20. 48．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知正方形的边长为b，正方形的边长为．如图1，点H与点A重合，点E在边上，点G在边上，记图1中阴影部分的面积为．如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形的右下角又放置一个和正方形一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在和上，记图2中阴影部分面积为和． (1)________，_____________；（用含a，b的代数式表示） (2)观察图形可得面积关系：，请通过代数运算加以验证； (3)若，，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)25 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景； （1）根据拼图，用代数式表示相应正方形的边长，再根据面积公式进行计算即可； （2）表示出，然后分别计算和即可证明； （3）根据，以及（1）中的结论，可求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积，可以看作两个正方形的面积差，即， ∴； 由拼图可知：面积为的正方形的边长为， ∴； 故答案为：，； （2）面积为的正方形的边长为， ∴ ∴，， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 49．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）定义：对于依次排列的多项式，，（a，b，c是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c是一组“相关系数”，M是该组“相关系数”的“关联值”．例如：对于多项式，，，因为，所以1，4，7是一组“相关系数”，9是该组“相关系数”的“关联值”． (1)已知2，6，10是一组“相关系数”，求该组“相关系数”的“关联值”M； (2)当a，b，c之间满足什么数量关系时，a，b，c是一组“相关系数”，并说明理由． 【答案】(1)16 (2)，见解析 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了多项式乘多项式及完全平方公式， （1）根据新定义解答即可； （2）根据新定义可得结果为常数，即可得到完美数之间的关系． 【详解】（1）根据题意，得； ∴该组“相关系数”的“关联值”M为16； （2）a，b，c满足的数量关系为：． 理由：假设a，b，c是“相关系数”，则结果为常数， ， ∵结果为常数， ∴，即． 50．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为，各部分的面积之和为，故．    (1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________； (2)已知等式，请你画出一个相应的几何图形； (3)请你设计一个几何图形，并解释：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)图见解析，解释见解析． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查完全平方公式及多项式乘以多项式与几何图形的关系；熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）利用正方形的面积公式即可证明． （2）画一个长为，宽为的长方形即可； （3）把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为，宽为的长方形即可． 【详解】（1）解：在图2中，大正方形的边长为， 组成大正方形的5个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：如图3所示：    整体大长方形的长为，宽为，组成长方形的4个部分的面积和为， 因此有； （3）解：如图4，    把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为，宽为的长方形， 因此可以验证． 51．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请仔细观察图形，解答下列问题 (1)本图所揭示的乘法公式是____________（用含a，b的代数式表示出来）． (2)若图中的a，b满足，，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． （1）用两种方法表示出图形的面积，进而求解即可； （2）由，再将已知条件代入得到，解得； （3）设，，则，，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据图中条件得， 该图形的总面积， 该图形的总面积还可以表示为， ∴本图所揭示的乘法公式是， 故答案为：； （2）解：∵，且，， ∴ ∴， ， ∴； （3）解：设，， 则，， ∵， ∴ ， ∴． 52．（23-24七年级下·安徽六安·期中）在数学活动课上，老师准备了如图①所示的长为，宽为的长方形纸片（）．沿着长方形内部的虚线剪并得到4个形状、大小完全相同的小长方形，再按照图②拼成一个“回”字形大正方形． (1)观察图②，写出，，之间的等量关系：____________． (2)根据（1）中的结论，若，，则____________； (3)如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积为40，四边形和四边形均为正方形，求正方形的面积． 【答案】(1)或 (2)（或写成） (3)所以正方形的面积 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用． （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案； （2）将，代入（1）中公式即可； （3）由正方形的边长为x，则，得，设，得，结合图形及公式即可求解． 【详解】（1）解：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； （2）∵， 将，代入得：， ∴， ∴，（负值舍去） 故答案为：； （3）∵正方形的边长为x， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ ∴正方形的面积169． 53．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)代数式的最小值是____________； (2)代数式有最大值还是最小值？如果有，求出最值； (3)当a，b为任意实数时，比较代数式与的大小． 【答案】(1) (2)代数式有最大值为 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，利用完全平方公式进行运算，作差法比较大小，解题的关键在于能够准确读懂题意和熟练掌握完全平方公式． （1）利用配方法将变换为，再得到即可解题； （2）利用配方法将变换为，再得到即可解题； （3）利用作差法结合完全平方公式将，整理为，再得到，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， 代数式的最小值是， 故答案为：． （2）解：代数式有最大值， ， ， ， ， 代数式有最大值为； （3）解：， ， ， ，， ， 当a，b为任意实数时，． 54．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图是宿州市希尔顿大酒店的一间办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含x、y的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积． (2)如果，，会议厅比会客室大多少平方米？ 【答案】(1)会客室的面积为平方米，会议厅的面积为平方米 (2)114平方米 【知识点】列代数式、已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，已知式子的值，求代数式的值等知识． （1）结合图形分别表示出会客室和会议厅的长宽，再利用面积公式即可求出面积； （2）利用（1）结论，列式并计算出，再根据得到，再将变形为整体代入即可求解． 【详解】（1）解：由图形得，会客室的长为米，宽为米， ∴会客室的面积为（平方米）； 会议厅的长为米，宽为米， ∴会议厅的面积为（平方米）； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴（平方米）． 答：会议厅比会客室大114平方米． 55．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查整式的混合运算，探究数式的规律，找到式子的规律是解题的关键. （1）依照前面式子的规律求解即可； （2）把找到的规律，用含字母n的式子表示等式，再利用完全全平方公式计算后证明即可. 【详解】（1）第6个等式为：， 故答案为： （2）第n个等式：． 证明如下， 左边， 右边， ∴左边＝右边 ∴该等式成立． 56．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）已知下列等式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请仔细观察，写出第6个式子； (2)根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立． 【答案】(1) (2)详见解析 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了整式的混合运算，以及规律型-数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据前面等式的特征，写出第6个等式即可； （2）把得出的规律用n表示，然后根据整式的运算法则证明即可． 【详解】（1）第6个式子是：； （2）第n个式子为 证明：∵左边， ∴． 57．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）观察下列关于自然数的等式： ① ② ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式： _____________； (2)请写出第个等式：___________； (3)写出第个等式（为正整数），并验证其正确性． 【答案】(1) (2) (3)4（n+1）2﹣（2n+1）2＝4n+3（n为正整数），验证见解析． 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，数字规律题型，理解数字规律计算方法，整式的混合运算即可求解． （1）根据材料提示，计算出数字规律，即第n个等式可表示为：（n为正整数），由此即可求解； （2）把代入代数式计算即可求解； （3）根据整式的运算法则，分别计算左边和右边的结果，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：已知①， ②， ③， … 观察各部分的变化规律可知， 第n个等式可表示为：（n为正整数）， 当时，， 即第四个等式为：． 故答案为：． （2）解：由（1）知， 当时，， 即第个等式为：， 故答案为：． （3）解：由（1）知，第n个等式可表示为：（n为正整数）． 证明如下： 左边 右边， 故此等式成立． 58．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）【知识生成】我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可得到一些代数恒等式、例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的代数恒等式__________． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． (3)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体、请你根据图3中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：___________． 【答案】(1) (2)19 (3) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算： （1）依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式； （2）依据，进行计算即可； （3）根据原几何体的体积等于新几何体的体积，列式可得结论． 【详解】（1）解：由图2得：正方形的面积；正方形的面积， （2）解： ． （3）解：原几何体的体积，新几何体的体积， ． 59．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）材料阅读：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（a，b是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是______． (2)试判断（x，y是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (3)已知（x，y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出一个符合条件的k值，并说明理由． 【答案】(1)2（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【知识点】有理数的乘方运算、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断，并写出一个小于10的“完美数”即可说明； （2）根据新定义，先进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解； （3）先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可． 【详解】（1）解：， 是“完美数”， 故答案为：2（答案不唯一）． （2）解： ， 是“完美数”． （3）解： ， 为“完美数”， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，整式的运算，有理数的运算，用完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 60．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米． (1)用含x的代数式表示 米， 米； (2)用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）． 【答案】(1)； (2)平方米 【知识点】列代数式、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了列式表示数量关系，长方形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据长方形的性质即可得到，，根据线段的和差关系可用含x的代数式表示的长度； （2）根据长方形的面积公式求出答案即可． 【详解】（1）解：∵①②③三个长方形区域的面积相等， ∴， ∴，， ∴米， ∴米； （2）解：长方形的面积为： 平方米． 61．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为a米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域面积相等，若长为b米．则 (1)根据题意，______米，______米． (2)列式计算出长方形围网面积并化简，当米，米时求出长方形的面积． 【答案】(1)； (2)320平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的应用，代数式求值，解题的关键是根据三个长方形面积相等，得出． （1）根据①②③这三块长方形区域面积相等，得出，求出米，求出米即可； （2）根据长方形的面积公式得出，将，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵①②③这三块长方形区域面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米， ∴米． （2）解：长方形面积， 当，时， 原式（平方米）． 所以此时长方形的面积为320平方米． 62．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）（1）计算 ______． ______． ______． …… （2）猜想：______． （3）利用上面结论计算：的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的运算规律探究，掌握规律的探究方法是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式的运算法则即可得； （2）根据（1）的结果，归纳即可得； （3）把原式化为，利用（2）的结论计算即可得． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：，，． （2）归纳可得： ； （3） ； 63．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）如图1，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形中间是空的    (1)观察图2，写出代数式，与之间的等量关系为______ ； (2)根据中的等量关系解决下面的问题：若，，求的值； (3)如图3，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在同一条直线上．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答； （3）根据已知可得：，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：； （2）由（1）可得：， ，， ， ， 的值为； （3）， ， ， 图中阴影部分的面积 ， 图中阴影部分的面积为 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形求值，熟练掌握面积法，完全平方公式是解题的关键． 64．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）观察等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 总结规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：______ ； (2)写出第n个等式：______ 用含n的式子表示； (3)求……的值． 【答案】(1) (2) (3)……的值是 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】先根据已知算式得出规律，再根据得出的规律得出答案即可； 先根据已知算式得出规律，再根据得出的规律得出答案即可； 原式乘，再根据得出的规律进行计算即可． 【详解】（1）第5个等式是 故答案为：； （2）第n个等式是 故答案为：； （3）…… …… ， 即……的值是 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 65．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)__________________； (2)若，求m的值； (3)比较大小：，，，，则a，b，c，d的大小关系是什么？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】积的乘方的逆用、积的乘方运算、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】（1）逆运积的乘方公式进行计算即可解答； （2）将原式转化为同底数幂进行计算，然后列出关于m的一元一次方程求解即可； （3）将各式转化为指数相同，然后比较底数的大小即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为1． （2）解：∵， ， ，解得． （3）解：，，，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活逆用幂的乘方、积的乘方的公式是解决本题的关键． 66．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）如图1是一个长为宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的边长是_________； (2)直接写出三个代数式，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值； (4)根据（2）中的等量关系，已知，求的值． 【答案】(1) (2)或者 (3) (4)33 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据题意，得到正方形的边长为，计算即可． （2）根据图形面积的关系计算即可． （3）根据公式变形计算即可． （４）设，则，，计算即可． 本题考查了完全平方公式的计算，正确变形、准确计算是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得正方形的边长为， 故答案为：． （2）三个代数式，，之间的等量关系是或者． （3）∵，，， ∴， ∴． （4）设， 则，，， ∵， ∴， ∴． 67．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）分别计算下列各式的值 (1)填空： ______； ______； ______ …… 由此可得______； (2)求：的值； (3)根据以上结论：计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用问题，找到规律是解题关键． （1）用多项式乘以多项式的计算方法计算前三项，总结出规律即可； （2）根据（1）中得出的规律计算即可； （3）根据（1）中得出的规律计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 由此可得：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 68．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）某居民小区为提高业主的宜居环境，准备在小区内一个长为米，宽为米的长方形休闲广场上修建宽度均为米的健身跑道． (1)如图1，若修建一纵一横的两条健身跑道，求健身跑道的面积共有多少平方米； (2)如图2，若修建两纵一横的三条健身跑道，且剩余部分的面积为平方米．当时，求的值． 【答案】(1)健身跑道的面积共有平方米 (2)2 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式加减的应用，多项式乘多项式与图形面积．熟练掌握整式加减的应用，多项式乘多项式与图形面积是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，将，，代入计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，（平方米）， ∴健身跑道的面积共有平方米． （2）解：由题意知， （平方米）． ∵，平方米， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的值为2． 69．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)当为正整数时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式——化简求值、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式的解法多项式乘以多项式，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）解方程组得出，，代入不等式，可求出的取值范围； （2）根据题意求出，化简原式即可得出答案． 【详解】（1）解：方程组得 ， ， 解得； （2）解：由题意，得 ； ，为正整数， ， 当时，原式 70．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）学校植物园是一块正方形土地，现在改造这个植物园，将其中一边加长，另一边缩短． (1)若这个正方形植物园的边长为8米，将其中一边加长4米，另一边缩短几米时，可保持植物园的面积不变？ (2)若这个正方形植物园的边长为米，将其中一边加长3米，另一边缩短3米，改造前后的植物园的面积有什么变化？请计算说明． 【答案】(1)米 (2)减小了9平方米 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了整式的应用，一元一次方程的应用． （1）设另一边缩短x米时，可保持植物园的面积不变，根据面积不变建立方程求解即可； （2）分别求出改造前和改造后的面积，进行比较即可． 【详解】（1）解：设另一边缩短x米时，可保持植物园的面积不变， 由题意得， 解得 答：另一边缩短米时，可保持植物园的面积不变； （2）解：改造前的植物园的面积为， 改造后的植物园的面积为， ， 答：这个植物园的面积改造后比改造前减小了9平方米． 71．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）． (1)请用m，n表示观景台的面积；（结果化为最简） (2)如果修建观景台的费用为200元/平方米．且已知米，米，那么修建观景台需要费用多少元？ 【答案】(1)观景台的面积为平方米 (2)修建观景台需要费用为19600元 【知识点】整式乘法混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了整式加减的实际应用： （1）用最大的长方形面积减去三块空白部分的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求结合，求出观景台的面积，进而求出费用即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ， 答：观景台的面积为平方米； （2）解：当，时， 原式（平方米）， （元）． 答：修建观景台需要费用为19600元． 72．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）【阅读理解】例：若满足，求的值． 解：设、，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： 【跟踪训练】 (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)5 (3)16． 【知识点】平方差公式与几何图形、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了应用新运算解决问题，掌握完全平方公式的意义，利用公式进行适当的变形是解决问题的关键． （1）先根据题中提供的方法，类比计算即可； （2）根据题意可求出，，再求出的值，即可求出答案； （3）长方形的长，宽， 则有，因此有，求出x的值，再代入阴影部分的面积中计算即可求出结果． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴． （2）解：设，， 则， ， ∵， ∴， ， ∴． （3）解：由题意得，长方形的长，宽， 则有， 由题意得， 即， ∴， ∴，（舍去）． 所以阴影部分的面积为：， 答：阴影部分的面积为16． 73．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）【知识初探】 （1）如图1是边长分别为a和b的正方形及长为b，宽为a的长方形．如图2，用这三种图形拼成较大的长方形，则该大长方形的长为 ，宽为 ，面积为 ；（用含a，b的式子表示） 发现：图2中，边长为a的正方形有1个，长为b，宽为a的长方形有3个，边长为b的正方形有2个，故该大长方形的面积为 ；（用含a，b的式子表示） 根据发现，由面积恒等关系，可得到的等式为 ；（用含a，b的等式表示）       【知识延伸】 （2）如图3是由图1中三种图形组成，由面积恒等关系，可得到的等式为 ；（用含a，b的等式表示） 【知识拓展】 （3）如图4，若，，根据面积的恒等关系，求的值． 【答案】（1）；；；；； （2）； （3）26 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式的乘法，完全平方公式，解题的关键是：熟练应用数形结合的方法，用代数式表示出大图形的面积与它组成部分之间的等量关系． （1）根据图形确定大长方形的长和宽，计算其面积，又可以用里面的六个图形的面积之和表示，据此得到恒等式； （2）根据图形确定大长方形的长和宽，计算其面积，又可以用里面的八个图形的面积之和表示，据此得到恒等式； （3）根据图形得到恒等式，再把，整体代入，计算即可． 【详解】（1）该大长方形的长为，宽为，面积为； 该大长方形的面积为，得到的等式为； （2）大长方形的面积为，也可以表示为：， ∴得到的等式为； （3）根据面积的恒等关系可得：， ∵，， ∴， ∴ 74．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）在某公园里，有一块长为、宽为的活动广场，其中阴影部分是绿地，空白处是休息场所． (1)求绿地的面积；（用含a，b的式子表示） (2)现在重新铺建绿地，已知铺建绿地的所有费用为200元/，，求重新铺建绿地的总费用． 【答案】(1) (2)元 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式乘法混合运算 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，正确列式和计算是解题的关键． （1）总面积减去两个小长方形的面积即可得到答案； （2）把字母的值代入（1）中的化简结果得到面积，再用面积乘以单价即可得到答案 【详解】（1）解：根据题意，得 答：绿地的面积为． （2）当时，． （元）． 答：重新铺建绿地的总费用为元． 75．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是______（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（写成多项式乘法形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (4)请应用这个公式完成下列各题： 已知，，则______． 计算：． 【答案】(1)； (2)，，； (3)； (4)；． 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算、列代数式 【分析】（）根据图形即可求解； （）根据图形即可求解； （）由（）（）的结果即可求解； （）利用平方差公式计算即可求解； 把转化为，再利用平方差公式计算即可求解； 本题考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，掌握平方差公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：它的宽是，长是，面积是， 故答案为：，，； （3）解：由图、图阴影部分的面积可得，， 故答案为：； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ， ， ． 76．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式：________． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． (3)小明同学用图中张A类正方形卡片，张B类正方形卡片，张C类长方形卡片拼出一个面积为的长方形，求的值________ (4)小明同学用图中正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（），如果要选用上述类卡片共张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙），且卡片全部用上，则不同的选取方案有________种． 【答案】(1) (2)30 (3)12 (4)8 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则，解决本题的关键在于数形结合列出代数式或等式． （1）根据正方形面积，正方形面积，可得等式； （2）根据，进行计算即可； （3）所拼图形的面积为，，先计算，从而可得x，y，z的值，从而可得答案． （4）设有个A类卡片，个B类卡片，则有个类卡片，则这些正方形和长方形的面积和为：，所拼成的大长方形的面积长宽，即两个括号乘积的形式，且，，都为整数，分类讨论即可． 【详解】（1）解：由图形可得，正方形面积，正方形面积， ， 故答案为：． （2）， ， ， ， 故答案为：． （3）解：由题意得：所拼图形的面积为， ， ， ，，， ， 故答案为：． （4）解：设有个A类卡片，个B类卡片，则有个类卡片， 则这些正方形和长方形的面积和为：， 所拼成的大长方形的面积长宽，即两个括号乘积的形式，且，，都为整数， 当，时，，得不能整理成两个括号乘积的形式，不符合题意， 当，时，，得不能整理成两个括号乘积的形式，不符合题意， 当，时，，得不能整理成两个括号乘积的形式，不符合题意， 当，时，，得不能整理成两个括号乘积的形式，不符合题意， 以此类推， 当，时，，得，符合题意， 再考虑时的情况， 当，时，，得，符合题意， 当，时，，得，符合题意， 再考虑时的情况， 当时，时，，得，符合题意， 再考虑时的情况， 当时，时，，得，符合题意， 当时，时，，得，符合题意， 当时，不符合题意， 当，时，，得，符合题意， 当时，不符合题意， 当，时，，得，符合题意， 当时，都不符合题意， 综上所述，共有种方案， 故答案为：． 77．（23-24七年级下·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成． (1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________； (2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？ 【答案】(1)或 (2)方法一：，方法二：；公式： 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形、(等腰)梯形的定义 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，整式的运用，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式求解即可； （2）方法一：用（1）中梯形面积乘以4即可；方法二，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可． 【详解】（1）解：根据题意得：梯形的面积为， 或：； 故答案为：或； （2）解：方法一：用梯形面积乘以4，即； 方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即． 78．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：____________； 方法2：____________； (2)观察图2请你写出下列三个代数式，之间的等量关系______． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①4；② 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）方法一：求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可：方法二：根据大正方形面积减去4个矩形面积，即可得出答案； （2）根据（1）中阴影部分的面积相等，即可得出等式； （3）直接利用（2）的结论即可解答． 本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． 【详解】（1）方法1： 方法2： （2）由（1）可得： （3）① ∵ ∴ ② ∵ ∴ ∴ 79．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 和为相邻的两个整数，． 等式两边同时平方，得：． __________得：________________________________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则______． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 【答案】(1)移项； (2) (3) 【知识点】平方根的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方根的应用，完全平方公式： （1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，求出的值即可； （3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：和为相邻的两个整数， ， 等式两边同时平方得：， 移项得：． 故答案为：移项；； （2）解：和为两个相邻整数， 由（1）的结论可知：， ， ． 故答案为：25； （3）解：和为相差4的两个整数， ， 等式两边同时平方得：， ， ． 80．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1) ，_______（用含a、b的式子表示、）； (2)若，，求； (3)若图3中阴影部分的面积，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)2 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据正方形和长方形的面积公式，进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，再结合完全平方公式进行计算即可解答． （3）根据得到，据此得到，再由，得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：由题意得，；； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：∵图3中阴影部分的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴80题 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）对于任意实数均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，则； ③若则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k的值的和为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）若关于的不等式组仅存个整数解，则的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）定义为不超过x的最大整数，如，，．对于任意实数x，下列式子中正确的是（    ） A． B． C．（n为整数） D． 5．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）若不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）4张长为m，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则m，n满足的关系是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）小聪在学校的社团《数学新天地》读物里阅读到“整式串”的题目．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作， ①第二次操作后整式串为：a，，3，a，； ②第二次操作后，当，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有18个整式； ④第2024次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（21-22七年级下·安徽合肥·期中）如图，点是线段的中点，点在上，分别以、为边，在线段同侧作正方形和正方形，连接和，设、，且，，则    图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）已知实数满足：，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（22-23七年级下·安徽安庆·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章》算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如： … 请你猜想的展开式中所有系数的和是（    ） A． B． C． D． 12．（20-21七年级下·安徽合肥·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则；④若，则或．其中正确结论的序号是（    ） A．②④ B．②③ C．①④ D．①③ 二、填空题 13．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，数轴上A，B两点分别表示和，点C与点B到原点的距离相等且在原点的两侧． （1）的中点表示的数是 ． （2）的值是 ． 14．（22-23七年级下·安徽六安·期中）一只蚂蚁从点A沿数轴正方向爬了2个单位长度到达点，点A表示，设点所表示的数为． （1） ； （2）化简 ． 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知非负实数，，满足．请解决下列问题． （1）的取值范围是 ； （2）若设的最大值为，最小值为，则的值为 ． 16．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组． （1）若，不等式组的整数解 ． （2）若不等式组有3个整数解，则k的取值范围是 ． 17．（22-23七年级下·安徽亳州·期中）已知关于的不等式． （1）当时，该不等式的解集为 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有四个，则 的取值范围是 ． 18．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为，对于实数对； （1）若，则 ； （2）若，则x的最大整数值为 ； 19．（21-22七年级下·安徽合肥·期中）高斯是德国著名数学家，被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：函数y=[x]，也称为取整函数，即[x]表示不大于x的最大整数，如[-2.5]=-3，[3.14]=3，根据这个规定： （1）[-+1]= ； （2）若[]=2022，则x的取值范围是 ． 20．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别S1，S2．    （1）与的大小关系： ．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数有且仅有5个，则的值为 ． 21．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）如图所示，现有甲、乙两个正方形纸片，将乙纸片放到甲的内部得到图1，将甲、乙并列放置后得到图2，已知点H为的中点，连接，，又知甲、乙两个正方形边长之和为6，图1的阴影部分面积为2，则： （1）甲、乙两个正方形的面积之和为 ； （2）图2的阴影部分面积为 ． 22．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，． （1）若是完全平方式，则 ； （2）的最小值是 ． 23．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期中）我们知道下面的结论：若，则．利用这个结论解决下列问题：设，，．现给出关于之间的关系式：；；；．其中正确的有 ．（填序号） 24．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如图1，7张长为，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设． （1） ；（用含、、的代数式表示） （2）当的长度变化时，按照同样的放置方式，若左上角与右下角阴影部分的面积差始终保持不变，写出满足条件的、的一组数值 ， ． 25．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）对于实数，，定义运算“”如下：． （1）计算： （2）若，则 26．（21-22七年级下·安徽合肥·期中）有边长为的大正方形和边长为的小正方形，现将放在内部得到图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得到图乙，图甲和图乙阴影部分的面积分别是和，则 （1）根据图甲、乙中的面积关系，可以得到 ， ． （2）若个正方形和个正方形按图丙摆放，阴影部分的面积为 ． 27．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知． （1）若，则自然数 ； （2）若是一个完全平方数，则自然数 ． 三、解答题 28．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）【阅读材料】 因为 < < ，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 【解答问题】 （1）的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）如果 的小数部分为a，的整数部分为b， 的值； （3）已知，中x是整数，且，求的值． 29．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，这是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当时，____；当时，____． (2)当输入的值小于100，且输出y的值是时，输入的值可以是______． 30．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似． 例如：；． 【应用新知】 （1）填空：______；______． （2）计算：． 31．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，已知A点表示的数为，点A向右平移2个单位长度到达点B (1)则点B表示的数为______； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 32．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中m是整数，且，求的绝对值． 33．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； (3)写出一组含有的“组合平方数” ． 34．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的绝对值． 35．（22-23七年级下·安徽池州·期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的小数部分，是的小数部分，求的值． 36．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现． (1)第个数是______ ，第个数是______ ． (2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？ 37．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）阅读理解题． 定义，如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，把形如（a、b为实数）的数叫作复数，其中a叫这复数的实部，b叫这个复数的虚部，它的加减乘法运算与整数的加减乘法运算类似； 例如：计算， 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ___， ___ (2)计算： (3)计算： 38．（22-23七年级下·安徽亳州·期中）你能找出规律吗？ (1)计算：____，_____，_____，_______． (2)请按找到的规律计算： ①________； ②________； (3)已知：，，则 （用含、的式子表示）． 39．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）某公司要将一批物资运往超市，计划租用A，B两种型号的货车．在每辆货车都满载的情况下，若租用12辆A型货车和18辆B型货车可装载570箱物资；若租用10辆A型货车和20辆B型货车可装载550箱物资． (1)A，B两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ (2)初步估算，运输的这批物资不超过1215箱．若该公司计划租用A，B两种型号的货车共70辆，且B型货车的数量不超过A型货车数量的4倍，则该公司一次性将这批物资运往超市共有几种租车方案？请具体说明． 40．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学计划组织七年级师生赴某研学基地开展研学活动．现有A，B两种型号的客车，载客量和租金如表所示： A型号客车 B型号客车 载客量（人/辆） 50 45 租金（元/辆） 600 520 已知学校租用A，B两种型号的客车共10辆，租车的总费用不超过5800元． (1)最多能租用多少辆A型号客车? (2)若七年级师生共有480人，请写出所有可行的租车方案． 41．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知2台A型设备和3台B型设备日处理能力一共为72吨；3台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为52吨． (1)求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各为多少吨？ (2)根据实际情况，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．要求B型设备不多于A型设备的3倍，且购回的设备日处理能力不低于144吨．请你利用不等式的知识为该景区设计购买A、B设备的方案． 42．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“”两种产品共件，需购买价格为元/千克的A种材料和价格为元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息： 信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克； 信息2：生产一件“”需A种材料3千克，B种材料4千克． 根据以上信息，解决下列问题：        (1)现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过元，且生产“”不少于件，请问有哪几种符合条件的生产方案？ (2)在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费元，生产一件“”需加工费元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？ 43．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）合肥市琥珀中学计划组织七年级师生举行“春季研学游”活动，活动组织负责人从旅游公司了解到如下租车信息： 车型           载客量人辆           租金元辆           校方从实际情况出发，决定租用，型客车共辆，且两种车型都要租用租车费用不超过元． (1)请问校方最多租用型客车多少辆？ (2)在（1）的条件下，校方根据自愿原则，统计发现共有人参加本次活动，请问合理的租车方案有哪几种？最省钱的租车方式是哪一种？ 44．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）身体质量指数（）的计算公式：，这里为体重（单位：），为身高（单位：），男性的身体质量指数正常范围是．（计算结果保留位小数） (1)如果一位男体育老师的身高为，体重为kg，请计算说明他的是否正常？ (2)一位成年男同学的身高为，且他的正常，请求出他的体重范围． 45．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 46．（23-24七年级下·安徽六安·期中）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形． (1)请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：______； (2)已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值； (3)用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 47．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．    例如，由图1，可得等式：． (1)由图2，可得等式：_____________________________； (2)利用（1）中所得结论：若，，求的值； (3)如图3，将两个边长为，的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，且满足，．请求出阴影部分的面积． 48．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知正方形的边长为b，正方形的边长为．如图1，点H与点A重合，点E在边上，点G在边上，记图1中阴影部分的面积为．如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形的右下角又放置一个和正方形一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在和上，记图2中阴影部分面积为和． (1)________，_____________；（用含a，b的代数式表示） (2)观察图形可得面积关系：，请通过代数运算加以验证； (3)若，，求的值． 49．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）定义：对于依次排列的多项式，，（a，b，c是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c是一组“相关系数”，M是该组“相关系数”的“关联值”．例如：对于多项式，，，因为，所以1，4，7是一组“相关系数”，9是该组“相关系数”的“关联值”． (1)已知2，6，10是一组“相关系数”，求该组“相关系数”的“关联值”M； (2)当a，b，c之间满足什么数量关系时，a，b，c是一组“相关系数”，并说明理由． 50．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为，各部分的面积之和为，故．    (1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________； (2)已知等式，请你画出一个相应的几何图形； (3)请你设计一个几何图形，并解释：． 51．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请仔细观察图形，解答下列问题 (1)本图所揭示的乘法公式是____________（用含a，b的代数式表示出来）． (2)若图中的a，b满足，，求的值． (3)已知，求的值． 52．（23-24七年级下·安徽六安·期中）在数学活动课上，老师准备了如图①所示的长为，宽为的长方形纸片（）．沿着长方形内部的虚线剪并得到4个形状、大小完全相同的小长方形，再按照图②拼成一个“回”字形大正方形． (1)观察图②，写出，，之间的等量关系：____________． (2)根据（1）中的结论，若，，则____________； (3)如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积为40，四边形和四边形均为正方形，求正方形的面积． 53．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)代数式的最小值是____________； (2)代数式有最大值还是最小值？如果有，求出最值； (3)当a，b为任意实数时，比较代数式与的大小． 54．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）如图是宿州市希尔顿大酒店的一间办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含x、y的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积． (2)如果，，会议厅比会客室大多少平方米？ 55．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示等式） 56．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）已知下列等式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请仔细观察，写出第6个式子； (2)根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立． 57．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）观察下列关于自然数的等式： ① ② ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式： _____________； (2)请写出第个等式：___________； (3)写出第个等式（为正整数），并验证其正确性． 58．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）【知识生成】我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可得到一些代数恒等式、例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的代数恒等式__________． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． (3)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体、请你根据图3中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：___________． 59．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）材料阅读：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（a，b是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是______． (2)试判断（x，y是整数）是否为“完美数”，并说明理由． (3)已知（x，y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出一个符合条件的k值，并说明理由． 60．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米． (1)用含x的代数式表示 米， 米； (2)用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）． 61．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为a米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域面积相等，若长为b米．则 (1)根据题意，______米，______米． (2)列式计算出长方形围网面积并化简，当米，米时求出长方形的面积． 62．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）（1）计算 ______． ______． ______． …… （2）猜想：______． （3）利用上面结论计算：的值． 63．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）如图1，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形中间是空的    (1)观察图2，写出代数式，与之间的等量关系为______ ； (2)根据中的等量关系解决下面的问题：若，，求的值； (3)如图3，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在同一条直线上．若，，求图中阴影部分的面积． 64．（22-23七年级下·安徽宿州·期中）观察等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 总结规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：______ ； (2)写出第n个等式：______ 用含n的式子表示； (3)求……的值． 65．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)__________________； (2)若，求m的值； (3)比较大小：，，，，则a，b，c，d的大小关系是什么？ 66．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）如图1是一个长为宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的边长是_________； (2)直接写出三个代数式，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值； (4)根据（2）中的等量关系，已知，求的值． 67．（23-24七年级下·安徽宣城·期中）分别计算下列各式的值 (1)填空： ______； ______； ______ …… 由此可得______； (2)求：的值； (3)根据以上结论：计算：的值． 68．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）某居民小区为提高业主的宜居环境，准备在小区内一个长为米，宽为米的长方形休闲广场上修建宽度均为米的健身跑道． (1)如图1，若修建一纵一横的两条健身跑道，求健身跑道的面积共有多少平方米； (2)如图2，若修建两纵一横的三条健身跑道，且剩余部分的面积为平方米．当时，求的值． 69．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）已知方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)当为正整数时，求代数式的值． 70．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）学校植物园是一块正方形土地，现在改造这个植物园，将其中一边加长，另一边缩短． (1)若这个正方形植物园的边长为8米，将其中一边加长4米，另一边缩短几米时，可保持植物园的面积不变？ (2)若这个正方形植物园的边长为米，将其中一边加长3米，另一边缩短3米，改造前后的植物园的面积有什么变化？请计算说明． 71．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图所示的是人民公园的一块长为米，宽为米的空地，预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）． (1)请用m，n表示观景台的面积；（结果化为最简） (2)如果修建观景台的费用为200元/平方米．且已知米，米，那么修建观景台需要费用多少元？ 72．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）【阅读理解】例：若满足，求的值． 解：设、，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： 【跟踪训练】 (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 73．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）【知识初探】 （1）如图1是边长分别为a和b的正方形及长为b，宽为a的长方形．如图2，用这三种图形拼成较大的长方形，则该大长方形的长为 ，宽为 ，面积为 ；（用含a，b的式子表示） 发现：图2中，边长为a的正方形有1个，长为b，宽为a的长方形有3个，边长为b的正方形有2个，故该大长方形的面积为 ；（用含a，b的式子表示） 根据发现，由面积恒等关系，可得到的等式为 ；（用含a，b的等式表示）       【知识延伸】 （2）如图3是由图1中三种图形组成，由面积恒等关系，可得到的等式为 ；（用含a，b的等式表示） 【知识拓展】 （3）如图4，若，，根据面积的恒等关系，求的值． 74．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）在某公园里，有一块长为、宽为的活动广场，其中阴影部分是绿地，空白处是休息场所． (1)求绿地的面积；（用含a，b的式子表示） (2)现在重新铺建绿地，已知铺建绿地的所有费用为200元/，，求重新铺建绿地的总费用． 75．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是______（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______．（写成多项式乘法形式） (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (4)请应用这个公式完成下列各题： 已知，，则______． 计算：． 76．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式：________． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． (3)小明同学用图中张A类正方形卡片，张B类正方形卡片，张C类长方形卡片拼出一个面积为的长方形，求的值________ (4)小明同学用图中正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（），如果要选用上述类卡片共张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙），且卡片全部用上，则不同的选取方案有________种． 77．（23-24七年级下·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成． (1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________； (2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？ 78．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：____________； 方法2：____________； (2)观察图2请你写出下列三个代数式，之间的等量关系______． (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求的值． 79．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； … 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 和为相邻的两个整数，． 等式两边同时平方，得：． __________得：________________________________． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则______． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 80．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1) ，_______（用含a、b的式子表示、）； (2)若，，求； (3)若图3中阴影部分的面积，，求的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$