测试卷(20) 随机事件与概率-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(二十)　随机事件与概率 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(　　) A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与至少有一个红球 C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D.至少有一个黑球与都是红球 2.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　) A. B. C. D. 3.(2024·湖南益阳高一期末)某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查，各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是(　　) A. B. C. D. 4.下列命题： ①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件.其中正确命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2024·湖南衡阳高一期末)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，它是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形(1 600种以上).七巧板的完整图案为一正方形，其是由如图的七块板组成的，即五块等腰直角三角形(两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)，一块正方形和一块平行四边形.现从这七块板中任取两块，则这两块板可以拼成梯形的概率为(　　) A. B. C. D. 6.一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　) A.恰有一次击中 B.三次都没击中 C.三次都击中 D.至多击中一次 7.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　) A. B. C. D. 8.(2024·湖南湘潭高一期末)冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x＋1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1.例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(2024·安徽亳州高一期末)中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼.记事件E＝“只去黄鹤楼”，事件F＝“至少去两个名楼”，事件G＝“只去一个名楼”，事件H＝“一个名楼也不去”，事件I＝“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是(　　) A.E与H是互斥事件 B.F与I是互斥事件，且是对立事件 C.I＝G∪H D.E＝G∩I 10.下列概率模型是古典概型的为(　　) A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 B.同时据两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.10人站成一排，其中甲，乙相邻的概率 11.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表： 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是(　　) A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64 B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29 C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1 D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝________. 13.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________. 14.有1号、2号、3号共3个信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信投入1号或2号信箱的概率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2024·湖北武汉高一期中)口袋中有红、黄、蓝三个除颜色外完全相同的小球，分别求以下三个事件的概率. (1)A＝“从中任意摸出两个，摸到红球”； (2)B＝“从中不放回地依次随机摸出两个，摸到红球”； (3)C＝“从中有放回地依次随机摸出两个，摸到红球”. 16.(15分)某中学组织了一次高二学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图. 　　 (1)若所得分数大于等于80认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少？ (2)在(1)中的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率. 17.(15分)某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A，B，C，D，E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30～40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值； (2)用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？(结果保留整数) (3)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和[50，60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40，50)内的概率. 18.(17分)国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示： 授课量(单位：小时) 频数 2 7 7 3 1 培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表： 课时量(单位：天) 频数 3 6 6 3 2 (同组数据以这组数据的中间值作代表) (1)估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数； (2)若以(1)中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率. 19.(17分)某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如右频率分布直方图，其中时间分组为，，，，. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课； (3)若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时间均落在上的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(二十)　随机事件与概率 一、 1.C　2.D　3.C　4.A　5.D　6.D　7.C　8.A 二、 9.ABC　10.ABD　11.AD 三、 12.　13.　14. 四、 15.解析　(1)样本空间Ω＝{红黄，红蓝，黄蓝}，有3个样本点，事件A＝{红黄，红蓝}，有2个样本点，所以P(A)＝. (2)样本空间Ω＝{(红，黄)，(红，蓝)，(黄，红)，(黄，蓝)，(蓝，红)，(蓝，黄)}，有6个样本点， 事件B＝{(红，黄)，(红，蓝)，(黄，红)，(蓝，红)}，有4个样本点，所以P(B)＝＝. (3)样本空间Ω＝{(红，红)，(红，黄)，(红，蓝)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，蓝)，(蓝，红)，(蓝，黄)，(蓝，蓝)}，有9个样本点， 事件C＝{(红，红)，(红，黄)，(红，蓝)，(黄，红)，(蓝，红)}，有5个样本点，所以P(C)＝. 16.解析　(1)由题图可得，男生优秀人数为 100×(0.01＋0.02)×10＝30， 女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45. (2)因为样本量与总体中的个体数的比是＝， 所以样本中包含的男生人数为30×＝2， 女生人数为45×＝3. 设两名男生分别为A1，A2，三名女生分别为B1，B2，B3，则从5人中任意选取2人的样本点有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个. 记事件C为“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C包含的样本点有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个. 所以P(C)＝，即选择的2人中至少有一名男生的概率为. 17.解析　(1)由题意，(0.010＋0.015＋0.015＋a＋0.025＋0.005)×10＝1，所以a＝0.030. (2)由已知等级达到C等级及以上所占排名等级占比为15%＋35%＋35%＝85%， 假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，易得50<x<60， 则有(0.005＋0.025＋0.030＋0.015)×10＋(60－x)×0.015＝0.85, 解得x≈53.33(分)， 所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级及以上. (3)由题知得分在[40，50)和[50，60)内的频率分别为0.1和0.15， 则抽取的5人中，得分在[40，50)内的有2人，得分在[50，60)的有3人. 记得分在[50，60)内的3位学生为a，b，c，得分在[40，50)内的2位学生为D，E， 则从5人中任选2人，样本空间可记为·{ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE}，共包含10个样本. 用A表示“这2人中恰有一人得分在[40，50)内”，则A＝{aD，aE，bD，bE，cD，cE}，A包含6个样本， 故所求概率P＝＝. 18.解析　(1)估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为x＝(1×2＋3×7＋5×7＋7×3＋9×1)＝4.4小时； (2)设每年暑假60天的授课天数为x，则利润为y＝x＝800x. 由800x≥20 000，得x≥25. 一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天， 又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为＝0.4. 预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4. 19.解析　(1)时间分组为的频率为 1－10＝0.15， ∴a＝＝0.015. (2)100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数. x＝0.15×5＋0.6×15＋0.2×25＋0.03×35＋0.02×45＝16.7. 因为16.7<20，所以该校不需要推迟5分钟上课. (3)单程时间不小于30分钟的学生有(0.003＋0.002)×10×100＝5(人)，其中单程时间在[30，40)的有3人，单程时间在[40，50)的有2人，记时间在[30，40)内的3名学生为a1，a2，a3，时间在[40，50)内的2名学生为b1，b2， 从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况： ，，，，，，，，，； 其中这两个学生的单程时间均落在中的有以下3种：，(a1，a3)，(a2，a3)， ∴两个学生的单程时间均落在上的概率为P＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$