测试卷(13) 空间直线、平面的垂直-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(十三)　空间直线、平面的垂直 一、 1.D　2.A　3.C　4.B　5.D　6.D　7.C　8.D 二、 9.AD　10.BD　11.ABD 三、 12.若l⊥m，l⊥α，则m∥α(或若m∥α，l⊥α，则l⊥m，答案不唯一)　13.30°　14.①④ 四、 15. 证明　 (1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， ∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG. 又四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD. 所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB. 16.解析　(1)证明　∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴AB⊥PA. ∵PD⊥平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴AB⊥PD. ∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD， ∵AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD； (2)由(1)知底面ABCD为矩形，则AB⊥AD， ∵AB＝1，AC＝， ∴AD＝BC＝＝2＝PA， ∵PD⊥平面ABE，AE⊂平面ABE， ∴AE⊥PD，∴E为PD的中点， 又AD⊥PA，AD⊥AB，AB∩AP＝A， ∴AD⊥平面PAB， ∴点E到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离的一半. 因此，VP­ABE＝VE­PAB＝VD­PAB＝××PA×AB×AD＝. 17.解析　(1)＝时，AE∥平面BC1F，证明如下： 延长AE交CD于M. ∵AD⊥平面ABB1A1，所以∠DBA是直线BD与平面ABB1A1所成的角，即∠DBA＝30°， ∴AD＝ABtan 30°＝. 由AE⊥BD， ∴∠DAE＝30°，DM＝ADtan 30°＝， 在C1D1上取点N，使得D1N＝，连接MN，A1N， ∵＝，则B1F＝，A1F＝＝C1N， 又A1F∥C1N， ∴A1FC1N是平行四边形，A1N∥FC1， ∵D1N＝DM，D1N∥DM，∴D1NMD是平行四边形， ∴MN∥DD1∥AA1，MN＝DD1＝AA1， ∴A1AMN是平行四边形，∴AM//A1N， ∴AM∥C1F，又AM⊄平面BC1F，C1F⊂平面BC1F，∴AM∥平面BC1F，即AE∥平面BC1F. (2)S△ABD＝××2＝， VF­ABD＝×1×＝， 由长方体性质可得BF＝，BD＝，DF＝， ∵BF2＋FD2＝BD2，∴BF⊥DF， ∴S△BDF＝××＝，设A到平面BDF的距离为h，则由VA­BDF＝VF­ABD得 ×h＝，∴h＝. 即点A到平面BDF的距离为. (3)作FP⊥AB，垂足为P，作PQ⊥BD于Q，连接FQ，则FP⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FP⊥BD，同理FP⊥PQ, ∵FP∩PQ＝P，FP，PQ⊂平面FPQ，∴BD⊥平面FPQ，而FQ⊂平面FPQ，∴BD⊥FQ， ∴∠FQP是二面角F­BD­A的平面角， 设B1F＝x(0<x<2)，则由BB1FP是矩形得BP＝x，FP＝BB1＝1， 则PQ＝BPsin 30°＝x， ∴tan∠FQP＝＝∈(1，＋∞)， ∵∠FQP是锐角，∴∠FQP∈. ∴二面角F­BD­A的范围是. 18.解析　(1)证明　∵PA＝PD，Q为AD的中点. ∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD， ∴PQ⊥平面ABCD， ∵BQ⊂平面ABCD，∴PQ⊥BQ. (2)存在点N，当N为AB中点时，平面PCN⊥平面PQB； 证明如下： ∵四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，则Rt△CBN≌Rt△BQA， ∴∠ABQ＝∠BCN，又∠ABQ＋∠CBQ＝90°，∴∠BCN＋∠CBQ＝90°， ∴BQ⊥NC，由(1)知，PQ⊥平面ABCD，NC⊂平面ABCD，∴PQ⊥NC， 又BQ∩PQ＝Q，BQ，PQ⊂平面PQB，∴NC⊥平面PQB， ∵NC⊂平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB. 19.解析　(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°. (2)如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH. 因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形， 所以AE＝GE＝AC＝GC＝＝. 取AG的中点M，连接EM，CM，EC， 则EM⊥AG，CM⊥AG， 所以∠EMC为所求二面角的平面角. 又AM＝1，所以EM＝CM＝＝2. 在△BEC中，由于∠EBC＝120°， 由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以EC＝2，所以△EMC为等边三角形，故所求的角为60°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(十三)　空间直线、平面的垂直 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l 2.正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1与平面ABC1D1所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　) A.8 B.6 C.8 D.8 4.如图，正方形A1BCD折成直二面角ABDC，则二面角ACDB的余弦值为(　　) A. B. C. D. 第4题图 　　第5题图 5.在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，如图，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是(　　) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 6.(2024·浙江衢州高一期末)如图，AC是圆O的直径，∠DCA＝45°，DA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AM⊥DC于M，AN⊥DB于N，则下列结论不正确的是(　　) A.平面ABC⊥平面DAC B.CB⊥平面BAD C.CD⊥平面AMN D.平面AMN⊥平面DAB 7.(2024·山东济南高一月考)如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直线AC上 B.直线BC上 C.直线AB上 D.△ABC内部 8.(2024·河南新乡高一期末)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB，M是AB的中点，N是棱B1C1上的动点，则直线MN与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为(　　) 10.已知正方体ABCDA1B1C1D1，动点P在线段BD上，则下述正确的是(　　) A.PC1∥AD1 B.PC1⊥A1C C.PC1⊥平面A1BD D.PC1∥平面AB1D1 11.(2024·河北张家口高一期末)如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC⊥CB，AC＝CB，PA＝PB＝AB，E，M是棱PB上的点，M为EB的中点，F是棱PC上的点，若PB⊥平面AEF，则下列选项正确的有(　　) A.平面AEF⊥平面PAB B.E为PB的中点 C.PF＝3FC D.CM∥平面AEF 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________. 13.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为________. 14.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点.有以下四个命题： ①MO∥平面PAC；②PA∥平面MOB；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC. 其中正确的命题的序号是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB. 16.(15分)如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线的交点，E为PD上的一点，PD⊥平面ABE，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，AB＝1，AC＝. (1)求证：AB⊥AD； (2)求三棱锥PABE的体积. 17.(15分)如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直于BD于点E. (1)若F为棱A1B1上的动点，试确定F的位置使得AE∥平面BC1F，并说明理由； (2)若F为棱A1B1的中点，求点A到平面BDF的距离； (3)若F为棱A1B1上的动点(端点A1，B1除外)，求二面角FBDA的大小的取值范围. 18.(17分)(2024·北京顺义高一月考)如图所示，正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中点. (1)求证：PQ⊥BQ； (2)在线段AB上是否存在一点N，使平面PCN⊥平面PQB？并证明你的结论. 19.(17分)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120° 得到的，G是的中点. (1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角EAGC的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$