测试卷(6) 平面向量及其应用 B卷 能力提升-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(六)　平面向量及其应用 B卷　能力提升 一、 1.A　2.D　3.C　4.B　5.D　6.C　7.B　8.B 二、 9.AB　10.AC　11.ACD 三、 12.等腰三角形　13.－ 14.北偏东40°　10 四、 15.解析　设P(x，y)，则由＝＋t，得(x，y)＝(1，2)＋t(3，3)＝(3t＋1，3t＋2). (1)当3t＋2＝0，即t＝－时，点P在x轴上；当3t＋1＝0，即t＝－时，点P在y轴上；当即－<t<－时，点P在第二象限. (2)若四边形OABP能成为平行四边形，则＝，即(3t＋1，3t＋2)＝(3，3)，无解，故四边形OABP不能成为平行四边形. 16.解析　(1)平面向量a＝(2，2)，b＝(x，－1)， 若a∥b，则2×(－1)－2x＝0，解得x＝－1； (2)若a⊥(a－2b)，则a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，即－2×(2x－2)＝0，解得x＝3， ∴b＝(3，－1)， ∴a与b的夹角的余弦值为 ＝＝. 17.解析　(1)由sin 2A－sin A＝0，得2sin Acos A＝sin A， ∵sin A≠0，得cos A＝， ∵A∈，∴A＝. (2)∵sin B＝2sin C，由正弦定理得b＝2c， ∵b＝2，故c＝1， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋1－2×2×1×＝3，故a＝. 18.解析　(1)∵cos(A－C)＋cos B＝， ∴cos(A－C)－cos(A＋C)＝， 得sin Asin C＝. 由m∥n得b2＝ac， 由正弦定理得sin Asin C＝sin2B. ∴sin2B＝，又sin B＞0. ∴sin B＝，∴B＝60°或120°. 当B＝120°时，cos(A－C)＋cos 120°＝， 得cos(A－C)＝2＞1，不成立. ∴B＝60°.故B的大小为60°. (2)把B＝60°代入cos(A－C)＋cos B＝， 得cos(A－C)＝1，∴A＝C. 由上可知△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝120°. 设AB＝t，∵△ACD的面积S＝， ∴t(5－t)sin 120°＝，解得t＝1或4. 当t＝1时，AD＝＝， 当t＝4时，AD＝＝. 故AD的值为. 19.解析　(1)因为a＝(2，4)，b＝(－3，1)， 则a·b＝2×(－3)＋4×1＝－2，|a|＝＝2，|b|＝＝， 所以cos θ＝＝＝－， 因为θ是向量a，b的夹角，所以θ∈[0，π]， 因此sin θ＝＝， 故|a×b|＝|a||b|sin θ＝2××＝14. (2)因为平行四边形ABCD的面积为4，所以||·||sin∠BAD＝4，所以|×|＝4. (3)因为|a×b|＝，a·b＝1，所以|a||b|sin〈a，b〉＝，|a||b|cos 〈a，b〉＝1，所以tan〈a，b〉＝， 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，所以|a||b|＝2，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2≥2 ＋4＝12， 当且仅当|a|2＝4|b|2，即|a|＝2|b|＝2时等号成立，所以|a＋2b|的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(六)　平面向量及其应用　 B卷　能力提升 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3，则(　　) A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 2.(2024·浙江杭州高一期末)已知向量a＝(－3，11)，b＝(3，1)，则a在b方向上的投影向量的坐标为(　　) A.(3，1) B. C. D. 3.在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，则a＝(　　) A.6 B.12 C.6或12 D.无解 4.(2024·广东江门高一期末)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin C－asin A＝4bsin B，cos C＝－，则＝(　　) A. B. C. D. 5.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点(且不与M重合)，则＋＋＋等于(　　) A. B.2 C.3 D.4 6.已知C为△ABC的一个内角，向量m＝，n＝.若m⊥n，则角C＝(　　) A. B. C. D. 7.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 8.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a＋c＝2b，B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝(　　) A. B.1＋ C. D.2＋ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是(　　) A.0·a＝0 B.(a·b)·c＝a·(b·c) C.a·b＝0⇒a⊥b D.(a＋b)·(a－b)＝b|2 10.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足B＝，a＋c＝b，则＝(　　) A.2 B.3 C. D. 11.(2024·江苏南京高一期中)在平面直角坐标系xOy内，设两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，定义运算：a⊗b＝x1y2－x2y1，下列说法正确的是(　　) A.a⊗b＝0是a∥b的充要条件 B.a⊗b＝b⊗a C.a⊗(b＋c)＝a⊗b＋a⊗c D.若点O，A，B不共线，则△OAB的面积S＝|⊗| 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在△ABC中， a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝2bcos C，则△ABC的形状为________. 13.若△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则·(＋)的值为________. 14.一艘船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及＝＋t. (1)当t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值.若不能，请说明理由. 16.(15分)已知平面向量a＝(2，2)，b＝(x，－1). (1)若a∥b，求x的值； (2)若a⊥(a－2b)，求a与b的夹角的余弦值. 17.(15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin 2A－sin A＝0. (1)求角A的大小； (2)若b＝2，且sin B＝2sin C，求a. 18.(17分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos(A－C)＋cos B＝，设m＝(b，c)，n＝(a，b)，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)延长BC到D，使BD＝5，若△ACD的面积S＝，求AD的长. 19.(17分)(2024·广东深圳高一月考)定义：已知两个非零向量a与b的夹角为θ.我们把数量|a||b|sin θ 叫做向量a与b的叉乘a×b的模，记作|a×b|，即|a×b|＝|a||b|sin θ. (1)若向量a＝(2，4)，b＝(－3，1)，求|a×b|； (2)若平行四边形ABCD的面积为4，求|×|； (3)若|a×b|＝，a·b＝1，求|a＋2b|的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$