测试卷(5) 平面向量及其应用 A卷 基础达标-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(五)　平面向量及其应用 A卷　基础达标 一、 1.B　2.B　3.C　4.C　5.A　6.B　7.D　8.A 二、 9.BCD　10.AD　11.BD 三、 12.－2　13.　14.－ 四、 15.解析　由＝1，所以cos A＝＝，又0<A<π，所以A＝. 16.解析　(1)a与d共线，b与e共线； (2)a与d是相反向量； (3)图中无方向相同的向量，所以向量a，b，c，d，e中无相同的向量； (4)由图可知|a|＝|c|＝|d|＝，|b|＝，|e|＝2，所以模相等的向量为|a|＝|c|＝|d|. 17.解析　(1)∵＝λ，λ＝3， ∴＝＝3， ∴S△ABC＝4S△ACD＝4×＝×AB×AC×sin∠BAC＝×3×AC×sin ， ∴AC＝2. (2)在△ABC中，由正弦定理＝，得BC＝＝，当∠ACB＝时，线段BC的长度最小， 此时AC＝ABcos∠BAC＝， BC＝ABsin∠BAC＝， ∵△ACD的面积为， ∴AC·CD＝，得CD＝. 当点D在线段BC上时，λ＝2；当点D在线段BC的延长线上时，λ＝－4.综上得λ＝2或－4. 18.解析　(1)证明　由＝a＋b，＝3a＋5b，＝－a－3b，得＝－＝2a＋4b，＝－＝－2a－4b，则＝－，即∥，又，有公共点A，所以A，B，C三点共线. (2)依题意，|c＋ta|＝＝ ＝ ＝， 令f(t)＝t2＋(2＋2cos α)t＋4＋2cos α，函数f(t)是开口向上的二次函数，则当t＝－(1＋cos α)时，f(t)＝，即(－1－cos α)2－2(1＋cos α)2＋4＋2cos α＝， 整理得3cos2α＝3－＝，则cos α＝， 所以锐角α＝. 19.解析　(1)在△BDC中，cos∠BDC＝＝＝－， 则cos∠ADC＝－cos∠BDC＝， 在△ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝1＋4－2×1×2×＝4， 所以AC＝2. (2)设AC＝x，BC＝y，在△ADC和△BDC中，由正弦定理得，＝，＝， 又sin∠ADC＝sin∠BDC，得＝， 即＝. 在△BDC中，cos∠BCD＝， 由∠BAC＝2∠BCD， 有sin∠BAC＝2sin∠BCDcos∠BCD， 所以＝2×， 整理得4y2＝x(y2＋3)，① 又由cos∠ADC＝－cos∠BDC， ∴＝－， 整理得x2＋y2＝10，② 联立①②得，x3－4x2－13x＋40＝0， 即(x－5)(x2＋x－8)＝0.， 解得x＝5或x＝， 又2－1<x<2＋1， 即1<x<3，故x＝， 所以AC＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(五)　平面向量及其应用　 A卷　基础达标 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·江苏南通高一期末)已知向量a＝(－2，4)，b＝(1，x)，若a∥b，则|b|＝(　　) A. B. C.2 D.4 2.(2024·福建龙岩高一期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝2，A＝，C＝，则c＝(　　) A.1 B.2 C. D. 3.(2024·四川绵阳高一期中)在△ABC中，已知A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC为(　　) A.4 B.5 C.3 D.6 4.在△ABC中，若BC＝2，AC＝2，A＝，则B＝(　　) A. B. C. D. 5.已知a，b满足|a|＋|b|＝a·b＝2，|a＋b|＝，则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6.已知向量a＝(－1，3)，b＝，若a⊥b，则a＋b与a的夹角为(　　) A. B. C. D. 7.在△ABC中，(＋)·＝0，·＝，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.三边均不相等的三角形 D.等腰非等边三角形 8.已知＝＝(1，)，且＋＝，则||＝(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(2024·山东泰安高一期末)四边形ABCD是边长为1的正方形，M为边CD的中点，则下列结论正确的是(　　) A.＝2 B.＋＝ C.－＝ D.·＝1 10.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是(　　) A.a＝9，b＝10，c＝15 B.b＝6，c＝5，B＝45° C.a＝3，b＝2，B＝120° D.b＝6，c＝6，C＝60° 11.向量a＝(2，t)，b＝(－1，3)，若a与b的夹角为钝角，则t的值可以是(　　) A.－6 B.－4 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a＝，b＝(t，t＋5)(t∈R)，a⊥b，则t＝________. 13.在△ABC中，A＝2B，2a＝3b，则cos B＝________. 14.已知向量，， 满足＋＋＝0，且||＝||＝||＝1，则·的值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知△ABC的边长满足等式＝1，求A. 16.(15分)在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，是否存在下列要求的向量？若存在，分别写出这些向量. (1)共线向量？(2)相反向量？(3)相同的向量？(4)模相等的向量？ 17.(15分)已知△ABC中，∠BAC＝，AB＝3，＝λ，且△ACD的面积为. (1)若λ＝3，求AC的长； (2)当线段BC的长度最小时，求λ的值. 18.(17分)(2024·山东青岛高一期中)已知{a，b}是平面内的一个基底，且|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为锐角α，＝a＋b，＝3a＋5b，＝－a－3b. (1)求证A，B，C三点共线； (2)设c＝a＋b，若|c＋ta|，t∈R的最小值是，求锐角α的值. 19.(17分)在△ABC中，AB＝2，D为AB的中点，CD＝2. (1)若BC＝，求AC的长； (2)若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$