测试卷(4) 平面向量的应用-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(四)　平面向量的应用 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·山东临沂高一期末)记△ABC内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝，b＝2，A＝，则sin B＝(　　) A. B.－ C. D.－ 2.(2024·四川凉山高一期末)在△ABC中，a＝6，c＝10，cos B＝－，则边b＝(　　) A.6 B.10 C.14 D.10 3.(2024·陕西渭南高一期末)已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某质点上，若对质点再施加一个力F4，该质点恰好达到平衡状态(合力为零)，则F4＝(　　) A.(－1，－2) B.(1，－2) C.(－1，2) D.(1，2) 4.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若lg a－lg c＝lg sin B＝－lg，且B∈，则△ABC的形状是(　　) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为(　　) A. B.π C.2π D.4π 6.在锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是(　　) A.sin A＝cos B B.sin A<cos B C.sin A>cos B D.不能确定 7.设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b＝2，A＝2B，则a的取值范围为(　　) A.(2，2) B.(2，2) C.(2，4) D.(0，4) 8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＋2ab＝a2＋b2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　) A.3 B. C. D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A＝(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 10.(2024·河北邯郸高一期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　) A.sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c＝6，则△ABC外接圆半径为 11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B＝(　　) A.30° B.150° C.60° D.120° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝________. 13.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积为________. 14.如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中∠AOB＝，OA＝OB＝2千米.现需要在OA，OB，AB上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若DF⊥OA，EF⊥OB，则DE＋EF＋FD的最大值为________千米. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin 的值. 16.(15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin (A＋C)＝8sin2. (1)求cos B； (2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b. 17.(15分)(2024·福建龙岩高一月考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边. (1)若acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状； (2)记△ABC面积为S，若有4S＝a2＋b2－c2，求角C. 18.(17分)如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为2 千米. (1)船的航行速度是每小时多少千米？ (2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？ 19.(17分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A. (1)求角B的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(四)　平面向量的应用 一、 1.C　2.C　3.D　4.C　5.B　6.C　7.A　8.C 二、 9.BD　10.CD　11.CD 三、 12.30°　13.40　14.2＋ 四、 15.解析　(1)因为cos B＝＝， 所以＝， 分别代入a＋c＝6，b＝2，得ac＝9， 解得a＝c＝3. (2)由cos B＝得sin B＝， 因为＝， 所以sin A＝，cos A＝， 所以sin ＝sin Acos B－cos Asin B＝×－×＝. 16.解析　(1)sin ＝8sin2， ∴sin B＝4， ∵sin2B＋cos2B＝1， ∴16＋cos2B＝1， ∴＝0， ∴cos B＝； (2)由(1)可知sin B＝， ∵S△ABC＝ac·sin B＝2，∴ac＝， ∴b2＝a2＋c2－2accos B ＝a2＋c2－2×× ＝a2＋c2－15＝－2ac－15 ＝36－17－15＝4， ∴b＝2. 17.解析　(1)由acos A＝bcos B，则由正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B， 即sin 2A＝sin 2B， 由A，B∈(0，π)，故2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或C＝， 即△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形； (2)由题意可得4×absin C＝a2＋b2－c2＝2abcos C，即sin C＝cos C，即tan C＝1， 由C∈(0，π)，即C＝. 18.解析　(1)在△BCP中，tan∠PBC＝⇒BC＝2. 在△ABC中，由正弦定理得＝⇒＝， 所以AB＝2(＋1)， 船的航行速度是每小时6(＋1)千米. (2)在△BCD中，BD＝＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，由余弦定理得CD＝， 在△BCD中，由正弦定理得＝⇒sin∠CDB＝，∠CDB＜120°， 所以∠CDB＝45°， 所以山顶位于D处南偏东45°. 19.解析　(1)根据题意asin ＝bsin A，由正弦定理得sin Asin ＝sin Bsin A， 因为0<A<π，故sin A>0， 消去sin A得sin ＝sin B. 0<B<π，0<<π因为故＝B或者＋B＝π，而根据题意A＋B＋C＝π， 故＋B＝π不成立，所以＝B， 又因为A＋B＋C＝π， 代入得3B＝π，所以B＝. (2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)知B＝， A＋B＋C＝π得到A＋C＝π， 故 解得<C<. 又应用正弦定理＝，c＝1， 由三角形面积公式有：S△ABC＝ac·sin B＝c2··sin B＝c2··sin B＝·＝·＝·(sin ·－cos ) ＝·＋. 又因<C<，tan C>， 故<·＋<， 故<S△ABC<. 故S△ABC的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$