测试卷(1) 平面向量的概念及线性运算-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(一)　平面向量的概念及线性运算 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.以下说法错误的是(　　) A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2.在下列结论中，正确的为(　　) A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B.向量与向量的长度相等 C.向量就是有向线段 D.零向量是没有方向的 3.在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量＋等于(　　) A. B. C. D. 4.向量＋＋＋＋＝(　　) A. B. C. D. 5.已知e1，e2是不共线向量，a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为(　　) A.8 B.3 C.－3 D.－8 6.a，b为非零向量，且＝＋，则(　　) A.a，b同向 B.a，b反向 C.a＝－b D.a，b无论什么关系均可 7.(2024·河北唐山高一期末)如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则＝(　　) A.－＋ B.－ C.＋ D.＋ 8.(2024·北京通州高一期中)如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且BE＝2BC，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A.－ B. C.1 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设a为非零向量，下列有关向量的描述正确的是(　　) A.＝1 B.∥a C.＝a D.·a＝|a| 10.设点M是△ABC所在平面内一点，下列说法正确的是(　　) A.若·＝·＝·，则△ABC为等边三角形 B.若＝＋，则点M是边BC的中点 C.过M任作一条直线，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若＋＋＝0恒成立，则点M是△ABC的垂心 D.若＝2－，则点M在边BC的延长线上 11.如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝－ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，在△ABC中，D，E是BC的两个三等分点，若＝m＋n，m，n∈R，则m－n＝________. 13.若a，b为已知向量，且＋3＝0，则c＝________. 14.已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且AF＝AB，BD＝BC，CE＝CA.若记＝m，＝n，试用m，n表示，，. 16.(15分)如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线. (1)设＝λ，将用λ，，表示； (2)设＝x，＝y，证明：＋是定值. 17.(15分)(2024·辽宁大连高一期末)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的动点，O为 AE与DF的交点. (1)证明：＝λ＋(1－λ)，λ∈[0，1]； (2)当＝，E，F分别是边BC，AC的中点时，用，表示. 18.(17分)设两个非零向量a与b不共线. (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向. 19.(17分)如图所示，已知在矩形ABCD中，＝4，＝8.设＝a，＝b，＝c，求. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(一)　平面向量的概念及线性运算 一、 1.C　2.B　3.A　4.A　5.D　6.A　7.A　8.B 二、 9.ABD　10.AB　11.ABD 三、 12.－6　13.b－a　14.　 15.解析　由题意可得＝m，＝m， ＝＝－， ＝－，＝n，＝n， 所以＝＋＝－＋n ＝－m－n， ＝＋＝n＋m， ＝＋＝m－＝m－n. 16.解析　(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. (2)证明　一方面，由(1)得 ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 另一方面，∵G是△OAB的重心， ∴＝＝×(＋)＝＋.② 而，不共线，∴由①②，得 解得 ∴＋＝3(定值). 17.解析　(1)证明　因为E是边BC上的动点， 所以存在m∈[0，1]，使得＝m＝m(－)＝m－m，所以＝＋＝(1－m)＋m. 令1－m＝λ，则m＝1－λ， 因为m∈[0，1]，所以λ∈[0，1]， 所以＝λ＋(1－λ)，λ∈[0，1]. (2)因为E，F分别是边BC，AC的中点， 所以EF＝AB，EF∥AB， 所以△AOD∽△EOF， 又＝，所以AD＝EF，即可得AO＝OE； 所以＝，又＝＋＝＋，所以＝＋. 18.解析　(1)证明　因为＝a＋b， ＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. 所以，共线， 又因为它们有公共点B， 所以A，B，D三点共线. (2)因为ka＋b与a＋kb同向， 所以存在实数λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. 所以(k－λ)a＝(λk－1)b. 因为a，b是不共线的两个非零向量， 所以解得或 又因为λ>0， 所以k＝1. 19.解析　延长直线AB，使得直线AB上一点B′满足AB＝BB′，同理，延长直线AD，使得直线AD上一点D′满足AD＝DD′， 如图所示， 则b＋c＝，a－b－c＝a－＝a－＝－＝，则＝＝＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $$