5.1.2弧度制教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 课题 5．1．2弧度制 课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□ 教学内容分析 本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课时，上节课学习了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课是后续学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课起着承上启下的作用．学生已经学过长度、角度、面积、体积的度量，通过类比长度、角度、面积、体积的度量，探究发现用长度度量角的方法，体会弧度制的建构过程．通过本节弧度制的学习,把实数与角之间建立一一对应关系，这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位；而在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式；为今后学习三角函数提供了很大方便． 学习者分析 1．学生的知识储备是角度制，刚刚学完角的扩充，对于角的范围有了新的认识，并且对于角度制有很好的理解和记忆，那我们现在要引入弧度制，那么就需要让学生理解为什么要引入弧度制，非常的必要，不然从感情上学生就不接受弧度制，因为这是一个外来者，首先必须解决“为什么”的问题． 2．学生需要理解弧度制产生的合理性．不是与生俱来的，是被人创造出来的．引导学生去探索弧度制的建构过程，可以更好的理解弧度制，也就是弧度制“是什么”． 3．学生对于新事物的接受，理解和熟练需要时间，所以这里需要帮助他们解决弧度与角度的转化问题，也就是“如何化”，以及弧度制“怎么用”的问题． 学习目标确定 1．通过类比长度、重量的不同度量制,知道一个量可以用不同的单位制来度量,体会引入弧度制的必要性． 2．理解1弧度角的含义，通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式，会进行弧度和角度的互化． 3．掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，会利用公式进行简单的应用． 学习重点难点 重点：弧度制的概念,并能进行角度和弧度的互化． 难点：弧度的概念． 学习条件支持 课前复习长度、质量、面积的各种度量制的进制，适用范围、换算等．借助多媒休、几何画板、科学计算器帮助学生完成本节的学习． 学习活动设计 过程 学习内容与教师活动（引领性问题） 学生任务或学习活动设计 设计意图或评价目标 环节一 弧度制定义探究 引导语：度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 内容１.设置情景 问题:竖立于深圳前海湾畔的摩天轮，当摩天轮不断旋转时，摩天轮上的包厢会周而复始运动，包厢从点运动到点P，那么点P的位置可以由哪些量来刻画？ 引发学生回忆、思考． 学生独立思考，知道点P的位置由,, 来确定，体会到当与具有某种函数关系，但进制不同，为我们研究问题带来不便． 建构与学生已有知识之间的链接，培养学生类比、迁移的能力． 设计摩天轮的情境，旨在激起学生学习数学的热情，调动学生主体参与学习活动的积极性，并让学生体会统一进制的必要性． 内容2．寻找制定弧度制标准 回忆初中所学弧长公式, 其中角的大小与什么量有关? 1．实验探究（几何画板展示弧长与半径的比值随着角的确定唯一确定）． 2．由弧长公式给出严格证明． 设=n°，OP=r，点P所形成的圆弧的长为l．证明弧长 与半径r的比值是一个定值． 图1 内容3．制定单位 问题１：角度制下1个单位的角是1度角，它的大小是如何规定的呢？ 教师引导：可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．利用几何画板展示1弧度角，给出1弧度的角的定义． 追问1：2弧度角；-0．5弧度的角；一个圆周的角是怎么得到的？ 追问2：角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？ 教师加入数学史的内容：视频展示弧度制的发展史． 问题2：请你说说弧度制与角度制有哪些不同？ 引导学生明确四个共识． 学生动手操作，利用几何画板进行探索，感受弧长与半径的比值是一个定值． 学生独立思考并给出完整证明过程． 学生分小组讨论类比长度单位米、千米的制定来制定十进 制下1个单位的角，即规定 为多少作为1个单位的角？ 学生直观感受1弧度的角的大小． 学生通过进一步探究与思考， 理解弧度角的含义． 学生从代数和几何的角度理解弧度的定义，并能类比角度对弧度数进行分类． 学生通过讨论交流，引导学生能从以下四个方面来比较： 第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”； 第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制； 第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的 ； 第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值． 设计意图：通过复习初中所学知识，使学生得到弧长与半径的比只与角的大小有关，推广到一般也成立，因此我们可以利用这个比值来度量角，引出新概念，使学生明白新概念的由来和定义的合理性． 在单位圆中，直观感受1 rad的角的大小，体会1 rad角的几何表示；进一步能在一般圆中求得角的弧度数，使学生通过图形获取对新概念的直观印象，培养学生数形结合的能力． 学生体会一个单位形成的研究路径．必要性－合理性－单位制定－分类． 概念辨析，深化理解，注意防止两种试题制度混用的现象． 环节二 角度制与弧度制的换算 内容4．单位换算 问题1：一个周角以度为单位，度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？ 问题2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1 rad等于多少度？ rad 强调常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数． ②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数． ③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的 形式． 引导语：角的概念推广后，弧度制下，角的集合与实数集是一一对应的关系． 学生思考后回答，得出答案 并借助计算器得到近似值． 例4．按照下列要求，把67°30′化成弧度： （1）精确值； （2）精确到0．001的近似值． 例5．将3．14rad换算成角（用度数表示，精确到0．001，可借助计算工具）． 完成练习：填写特殊角的角度数与弧度数的对应表（课本174页） 通过思考，让学生掌握弧度和角度换算的方法．体会同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间的内在联系．认识这种联系性是数学研究的重要内容之一． 熟练角度和弧度的换算，进一步加深对180°=π rad的理解和掌握．同时进一步体会角的概念推广后，无论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一一对应关系． 环节三 扇形的弧长面积公式 内容5新知应用 探究：初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？　　 教师规范证明过程． 例6．利用弧度制证明下列关于扇形的公式． (1) ． 学生独立完成证明过程． 体会弧度制下的弧长、扇形面积公式的简洁美，这是引入弧度制的一个理由． 内容６．当堂达标 学生完成教科书175页练习． 学生独立完成． 巩固知识．评价学生学习目标达成． 课堂小结 问题１．通过这节课的学习和研究，我们解决了什么问题？ 问题２．我们是根据什么思路展开对一种度量单位的制定的？ 问题３．你认为我们利用弧度制可以解决什么问题？ 学生自主总结，展示交流． 通过总结，让学生自行归纳总结本节所学内容，体会弧度制的建构过程：背景（引入弧度制的必要性、合理性）——定义——表示－－换算．提高概括能力,提高学生逻辑推理特别是类比能力． 板书设计 附件二：5.1.2弧度制学习任务单 学科： 数学 年级： 高一 【学习目标】 1.通过类比长度、重量的不同度量制,知道一个量可以用不同的单位制来度量,体会引入弧度制的必要性． 2.理解1弧度角的含义，通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式，会进行弧度和角度的互化． 3.掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，会利用公式进行简单的应用． 重点：弧度制的概念,并能进行角度和弧度的互化. 难点：弧度的概念． 【学习过程】问题情境—自主学习—合作探究—展示交流—总结提升．（每个环节要求预设时间） 问题情境2分钟—自主学习5分钟—合作探究15分钟—展示交流10分钟—总结提升8分钟 ． 【达标检测】我学会了吗？设计达标检测练习和巩固、拓展、提升学习内容的作业，引导学生自评和互评. 1．把下列角度化成弧度： （1）22°30′； （2）－210°； （3）1 200°． 2．把下列弧度化成角度： （1）； （2）－；（3）． 3.-2rad是第几象限角？ 4．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数． 【拓展延伸】设计进一步学习需要思考的问题，为后续教学做准备． (1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$