第五章 数列（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

第五章数列章末测试卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知是等差数列，，前10项和，则其公差（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（24-25高二下·广东·阶段练习）若首项为1的数列满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则的值为（   ） A．22 B．42 C．79 D．149 4．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（   ）. A．14 B．15 C．16 D．17 6．（24-25高二上·云南楚雄·期末）已知数列满足，，，则数列的前10项和为（   ） A．48 B．49 C．50 D．51 7．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是等差数列，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 8．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）有理数都能表示成（其中且与互质）的形式．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如．已知构成无穷数列，令，为数列的前项和，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）记为正项数列的前项和，为的前项积，已知，则（    ） A． B．可能为常数列 C． D． 10．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C． D． 11．（24-25高二下·四川雅安·阶段练习）下列命题正确的有（    ） A．若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； B．若数列为等差数列，则为等比数列； C．数列满足:，则 D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 13．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知分别为等差数列的前项和，，则 . 14．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知等比数列的前 项和 满足 ，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高二下·广东湛江·阶段练习）设数列的前n项和为 (1)若数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，求的通项公式及； (2)若.求数列的通项公式； 16．（15分）（24-25高二下·宁夏吴忠·阶段练习）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（15分）（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若，，成等比数列，求m的值； (3)已知数列满足，为数列的前n项和，若，求k的最小值． 18．（17分）（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）在数列中，，是其前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 19．（17分）（24-25高二下·四川内江·阶段练习）已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章数列章末测试卷 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知是等差数列，，前10项和，则其公差（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件化简求得公差. 【详解】，，. 故选：D. 2．（24-25高二下·广东·阶段练习）若首项为1的数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式计算可得. 【详解】依题意，. 故选：C. 3．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则的值为（   ） A．22 B．42 C．79 D．149 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用累加法求和即得. 【详解】数列中，，， . 故选：C 4．（24-25高二下·天津东丽·阶段练习）已知等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通向公式和等比中项的性质列式求解即可. 【详解】因为等差数列的首项为1，公差不为0，且成等比数列， 设的公差为，则，解得， 所以. 故选：B 5．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为33尺，前九个节气日影长之和为108尺，则谷雨日影长为（   ）. A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据题意得出，，然后结合等差数列的性质求出公差，即可得出答案. 【详解】设这十二个节气日影长为数列，则等差， 由题可知，， 由等差数列下表和性质得， ， 所以公差，则， 故选：C. 6．（24-25高二上·云南楚雄·期末）已知数列满足，，，则数列的前10项和为（   ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】D 【分析】根据题目中的递推公式，分别计算前项的值，可得答案. 【详解】由题意得，，，，， ，，，， 所以前10项和为. 故选：D. 7．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是等差数列，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设数列的公差为d，结合题设易得，进而结合求解即可. 【详解】设数列的公差为d，由，得， 整理得， 把该式看作关于d的一元二次方程， 则，解得． 故选：A． 8．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）有理数都能表示成（其中且与互质）的形式．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如．已知构成无穷数列，令，为数列的前项和，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求数列的通项公式，再利用裂项相消求数列的前项和，求证数列的增减性可得其范围. 【详解】 ， ， ， ， 又， 则随n的增大而增大，当时，取最小值， 又，则，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）记为正项数列的前项和，为的前项积，已知，则（    ） A． B．可能为常数列 C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A由是正项数列，即即可判断，对于B当时即可判断，对于C利用基本不等式即可判断，对于D即可判断. 【详解】因为是正项数列，所以，，所以，故A正确； 若，满足，故B正确； ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； ， 即，故D错误． 故选：ABC． 10．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据作差求出的通项公式，即可判断A、B，由等比数列求和公式判断C，利用裂项相消法判断D. 【详解】因为①，所以当时，可得， 当时②，①②得，可得， 所以数列是以1为首项，公比的等比数列，所以，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为 所以，故D正确； 故选：AD. 11．（24-25高二下·四川雅安·阶段练习）下列命题正确的有（    ） A．若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列； B．若数列为等差数列，则为等比数列； C．数列满足:，则 D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和 【答案】BD 【分析】对于A，当时，不合题意；对于B，利用等差等比数列的定义即可证明；对于C，，不合题意；对于D，当时，，然后求出的递推关系，即可判断. 【详解】对于A：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，，故不是等比数列，故A错误； 对于B：设等差数列公差为，则， 则是个常数，所以为等比数列，故B正确； 对于C：依题意，，它不满足，故C错误； 对于D：，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的前项和，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【分析】利用数列的前 项和 与通项 的关系计算. 【详解】当 时，； 当 时，. , 代入通项公式：, 验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 13．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知分别为等差数列的前项和，，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质可得. 【详解】由题意可得， 故答案为：. 14．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知等比数列的前 项和 满足 ，则 . 【答案】273 【分析】由等比数列片段和的性质可解. 【详解】等比数列的前 项和 满足成等比数列， 所以，即. 故答案为：273 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高二下·广东湛江·阶段练习）设数列的前n项和为 (1)若数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，求的通项公式及； (2)若.求数列的通项公式； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差中项可得，结合等比数列通项公式求得，进而可得； （2）根据与的关系分析可知是首项为1，公比为2的等比数列，即可得结果. 【详解】（1）设数列是公比为， 因为是与的等差中项， 则，即， 又因为，则，解得， 所以，. （2）因为， 当时，，则. 当时，， 两式相减得，即， 可知是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 16．（15分）（24-25高二下·宁夏吴忠·阶段练习）设等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 则，即是等差数列，合乎题意， 故对任意的，. （2）， 17．（15分）（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）设为等差数列的前n项和，，． (1)求数列的通项公式及前n项和； (2)若，，成等比数列，求m的值； (3)已知数列满足，为数列的前n项和，若，求k的最小值． 【答案】(1)； (2) (3)k的最小值为1013 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得； （2）根据等比中项可得，代入运算求解即可； （3）根据题意可得，利用裂项相消法可得，列式求解即可. 【详解】（1）因为为等差数列的前n项和，，． 则，解得， 所以数列的通项公式为． ． （2）因为，，成等比数列，则， 可得，即， 又因为， 解得． （3）由（1）可知：， 则， 可得， 若，即，解得， 且，所以k的最小值为1013． 18．（17分）（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）在数列中，，是其前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系推理得到，利用等差数列定义求解即得； （2）利用错位相减法求得数列的前n项和即可. 【详解】（1）由，可得①， 当时，，解得， 当时，②， 由①-②： 即 整理得 即 又∵，∴ ∴， ∴数列是以为首项，2为公差的等差数列， 故. （2） ∴ ∴ ∴. 19．（17分）（24-25高二下·四川内江·阶段练习）已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，. (2)①，；②不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据数列中的每一项都能被2整除，可推出所求数列即为，进而写出前三项和通项公式； （2）①先确定和时，对应的等差数列的首尾两项，进而可解得公差，的值； ②利用等差数列的通项公式可得；假设在数列中存在三项（其中）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可判断. 【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列为， 则，，，，. （2）①由，得. 当时，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 当时，，， 由题意，在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以． 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即．化简得． 又因为，所以， 得，所以， 又因为，所以， 即，所以，即，这与题设矛盾． 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$