第六单元 圆-2024-2025学年苏教版数学五年级下学期易错笔记优选题培优讲练（学生版+教师版）

2024-2025学年苏教版数学五年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第六单元 圆 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点梳理01：圆的认识 1、圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条线段围成的平面图形) 2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O 表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。 3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变； 要旋转一周。 4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的 2 倍。(d=2r,r=d÷2) 5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。 6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。 7、正方形里最大的圆: 两者联系：边长=直径画法： 画出正方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 8、长方形里最大的圆: 两者联系：宽=直径画法： 画出长方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。 知识点梳理02：扇形的认识 1.圆上两点间的曲线是弧； 2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形； 3.顶点在圆心的角叫作圆心角； 4.在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 知识点梳理03：圆的周长 1、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数 2、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母π(读 pài)表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592653……我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值 3.14。π>3.14 3、如果用 C 表示圆的周长，那么 C=πd 或 C = 2πr 4、求圆的半径或直径的方法： d=C÷π r =C÷ π÷2= C÷2π 5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。C 半圆= πr+2r C 半圆= πd÷2+d 6、常用的 3.14 的倍数： 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 知识点梳理04：圆及圆环的面积 1、圆的面积公式：S=πr²。 圆的面积是半径平方的π倍。 2、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面 积相等(即S 长方形=S 圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=c/2=πr)。 即：S 长方形= a × b S 圆 = πr × r=πr² 注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。 C 长方形=2πr+2r=C 圆+d 3、半圆的面积和周长。S 半圆=πr²÷2 C 半圆=C/2+d 4、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数， 面积的倍数=半径的倍数的平方 5、周长相等的平面图形中，圆的面积最大； 面积相等的平面图形中，圆的周长最短。 6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法 分配律进行简便计算。S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 7、常用的平方数： 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 易错知识点01：圆的基本概念混淆: 1.圆与多边形的特征混淆 错误表现：误认为圆由线段围成或有顶点123。 示例：认为“车轮是圆形因为它有角”或“圆的边是直的”。 避错策略：强调“圆是曲线图形，没有顶点，多边形由线段围成且有顶点”。 2.半径与直径的关系混淆 错误表现：误记公式为r=d×2或d=r÷2 示例：已知半径3cm，误算直径为1.5cm（正确为6cm）。 避错策略：口诀“直径是半径的2倍，半径是直径的一半”（d=2r, r= 易错知识点02：画圆操作中的错误 1.圆规使用不规范 错误表现：画圆时针尖移动或两脚间距改变，导致圆不闭合或变形。 示例：画圆时手抖导致半径变化，形成椭圆。 避错策略：强调“针尖固定，两脚间距不变，匀速旋转”。 2.圆心与半径的定位错误 错误表现：误将圆上一点作为圆心，或半径标注不准确。 示例：标注半径时未连接圆心与圆上点，直接画线段。 避错策略：用尺子辅助测量，明确圆心O、半径r、直径d的符号标注规则。 易错知识点03：周长与面积公式应用混淆 1.公式记忆错误 错误表现：混淆周长公式C=πd与面积公式S=πr²，导致计算错误。 示例：求面积时误用πd，求周长时误用πr²。 避错策略：口诀“周长绕边用直径，面积铺面用半径”。 2.圆周率（π）取值错误 错误表现：计算时π取3或3.14未根据题目要求统一。 示例：题目要求保留π，结果却代入3.14计算。 避错策略：审题时标注“是否保留π”，明确π≈3.14仅用于近似计算。 易错知识点04：半圆与扇形计算错误 1.半圆周长的遗漏 错误表现：计算半圆周长时忘记加直径，误为πr。 示例：半圆半径4cm，周长误算为3.14×4=12.56cm（正确为3.14×4+8=20.56cm）。 避错策略：半圆周长公式C半圆=πr+2r或C半圆=π+d。 2.扇形面积与圆心角关系错误 错误表现：误认为扇形面积仅与半径有关，忽略圆心角占比。 示例：圆心角60°的扇形面积误算为整个圆的（实际为）。 避错策略：扇形面积公式S扇形=n°360°×πr²（n为圆心角度数）。 易错知识点05：组合图形与实际问题易错点 1.环形面积计算错误 错误表现：直接用大圆半径减小圆半径计算环形面积。 示例：环形半径R=5cm，r=3cm，误算面积为π(5−3)²=4π（正确为π(5²−3²)=16π 避错策略：环形面积公式S环=πR²−πr²=π(R²−r²) 2.实际应用题单位不统一 错误表现：未统一单位直接计算，如直径用米、半径用厘米。 示例：直径1.2米的花坛，求面积时误用半径60厘米代入公式。 避错策略：标注单位并统一为相同单位后再计算。 易错知识点06：易混淆概念对比表 概念 易错点 正确理解 圆的周长与面积 混淆公式 (πd) 与 (πr²) 周长公式含直径或半径一次方，面积含半径平方 半圆与圆周长 漏加直径长度 半圆周长=圆周长一半+直径 圆心角与扇形面积 忽略圆心角占比 扇形面积与圆心角成正比 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.47（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（本题2分）（23-24五年级下·海南海口·期末）在解决下面三个问题时，都运用了（    ）策略。 （1）计算2.4×8.1时，先计算24×81，再在积中点上小数点。 （2）推导平行四边形面积计算公式的过程。 （3）推导圆的面积计算公式的过程。 A．列举 B．画图 C．倒推 D．转化 【答案】D 【思路指引】（1）计算2.4×8.1时，先计算24×81，是把小数转化成整数，再按照整数的计算方法计算，再从小数的右边起，点上小数点； （2）推导平行四边形面积计算公式，是把平行四边形转化成长方形，再根据长方形的面积计算出平行四边形的面积； （3）推导圆的面积计算公式的过程，是把圆剪开，拼成了长方形，根据长方形的面积推导出了圆的面积公式。 【规范解答】根据分析可知：计算2.4×8.1、推导平行四边形面积计算公式的过程、推导圆的面积计算公式的过程都是运用了转化的策略。 故答案为：D 2．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·课后作业）甲、乙两只蚂蚁以同样的速度，同时从点A出发，甲蚂蚁沿着正方形走，乙蚂蚁沿着圆形走，（    ）回到起点。 A．甲先 B．乙先 C．同时 【答案】B 【思路指引】设正方形的边长是1，从图中可知：正方形的边长＝圆的直径，根据正方形的周长＝边长×4，圆的周长：C＝πd，分别代入数据计算，再判断即可。 【规范解答】设正方形的边长是1。 甲：1×4＝4 乙：1×3.14＝3.14 4＞3.14 乙先回到起点。 故答案为：B 3．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·单元测试）用3米长的铁丝围成一个圆，这个圆在地上滚动一周所前进的距离（     ）。 A．比3米长 B．比3米短 C．正好是3米 【答案】C 【思路指引】计算一个圆向前滚动一周的距离，实际就是求圆的周长；3米长的铁丝围成一个圆，圆的周长等于3米；所以圆在地上滚动一周所前进的距离是3米，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，用3米长的铁丝围成一个圆，这个圆在地上滚动一周所前进的距离正好是3米。 故答案为：C 4．（本题2分）（24-25五年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ）。 ①圆的直径是半径的2倍。 ②圆的直径是圆的对称轴。 ③两个端点都在圆上的线段一定是圆的直径。 ④圆的直径和半径都是一条直线。 ⑤在同一个圆或等圆中，半径是直径的。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路指引】在同圆或等圆中，圆的直径是半径的2倍，半径是直径的； 圆的直径和半径都是一条线段，圆的对称轴是一条直线； 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径； 据此逐项分析即可解答。 【规范解答】①圆的直径是半径的2倍。此说法错误，要加前提“在同圆或等圆中”； ②圆的直径是圆的对称轴。此说法错误，圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线； ③两个端点都在圆上的线段一定是圆的直径。此说法错误，如图，线段AB经过圆心O是圆的直径，线段CD不经过圆心O不是圆的直径； ④圆的直径和半径都是一条直线。此说法错误，圆的直径和半径都是一条线段； ⑤在同一个圆或等圆中，半径是直径的。此说法正确，在同圆或等圆中，圆的直径是半径的2倍，即半径是直径的。 只有⑤说法是正确的。 故答案为：A 5．（本题2分）（24-25五年级下·全国·单元测试）观察下面四个图形中的涂色部分，周长和面积的大小关系是（    ）。 A．周长相等、面积不等 B．周长不等、面积相等 C．周长、面积都不相等 D．周长、面积都相等 【答案】B 【思路指引】 如图：，每个图形可以分成四个相同的正方形，四个正方形面积是相等；四个图形中空白部分可以组成一个完整的圆且面积相等。四个图形中涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积。根据封闭图形一周的长度叫做图形的周长，分别求出围成四个涂色部分的所有线段和曲线的长度之和（涂色部分的周长），即可解答。 【规范解答】根据分析可得： 四个正方形是全等的，四个图形中四个图形中空白部分可以组成一个完整的圆且面积相等。 涂色部分的面积都是正方形的面积减去圆的面积，所以四个图形中的涂色部分的面积相等。 第一个图形中涂色部分的周长＝圆的周长＋正方形的周长， 第二个图形中涂色部分的周长＝圆的周长， 第三个图形中涂色部分的周长＝圆的周长＋正方形的周长， 第四个图形中涂色部分的周长＝圆的周长＋两条正方形的边长， 所以涂色部分的周长不相等； 四个图形中的涂色部分，周长和面积的大小关系是周长不等、面积相等。 故答案为：B 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分18分） 6．（本题3分）（24-25五年级下·全国·单元测试）一个半径为20cm的圆，它的内外各有一个正方形。圆的面积是( )cm2，外面的正方形的面积是( )cm2，里面的正方形的面积是( )cm2。 【答案】 1256 1600 800 【思路指引】圆面积＝πr2，代入数据求出这个圆的面积。外面的正方形的边长和圆直径相等，再根据“正方形面积＝边长×边长”求出外面的正方形的面积。里面的正方形可通过一条对角线分成两个三角形，每个三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，再根据“三角形面积＝底×高÷2”求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即里面的正方形的面积。 【规范解答】圆面积： 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（cm2） 20×2＝40（cm） 外面的正方形的面积：40×40＝1600（cm2） 里面的正方形的面积：40×20÷2×2＝800（cm2） 所以圆的面积是1256cm2，外面的正方形的面积是1600cm2，里面的正方形的面积是800cm2。 7．（本题4分）（24-25五年级下·全国·课后作业）看图填空。 圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米。 大半圆的半径是( )厘米，小半圆的半径是( )厘米。 【答案】 18 9 24 12 【思路指引】根据图形可知，圆的2个直径是长方形的长，长方形的长÷2即为圆的直径，圆的直径÷2即为圆的半径； 根据图形可知，大半圆的直径是48厘米，再除以2即为大半圆的半径；大半圆的半径等于小半圆的直径，再除以2即为小半圆的半径。 【规范解答】圆的直径：36÷2＝18（厘米）， 圆的半径：18÷2＝9（厘米）； 大半圆的半径：48÷2＝24（厘米）， 小半圆的半径：24÷2＝12（厘米）。 【易错点拨】解答此题的关键是分析出同圆或等圆中半径和直径之间的关系。 8．（本题2分）（24-25五年级下·全国·课后作业）圆的半径由7厘米减少到5厘米，这个圆的周长减少了( )厘米，面积减少了( )平方厘米。 【答案】 12.56 75.36 【思路指引】根据圆的周长公式：C＝2πr，代入数据分别求出减少前后的周长，再用减法求出减少了多少厘米；根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据分别求出减少前后的面积，再用减法求出减少了多少平方厘米；据此解答。 【规范解答】2×3.14×7－2×3.14×5 ＝2×3.14×（7－5） ＝2×3.14×2 ＝12.56（厘米） 3.14×72－3.14×52 ＝3.14×49－3.14×25 ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方厘米） 这个圆的周长减少了12.56厘米，面积减少了75.36平方厘米。 9．（本题1分）（24-25五年级下·全国·课后作业）要画一个周长是12.56cm的圆，这个圆的面积是( )cm2。 【答案】12.56 【思路指引】先根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径； 再根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积。 【规范解答】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（cm） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 所以这个圆的面积是12.56cm2。 10．（本题2分）（21-22五年级下·江苏徐州·期末）如图，如果圆内正方形的面积是16平方厘米，那么圆的面积是( )平方厘米；如果圆的面积是（16π）平方厘米，正方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 8π 32 【思路指引】设圆的半径为r，则圆内正方形的面积为2r2，由此可得：2r2＝16；据此求出半径的平方，再代入圆的面积公式即可求出圆的面积；如果圆的面积是（16π）平方厘米，根据圆的面积公式：S＝πr2，可得r2＝16，进而得出2r2的值，也就是正方形的面积；据此解答。 【规范解答】由分析可得： 3.14×（16÷2） ＝3.14×8 ＝25.12（平方厘米） 16π÷π×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 【易错点拨】明确圆内正方形的面积与圆的半径直接的关系是解题的关键。 11．（本题2分）（22-23五年级下·江苏无锡·期末）如图中，正方形的面积是40平方厘米，正方形内的小圆面积是( )平方厘米。正方形外的大圆面积是( )平方厘米。 【答案】 31.4 62.8 【思路指引】设小圆的半径为r，大圆的半径为R，则正方形的边长为2r，所以有：2r×2r＝40，可得出：，所以小圆的面积为：3.14×10＝31.4（平方厘米）；连接正方形两条对角线，可将正方形平均分成4份，每个三角形的面积为：40÷4＝10（平方厘米），所以R×R÷2＝10，所以，所以大圆的面积为：20×3.14＝62.8（平方厘米）。 【规范解答】 设小圆的半径为r，大圆的半径为R；如上图，连接正方形的两条对角线。 2r×2r＝40 小圆的面积为：3.14×10＝31.4（平方厘米） R×R÷2＝10 大圆的面积为：20×3.14＝62.8（平方厘米） 所以正方形内的小圆面积是31.4平方厘米。正方形外的大圆面积是62.8平方厘米。 【易错点拨】本题考查圆面积公式的灵活运用，已知圆的半径或者半径的平方都可以求出圆的面积。 12．（本题2分）（21-22五年级下·江苏南通·期末）勾股定理：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。例如，一个直角三角形两条直角边的长分别为a和b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2，图中，直角三角形的两条直角边分别长4厘米和6厘米，那么正方形面积是( )平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。    【答案】 52 40.82 【思路指引】观察图形可知，三角形的斜边等于正方形的边长，根据题意可知，两条直角边的平方和等于斜边的平方，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，即42＋62的和等于正方形的边长的平方，也就是正方形的面积；正方形的边长等于圆的直径，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2；半径＝直径÷2，半径2＝直径2÷4，据此求出圆的面积。 【规范解答】42＋62 ＝16＋36 ＝52（平方厘米） 3.14×（52÷4） ＝3.14×13 ＝40.82（平方厘米） 勾股定理：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。例如，一个直角三角形两条直角边的长分别为a和b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2，图中，直角三角形的两条直角边分别长4厘米和6厘米，那么正方形面积是52平方厘米，圆的面积是40.82平方厘米。    【易错点拨】解答本题的关键明确三角形的斜边与正方形边长的关系，是解答本题的关键。 13．（本题2分）（23-24五年级下·江苏淮安·期末）如图，三角形ABC是直角三角形，AB是圆的直径，AB长10厘米，已知阴影乙部分比阴影甲部分的面积少6平方厘米。那么BC的长是( )厘米，三角形ABC的面积是( )平方厘米。 【答案】 6.65 33.25 【思路指引】看图可知，半圆的面积－三角形ABC的面积是＝阴影甲部分的面积－阴影乙部分的面积＝6平方厘米，设BC的长是x厘米，根据半圆的面积－三角形ABC的面积是＝6平方厘米，列出方程求出x的值是BC的长，再根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积。 【规范解答】解：设BC的长是x厘米。 3.14×（10÷2）2÷2－10x÷2＝6 3.14×52÷2－5x＝6 3.14×25÷2－5x＝6 39.25－5x＋5x＝6＋5x 6＋5x＝39.25 6＋5x－6＝39.25－6 5x＝33.25 5x÷5＝33.25÷5 x＝6.65 10×6.65÷2＝33.25（平方厘米） BC的长是6.65厘米，三角形ABC的面积是33.25平方厘米。 【易错点拨】关键是掌握并灵活运用圆和三角形面积公式，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·期末）大圆直径是小圆直径的4倍，大圆面积就是小圆面积的16倍。( ) 【答案】√ 【思路指引】圆的直径÷2＝半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，大圆直径是小圆直径的几倍，大圆面积是小圆面积的倍数×倍数，据此分析。 【规范解答】4×4＝16 大圆直径是小圆直径的4倍，大圆面积就是小圆面积的16倍，原题说法正确。 故答案为：√ 15．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·课后作业）一张周长是6.28分米的圆形纸，对折后每个半圆的周长是3.14分米。( ) 【答案】× 【思路指引】根据题意，作图如下： 从图中可知：对折后每个半圆的周长＝圆周长的一半＋直径。根据圆的周长：C＝πd，用C÷π求出直径，再用圆周长÷2，求出圆周长的一半，相加即可求出半圆的周长。 【规范解答】6.28÷2＋6.28÷3.14 ＝3.14＋2 ＝5.14（分米） 一张周长是6.28分米的圆形纸，对折后每个半圆的周长是5.14分米。原题说法错误。 故答案为：× 16．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·单元测试）圆的直径每增加1米，周长就增加约3.14米。( ) 【答案】√ 【思路指引】设原来圆的直径为d米，则后来圆的直径为（d＋1）米，再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，分别求出原来圆的周长与后来圆的周长，再相减，求出周长增加多少，再进行比较，即可解答。 【规范解答】设原来圆的直径为d米，则后来圆的直径为（d＋1）米。 3.14×（d＋1）－3.14×d ＝3.14d＋3.14－3.14d ＝3.14（米） 圆的直径每增加1米，周长就增加约3.14米。 原题干说法正确。 故答案为：√ 17．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·课后作业）圆的直径扩大为原来的4倍，它的半径就扩大为原来的2倍。( ) 【答案】× 【思路指引】同一个圆内，直径等于半径的2倍，即直径＝2×半径；设原来圆的半径等于1，则直径＝1×2＝2，求出直径扩大为原来的4倍后现在的直径是多少，从而计算出现在的半径，再与原来的半径比较，据此判断。 【规范解答】原来圆的半径为1，则原来直径是2； 现在的直径是：2×4＝8 现在的半径是：8÷2＝4 现在的半径÷原来的半径＝4÷1＝4 因此圆的直径扩大为原来的4倍，它的半径也扩大为原来的4倍，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 18．（本题2分）（24-25六年级上·安徽六安·期末）圆的直径扩大3倍，它的周长也扩大3倍，面积扩大6倍。( ) 【答案】× 【思路指引】设直径为2，扩大后的直径为2×3＝6；根据圆的周长公式：周长＝π×直径；面积＝π×半径2，分别求出原来圆的周长和面积，扩大后圆的周长和面积，再用扩大后圆的周长÷原来圆的周长，扩大后圆的面积÷原来圆的面积，分别求出它的周长扩大到原来的多少倍，面积扩大到原来的多少倍，进而解答。 【规范解答】设圆的直径为2；扩大后圆的直径为2×3＝6。 （π×6）÷（π×2） ＝（6π）÷（2π） ＝3 [π×（6÷2）2]÷[π×（2÷2）2] ＝[π×32]÷[π×12] ＝[π×9]÷[π×1] ＝9π÷π ＝9 圆的直径扩大3倍，它的周长也扩大3倍，面积扩大9倍。 原题干说法错误。 故答案为：× 四、看图列式，准确计算（共10分） 19．（本题4分）（24-25五年级下·全国·课后作业）求涂色部分的面积。 【答案】15.25 【思路指引】涂色部分的面积等于直径为10的半圆的面积减去底为8、高为6的直角三角形的面积，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，求出圆的面积，再除以2求出半圆的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形的面积，再用半圆的面积减去三角形的面积即可解答。 【规范解答】10÷2＝5 3.14×52÷2－6×8÷2 ＝3.14×25÷2－48÷2 ＝78.5÷2－24 ＝39.25－24 ＝15.25 20．（本题6分）（24-25五年级下·全国·单元测试）求涂色部分的周长。 【答案】76cm；62.8cm 【思路指引】第一个图形，通过平移，涂色部分的周长＝长方形的周长，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，列式计算即可； 第二个图形，通过旋转，涂色部分的周长＝圆的周长×2，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式计算。 【规范解答】（20＋18）×2 ＝38×2 ＝76（cm）     3.14×10×2＝62.8（cm） 涂色部分的周长分别是76cm、62.8cm。 五、动手动脑，实践操作（共4分） 21．（本题4分）（24-25五年级下·全国·课后作业）按要求操作。 （1）用数对表示圆心O的位置。 （2）将图中的圆向右平移3格，再向下平移4格。 （3）以点O1（7，7）为圆心画一个圆，使其半径是上图中圆的2倍。 【答案】（1）（3，7） （2）见详解 （3）见详解 【思路指引】（1）用数对表示位置的方法：第一个数表示列，第二个数表示行，据此表示出圆心的位置即可； （2）根据图形平移的方法，先把这个图形的圆心向右平移3格，再把圆心向下平移4格，得到平移后的图形的圆心，再以1格为半径画圆即可得出平移后的图形； （3）根据数对表示位置的方法，找出（7，7）在图中的点，以该点为圆心，以（1×2）个格的长度为半径作圆即可。 【规范解答】（1）圆心O的位置用数对表示是：（3，7）。 （2）平移后圆心O的位置用数对表示是：（6，3），平移后的圆如下图所示。 （3）1×2＝2（格） 作图如下： 六、联系实际，解决问题（共48分） 22．（本题5分）（24-25五年级下·江苏·课后作业）小方骑自行车到学校用10分钟，这辆自行车的车轮外直径大约是70厘米。按车轮每分钟转100圈计算，从小方家到学校大约有多少米？ 【答案】2198米 【思路指引】已知自行车的车轮外直径大约是70厘米，根据圆的周长公式C＝πd，求出自行车转一圈行驶的距离；再乘100，即是车轮每分钟行驶的距离，也就是自行车的速度； 已知小方骑自行车到学校用10分钟，根据“路程＝速度×时间”，求出小方家到学校的距离。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【规范解答】3.14×70＝219.8（厘米） 219.8×100×10＝219800（厘米） 219800厘米＝2198米 答：从小方家到学校大约有2198米。 23．（本题5分）（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，三个圆大小相同，三个扇形的圆心角分别是多少度？ 【答案】三个扇形的圆心角都是60°。 【思路指引】观察图形可知，图中是三个等圆，则三角形的三角边的长度等于两条半径的和，所以三角形的三条边都相等，这个三角形是等边三角形；再根据等边三角形的特征进行解答。 【规范解答】因为图中的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°。所以三个扇形的圆心角都是60°。 24．（本题5分）（24-25五年级下·全国·课后作业）比萨又称意大利馅饼，是一种发源于意大利的食品。乐乐到食品店想买一个直径为12寸的比萨，可是直径为12寸的卖完了，于是服务员给乐乐换成两个直径为6寸的比萨。如果你是乐乐，你同意这种换法吗？请说明理由。 【答案】不同意；理由见详解 【思路指引】根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出一个直径为12寸的比萨的面积和两个直径为6寸的比萨的面积，再进行比较，如果两个直径为6寸的比萨的面积之和小于一个直径为12寸的比萨的面积，就不同意换；反之，同意换。 【规范解答】3.14×（12÷2）2         ＝3.14×62     ＝3.14×36 ＝113.04（平方寸） 3.14×（6÷2）2×2 ＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（平方寸） 113.04＞56.52         答：如果我是乐乐，我不同意这种换法。因为两个直径为6寸的比萨的面积之和比原来一个直径为12寸的比萨的面积小得多，不划算。 25．（本题5分）（24-25五年级下·全国·单元测试）如下图，已知中间小圆的直径是4厘米，图中正方形的面积是10平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】14.13平方厘米 【思路指引】看图可知，正方形的边长是大圆的半径。正方形面积＝边长×边长，即正方形的面积等于大圆半径的平方。将小圆的直径除以2，求出小圆的半径。圆面积＝πr2，据此求出大圆和小圆的面积。再将大圆面积减去小圆面积求出圆环的面积。由图可知，将圆环平均分成4份，阴影部分占其中的3份。那么将圆环的面积除以4，求出每份的面积，再乘3即可求出阴影部分的面积。 【规范解答】3.14×10－3.14×（4÷2）2 ＝31.4－3.14×22 ＝31.4－3.14×4 ＝31.4－12.56 ＝18.84（平方厘米） 18.84÷4×3＝14.13（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是14.13平方厘米。 26．（本题5分）（24-25五年级下·全国·课后作业）有一口井，井口直径为1.2米。现准备给它加上木井盖，要求直径比井口直径大20厘米。 （1）井口的面积是多少？ （2）如果在木井盖的边沿钉一圈铝条进行包边，铝条长多少米？ 【答案】（1）1.1304平方米 （2）4.396米 【思路指引】（1）半径＝直径÷2，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出井口的面积。 （2）100厘米＝1米，那么20厘米＝0.2米；先用井口的直径加上0.2米，求出木井盖直径，再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出木井口的周长，也就是铝条的长度，据此解答。 【规范解答】（1）3.14×（1.2÷2）2 ＝3.14×0.62 ＝3.14×0.36 ＝1.1304（平方米） 答：井口的面积是1.1304平方米。 （2）20厘米＝0.2米 3.14×（1.2＋0.2） ＝3.14×1.4 ＝4.396（米） 答：铝条长4.396米。 27．（本题5分）（24-25五年级下·全国·课后作业）把一张圆形纸片平均分成若干份，拼成以半径为宽的近似长方形。已知长方形的周长是33.12厘米，这张圆形纸片的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【思路指引】根据题意，把一张圆形纸片剪拼成一个近似长方形，那么长方形的长等于圆周长的一半πr，长方形的宽等于圆的半径r； 已知长方形的周长是33.12厘米，根据（长＋宽）×2＝长方形的周长，据此列出方程，求出圆的半径r； 根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出这张圆形纸片的面积。 【规范解答】解：设圆的半径是r厘米。 （3.14×r＋r）×2＝33.12 4.14r×2＝33.12 8.28r＝33.12 8.28r÷8.28＝33.12÷8.28 r＝4 圆的面积： 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 答：这张圆形纸片的面积是50.24平方厘米。 28．（本题6分）（20-21五年级下·江苏·期末）扬扬在一张正方形纸上用圆规画了一片“树叶”（阴影部分），已知“树叶”的周长是25.12厘米。你能求出“树叶”的面积吗？ 【答案】36.48平方厘米 【思路指引】 由题意知：每一条圆弧都是半径等于正方形边长的圆的周长的四分之一，用树叶的周长除以2得到一条圆弧的长，用圆弧的长乘4除以3.14再除以2，求得半径的值，进而求得面积。据此解答。 【规范解答】一条弧的长： 25.12÷2＝12.56（厘米） 圆的半径： 12.56×4÷3.14÷2 ＝50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米） 树叶一半的面积： 8×8×3.14×－8×8× ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 整个树叶的面积： 18.24×2＝36.48（平方厘米） 答：“树叶”的面积是36.48平方厘米。 【易错点拨】根据圆弧的长求得圆的半径，进而求得树叶的面积是解答本题的关键。 29．（本题6分）（20-21五年级下·江苏淮安·期末）量一量，画一画，算一算。 （1）量一量，上面这个圆的直径是（    ）厘米。 （2）这个圆沿直线向右滚动一周时，圆心前进的距离是（    ）厘米。 （3）请画出这个圆向右滚动一周后在直线上的正确位置，并标出这时的圆心和点。 【答案】（1）2； （2）6.28； （3）见详解； 【思路指引】（1）圆内线段，直径最长，利用直尺，通过圆心，就可以量出圆的直径为2厘米。 （2）这个圆沿直线向右滚动一周时，走过的路程是圆边缘一周的长度，即圆的周长，可用化曲为直的方法进行理解，根据：C＝πd，进行解答即可。 （3）滚动一周后圆的圆心在距离原来圆心一个圆周长处，确定圆心和半径，用圆规画圆。 【规范解答】（1）量出上面这个圆的直径是2厘米。 （2）这个圆沿直线向右滚动一周时，圆心前进的距离是：3.14×2＝6.28（厘米） （3）圆的周长是6.28厘米，滚动一周后圆的圆心在距离原来圆心6.28厘米处，圆的半径是1厘米，据此画图如下： 【易错点拨】 本题考查圆的周长计算和如何画圆，需掌握用圆规作图的方法。 30．（本题6分）（24-25五年级下·全国·单元测试）如下图，圆的周长是25.12分米，圆的面积和长方形的面积相等。阴影部分的面积是多少平方分米？阴影部分的周长是多少分米？ 【答案】37.68平方分米；31.4分米 【思路指引】看图可知，圆的半径＝长方形的宽，圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此求出圆的半径和面积，圆的面积＝长方形面积，根据长方形的长＝面积÷宽，长方形的周长＝（长＋宽）×2，阴影部分的面积＝长方形面积－圆的面积÷4，阴影部分的周长＝长方形的周长－圆的半径×2＋圆的周长÷4，据此列式解答。 【规范解答】圆的半径：25.12÷3.14÷2＝4（分米） 圆的面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 长方形的长：50.24÷4＝12.56（分米） 长方形的周长：（12.56＋4）×2 ＝16.56×2 ＝33.12（分米） 阴影部分的面积：12.56×4－50.24÷4 ＝50.24－12.56 ＝37.68（平方分米） 阴影部分的周长：33.12－4×2＋25.12÷4 ＝33.12－8＋6.28 ＝31.4（分米） 答：阴影部分的面积是37.68平方分米，阴影部分的周长是31.4分米。 【易错点拨】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版数学五年级下学期易错笔记优选题培优讲练 第六单元 圆 (新知回顾梳理+易错考点点拨+易错真题培优卷） 知识点梳理01：圆的认识 1、圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条线段围成的平面图形) 2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O 表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。 3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变； 要旋转一周。 4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的 2 倍。(d=2r,r=d÷2) 5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。 6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。 7、正方形里最大的圆: 两者联系：边长=直径画法： 画出正方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。 8、长方形里最大的圆: 两者联系：宽=直径画法： 画出长方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。 知识点梳理02：扇形的认识 1.圆上两点间的曲线是弧； 2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形； 3.顶点在圆心的角叫作圆心角； 4.在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 知识点梳理03：圆的周长 1、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数(速度)=车轮的周长×转数 2、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母π(读 pài)表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592653……我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值 3.14。π>3.14 3、如果用 C 表示圆的周长，那么 C=πd 或 C = 2πr 4、求圆的半径或直径的方法： d=C÷π r =C÷ π÷2= C÷2π 5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。C 半圆= πr+2r C 半圆= πd÷2+d 6、常用的 3.14 的倍数： 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.7 3.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 知识点梳理04：圆及圆环的面积 1、圆的面积公式：S=πr²。 圆的面积是半径平方的π倍。 2、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面 积相等(即S 长方形=S 圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=c/2=πr)。 即：S 长方形= a × b S 圆 = πr × r=πr² 注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。 C 长方形=2πr+2r=C 圆+d 3、半圆的面积和周长。S 半圆=πr²÷2 C 半圆=C/2+d 4、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数， 面积的倍数=半径的倍数的平方 5、周长相等的平面图形中，圆的面积最大； 面积相等的平面图形中，圆的周长最短。 6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法 分配律进行简便计算。S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 7、常用的平方数： 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 易错知识点01：圆的基本概念混淆: 1.圆与多边形的特征混淆 错误表现：误认为圆由线段围成或有顶点123。 示例：认为“车轮是圆形因为它有角”或“圆的边是直的”。 避错策略：强调“圆是曲线图形，没有顶点，多边形由线段围成且有顶点”。 2.半径与直径的关系混淆 错误表现：误记公式为r=d×2或d=r÷2 示例：已知半径3cm，误算直径为1.5cm（正确为6cm）。 避错策略：口诀“直径是半径的2倍，半径是直径的一半”（d=2r, r= 易错知识点02：画圆操作中的错误 1.圆规使用不规范 错误表现：画圆时针尖移动或两脚间距改变，导致圆不闭合或变形。 示例：画圆时手抖导致半径变化，形成椭圆。 避错策略：强调“针尖固定，两脚间距不变，匀速旋转”。 2.圆心与半径的定位错误 错误表现：误将圆上一点作为圆心，或半径标注不准确。 示例：标注半径时未连接圆心与圆上点，直接画线段。 避错策略：用尺子辅助测量，明确圆心O、半径r、直径d的符号标注规则。 易错知识点03：周长与面积公式应用混淆 1.公式记忆错误 错误表现：混淆周长公式C=πd与面积公式S=πr²，导致计算错误。 示例：求面积时误用πd，求周长时误用πr²。 避错策略：口诀“周长绕边用直径，面积铺面用半径”。 2.圆周率（π）取值错误 错误表现：计算时π取3或3.14未根据题目要求统一。 示例：题目要求保留π，结果却代入3.14计算。 避错策略：审题时标注“是否保留π”，明确π≈3.14仅用于近似计算。 易错知识点04：半圆与扇形计算错误 1.半圆周长的遗漏 错误表现：计算半圆周长时忘记加直径，误为πr。 示例：半圆半径4cm，周长误算为3.14×4=12.56cm（正确为3.14×4+8=20.56cm）。 避错策略：半圆周长公式C半圆=πr+2r或C半圆=π+d。 2.扇形面积与圆心角关系错误 错误表现：误认为扇形面积仅与半径有关，忽略圆心角占比。 示例：圆心角60°的扇形面积误算为整个圆的（实际为）。 避错策略：扇形面积公式S扇形=n°360°×πr²（n为圆心角度数）。 易错知识点05：组合图形与实际问题易错点 1.环形面积计算错误 错误表现：直接用大圆半径减小圆半径计算环形面积。 示例：环形半径R=5cm，r=3cm，误算面积为π(5−3)²=4π（正确为π(5²−3²)=16π 避错策略：环形面积公式S环=πR²−πr²=π(R²−r²) 2.实际应用题单位不统一 错误表现：未统一单位直接计算，如直径用米、半径用厘米。 示例：直径1.2米的花坛，求面积时误用半径60厘米代入公式。 避错策略：标注单位并统一为相同单位后再计算。 易错知识点06：易混淆概念对比表 概念 易错点 正确理解 圆的周长与面积 混淆公式 (πd) 与 (πr²) 周长公式含直径或半径一次方，面积含半径平方 半圆与圆周长 漏加直径长度 半圆周长=圆周长一半+直径 圆心角与扇形面积 忽略圆心角占比 扇形面积与圆心角成正比 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.47（较难） 一．精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5小题，满分10分，每小题2分） 1．（本题2分）（23-24五年级下·海南海口·期末）在解决下面三个问题时，都运用了（    ）策略。 （1）计算2.4×8.1时，先计算24×81，再在积中点上小数点。 （2）推导平行四边形面积计算公式的过程。 （3）推导圆的面积计算公式的过程。 A．列举 B．画图 C．倒推 D．转化 2．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·课后作业）甲、乙两只蚂蚁以同样的速度，同时从点A出发，甲蚂蚁沿着正方形走，乙蚂蚁沿着圆形走，（    ）回到起点。 A．甲先 B．乙先 C．同时 3．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·单元测试）用3米长的铁丝围成一个圆，这个圆在地上滚动一周所前进的距离（     ）。 A．比3米长 B．比3米短 C．正好是3米 4．（本题2分）（24-25五年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ）。 ①圆的直径是半径的2倍。 ②圆的直径是圆的对称轴。 ③两个端点都在圆上的线段一定是圆的直径。 ④圆的直径和半径都是一条直线。 ⑤在同一个圆或等圆中，半径是直径的。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（本题2分）（24-25五年级下·全国·单元测试）观察下面四个图形中的涂色部分，周长和面积的大小关系是（    ）。 A．周长相等、面积不等 B．周长不等、面积相等 C．周长、面积都不相等 D．周长、面积都相等 二．细心读题，准确填空（共8小题，满分18分） 6．（本题3分）（24-25五年级下·全国·单元测试）一个半径为20cm的圆，它的内外各有一个正方形。圆的面积是( )cm2，外面的正方形的面积是( )cm2，里面的正方形的面积是( )cm2。 7．（本题4分）（24-25五年级下·全国·课后作业）看图填空。 圆的直径是( )厘米，半径是( )厘米。 大半圆的半径是( )厘米，小半圆的半径是( )厘米。 8．（本题2分）（24-25五年级下·全国·课后作业）圆的半径由7厘米减少到5厘米，这个圆的周长减少了( )厘米，面积减少了( )平方厘米。 9．（本题1分）（24-25五年级下·全国·课后作业）要画一个周长是12.56cm的圆，这个圆的面积是( )cm2。 10．（本题2分）（21-22五年级下·江苏徐州·期末）如图，如果圆内正方形的面积是16平方厘米，那么圆的面积是( )平方厘米；如果圆的面积是（16π）平方厘米，正方形的面积是( )平方厘米。 11．（本题2分）（22-23五年级下·江苏无锡·期末）如图中，正方形的面积是40平方厘米，正方形内的小圆面积是( )平方厘米。正方形外的大圆面积是( )平方厘米。 12．（本题2分）（21-22五年级下·江苏南通·期末）勾股定理：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。例如，一个直角三角形两条直角边的长分别为a和b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2，图中，直角三角形的两条直角边分别长4厘米和6厘米，那么正方形面积是( )平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。    13．（本题2分）（23-24五年级下·江苏淮安·期末）如图，三角形ABC是直角三角形，AB是圆的直径，AB长10厘米，已知阴影乙部分比阴影甲部分的面积少6平方厘米。那么BC的长是( )厘米，三角形ABC的面积是( )平方厘米。 三．用心看题，精准判断（共5小题，满分10分，每小题2分） 14．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·期末）大圆直径是小圆直径的4倍，大圆面积就是小圆面积的16倍。( ) 15．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·课后作业）一张周长是6.28分米的圆形纸，对折后每个半圆的周长是3.14分米。( ) 16．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·单元测试）圆的直径每增加1米，周长就增加约3.14米。( ) 17．（本题2分）（23-24五年级下·江苏·课后作业）圆的直径扩大为原来的4倍，它的半径就扩大为原来的2倍。( ) 18．（本题2分）（24-25六年级上·安徽六安·期末）圆的直径扩大3倍，它的周长也扩大3倍，面积扩大6倍。( ) 四、看图列式，准确计算（共10分） 19．（本题4分）（24-25五年级下·全国·课后作业）求涂色部分的面积。 20．（本题6分）（24-25五年级下·全国·单元测试）求涂色部分的周长。 五、动手动脑，实践操作（共4分） 21．（本题4分）（24-25五年级下·全国·课后作业）按要求操作。 （1）用数对表示圆心O的位置。 （2）将图中的圆向右平移3格，再向下平移4格。 （3）以点O1（7，7）为圆心画一个圆，使其半径是上图中圆的2倍。 六、联系实际，解决问题（共48分） 22．（本题5分）（24-25五年级下·江苏·课后作业）小方骑自行车到学校用10分钟，这辆自行车的车轮外直径大约是70厘米。按车轮每分钟转100圈计算，从小方家到学校大约有多少米？ 23．（本题5分）（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，三个圆大小相同，三个扇形的圆心角分别是多少度？ 24．（本题5分）（24-25五年级下·全国·课后作业）比萨又称意大利馅饼，是一种发源于意大利的食品。乐乐到食品店想买一个直径为12寸的比萨，可是直径为12寸的卖完了，于是服务员给乐乐换成两个直径为6寸的比萨。如果你是乐乐，你同意这种换法吗？请说明理由。 25．（本题5分）（24-25五年级下·全国·单元测试）如下图，已知中间小圆的直径是4厘米，图中正方形的面积是10平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 26．（本题5分）（24-25五年级下·全国·课后作业）有一口井，井口直径为1.2米。现准备给它加上木井盖，要求直径比井口直径大20厘米。 （1）井口的面积是多少？ （2）如果在木井盖的边沿钉一圈铝条进行包边，铝条长多少米？ 27．（本题5分）（24-25五年级下·全国·课后作业）把一张圆形纸片平均分成若干份，拼成以半径为宽的近似长方形。已知长方形的周长是33.12厘米，这张圆形纸片的面积是多少平方厘米？ 28．（本题6分）（20-21五年级下·江苏·期末）扬扬在一张正方形纸上用圆规画了一片“树叶”（阴影部分），已知“树叶”的周长是25.12厘米。你能求出“树叶”的面积吗？ 29．（本题6分）（20-21五年级下·江苏淮安·期末）量一量，画一画，算一算。 （1）量一量，上面这个圆的直径是（    ）厘米。 （2）这个圆沿直线向右滚动一周时，圆心前进的距离是（    ）厘米。 （3）请画出这个圆向右滚动一周后在直线上的正确位置，并标出这时的圆心和点。 30．（本题6分）（24-25五年级下·全国·单元测试）如下图，圆的周长是25.12分米，圆的面积和长方形的面积相等。阴影部分的面积是多少平方分米？阴影部分的周长是多少分米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$