11 第七章 随机变量及其分布测试卷(十一)　章末测试　B卷·能力提升-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(十一)　章末测试 B卷·能力提升 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·天津高二期中)随机变量X的分布列如下，其中a，b，c成等差数列，若P(X≥0)＝，则E(X)＝(　　) X －2 0 2 P a b c A. B. C. D.1 2.已知0<p<，随机变量ξ、η相互独立，随机变量ξ的分布为，η的分布为，则当p在内增大时(　　) A.E减小，D增大 B.E减小，D减小 C.E增大，D增大 D.E增大，D减小 3.某批零件的尺寸X服从正态分布N，且满足P＝，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 4.(2024·云南曲靖高二月考)设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则D(X)＝(　　) A.0.21 B.0.3 C.0.4 D.0.7 5.设随机变量ξ～N(μ，4)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(1<ξ≤3)＝(　　) 附：若ξ～N，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5. A.0.158 7 B.0.135 9 C.0.271 8 D.0.341 3 6.已知正整数n≥4，p∈(0，1)，随机变量X的分布列如下，则当n在内增大时，(　　) X 1 p p2 … pn－2 pn－1 P p p2 p3 … pn－1 pn A.E<1 B.E＝1 C.E>1 D.E(X)与1没有确定的大小关系 7.某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工(i＝1，2)”为事件Ai，“任取一个零件是次品”为事件B，则(　　) ①P()＝0.054　②P＝0.03　③P＝0.06　④P＝ A.①②④ B.②③④ C.②③ D.①②③④ 8.(2024·浙江台州高二期末)现有2道单选题，假定学生张君对每道题有思路与无思路的概率均为0.5.他对题目若有思路，做对的概率为0.75；若没有思路，做对的概率为0.25.在已知张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的有(　　) A.公共汽车上有8位乘客，途经4个车站，乘客下车的不同方式可能有48种 B.若P＝0.5，P＝0.3，则P＝0.15 C.若随机变量X服从正态分布X～N(5，10)，则P(X≤4)＝P(X≥6) D.A，B，C，D四位同学每人从六个食堂中随机地选择一个食堂就餐(选择到每个食堂的概率相同)，四人去了同一食堂就餐的概率为 10.某地卫健委为监测当地居民的某健康指标，随机抽取100人，检测该健康指标的指标值T(T∈[－4，4])，并按[－4，－2)，[－2，0)，[0，2)，[2，4]四个区间分组制作图表如下所示，根据下列相关信息，则(　　) 指标区间 [－4，－2) [0，2) [2，4] 男、女人数比(男性：女性) 3∶2 2∶1 5∶3 1∶1 城、乡人数比(城市户口：乡村户口) 1∶1 4∶1 3∶1 1∶1 A.该地居民的健康指标值T的众数的估计值为1 B.该地居民的健康指标值T的中位数的估计值为0 C.样本数据中，T∈的男性中至少有1人是城市户口 D.若从该地居民中随机任选3人，恰有1人的T∈的概率为 11.已知正方体ABCDA1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn，则下列说法正确的是(　　) A.P1＝ B.P2＝ C.Pn＋1＝Pn＋ D.点Q移动4次后恰好位于C1点的概率为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b c 若E(X)＝ ，则当a2＋b2＋c2取最小值时，方差D(X)＝________. 13.某地有A，B，C，D四人先后感染了某种病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A，B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B，C，D中直接受A感染的人数X的数学期望为________. 14. 随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2024·浙江绍兴高二期中)盒子中装有4个红球，2个白球. (1)若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率； (2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为X，求X的分布列及数学期望. 16.(15分)某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)： 87　87　88　92　95　97　98　99　103　104 设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ. (1)求μ与σ； (2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N. ①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于107cm的个数为X，求D(2X＋1)； ②若该车间又新购一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108(单位：cm)，以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由. 参考数据：若X～N，则P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997，取0.9974＝0.99. 17.(15分)某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A，B两个等级.三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示. 　　　　　　　　　　表一 工序 第一工序 第二工序 第三工序 概率 0.5 0.75 0.8 　　　　　　　　　表二 等级 一等品 二等品 三等品 利润 23 8 5 (1)用η表示一件产品的利润，求η的分布列和数学期望； (2)因第一工序加工结果为A级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加x(0≤x≤4)万元(即每件产品利润相应减少x万元)时，第一工序加工结果为A级的概率增加x.问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由. 18.(17分)某同学学习利用“快影”软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作，该小视频视为合格作品. (1)求该同学进行一次制作，小视频为合格作品的概率； (2)求该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率； (3)若该同学制作4次，其中合格作品数为X，求X的概率分布列. 19.(17分)中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游魅力.每年的活动有采冰及雕冰两个环节，现有甲、乙、丙三个工作队负责上述活动，雕刻时会损坏部分冰块，若损坏后则无法使用，无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采冰分别占开采总量的30%，30%，40%，甲、乙、丙工作人采冰的使用率分别为0.8，0.75，0.6. (1)从开采的冰块中有放回地随机抽取三次，每次抽取一块，记丙工作队开采的冰块被抽取到的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望； (2)已知开采的冰块经雕刻后能使用，求它是由乙工作队所开采的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(十一) 1.C　2.C　3.C　4.A　5.B　6.A　7.B　8.D 9.ACD　10.ACD　11.ABD 12.　13.　14. 15.解析　(1)设A＝“第一次取到红球”，B＝“第二次取到白球”， 第一次取到红球后，盒子里还剩3个红球，2个白球，则P(B|A)＝＝. (2)X的可能取值为0，1，2. 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 16.解析　(1)μ＝×(87＋87＋88＋92＋95＋97＋98＋99＋103＋104)＝95， σ2＝×(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝6. (2)①因为Z～N， 所以P(Z>107)＝P(Z>μ＋2σ)＝0.5－＝0.023， 则X～B(5，0.023)， 所以D(X)＝5×0.023×(1－0.023)＝0.112 355， 故D(2X＋1)＝4D(X)＝0.44 942. ②因为P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997， 所以5个零件中恰有1个的内径(单位：cm)不在(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为 C×0.9974×(1－0.997)＝C×0.99×(1－0.997)＝0.014 85， 因为76∉(μ－3σ，μ＋3σ]，所以试生产的5个零件就出现了1个不在(μ－3σ，μ＋3σ]内，出现的频率是0.014 85的十三倍多，根据3σ原则，需要进一步调试. 17.解析　(1)由题意可知η的可能取值为23，8，5， 产品为一等品的概率为0.5×0.75×0.8＝0.3， 产品为二等品的概率为×0.8＝0.5， 产品为三等品的概率为1－0.3－0.5＝0.2， 所以η的分布列为 η 23 8 5 P 0.3 0.5 0.2 E＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9. (2)改良方案对一件产品的利润的期望不会产生影响，理由如下： 由题意可知：改良过程中，每件产品检测成本增加x(0≤x≤4)万元，第一工序加工结果为A级的概率增加x， 设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ可能的取值为23－x，8－x，5－x， 所以一等品的概率为×0.75×0.8＝0.3＋， 二等品的概率为×0.8＝0.5－， 三等品的概率为1－－＝0.2， 所以E＝＋＋0.2× ＝6.9－0.3x＋x－x2＋4－0.5x－x＋x2＋1－0.2x＝11.9， 因为E＝E， 所以改良方案对一件产品的利润的期望不会产生影响. 18.解析　(1)制作一次视频成功的概率P＝××＝. (2)因为制作一次视频成功的概率为， 所以该同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率P＝C××2＝. (3)X＝0，1，2，3，4，X～B， P＝4＝， P＝C××3＝， P＝C×2×2＝， P＝C×3×＝， P＝4＝. 分布列为 X 0 1 2 3 4 P 19.解析　(1)在开采的冰块中，任取一块是由丙工作队开采的概率是， 依题意，ξ的所有取值为0，1，2，3，且ξ～B，则P＝C，k＝0，1，2，3， 即P＝，P＝，P＝，P＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以数学期望E＝3×＝. (2)用A1，A2，A3分别表示冰块由甲，乙，丙工作队开采，B表示开采后的冰块经雕刻后能使用， 则P＝P＝0.3，P＝0.4，且P＝0.8，P＝0.75，P＝0.6， 故P＝P＋P＋P＝PP＋PP＋PP ＝0.3×0.8＋0.3×0.75＋0.4×0.6＝0.705， 所以P＝＝＝＝， 即开采的冰块经雕刻后能使用，它是由乙工作队所开采的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$