9 第七章 随机变量及其分布测试卷(九)　离散型随机变量的数字特征与正态分布-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(九)　离散型随机变量的数字特征与正态分布 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·黑龙江哈尔滨高二月考)已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，P(X>5)＝0.3，则P(3<X<4)＝(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.设a>0，若随机变量ξ的分布列如下，则下列方差值中最大的是(　　) ξ －1 0 2 P a 2a 3a A.D(ξ) B.D(|ξ|) C.D(2ξ－1) D.D(2|ξ|＋1) 3.随机变量X服从正态分布X～N(10，σ2)，P(X>12)＝m，P(8≤X≤10)＝n，则＋的最小值为(　　) A.3＋4 B.6＋2 C.8＋2 D.6＋4 4.(2024·重庆万州高二期中)某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记－1分，已知该同学的罚球命中率为80%，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为(　　) A.30 B.36 C.38 D.32 5.(2024·浙江绍兴高二期中)已知随机变量ξ的分布列如下，则下列说法不正确的是(　　) ξ a b P b a A.∀a，b∈(0，1)，E(ξ)≤ B.∀a，b∈(0，1)，D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2 C.∃a，b∈(0，1)，D(ξ)> D.∃a，b∈(0，1)，D(ξ)>E(ξ) 6.若随机变量X满足P(X＝m)＝(m＝1，2，…，N)，N为正整数，则当N>100时，的值最接近(　　) A.0 B. C. D.1 7.已知随机变量X的数学期望E(X)＝1，方差D(X)＝，若随机变量Y满足Y＝3X－2，则(　　) A.E(Y)＝3，D(Y)＝12 B.E(Y)＝1，D(Y)＝12 C.E(Y)＝3，D(Y)＝4 D.E(Y)＝1，D(Y)＝4 8.随机变量X的分布列如下表所示，则D的最大值为(　　) X 1 2 3 P a 2b a A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线f(x)＝e－，x∈R，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 10.(2024·甘肃白银高二期末)现有大小、形状均相同的4张卡片，其中红卡1张、蓝卡3张，现随机等可能抽取卡片，当有放回依次抽取两张卡片时，记取出的红卡数为ξ1；当无放回依次抽取两张卡片时，记取出的红卡数为ξ2，则下列结论正确的有(　　) A.E(ξ1)＝E(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2) C.D(ξ1)>D(ξ2) D.D(ξ1)<D(ξ2) 11.某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第i次正面朝上的点数为ai，若“a1<a2<a3”，则算作中奖，现甲、乙、丙、丁四人参加抽奖活动，记中奖人数为X，下列说法正确的是(　　) A.若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种 B.若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种 C.甲中奖的概率为P＝ D.E＝ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________. 13.在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲、乙、丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X，则X的数学期望为________. 14.袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，每次任取一个球(不放回)，直至取到白球后停止取球，给出下列四个结论：①抽取2次后停止取球的概率为；②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的概率为；③取球次数X的期望为2；④取球次数X的方差为.其中所有正确结论的序号是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是. (1)求比赛结束时恰好打了7局的概率； (2)若现在是小明6∶2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望. 16.(15分)在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示： 得分 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 2 13 21 25 24 11 4 (1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分ξ～N(μ，196)，μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表). ①求μ的值； ②若P(ξ>2a－5)＝P(ξ<a＋3)，求a的值； (2)在(1)的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为 赠送话费的金额(单位：元) 20 50 概率 现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望. 17.(15分)(2024·山东威海高二期末)某校开设了科学、人文、艺体三类校本选修课程，每类课程开设的课程门数与学分设定如下表： 科学类 人文类 艺体类 课程门数 3 3 4 每门课程学分 3 2 1 学校要求学生从这10门课程中选修2门，假设学生选修每门课程的机会均等. (1)记事件A为“学生甲选修的2门课程中有且仅有1门是科学类课程”，事件B为“学生甲选修的2门课程的总学分为4分”，试判断A与B是否独立； (2)设学生甲选修的2门课程的总学分为X，求X的分布列和数学期望. 18.(17分)雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000份试卷，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下频数分布表. 成绩/分 [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 频数 40 90 200 400 150 80 40 (1)求这1000份试卷成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). (2)假设此次测试的成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，已知s的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少？(结果保留一位小数) (3)该市教育局准备从成绩在[90，100]内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记Y为抽取的3份试卷中测试成绩在[95，100]内的份数，求Y的分布列和数学期望. 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 19.(17分)某市卫健委为调查研究某种流行病患者的年龄分布情况，随机调查了大量该病患者，年龄分布如图. (1)已知该市此种流行病的患病率为0.1%，该市年龄位于区间的人口占总人口的28%.若从该市居民中任选一人，若此人年龄位于区间，求此人患这种流行病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率)； (2)若从所调查的大于等于60岁的患者中按照年龄分布以分层抽样的方式抽取9人，然后从这9人中随机抽取6人编为一个对比观察小组，设该小组中年龄位于区间的人数为X. (ⅰ)求X的分布列及数学期望E； (ⅱ)设a是不等于(ⅰ)中E的常数，试比较X相对于E的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明该结论的意义. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(九) 1.B　2.C　3.D　4.C　5.C　6.C　7.B　8.D 9.ABC　10.AC　11.BCD 12.　1　13.　14.②④ 15.解析　(1)恰好打了7局小明获胜的概率是P1＝C＝， 恰好打了7局小亮获胜的概率为P2＝C＝， ∴比赛结束时恰好打了7局的概率为P＝P1＋P2＝＝. (2)X的可能取值为2，3，4，5， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝C××＝＝， P(X＝4)＝C××2＋C×4＝＝， P(X＝5)＝C×2×3＋C××4＝＝， 或P(X＝5)＝C××3＝＝. ∴X的分布列为 X 2 3 4 5 P E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 16.解析　(1)①由题意得＝60.5， ∴μ＝60.5， ②∵P(ξ>2a－5)＝P(ξ<a＋3)， ∴由正态分布曲线的对称性，得＝60.5， 解得a＝41. (2)由题意得P(Z<μ)＝P(Z≥μ)＝，即获赠1次和2次随机话费的概率均为， 故获赠话费的X的所有可能取值为20，40，50，70，100. P(X＝20)＝×＝， P(X＝40)＝××＝， P(X＝50)＝×＝， P(X＝70)＝××＋××＝＝， F(X＝100)＝××＝. ∴X的分布列为 X 20 40 50 70 100 P E(X)＝20×＋40×＋50×＋70×＋100×＝＝41.25(元). ∴X的数学期望为41.25(元). 17.解析　(1)由题意知，P(A)＝＝， P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝， 因为P(A)·P(B)＝≠P(A∩B)，所以A与B不独立. (2)由题意得X的取值是2，3，4，5，6， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝， 从而X的分布列为 X 2 3 4 5 6 P 数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 18.解析　(1)由频数分布表得 ＝67.5×0.04＋72.5×0.09＋77.5×0.2＋82.5×0.4＋87.5×0.15＋92.5×0.08＋97.5×0.04＝82.15. (2)由题意得 X～N(82.15，6.612)，且P(X>μ－σ)≈＋≈0.841 4， 又μ－σ＝82.15－6.61＝75.54≈75.5，故市教育局预期的平均成绩大约为75.5分. (3)利用分层抽样的方法抽取的6份试卷中成绩在[90，95)内的有4份，成绩在[95，100]内的有2份， 故Y的所有可能取值为0，1，2， 且P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 数学期望E(Y)＝0×＋1×＋2×＝1. 19.解析　(1)设该居民年龄位于区间为事件A，该居民患这种流行病为事件B，由题意知，P＝0.28，P＝0.001，P＝0.54， 因为P＝＝0.54，所以P＝0.000 54， 于是P＝＝＝， 所以若此人年龄位于区间，则此人患这种流行病的概率为. (2)(ⅰ)若从所调查的大于等于60岁的患者中按照年龄分布以分层抽样的方式抽取9人，则其中必有6人年龄位于区间，3人年龄位于区间. X的可能取值为3，4，5，6， P＝＝＝；P＝＝＝； P＝＝＝；P＝＝. 故X的分布列为 X 3 4 5 6 P 其数学期E＝3×＋4×＋5×＋6×＝4. (ⅱ)X相对于E的偏离程度为 X相对于a的偏离程度为 ， 这说明，当用pi作为随机变量X相对于a偏离程度的度量时，随机变量X相对于其均值的偏离程度最小. 学科网（北京）股份有限公司 $$