7 第七章 随机变量及其分布测试卷(七)　离散型随机变量及其分布列-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(七) 1.A　2.C　3.C　4.B　5.C　6.B　7.C　8.B 9.ABD　10.ABC　11.BD 12. X 0 1 P 13. ξ 0 1 P 14. 15.解析　(1)由已知，掷出的点数不大于4的概率为，大于4的概率为，抛掷4次，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4. P(ξ＝1)＝××＝， P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝， P(ξ＝3)＝××＋××＋××＝， P(ξ＝4)＝××＝， 分布列为 ξ 1 2 3 4 P 则E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. (2)设第n次(n≥2，n∈N*)由乙抛掷的概率为Pn，则第n次(n≥2，n∈N*)由乙抛掷这个事件包含第n－1次由乙抛掷，第n次仍由乙抛掷和第n－1次由甲抛掷，第n次由乙抛掷这两个互斥的事件， 所以Pn＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝Pn－1＋(n≥3)， 所以Pn－＝(n≥3)，又P2＝，所以P2－＝－， 所以当n≥2，n∈N*时，为等比数列，则Pn－＝－×n－2，所以Pn＝－×n－2， 即第n次(n≥2，n∈N*)由乙抛掷的概率Pn＝－×n－2. 16.解析　(1)由题可得，空气质量为一级的有1天，为二级的有5天，为三级的有4天， 则所求概率P＝1－＝. (2)设“这三天PM2.5监测数据超标的天数”为X，则X的可能取值为0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝. 即X的分布列如下. X 0 1 2 3 P 17.解析　(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30人，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人. 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人. 所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为＝0.4. (2)X的所有可能值为0，1，2. 记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”. 由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6. 所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24， P(X＝1)＝P(C∪D)＝P(C)P()＋P()P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52， P(X＝0)＝P( )＝P()P()＝0.24. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.24 0.52 0.24 (3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”. 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得P(E)＝＝. 答案示例1：可以认为有变化.理由如下： P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化. 答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下： 事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化. 18.解析　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}. 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0， 所以事件A包含的样本点为(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0). (2)由于m的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3， 所以ξ＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有 P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 4 9 P 19.解析　(1)依题意，X可能取值为0，1，2，3，P＝＝＝，P＝＝＝， P＝＝＝，P＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)若刚好抽到甲，乙，丙三个人相互做传球训练，且记An表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”， 设n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，…， 则有p1＝0，An＋1＝An·An＋1＋An·An＋1， 所以pn＋1＝P＝P＋P ＝P·P＋P·P＝·＋pn·0＝， 即pn＋1＝－pn＋，n＝1，2，3，…，所以pn＋1－＝－，且p1－＝－， 所以数列表示以－为首项，－为公比的等比数列，所以pn－＝－×， pn＝－×＋＝，即n次传球后球在甲手中的概率是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(七)　离散型随机变量及其分布列 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.随机变量X的分布列为P＝，其中a是常数，则P＝(　　) A. B. C. D. 2.若离散型随机变量X的分布列如下所示，则实数a的值为(　　) X 0 1 p 4a－1 3a2＋a A.－2或 B.－2 C. D.2或－ 3.(2024·山东临沂高二月考)一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　) A. ξ 1 2 3 p B. ξ 1 2 3 4 p C. ξ 1 2 3 p D. ξ 1 2 3 p 4.(2024·湖南长沙高二月考)若随机变量X的分布列如下，则P(|X－1|>1)＝(　　) X 1 2 3 4 P 0.1 0.4 a 0.3 A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 5.(2024·山东烟台高二期中)设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　) A.0 B. C. D.1 6.设随机变量ξ的分布列如下，其中a1，a2，…，a6构成等差数列，则a1·a6的(　　) ξ 1 2 3 4 5 6 P a1 a2 a3 a4 a5 a6 A.最大值为 B.最大值为 C.最小值为 D.最小值为 7.设随机变量X的概率分布列如下，则P＝(　　) X 1 2 3 4 P m A. B. C. D. 8.若随机变量X的分布列如下，则a2＋b2的最小值为(　　) X 0 1 2 P a b A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(2024·河南周口高二期中)已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项正确的是(　　) X 1 2 4 6 P 0.2 m n 0.1 A.m＋n＝0.7 B.若m＝0.3，则P(X>3)＝0.5 C.若m＝0.9，则n＝－0.2 D.P(X＝1)＝2P(X＝6) 10.设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　　) A.15a＝1 B.P(0.5<ξ<0.8)＝0.2 C.P(0.1<ξ<0.5)＝0.2 D.P(ξ＝1)＝0.3 11.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为p(0≤p<1)，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则(　　) A.乙连胜三场的概率是(1－p)3 B.P(X＝4)＝3p3(1－p)＋3p(1－p)3 C.P(X＝5)＝12p2(1－p)2 D.P(X＝5)的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记X＝，则X的分布列为________. 13.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________. 14.某单位招聘工作人员的面试环节共8道问题，考官随机抽取3道让应聘者回答，规定至少要正确回答其中2道题才能进入后续环节.若应聘者甲因自身业务能力原因，在这8道题中有3道不能正确回答，其他均可正确回答，则他能进入后续环节的概率是__________.(用既约分数作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)甲、乙两人用一颗均匀的骰子(一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6)做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷. (1)若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列； (2)求第n次(n≥2，n∈N*)由乙抛掷的概率. 16.(15分)(2024·陕西咸阳高二期中)随着全球环境问题的加剧，环境安全已逐渐成为国家和地区安全的重要组成部分，其中环境空气质量尤为重要.我国空气质量分为六级，在大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物称为可入肺颗粒物(记为PM2.5)，对人体健康和环境质量的影响很大，其中PM2.5与空气质量的关系如下： PM2.5日均值为35 μg/m3及以下时，空气质量等级为“一级：优”； PM2.5日均值为35～75 μg/m3时，空气质量等级为“二级：良好”； PM2.5日均值为75～115 μg/m3时，空气质量等级为“三级：轻度污染”. 某市环保局从冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取10天数据作为样本，其数据分别为38，32，45，49，53，77，66，86，76，91.空气质量低于二级视为PM2.5数据超标. (1)从这10天的PM2.5监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量为二级的概率； (2)从这10天的PM2.5监测数据中，随机抽出三天，求这三天PM2.5监测数据超标的天数的分布列. 17.(15分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 　支付金额(元) 支付方式　　　　　　　　 (0，1000] (1000，2000] 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率； (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列； (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由. 18.(17分)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S. (1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的样本点； (2)设ξ＝m2，求ξ的分布列. 19.(17分)从甲、乙、丙等10人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出. (1)记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列； (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，求n次传球后球在甲手中的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$