4 第六章 计数原理测试卷(四)　章末测试　A卷·基础达标-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(四) 1.D　2.B　3.C　4.C　5.C　6.C　7.C　8.A 9.ABD　10.ABD　11.CD 12.15　13.20　14.72 15.解析　若选条件①时，令x＝1，可得展开式所有项的系数和为4n，而二项式系数和为2n， 所以＝2n＝64，解得n＝6， 若选条件②时，由前3项的二项式系数和为22可得C＋C＋C＝22，即1＋n＋＝22，化简得n2＋n－42＝0，解得n＝6，n＝－7(舍). (1)设展开式中系数最大的项为第k＋1项，则满足 即解得≤k≤，又0≤k≤6，k∈N， 所以k＝5，即展开式中系数最大的项为T6＝C×(3x)5＝1458x5， (2)在(1＋3x)n(1－x)5＝(1＋3x)6(1－x)5中，含x2项的系数为C＋C×32＋C×3×C×(－1)＝55. 16.解析　(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法， 每双鞋子中各取一只，分别有2种取法， 根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C×24＝3360(种). (2)从10双鞋子中选2双有C种取法，即有45种不同取法. (3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法种数为N＝CC×22＝1440(种). 17.解析　(1)因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等， 所以C＝C，解得n＝10，则展开式通项为Tk＋1＝C＝Cxx－＝Cx， 令＝2，解得k＝4，代入通项有T5＝Cx2＝x2，所以x2的系数为. (2)二项式的通项为Tk＋1＝C＝Cxx－＝Cx， 所以第一项的系数为C＝1，第二项的系数为C＝， 第三项的系数为C＝，由于前三项的系数成等差数列， 所以2×＝1＋，解得n＝8或n＝1， 因为至少有前三项，所以n＝1应舍去，故n＝8， 所以展开式有9项，中间一项为T5＝Cx1＝x. 18.解析　(1)甲第一个观赏的不是北京红，则甲第一个观赏的是剩余5个中的其中一个，有C＝5种，剩下5种月季花甲依次的方案有A种， 所以由分步乘法原理可知甲不同的观赏方案数为5×A＝600种. (2)当黄从容在上午第一个观赏时，红从容在下午观赏，其余4种月季花在上午和下午可以任意选择，所以方案有CA＝72种； 当黄从容在上午第二或第三个观赏时，则上午第一个需从醉红颜、白佳人和金凤凰选一个，红从容在下午观赏， 其余3种月季花在上午和下午可以任选择，所以方案有CCCA＝108种， 所以由分类加法原理可知，上午安排黄从容，下午安排红从容的方案数为72＋108＝180种， 同理当红从容在上午观赏，黄从容在下午观赏时，也有180种， 所以甲不同的观赏方案数为180＋180＝360种. 19.解析　(1)①二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值，所以当n为偶数，二项式系数最大的是中间一项，即Cn；当n为奇数，二项式系数最大的是中间两项，则Cn或Cn； ②因为m＝2时，n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则展开式的通项公式为C2n－rxr， 二项展开式中系数最大的只有a4，则需满足，所以11<n<14，又因为n为整数，所以n＝12或13； (2)因为1－x3＝，所以214214＝214，而DC－DC＋DC＋…＋DC＋…－DC＋DC是x428的系数，但是因为214展开式的通项公式为C2214－kx3k，而因为428不是3的倍数，所以214展开式不含x428项，故DC－DC＋DC＋…＋kDC＋…－DC＋DC＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(四)　章末测试 A卷·基础达标 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.A－C＝(　　) A.－6 B.6 C.7 D.9 2.电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为(　　) A.42 B.22 C.20 D.15 3.(2024·北京海淀高二期末)设(2－mx)5＝a0＋a1x＋…＋a5x5，若a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a3＝(　　) A.80 B.40 C.－40 D.－80 4.(＋－2)4的展开式中有理项的项数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 5.在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f，则f＋f＝(　　) A.24 B.80 C.56 D.120 6.(2024·河北石家庄高二期末)某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有(　　) A.45种 B.90种 C.150种 D.240种 7.(2024·山东临沂高二期中)二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数α，(1＋x)α＝1＋·x＋·x2＋…＋·xk＋…，当|x|比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得(1＋x)α≈1＋α·x，并且|x|的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：＝＝＝2≈2×＝2.25.用这样的方法，估计的近似值约为(　　) A.2.015 B.2.023 C.2.031 D.2.083 8.设＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10＋，则a9＝(　　) A.0 B.410 C.10·410 D.90·410 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知(2x－1)(x－1)8＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a9x9，则下列结论正确的是(　　) A.a0＝－1 B.a1＋a2＋…＋a9＝1 C.＋＋…＋＝0 D.a1＋2a2＋…＋9a9＝0 10.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2023年某市运动会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是(　　) A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54 B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC C.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA D.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为A 11.(2024·黑龙江哈尔滨高二期末)在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，则下列说法正确的是(　　) A.不同的安排方法共有43种 B.若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有C(24－1)种 C.若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D.学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若的展开式中x4的系数为150，则a2＝__________. 13.街道上有编号1，2，3，…10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有________种. 14. 四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里(Francis Guthrie)的英国大学生提出来的.四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行.请用四种颜色对图中的区域进行涂色，并保证相邻区域的颜色不同，则共有________种涂色方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答. 条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”； 条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”. 问题：已知二项式(1＋3x)n，若________(填写条件前的序号). (1)求展开式中系数最大的项； (2)求(1＋3x)n(1－x)5中含x2项的系数. 16.(15分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果. (1)4只鞋子没有成双的； (2)4只鞋子恰有两双； (3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双. 17.(15分)对于二项式(＋)n. (1)若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中x2的系数； (2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项. 18.(17分)(2024·河北邢台高二期末)达活泉月季园位于河北省邢台市达活泉公园东部，占地面积4700平方米，共收集6大类23个月季品种4.3万株，是集观光、科普、研究、展示及繁育等多种功能于一体的花卉展园.某天，甲游客计划按照一定的先后顺序去该月季园观赏北京红、红从容、黄从容、醉红颜、白佳人、金凤凰这6种月季花，且甲第一个观赏的不是北京红. (1)求甲不同的观赏方案数； (2)若甲上午和下午均观赏3种月季花，且观赏红从容和黄从容的时间一个在上午，一个在下午，求甲不同的观赏方案数. 19.(17分)(1)已知二项式＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*； ①写出该二项展开式中二项式系数最大的值； ②若当m＝2时，该二项展开式中系数最大的只有a4，求n的值. (2)在＝Dx2n＋Dx2n－1＋Dx2n－2＋…＋Dx＋D的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式系数，根据二项式定理，将等式2n＝nn的两边分别展开可得，左、右两边xn的系数相等，如C＝2＋2＋2＋…＋2，利用上述思想方法计算：DC－DC＋DC＋…＋rDC＋…－DC＋DC的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$