2 第六章 计数原理测试卷(二)　组合与组合数-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(二)　组合与组合数 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2024·山西长治高二期中)已知C－C＝C，则n＝(　　) A.11 B.10 C.9 D.8 2.在底面为平行四边形的四棱台ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取四点，则这四点不共面的取法有(　　) A.62种 B.64种 C.60种 D.58种 3.如图为3×3的网格图，甲、乙两人均从A出发去B地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置(网格交点处)时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲，乙两人所走路径的条数分别为M，N，则M－N的值为(　　) A.10 B.14 C.15 D.16 4.(2024·甘肃白银高二期末)从4名男生，3名女生中选出3人(可以一种性别)到校学生会任职，女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有(　　) A.23种 B.22种 C.24种 D.26种 5.从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为(　　) A.12 B.24 C.34 D.60 6.(2024·浙江宁波高二期中)如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为1～8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有(　　) A.68种 B.136种 C.272种 D.544种 7.如图，洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数.若从4个阴数和5个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为(　　) A.30 B.40 C.44 D.70 8.已知集合M＝{1，2，3，4，5}，非空集合A，B均是M的子集，且A∩B＝∅，符合条件的集合A，B组成一组“互斥子集”，(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)，则满足条件的“互斥子集”有________组.(　　) A.90 B.180 C.210 D.105 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(2024·安徽合肥高二期中)某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是(　　) A.若任意选择三门课程，则总选法为C B.若物理和历史至少选一门，则总选法为CC C.若物理和历史不能同时选，则总选法为C－C D.若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为CC 10.已知＝C＋C＋C＋C＋…＋C，则n的值可能为(　　) A.2 B.4 C.7 D.9 11.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有(　　) A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 C.如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法 D.如果4人中至少有一名女生，那么有195种不同的选法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案) 13.十二生肖(鼠、牛、虎、免、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应着一种生肖.现有十二生肖的吉祥物各1个，从中选出含牛吉祥物在内的5个吉祥物分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得1个吉祥物，则不同的分法种数为________. 14.从编号为1，2，3，4，…，10的10个大小、形状都相同的小球中任取5个球.如果某两个球的编号相邻，那么称这两个球为一组“好球”，则任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有________种.(用数字作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(1)求值C＋C； (2)已知－＝，求C. 16.(15分)在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 17.(15分)(2024·北京海淀高二期中)在10件产品中，有3件次品，从中任取5件. (1)恰有2件次品的抽法有多少种？ (2)至多有2件次品的抽法有多少种？ (3)至少有1件次品的抽法有多少种？ (4)至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？ 18.(17分)有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？ (1)甲得4本，乙得3本，丙得2本； (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本； (3)甲、乙、丙各得3本. 19.(17分)规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广. (1)求C的值； (2)设x>0，当x为何值时，取得最小值？ (3)组合数的两个性质：①C＝C；②C＋C＝C.是否都能推广到C(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(二) 1.B　2.D　3.C　4.B　5.C　6.C　7.B　8.A 9.ACD　10.BC　11.BD 12.16　13.49 500　14.120 15.解析　(1)由题意得，解得4≤n≤5，因为n∈N*，所以n＝4或n＝5， 当n＝4时，原式＝C＋C＝5；当n＝5时，原式＝C＋C＝16. (2)由题意可知m的取值范围为， 由已知得，－＝，即10m＝， 整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2，所以C＝C＝28. 16.解析　(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，∴共有C＝161 700(种)； (2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C×C＝9506种. (3)抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数，也就是从100件中任意抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即C－C＝161 700－152 096＝9604种. 17.解析　(1)恰有2件次品的抽法有CC＝105种. (2)若一件次品都没有，则抽法有C＝21种， 若只有1件次品，则抽法有CC＝105种， 恰有2件次品的抽法有CC＝105种， 则至多有2件次品的抽法有21＋105＋105＝231种. (3)若一件次品都没有，则抽法有C＝21种， 则至少有1件次品的抽法有C－C＝252－21＝231种. (4)恰有2件次品的抽法有CC＝105种， 恰有3件次品的抽法有CC＝21种， 则至少有2件次品，2件正品的抽法有105＋21＝126种. 18.解析　(1)分三步完成： 第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C种方法； 第二步：从余下的5本书中，任取3本分给乙，有C种方法； 第三步：把剩下的书分给丙，有C种方法，∴共有不同的分法有C×C×C＝1260种. (2)分两步完成： 第一步：将4本、3本、2本分成三组有C×C×C种方法； 第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种方法， 所以共有C×C×C×A＝7560种. (3)用与(1)相同的方法求解，得C×C×C＝1680(种). 19.解析　(1)由题意可得C＝＝1365. (2)＝＝， 因为x>0，故当＝，即x＝时，取得最小值. (3)性质①不能推广，例如当x＝时，C有定义，但C无意义； 性质②能推广，它的推广形式是C＋C＝C，x∈R，m是正整数， 事实上，当m＝1时，有C＋C＝x＋1＝C. 当m≥2时，C＋C＝＋ ＝＝＝C. 学科网（北京）股份有限公司 $$