第十八章 四边形中的最值模型【2个类型30道题】（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

第十八章 四边形中的最值模型【2个类型30道题】 【人教版】 【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值·15题】 1 【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值·15题】 19 【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值·15题】 【模型一】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【模型二】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【模型三】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 【练习】 1．如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可． 【解答】解：连接AE，如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°． 又BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）． ∴AE＝BF． 所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值． 作点A关于BC的对称点H点，如图2， 连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点． 根据对称性可知AE＝HE， 所以AE+DE＝DH． 在Rt△ADH中，AD＝1，AH＝2， ∴DH， ∴BF+DE最小值为． 故选：C． 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝BQ，连接CP、QA，则PC+QA的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，PC+QA＝PC+PB，则PC+QA的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果． 【解答】解：如图，连接BP，PQ， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴AP∥BQ， ∵AP＝BQ， ∴四边形ABQP是平行四边形， ∴四边形ABQP是矩形， ∴QA＝PB， 则PC+QA＝PC+PB，则PC+QA的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴PC+PB＝PC+PE， 连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE， ∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5， ∴CE13． ∴PC+QA的最小值为13． 故选：D． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，则四边形APQE周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点P作PM∥QE，过点E作EF∥BC交AB于N，PM于M，作A点关于BC的对称点A'，当A'、P、M三点共线时，AP+QE的最小值为A'M，于是得到结论． 【解答】解：过点P作PM∥QE，过点E作EF∥BC交AB于N，PM于M，作A点关于BC的对称点A'， 当A'、P、M三点共线时，四边形APQE的周长最小， 由对称性可知，AP＝A'P， ∵四边形PMEQ为平行四边形， ∴PM＝QE， ∵四边形APQE的周长＝AP+PQ+QE+AE＝AE+PQ+A'P+PM＝AE+PQ+A'M， 此时四边形APQE的周长最小值为AE+PQ+A'M， ∵AB＝4，BC＝10，E为CD边的中点， ∴CE＝BN＝2，NE＝BC＝10，A'B＝4， ∵PQ＝2， ∴ME＝2， ∴MN＝8， ∴A'N＝6， ∴AE2， 在Rt△A'MN中，A'M10， ∴四边形APQE周长的最小值为10+2+212+2， 故选：C． 4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC，CD边上的动点，连接AE，BF交于点G，连接DG，点M，N分别为CD，DG的中点，连接MN．若AE＝BF，则MN的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由正方形的性质易证△ABE≌△BCF（HL），则有AE⊥BF，取AB的中点O，连接OG、CG、OC，根据三角形三边关系定理可得CG≥OC﹣OG，进而根据三角形中位线定理即可进行求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2， ∴AB＝BC＝DC＝2，∠ABE＝∠C＝90°， ∵AE＝BF， ∴△ABE≌△BCF（HL）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°，即∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF， 取AB的中点O，连接OG、CG、OC， ∴OC，OGAB＝1， ∵CG≥OC﹣OG， ∴当点G在线段OC上时，CG取得最小值， ∴CG最小值为， ∵点M，N分别为DG，CD的中点， ∴MNCG， ∴MN的最小值为． 故选：A． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】依据题意，延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG，由四边形ABCD是矩形，从而AD∥BC，，DC＝AB＝2，∠BAD＝∠GDC＝90°，先证△DGF≌△BDE，进而FG＝DE，故DE+CF＝FG+CF，所以当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【解答】解：延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，，DC＝AB＝2，∠BAD＝∠GDC＝90°． ∴∠GDF＝∠DBE． ∵DF＝BE，DG＝BD， ∴△DGF≌△BDE（SAS）． ∴FG＝DE， ∴DE+CF＝FG+CF， ∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG． ∴DE+CF最小值为CG． ∵∠BAD＝90°， ∴． 在Rt△GDC中，GD＝BD＝4，∠GDC＝90°， ∴． ∴DE+CF最小值为， 故选：D． 6．如图，在边长为10的正方形ABCD对角线上有E、F两个动点，，点P是BC中点，连接AE、PF，则AE+PF的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【分析】设CD的中点Q，连接PQ，EQ，先求出，证PQ是△CBD的中位线，得PQ∥BD，，再结合已知条件可判定四边形PQEF为平行四边形，进而得求AE+PF就是求AE+QE的最小值，然后根据线段的性质可得AE+EQ为最小即为线段AQ的长，最后运用勾股定理求出AQ即可． 【解答】解：设CD的中点Q，连接PQ，EQ，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为10， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∠ADC＝∠DAB＝90°， 在Rt△ABD中，AB＝AD＝10， 由勾股定理得：BD， ∵点P为BC的中点，点Q为DC的中点， ∴PQ是△CBD的中位线， ∴PQ∥BD，， 又∵， ∴， ∴PQ＝EF， ∴四边形PQEF为平行四边形， ∴PF＝EQ， 要求AE+PF的最小值，只需求出AE+QE的最小值即可， 根据“两点之间线段最短”得：AE+EQ≥AQ， ∴当A，E，Q在同一条直线上时，AE+EQ为最小，最小值为线段AQ的长， ∵BD＝10，点Q时CD的中点， ∴DQ＝5， 在Rt△ADQ中，DQ＝5，AD＝10， 由勾股定理得，． 故选：A． 7．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝3GB，则的最小值是（　　） A． B． C．6 D．10 【分析】先证明△DAE≌ABF（SAS），得到∠DOF＝90°，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定理解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝∠FBN＝90°， 在Rt△DAE和Rt△ABF中， ， ∴Rt△DAE≌Rt△ABF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵∠DAO+∠BAF＝90°， ∴∠DAO+∠ADE＝90°， ∴∠DOF＝90°， ∵点M是DF的中点， ∴， 如图，延长GB到点N，使得GB＝BN，连接DN， ∴FG＝FN， ∴， ∴， ∵DF+FN≥DN， ∴当D，F，N三点共线时，DF+FN取得最小值， ∵正方形ABCD的边长为8，即AB＝8，AG＝3GB， ∴AG＝6，GB＝BN＝2， ∴AN＝AB+BN＝10， 在直角三角形ADN中，由勾股定理得：， ∴， 故的最小值是， 故选：A． 8．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝120°，点M为菱形ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝4，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 　 　 ． 【分析】取BC中点K，连接MK，过D作DN⊥BC交BC的延长线于N，判定△CBH≌△MBK（SAS），推出MK＝CH，得到DM+CH＝DM+MK，由含30度角的直角三角形的性质得到CNCD＝2，DNCN＝2，由勾股定理求出DK＝2，由三角形三边关系定理得到DM+MK≥DK，即可得到DM+CH的最小值． 【解答】解：取BC中点K，连接MK，过D作DN⊥BC交BC的延长线于N， ∴BKBC， ∵H是MB中点， ∴BHBM， ∵四边形ABCD是边长为4的菱形， ∴CD＝BC＝BM＝4，∠BCD＝∠A＝120°， ∵∠CBH＝∠MBK， ∴△CBH≌△MBK（SAS）， ∴MK＝CH， ∴DM+CH＝DM+MK， ∵∠DCN＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CDN＝90°﹣60°＝30°， ∴CNCD＝2，DNCN＝2， ∵CKBC＝2， ∴NK＝CK+CN＝4， ∴DK2， ∵DM+MK≥DK＝2， ∴DM+CH≥2， ∴DM+CH的最小值为2． 故答案为：2． 9．如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 　 　 ． 【分析】将△BDA绕点D顺时针旋转90°，得△ADM是等腰直角三角形，当AM最大时，AD值最大，在△ACM中，AM≤AC+CM，得AM最大值为8，即可求解． 【解答】解：将△BDA绕点D顺时针旋转90°， CM＝AB＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°， ∴△ADM是等腰直角三角形， ∴ADAM， ∴当AM最大时，AD值最大， 在△ACM中，AM≤AC+CM， ∴AM≤8， ∴AM最大值为8， ∴AD最大值为8＝4， 故答案为：4． 10．如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝5，M，N分别为边CD，AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为 　　 ． 【分析】过点D作DH∥MN交AB于H，过M作MG∥NE，过作EG∥MN交MG于G，连接AG，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形NEGM和四边形DHNM是平行四边形得到EG＝MN＝DH，MG＝NE，EG＝MN，由AM+NE＝AM+MG≥AG得当A、M、C共线时取等号，即最小值为AG的长，证明Rt△ABE≌Rt△DAH（ASA）得到EG＝MN＝DH＝AE＝13，进而利用勾股定理求解AG即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DH∥MN交AB于H，过M作MG∥NE，过作EG∥MN交MG于G，连接AG， ∴四边形NEGM是平行四边形，DH∥MN∥EG， ∴MG＝NE，EG＝MN， ∴AM+NE＝AM+MG≥AG． ∴当A、M、G共线时取等号，即最小值为AG的长． ∵四边形ABCD是正方形，AB＝12， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝AD＝12， ∴． ∵MN⊥AE，DH∥MN∥EG， ∴∠AEG＝90°，∠BAE＝∠ADH＝90°﹣∠EAD． 在Rt△ABE和Rt△DAH中，， ∴△ABE≌△DAH（ASA）， ∴DH＝AE＝13． ∵DH∥MN，HN∥DM， ∴四边形DHNM是平行四边形， ∴EG＝MN＝DH＝13， ∴在Rt△AEG中，，即AM+EN的最小值为． 故答案为：． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 　 　 ． 【分析】先连接BE，将CE+DF转化为CE+BE，再利用将军饮马解决问题即可． 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°， ∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF， ∴CE+DF＝CE+BE， 如图，作点B关于A点的对称点B'，连接CB'， CB'即为CE+BE的最小值， ∵AB＝1，AD＝2， ∴BB'＝2，BC＝2， ∴B′C2， 故答案为：2． 12．如图，菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为 　 　 ． 【分析】连接AC，交BD于点O，连接ON，易得ON是△BDM的中位线，得到ON∥BM，取OD的中点E，连接CE，NE，得到CN≤CE+NE，得到当C，N，E三点共线时，CN最长，进行求解即可． 【解答】解：连接AC，交BD于点O，连接ON， ∵菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长AB， ∴AC⊥BD，ODBD＝3，CD， ∴OC1， ∵N为MD中点， ∴ON∥BM， ∵BM⊥DM， ∴ON⊥DM， ∴∠OND＝90°， 取OD的中点E，连接CE，NE， 则：OEOD，CE，NEOD， ∵CN≤CE+NE， ∴当C，N，E三点共线时，CN的长度最大为CE+EN； 故答案为：． 13．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD+BC的最小值是 　 　 ． 【分析】以DA、DB为邻边构造▱ADBM，再利用含30°的Rt△得AN＝3，CN＝3，再利用勾股定理得CM＝2．最后利用三角形三边关系计算即可． 【解答】解：以DA、DB为邻边构造▱ADBM，过C作CN⊥AM． ∴AM＝DB＝4，BM＝AD，∠NAC＝∠COB＝180°﹣∠DOC＝60°， ∴ANAC＝3， ∴CNAN＝3， ∴NM＝AM﹣AN＝1， ∴CM2． ∵BC+BM≥CM， ∴AD+BC＝BM+BC最小值＝2． 14．如图，正方形ABCD边长为1，点M，N分别是边AD，CD上的动点且AM＝CN，作NP⊥BM于点P，则AP的最小值是 　 　 ． 【分析】延长PN，BC交于点H，由正方形ABCD边长为1，AM＝CN，NP⊥BM，得∠H＝90°﹣∠PBH＝∠ABM，又由∠NCH＝90°＝∠BAM，得△NCH≌△BAM，得CH＝AB＝BC，得PCBH＝BC＝1，即可得AP≥AC﹣PC． 【解答】解：延长PN，BC交于点H， 由正方形ABCD边长为1，AM＝CN，NP⊥BM， 得∠H＝90°﹣∠PBH＝∠ABM， 又由∠NCH＝90°＝∠BAM， 得△NCH≌△BAM， 得CH＝AB＝BC， 得PCBH＝BC＝1， 由AP≥AC﹣PC． 得AP的最小值是． 故答案为：． 15．如图，在▱ABCD中，AE为BC边上的高，点F和点G分别为高AE和边CD上的动点，且AF＝DG．若AB＝5，BC＝4，∠ADC＝60°，则BF+AG的最小值为 　 　 ． 【分析】作辅助线构造全等三角形是解题的关键；过点D作DM⊥AD，且DM＝AB＝5，分别连接AM，GM；证明△ABF≌△DMG，则有GM＝BF，故BF+AG＝GM+AG≥AM，当点G在AM上时，BF+AG取得最小值，且最小值为线段AM的长，在Rt△ADM中，由勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DM⊥AD，且DM＝AB＝5，分别连接AM，GM； 则∠ADM＝90°， ∴∠MDG＝∠ADM﹣∠ADC＝30°； 在▱ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADC＝120°，∠DAE＝∠AEB； ∵AE⊥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝90°， ∴∠BAF＝∠BAD﹣∠DAE＝30°＝∠MDG； ∵AB＝DM，AF＝DG， ∴△ABF≌△DMG（SAS）， ∴GM＝BF， ∴BF+AG＝GM+AG≥AM， 当点G在AM上时，BF+AG取得最小值，且最小值为线段AM的长； 在Rt△ADM中，由勾股定理得：， 即BF+AG的最小值为． 故答案为：． 【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值·15题】 【模型】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【练习】 1．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点G是线段BD上的动点，点M是线段CD上的动点，点E，F分别是线段AM，GM的中点，则线段EF的最小值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】先利用菱形的性质求出AO＝3，根据垂线段最短可知AGmin＝AO，根据中位线的性质可知从而得解． 【解答】解：连接AG、AC，AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形，BD＝8， ∴AC⊥BD，， 又∵AB＝5， ∴， ∵点G是线段BD上的动点，AC⊥BD， ∴AGmin＝AO＝3， ∵点E，F分别是线段AM，GM的中点，即EF是△AMG的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EFAG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题． 【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AD＝2AB＝8 ∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝4， ∵AM＝DM＝DC＝4， ∴△CDM是等边三角形， ∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC， ∴∠MAC＝∠MCA＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴AC， 在Rt△ACN中，AC，∠ACN＝∠DAC＝30°， ∴ANAC， ∵AE＝EH，GF＝FH， ∴EFAG， ∵点G在BC上， ∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长， ∴AG的最大值为，最小值为， ∴EF的最大值为，最小值为， ∴EF的最大值与最小值的差为： 故选：C． 3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，则EF的最小值是（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】连接AC，过点C作CG⊥AD于点G，根据菱形的性质，证明△ABC和△ADC是等边三角形，根据三线合一的性质和勾股定理，求得，再利用三角形的三边关系，得出CF的最小值为，证明△ACE≌△DCF（SAS），进而推出△CEF是等边三角形，即可求出EF的最小值． 【解答】解：如图，连接AC，过点C作CG⊥AD于点G， ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，AB＝6， ∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠B＝∠D＝∠BAC＝∠CAD＝60°， ∴△ABC和△ADC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6，∠ACB＝60°， ∵CG⊥AD， ∴， 在Rt△ACG中， ∵CF≥CG， ∴CF的最小值为， 在△ACE和△DCF中， ， ∴△ACE≌△DCF（SAS）， ∴∠ACE＝∠DCF，CE＝CF， ∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠DCF+∠ACF＝∠ACD＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF＝CF， ∴EF的最小值为， 故选：D． 4．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合）．PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝8，∠BAD＝60°，则线段EF长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OP，证明四边形OEPF是矩形，得到：EF＝OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，利用，求出OP的最小值即可． 【解答】解：连接OP， ∵ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°， ∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴四边形OEPF是矩形， ∴EF＝OP， 当OP⊥AB时，OP的值最小， ∵AB＝8，∠BAD＝60°，则∠OAB＝30° ∴OB＝4，， ∵， ∴，即EF的最小值为：， 故选：A． 5．如图，AB＝40，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线，DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　） A．20 B．20 C．40 D．40 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论． 【解答】解，∵四边形CDGH是矩形， ∴CG＝DH，OCCG，ODDH， ∴OC＝OD， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， ∵OA＝OA， ∴△ACO≌△ADO， ∴∠OAB＝∠CAO60°＝30°， ∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，所以当OB⊥AO时，OB的长最小， ∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°， ∴OBAB40， 即OB的最小值为， 故选：A． 6．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（　　） A．4 B． C． D．2 【分析】由SAS可证△ADE和△CDG全等得AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动，根据“垂线段最短”可知：当MG⊥CK时，MG为最短，即当点G与点T重合时，MG为最小，最小值为线段MT的长，由∠DAC＝45°，MT⊥CK得△CMT为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得GH的最小值． 【解答】解：连接CG并延长与AD的延长线交于点K，过点M作MT⊥CK于T，如图所示： ∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形， ∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝60°，∠EDG＝90°，∠DAC＝45°， ∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动， 根据“垂线段最短”可知：当MG⊥CK时，MG为最短， 即当点G与点T重合时，MG为最小，最小值为线段MT的长． ∵∠DAC＝45°，MT⊥CK， ∴△CMT为等腰直角三角形，即MT＝CT， ∵AB＝8，点M为CD的中点， ∴MC＝4， 由勾股定理得：MT2+CT2＝MC2， ∴2MT2＝16， ∴MT＝2． ∴GM的最小值为2， 故选：C． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC上一点，∠DAC＝30°，E为射线AD上一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，则BF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长BC到点G，使CG＝BD，作直线FG，作BH⊥FG于点H，由∠ACB＝90°，∠DAC＝30°，得AD＝2CD，则ACCD＝3，求得CD，则CG＝BD＝4，所以BG＝8，再证明四边形DGFE是平行四边形，则FG∥DE，可证明∠GBH＝30°，则GHBG＝4，而BG＝2GH，则BHGH＝4，所以BF的最小值为4，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长BC到点G，使CG＝BD，作直线FG，作BH⊥FG于点H， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∠DAC＝30°， ∴AD＝2CD， ∵ACCD＝3， ∴CD， ∴CG＝BD＝4， ∴BG＝BC+CG＝4+48， ∵四边形BCFE是平行四边形， ∴BC∥EF，BC＝EF， ∵DG∥EF，DG＝CG+CD+BD+CD＝BC＝EF， ∴四边形DGFE是平行四边形， ∴FG∥DE， ∴点F在经过点G且与DE平行的直线上运动， ∵∠BHG＝90°，∠BGH＝∠ADG＝90°﹣∠DAC＝60°， ∴∠GBH＝90°﹣∠BGH＝30°， ∴GHBG（8）＝4， ∵BG＝2GH， ∴BHGH（4）＝4， ∵BF≥BH， ∴BF≥4， ∴BF的最小值为4， 故选：C． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DAC＝30°，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP的中点E，连接EG，则线段EG的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】延长PG至点Q，使得GQ＝PG，连接AQ、BQ，可得∠QAP＝60°，进一步可得∠BAQ＝30°；根据可知当BQ⊥AQ时，EG有最小值，据此即可求解． 【解答】解：延长PG至点Q，使得GQ＝PG，连接AQ、BQ，如图所示： ∵PG⊥AC，GQ＝PG， ∴AG垂直平分PQ， ∴AP＝AQ，∠QAP＝∠DAC＝30°， ∴∠QAP＝60°， ∴∠BAQ＝90°﹣∠QAP＝30°， ∵BP的中点为点E，GQ＝PG， ∴， ∵∠BAQ＝30°，AB＝4， ∴当BQ⊥AQ时，BQ有最小值，最小值为， 此时EG也最小，最小值为． 故选：A． 9．如图，以边长为2的正方形CDEF的对角线交点O为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形CDEF的边交于A、B两点，则线段AB，的最小值为 　　 ． 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD＝∠ODB＝45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD＝90°，OC＝OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA＝∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可． 【解答】解：∵四边形CDEF是正方形， ∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD， ∵AO⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°， ∴∠COA＝∠DOB， 在△COA和△DOB中， ， ∴△COA≌△DOB（ASA）， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 要使AB最小，只要OA取最小值即可， 根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小， ∵正方形CDEF， ∴OC＝OD，OC⊥OD， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E是BC边上的动点（E可以和B，C重合），连接DE，AE，过D点作AE的垂线交线段AB于点F，现以DF，DE为邻边构造平行四边形DFGE，连接BG，则BG的最小值是 　　 ． 【分析】求出∠AEB＝∠AFD，证明△ABE≌△DAF（AAS），可得AE＝DF，然后根 据平行四边形的性质得出△AEG是等腰直角三角形，再取临界情况，判断出点G在G1G2上运动，当BG⊥G1G2时，BG取最小值，然后证明ΔG1BG2是直角边为1的等腰直角三角形，再根据直角三角形 斜边中线的性质和勾股定理计算即可． 【解答】解：当E不与B重合时， ∵正方形ABCD中，AB＝AD＝1，∠DAF＝∠ABE＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DF， ∴∠BAE+∠AFD＝90°， ∴∠AEB＝∠AFD， ∴△ABE≌△DAF（AAS）， ∴AE＝DF， ∵平行四边形DFGE中DF∥GE，DF＝GE，且 AE⊥DF， ∴AE⊥GE，AE＝GE， ∴△AEG是等腰直角三角形， 如图，当点F1 E1 分别与A，B重合时，△ABG1是等腰直角三角形， 当点F2，E2 分别与B，C重合时，△ACG2是等腰直角三角形， ∵点E在BC边上运动， ∴点G在G1G2上运动， ∴当BG⊥G1G2 时，BG取最小值， ∵AB＝1，AG2⊥BC， ∴BG1＝AB＝1，AB＝BG2＝1， ∴△G1BG2 是直角边为1的等腰直角三角形，， 故答案为：． 11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，，点E、F分别是AD、BC边上的两个动点，连接AF，EF，若FA平分∠BFE，则AE的最小值为 　 　 ． 【分析】过点B作BG⊥AD于点G，由菱形的性质得出，求出．根据菱形的性质及角平分线得到∠DAF＝∠AFE，推出AE＝EF．得出当EF⊥AD时，EF最小，即AE最小． 【解答】解：过点B作BG⊥AD于点G， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120° ∴， ∴∠BAD＝60°，∠ABG＝30°，∠AFB＝∠DAF， ∴， ∵FA平分∠BFE， ∴∠AFB＝∠AFE， ∴∠DAF＝∠AFE， ∴AE＝EF， 当EF⊥AD时，EF最小，即AE最小， ∴AE的最小值． 故答案为：． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点F在AB上，AF＝1，点E是CD上的动点，连接AE，点G是AE的中点，连接FG，则FG的最小值为 　 　 ． 【分析】首先判断出点G的运动轨迹是线段MN，过点F作FH⊥MN于点H，则FH为FG的最小值． 【解答】解：连接AC，BD交于点N，过点N作NM⊥AB于点M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴AN＝DN， ∵MN⊥AD， ∴AM＝DM， ∴点M是AD的中点， ∵点N是AC的中点， ∴MN是△ADC的中位线， ∴MN∥DC， ∵G为AE的中点， ∴MG是△ADE的中位线， ∴MG∥DE，即MG∥DC， ∴点G在MN上， 过点F作FH⊥MN于点H， 根据题意知，点G的运动轨迹是线段MN，由“垂线段最短”知FH为FG的最小值， ∵点M是AD的中点， ∴， 又∠MAB＝∠AMH＝∠FHM＝90°， ∴四边形AMHF是矩形， ∴， ∴FG的最小值为， 故答案为： 13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°，点M、N分别是AD、AB上的动点，且△CMN为等边三角形，则△AMN面积的最大值为 　 　 ． 【分析】连接AC，过点C作AD⊥CG于点G，MN⊥CH于 点H，证明△ADC是等边三角形，△DCM≌△ACN，得到 ，利用等边三角形的性质，垂线段最短，勾股定理解答即可． 【解答】解：如图，连接AC，过点C作AD⊥CG于点G，MN⊥CH于点H， ∵菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°， ∴AD＝CD＝AB＝4，∠DCG＝30°，∠DAC＝∠BAC＝60°， ∴△ADC是等边三角形，，， ∴； ∴AD＝CD＝AB＝AC＝4，∠ACD＝60°， ∵△CMN为等边三角形， ∴CM＝MN＝CN，∠NCM＝∠CMN＝∠CNM＝60°， ∴∠DCM＝60°﹣∠ACM＝∠ACN， ∵， ∴△DCM≌△ACN（SAS）， ∴S△DCM＝S△ACN S△DCM+S△ACM＝S△ACN+S△ACM． ∴S△ADC＝S四边形ANCM＝S△AMN+S△CMN， ∴S△AMN＝S△ADC﹣S△CMN ∵△CMN为等边三角形， ∴CM＝MN＝CN，∠NCM＝∠CMN＝∠CNM＝60°， ∴∠MCH＝30°， ∴ ， ∴； 当CM最小时，S△MNC最小，S△AMN取得最大值， 根据垂线段最短，得当CM与CG重合时，CM最小， 此时， ∴， 故答案为：． 14．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝120°，，点E为BC的中点，连接AE，点F为线段AE上的一个动点，连接DF，则线段DF长度的最小值为 　 　 ． 【分析】连接DE，BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AD＝CD＝BC＝2，根据等边三角形的性质得到DE⊥BC，CEBC，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接DE，BD， ∵四边形ABCD是平行四边形，CD＝CB＝4， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝BC＝2， ∵∠B＝120°， ∴△CDB是等边三角形， ∵点E为BC的中点， ∴DE⊥BC，CEBC， ∴DECE＝3， ∵AD∥BC， ∴DE⊥AD， ∴AE， 当DF⊥AE时，线段DF长度的最小， ∵S△ADE， ∴DF， 故线段DF长度的最小值为， 故答案为：． 15．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝8，点E、F分别为边AD、CD上的两个动点，始终保持DE＝DF，连接BE、EF，取BE中点G并连接FG，则FG的最小值是 　6　 ． 【分析】过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，延长EF交DH于点M，连接BM，证明△DEF是等边三角形，得DE＝DF＝EF，∠DEF＝60°，再证明FG是△BEM的中位线，则FGBM，当BM最小时FG最小，进而由垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，然后在Rt△CDH中，求出CH的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，延长EF交DH于点M，连接BM， 在菱形ABCD中，∠A＝120°，AD∥BC， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝60°， ∵DH⊥BC， ∴∠HDC＝90°﹣60°＝30°， ∵DE＝DF，∠ADC＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF＝EF，∠DEF＝60°， ∴∠MDF＝∠DMF＝30°， ∴FM＝FD＝EF， ∵EG＝BG， ∴FG是△BEM的中位线， ∴FGBM， ∴当BM最小时FG最小， 根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH， 在菱形ABCD中，AB＝8， ∴AB＝BC＝CD＝8， 在Rt△CDH中，∠HDC＝30°， ∴CHCD＝4， ∴BH＝BC+CH＝8+4＝12， ∴BM的最小值为12， ∴FG的最小值为6． 故答案为：6． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 四边形中的最值模型【2个类型30道题】 【人教版】 【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值·15题】 1 【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值·15题】 5 【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值·15题】 【模型一】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【模型二】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【模型三】 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 【练习】 1．如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝BQ，连接CP、QA，则PC+QA的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，则四边形APQE周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC，CD边上的动点，连接AE，BF交于点G，连接DG，点M，N分别为CD，DG的中点，连接MN．若AE＝BF，则MN的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 6．如图，在边长为10的正方形ABCD对角线上有E、F两个动点，，点P是BC中点，连接AE、PF，则AE+PF的最小值为（　　） A． B． C． D．10 7．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝3GB，则的最小值是（　　） A． B． C．6 D．10 8．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝120°，点M为菱形ABCD内一动点，连接BM、DM，BM＝4，点H为BM的中点，连接CH，则DM+CH的最小值为 　 　 ． 9．如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 　 　 ． 10．如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝5，M，N分别为边CD，AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为 　　 ． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，连接CE，DF，则CE+DF的最小值为 　 　 ． 12．如图，菱形ABCD的对角线BD长度为6，边长，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为 　 　 ． 13．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且∠DOC＝120°，AC＝6，BD＝4，则AD+BC的最小值是 　 　 ． 14．如图，正方形ABCD边长为1，点M，N分别是边AD，CD上的动点且AM＝CN，作NP⊥BM于点P，则AP的最小值是 　 　 ． 15．如图，在▱ABCD中，AE为BC边上的高，点F和点G分别为高AE和边CD上的动点，且AF＝DG．若AB＝5，BC＝4，∠ADC＝60°，则BF+AG的最小值为 　 　 ． 【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值·15题】 【模型】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【练习】 1．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，点G是线段BD上的动点，点M是线段CD上的动点，点E，F分别是线段AM，GM的中点，则线段EF的最小值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　） A．2 B． C． D． 3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝DF，则EF的最小值是（　　） A．2 B．3 C． D． 4．如图．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合）．PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝8，∠BAD＝60°，则线段EF长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，AB＝40，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线，DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　） A．20 B．20 C．40 D．40 6．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（　　） A．4 B． C． D．2 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC上一点，∠DAC＝30°，E为射线AD上一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，则BF的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DAC＝30°，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP的中点E，连接EG，则线段EG的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 9．如图，以边长为2的正方形CDEF的对角线交点O为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形CDEF的边交于A、B两点，则线段AB，的最小值为 　　 ． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E是BC边上的动点（E可以和B，C重合），连接DE，AE，过D点作AE的垂线交线段AB于点F，现以DF，DE为邻边构造平行四边形DFGE，连接BG，则BG的最小值是 　　 ． 11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，，点E、F分别是AD、BC边上的两个动点，连接AF，EF，若FA平分∠BFE，则AE的最小值为 　 　 ． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点F在AB上，AF＝1，点E是CD上的动点，连接AE，点G是AE的中点，连接FG，则FG的最小值为 　 　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠D＝60°，点M、N分别是AD、AB上的动点，且△CMN为等边三角形，则△AMN面积的最大值为 　 　 ． 14．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B＝120°，，点E为BC的中点，连接AE，点F为线段AE上的一个动点，连接DF，则线段DF长度的最小值为 　 　 ． 15．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝8，点E、F分别为边AD、CD上的两个动点，始终保持DE＝DF，连接BE、EF，取BE中点G并连接FG，则FG的最小值是 　6　 ． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$