精品解析：新疆哈密市第八中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

哈密市第八中学集团校2024-2025学年第一学期期中测试卷 九年级数学 考试时间：100分钟 卷面分值：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 已知关于的一元二次方程，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定义是解题的关键． 设一元二次方程为，将代入方程求解即可． 【详解】解：设一元二次方程为， 将代入得，，解得，， ∴一次项系数为． 故选：C． 4. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——连续增长问题．根据题意，分别表示出三天的票房，再求和等于10亿元即可． 【详解】解：第一天票房为3亿元，设票房每日增长率为x， 则第二天票房亿元， 第三天票房亿元， 累计三天票房总和为10亿元， ∴方程为：， 故选：A． 5. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图像特征，理解一次函数、二次函数图像位置与系数的关系成为解题的关键．根据一次函数和二次函数的图像特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； B、由抛物线可知，图像与y轴交在正半轴，开口方向向下；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在正半轴，不存在矛盾，故此选项正确； D、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在负半轴，出现矛盾，故此选项错误． 故选C． 6. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：A． 7. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，先根据抛物线解析式得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，再求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵，，是抛物线上的点，且， ∴， 故选：C． 8. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O的对应点C落在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明是等边三角形，则，，如图，过作轴于，则，，则，，由勾股定理得，，进而可求点D的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，过作轴于，则， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴点D的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，点坐标等知识．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，点坐标是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，点 C的坐标分别为，，将风车绕点O 顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点 D 的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查规律探索求点坐标．根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转次为一个循环，得到经过第次旋转后，点D的坐标与第次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：在正方形中，点的坐标为， ∴点． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 由题意，可得风车第次旋转结束时，点D的坐标为； 第次旋转结束时，点D的坐标为； 第次旋转结束时，点D的坐标为； 第次旋转结束时，点D的坐标为． ∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转次为一个循环． ∵， ∴经过第次旋转后，点D的坐标与第次旋转结束时点D的坐标相同，为； 故选：C． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）；⑥若，，是抛物线上三点，则；⑦关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图形的性质，会求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解本题的关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况推理，抛物线的性质进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，，，则， ，故①正确，符合题意； ②当，，则，故②正确，符合题意； ③当，，则， ， ，故③错误，不符合题意； ④根据图象得抛物线与x轴有两个交点，则，故④错误，不符合题意； ⑤抛物线的对称轴为，则时，有最小值为， ，即，故⑤错误，不符合题意； ⑥抛物线的对称轴为，且开口向上， 抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，反之则越小， ，，是抛物线上三点， 且，即， ，故⑥正确，符合题意； ⑦，，且， 将看作一条平行于x轴的平行线，且位于x轴上方（包括与x轴重合）， 抛物线的图象与这条直线始终有两个交点，且位于x轴上方（包括与x轴上）， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑦正确，符合题意；； 综上所述，共有①②⑥⑦符合题意，共3个， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标分别互为相反数是解题关键． 【详解】解：点关于原点对称点的坐标是． 故答案为：． 12. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案． 【详解】解：， ∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 13. 给出下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正方形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_________（填写图形的相应编号） 【答案】②④⑤⑥ 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，解题的关键是根据中心对称图形的定义：把一个图形旋转，如果旋转后的图形能与原图形重合，那么该图形的中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么该图形就是轴对称图形，进行解答，即可． 【详解】解：①等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； ②矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形； ③平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； ④菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形； ⑤正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形 ⑥圆既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故答案为：②④⑤⑥． 14. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与相交于点D，当时，的长度为 ________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，平行线的性质，推出，进而得到，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， ∴． 故答案为：2.5． 15. 关于的一元二次方程有实数根，的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到，即可求出答案． 【详解】解：由于关于的一元二次方程有实数根， 且原方程是一个一元二次方程，则的系数不为0； ， 即， 解得． 故答案为：且． 16. 如图所示是抛物线的一部分，则方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系．抛物线与x轴的交点横坐标即为二次函数函数值为0时的一元二次方程的解，据此进行求解即可． 【详解】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， ∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为， ∴方程的解是． 故答案为：． 三、解答题 17. 用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； 【小问3详解】 解：， 这里，，， ， ， 解得：，； 【小问4详解】 解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 18. 已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数． 【答案】这三个连续正整数为，，或，， 【解析】 【分析】设这三个连续奇数分别为、、，根据题意列方程求解． 【详解】解：设这三个连续奇数分别为、、， 根据题意得： ， 解得：， 当时，，， 当时，，， 答：这三个连续正整数为，，或，， 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是设未知数，用代数式表示三个奇数，即可列方程求解． 19. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． 【小问2详解】 由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 20. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是； （2）售价应降低元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是， 利用10月份的销售量月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是，依题意得： ， 解得：，(不合题意，舍去)， 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为 件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存， ， 答：售价应降低元． 21. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，点是边中点，连结、． （1）求证：是等边三角形； （2）判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：将绕点逆时针旋转得到， ，，， 是等边三角形； （2） 解：，理由如下： 是等边三角形， ， 点是边中点， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，可得结论； （2）由“”可证，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22. 护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； （3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】（1） （2）18米 （3）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入并求解，即可获得答案； （2）对于抛物线，令，求解即可获得答案； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，再确定点坐标，将点坐标代入，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为， 将代入，可得， 解得 ， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为18米； 【小问3详解】 设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为， 对于直线：， 令，可得， 解得，即， 将点代入， 可得， 解得， ∴浇灌装置还要升高米． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）能．或 （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈密市第八中学集团校2024-2025学年第一学期期中测试卷 九年级数学 考试时间：100分钟 卷面分值：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 7. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O的对应点C落在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，点 C的坐标分别为，，将风车绕点O 顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点 D 的坐标为( ) A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）；⑥若，，是抛物线上三点，则；⑦关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是________． 12. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是___． 13. 给出下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正方形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_________（填写图形的相应编号） 14. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与相交于点D，当时，的长度为 ________． 15. 关于的一元二次方程有实数根，的取值范围是______． 16. 如图所示是抛物线的一部分，则方程的根是______． 三、解答题 17. 用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 18. 已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数． 19. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 20. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 21. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，点是边中点，连结、． （1）求证：是等边三角形； （2）判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 22. 护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； （3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 23. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $