精品解析：甘肃省平凉市庄浪县集团校联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024－2025学年第二学期第一次阶段性质量评估试题 八年级 数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 式子有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. a≥-1 B. a≠2 C. a≥-1且a≠2 D. a＞2 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可. 【详解】解：由题意得， 解得，a≥-1且a≠2， 故答案为：C. 【点睛】本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 1，1， C. 2，3，4 D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义：两个较小数的平方和等于最大数的平方的整数叫勾股数．根据勾股数的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：、因为，所以是勾股数； 、因为不是整数，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 故选：A． 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简及二次根式的减法，正确掌握二次根式的性质是解题关键．先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式减法法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 4. 直角三角形中，两直角边长为3和4，则斜边上的高为（ ） A. 2.4 B. 5 C. 6 D. 7.2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用面积法求直角三角形的高等知识，熟练掌握勾股定理和利用面积法求直角三角形的高是解答本题的关键，首先利用勾股定理求出斜边的长，再利用面积法可求出斜边上的高． 【详解】解：设斜边长为c，高为h， 由勾股定理可得 ， ， ， 直角三角形的面积， ， 故选：A． 5. 若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简求值、完全平方公式，解题关键是熟练掌握二次根式的化简求值．先将利用完全平方公式进行变形，再将代入即可求解． 【详解】解：， 将代入上式可得， 原式． 故选：A． 6. 化简的结果是( ) A. 2 B. －2 C. 0 D. 无法化简 【答案】C 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可得： ，解得：， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和解不等式组，根据题意列出不等式组是解题的关键． 7. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 如果两个角都是，那么这两个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断逆命题的真假，先写出原命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意； B、逆命题为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题，不符合题意； C、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，符合题意； D、逆命题为：如果两个角相等，那么两个角都是，是假命题，不符合题意； 故选C． 8. 已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据有一个内角是直角的三角形是直角三角形、勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键．根据三角形内角和等于度求出三角形内角的度数，即可判定A、C；根据勾股定理的逆定理判定B、D，即可得出答案． 【详解】解：A、，则，则是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，可得，则是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，则，， ∴， ∴， ∴则不是直角三角形，故此选项符合题意； D、，设，则，，则，即， 根据勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆半径相等可知AP=AC，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP=AC=， ∴点P表示的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长． 10. 直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（   ） A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据直角三角形的面积可以导出：斜边c=． 再结合勾股定理：a2+b2=c2． 进行等量代换，得a2+b2=， 两边同除以a2b2， 得． 故选D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练计算是解题的关键，先利用二次根式的性质化简，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，分为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：当为直角边时：； 当为斜边时：； 故答案为：或． 13. 若是正整数，则最小的整数n是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】先化简二次根式，然后依据被开方数是一个完全平方数求解即可． 【详解】解：， ∵是正整数， ∴是一个完全平方数， ∴n的最小整数值为3 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查二次根式的化简方法的运用，把被开方数里开得尽方的因数写成平方数，再寻找n的最小整数值． 14. （如图）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【详解】 解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短， AB=cm； 如图2所示，AB=cm， 如图3所示，AB= cm， ∵ ∴蚂蚁所行的最短路线为cm． 故答案为 【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 15. 把中根号外的移入根号内得_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a的取值范围，根据， 然后根据二次根式的乘法公式将移入根号化简即可． 【详解】根据二次根式有意义的条件可得：且 解得： 则， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘法公式是解决此题的关键． 16. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是__cm． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：点F与点C重合时，折痕EF最大， 由翻折的性质得，BC=B′C=10cm， 在Rt△B′DC中，B′D==8cm， ∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm， 设BE=x，则B′E=BE=x， AE=AB﹣BE=6﹣x， 在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2， 即（6﹣x）2+22=x2， 解得x=， 在Rt△BEF中，EF=cm． 故答案是． 考点：翻折变换（折叠问题）． 三、解答题． 17. 在如图数轴上作出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据勾股定理，作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求． 【详解】解：如图：点A表示的数； 过4对应的点B作数轴的垂线l，在l上截取BC＝1，则以原点为圆心，OC为半径画弧交数轴的正半轴于点A，则点A为所作． 【点睛】本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理． 18. 计算． （1） （2）． （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （2）先计算二次根式乘除法，化简二次根式，再计算加减即可求解； （3）先计算二次根式的除法，利用平方差公式计算乘法，化简二次根式，再计算加减即可求解 （4）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. 若的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，二次根式的混合运算，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．首先对估算出大小，从而求出其整数部分，再进一步表示出其小数部分，最后代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴，即， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴ ∴ ． 20. 是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见解析． 【解析】 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列出方程求出的值，再把的值代入原式看是否符合题意即可． 【详解】解：不存在．理由如下： 若与是同类二次根式，则， 解得：，当时，， 与都不是最简二次根式． 故不存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 21. 先化简，再求值：，其中 【答案】 ， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长． 【答案】76 【解析】 【分析】根据题意可知∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：解：依题意，设“数学风车”中四个直角三角形的斜边长为x，则 所以x=13 所以“数学风车”的外围周长是：（13+6）×4=76． 【点睛】本题考查勾股定理在实际情况中的应用，注意掌握运用隐含的已知条件来解答此类题. 23. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度，然后根据题意求出的长度，进而即可求出的长即得解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴船向岸边移动了， 答：船向岸边移动了． 24. 在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里． （1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； （2）求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 【答案】（1）海里 （2）救助船先到达，计算过程见解析 【解析】 【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可； （2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过点P作于， ∴， 由题意得：海里，，， ∴海里，是等腰直角三角形， ∴海里，海里， 答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里； 小问2详解】 解：∵海里，海里，救助船分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发， ∴救助船所用的时间为(小时)， 救助船所用的时间为(小时)， ∵， ∴救助船先到达． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 25. 如图，在中，是的边上的高，E为垂足且． （1）试判断的形状，并说明理由． （2）求的长． 【答案】（1）△ABD是直角三角形；（2）4． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理先求出AB，再利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）由是的边上的高，利用面积桥计算即可． 【详解】解：（1）∵在中，， 根据勾股定理AB=， ∵， ∴△ABD是直角三角形； （2）∵是的边上的高， ∴S△ABD=， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式，掌握勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形面积等积式是解题关键． 26. 如图所示，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证： （1）． （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意易证．再根据等腰三角形的定义得出，，即可证； （2）由全等三角形的性质可得，，从而可证，进而由勾股定理即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形全等的判定和性质，勾股定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 27. 在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． （1）的面积为： ． （2）若三边的长分别为，请在图2的正方形网格中画出相应的，并利用构图法求出它的面积． （3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形的面积分别为13、10、17； ①试说明的面积相等； ②请利用第2小题解题方法求六边形花坛的面积． 【答案】（1） （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查网格作图、勾股定理、三角形全等的判定与性质，正方形的面积公式、三角形的面积公式、长方形的面积公式，理解构图法的原理，借助网格法和割补法求解图形面积是解答的关键． （1）根据网格特点，由长方形的面积减去长方形内除所求三角形以外三个三角形面积即可求解； （2）根据三边的长度，利用勾股定理在网格中画出相应的三角形，利用（1）中方法求解面积即可； （3）①过点作交延长线于点，过点作于点，证明，推出，得到等底等高，则的面积相等，同理与的面积相等，即可说明；②先利用正方形的面积求出，根据构图法求出的面积，将七个图形面积加起来即可求得该六边形的面积． 【小问1详解】 解：根据网格，； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴利用构图法画出相应的，如图所示， ∴； 【小问3详解】 解：①过点作交延长线于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵正方形中，， ∴等底等高， ∴的面积相等， 同理，与的面积相等， ∴的面积相等； ②∵正方形的面积分别为13，10，17， ∴，，， 构造，如图所示， ∴； ∵的面积相等， ∴该六边形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第二学期第一次阶段性质量评估试题 八年级 数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 式子有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. a≥-1 B. a≠2 C. a≥-1且a≠2 D. a＞2 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，10 B. 1，1， C. 2，3，4 D. 5，12，14 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 直角三角形中，两直角边长为3和4，则斜边上的高为（ ） A. 2.4 B. 5 C. 6 D. 7.2 5. 若，则值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 6. 化简的结果是( ) A. 2 B. －2 C. 0 D. 无法化简 7. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 如果两个角都是，那么这两个角相等 8. 已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A B. C. D. 10. 直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（   ） A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11 计算：______． 12. 一直角三角形三边分别为2、3、x，那么x为__________ 13. 若是正整数，则最小的整数n是_________． 14. （如图）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_______cm． 15. 把中根号外的移入根号内得_____． 16. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是__cm． 三、解答题． 17. 在如图的数轴上作出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 计算． （1） （2）． （3） （4） 19. 若的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 20. 是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由． 21. 先化简，再求值：，其中 22. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长． 23. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号） 24. 在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里． （1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）； （2）求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 25. 如图，在中，是的边上的高，E为垂足且． （1）试判断的形状，并说明理由． （2）求的长． 26. 如图所示，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证： （1）． （2）． 27. 在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． （1）的面积为： ． （2）若三边的长分别为，请在图2的正方形网格中画出相应的，并利用构图法求出它的面积． （3）如图3，一个六边形花坛被分割成7个部分，其中正方形的面积分别为13、10、17； ①试说明的面积相等； ②请利用第2小题解题方法求六边形花坛的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$