精品解析：重庆市江津中学校2025-2026学年九年级下学期第一次定时作业数学试题

江津中学初2026届初三（下）第一次定时作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在数轴上，与原点距离为3个单位的点表示的数是（ ） A. 3 B. 或3 C. D. 0.3 2. 下列消防安全标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解全国观众对春节联欢晚会的评价 B. 调查长江流域的水质情况 C. 调查某市居民垃圾分类意识的情况 D. 对乘飞机的乘客的行李进行安检 4. 如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有个点，第②个图形中共有个点，第③个图形中共有个点，按此规律，第⑦个图形中共有点的个数是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 7. 2025年“渝超”联赛火热开展．本届赛事分常规赛和淘汰赛两个阶段，常规赛阶段采取主客场双循环赛制（每支球队与其他每支球队都会进行两场比赛），来自渝西片区的各支球队共展开了56场比赛．若设渝西片区共有支球队参加比赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 我们在生活中经常使用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用到个数码（也叫数字）：，，，，，，，，，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制                                 十进制                                 例如，十六进制数，即十六进制数相当于十进制数．十六进制数相当于十进制数（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是正方形，点是正方形外的一点，，过点作于点，连接、．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（ ） ①若多项式可以为二次三项式，则的最小值为6； ②若，满足条件的整式的个数为6； ③当且时，记满足条件的整式分别为，，…，，则关于的方程的解为或或． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）． 11. 两个人做游戏：每个人都从1、2这两个数中随机选一个数字写在纸上，则两人所写的数相等的概率是_____． 12. 如图，直线，，，平分，则的度数为_____． 13. 已知的整数部分是，则的值为_____． 14. 若实数、同时满足，，则的值_____． 15. 如图，是的直径，，是的切线，连接交于点，点为上一点，满足，连接交于点，若，则_____，_____． 16. 一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能被5整除，则这个数是__________；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是__________ 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）． 17. 解不等式组：，并写出所有奇数解． 18. 如图，已知，平分，点是上任意一点． （1）按要求，用圆规和直尺作图：作的角平分线，交于点，作射线，交于点，在上截取，连接． （2）研究发现，线段、、的长度存在关系：． 利用三角形全等证明猜想． 证明：∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴②_____ ∵ ∴ ∵，， ∴③_____ ∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴④_____ ∴ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）． 19. 一分钟跳绳是近年来全国多地中考体育考试的项目之一．我校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级男女生中各随机抽取了20名学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的跳绳个数记为，对数据进行整理，将所得的数据分为5组（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：）．学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： Ⅰ．被抽取的男生跳绳个数在C组的数据是：181，187，188，188，189，181 Ⅱ．被抽取的女生跳绳个数在C组的数据是：181，184，184，184，184，184，188，188 Ⅲ．被抽取的男、女生跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表： 男生 女生 平均数 186 186 中位数 184 众数 179 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____；_____；_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校八年级的男生跳绳成绩更优异，还是女生跳绳成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级学生共1600名，估计八年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数（一分钟跳绳达185个及以上即满分）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. “江小橙”和“卡拉卡拉”是江津著名的两种广柑．2月份最后一周，某水果代理商共卖出“江小橙”和“卡拉卡拉”广柑800千克，总销售额为8000元．已知“江小橙”广柑每千克售价12元，“卡拉卡拉”广柑每千克售价8元． （1）这一周售出“江小橙”广柑和“卡拉卡拉”广柑各多少千克？ （2）进入3月份后，为尽快清空库存，该代理商对两种水果进行了降价处理．“江小橙”广柑每千克降价的金额比“卡拉卡拉”广柑多2元．经统计，降价后的第一周与2月份最后一周相比，“江小橙”广柑的销售额没有变化，“卡拉卡拉”广柑的销售额提高了800元．这周“江小橙”广柑的销量是“卡拉卡拉”广柑销量的．求“卡拉卡拉”广柑每千克降价的金额． 22. 如图1，在矩形中，，．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，、两点同时停止运动．设点、的运动时间均为秒（），记的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 某中学组织学生到高新产业园进行研学活动．如图，学生到达产业园大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往区（人工智能与大数据平台区）集合．区（新能源装备区）位于大门的正北方400米，区（机器人与智能装备区）位于区的北偏东方向且距离区400米处，区（智慧医疗区）在大门的正东方且在区的正南方．区在区的南偏东方向，且位于区的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求区与区之间的距离．（结果精确到个位） （2）已知第一组学生沿线路①参观体验，第二组学生沿线路②参观体验．两组学生分别参观完区和区后，同时以相同的速度前往区参观、体验，当两组学生在前往区的途中，大数据平台检测到两组学生之间的连线垂直于时，产业园智慧喷泉系统将自动开启，为两组学生送上欢迎水雾，请问，当两组学生之间距离多远时，喷泉将自动开启？ 24. 抛物线交轴于点、，交轴于点 （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，点是直线上的一个动点，当取得最大值时，求点的坐标与的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点且与直线交于点、，点为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在等腰直角三角形中，，点是边上的中点，点是平面内任意一点，连接、． （1）如图1，点在边上，平分，过点作，垂足为点，若，求的长； （2）如图2，当点在内部，，点是延长线上一点，且，试探究线段、、之间的关系，并证明． （3）若点始终满足，将线段绕顺时针旋转，点的对应点为点，点是线段的中点，若点是线段的中点，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江津中学初2026届初三（下）第一次定时作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在数轴上，与原点距离为3个单位的点表示的数是（ ） A. 3 B. 或3 C. D. 0.3 【答案】B 【解析】 【分析】利用“数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值”，分情况得到结果. 【详解】解：设所求点表示的数为， ∵该点与原点的距离为3个单位， ∴， ∵绝对值为3的数是和， ∴这个点表示的数是或. 2. 下列消防安全标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，则此项符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：A． 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解全国观众对春节联欢晚会的评价 B. 调查长江流域的水质情况 C. 调查某市居民垃圾分类意识的情况 D. 对乘飞机的乘客的行李进行安检 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的选择，根据全面调查的适用特征：结果要求准确，考察范围较小，或事关安全需要逐一排查的场景，符合该特征的即为适合全面调查的选项． 【详解】A选项，全国观众数量多，范围大，适合抽样调查； B选项，长江流域范围广，无法完成全面水质调查，适合抽样调查； C选项，某市居民数量多，范围广，适合抽样调查； D选项，乘客行李安检事关飞行安全，必须对每件行李进行检查，因此适合全面调查． 4. 如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据三角形外角的性质得，与相切于点B，得到，根据三角形内角和求出． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴． 5. 观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有个点，第②个图形中共有个点，第③个图形中共有个点，按此规律，第⑦个图形中共有点的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知图形可得第个图形中共有个点 ，再把代入计算即可求解． 【详解】解：∵第①个图形中共有个点； 第②个图形中共有个点， 第③个图形中共有个点， ， ∴第个图形中共有个点 ， 当时，点的个数为： ， ∴第⑦个图形中共有点的个数是． 6. 在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点，那么此反比例函数的图象也一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； A．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； B．，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意； C．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； D．，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； 故选：B． 7. 2025年“渝超”联赛火热开展．本届赛事分常规赛和淘汰赛两个阶段，常规赛阶段采取主客场双循环赛制（每支球队与其他每支球队都会进行两场比赛），来自渝西片区的各支球队共展开了56场比赛．若设渝西片区共有支球队参加比赛，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，核心是理解主客场双循环赛制，即任意两队之间进行2场比赛，据此找出总比赛场数的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵ 共有支球队，每支球队需要与除自身外的支球队进行比赛， 又∵ 主客场双循环赛制中，每两支球队之间进行2场比赛， ∴ 总比赛场数为， 已知总比赛场数为56， ∴ 可列关系式为． 故选：D． 8. 我们在生活中经常使用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用到个数码（也叫数字）：，，，，，，，，，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制                                 十进制                                 例如，十六进制数，即十六进制数相当于十进制数．十六进制数相当于十进制数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查进制之间的转换，有理数的混合运算，解题关键是从表格中找出十六进制与十进制间的转换关系． 将十六进制数转换为十进制数，需将每位数字乘以其位权（16的幂次）后求和即可． 【详解】解：十六进制数中，1对应1，对应13，9对应9， ； 故十六进制数相当于十进制数473， 故选：C． 9. 如图，四边形是正方形，点是正方形外的一点，，过点作于点，连接、．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，得到，而，则，即可求解． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形  是正方形 ∴，且 互相平分，， ∵ ，  ∴， ∵， ∴， ∴ ∴  ∴  ∴  ∵  ∴． 10. 已知整式，其中，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（ ） ①若多项式可以为二次三项式，则的最小值为6； ②若，满足条件的整式的个数为6； ③当且时，记满足条件的整式分别为，，…，，则关于的方程的解为或或． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，最小的3个不同正整数为，且，即可判断；对于②，讨论、、三种情况讨论，找出对应的整式；对于③，得到对应，，方程为，再解绝对值方程即可． 【详解】解：验证①：若为二次三项式，则，需3个不同正整数满足， 最小的3个不同正整数为，且， 的最小值为，①正确； 验证②：，由题为正整数，按分类讨论： 当时，需两个不同正整数满足， 可得或或，共3个整式； 当时，需三个不同正整数满足， 可得或，共2个整式； 当时，最小的个不同正整数乘积为，无满足条件的整式； 总个数为， ②错误； 验证③：当，，找不同正整数满足，得 或 对应，，方程为，分段讨论： 当时，原方程化为，解得，符合条件，是解； 当时，原方程化为，解得，不满足要求，舍去； 当时，原方程化为，解得，符合条件，是解； 方程的解为或，不存在这个解，③错误， 综上，正确的说法只有1个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）． 11. 两个人做游戏：每个人都从1、2这两个数中随机选一个数字写在纸上，则两人所写的数相等的概率是_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中两人所写的数相等的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中两人所写的数相等的结果有2种， ∴两人所写的数相等的概率为． 12. 如图，直线，，，平分，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，利用平行线的性质求出 的度数，再根据三角形内角和定理即可求解 【详解】解：平分，   设与交于点，     ∴． 13. 已知的整数部分是，则的值为_____． 【答案】 8 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再推导的取值范围，即可求出其整数部分的值. 【详解】解：， ，即， ∴，即， 的整数部分为，即. 14. 若实数、同时满足，，则的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据、的正负，分情况求出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵实数、同时满足，， ∴当，时，，解得：，与矛盾，故无解； 当，时，，解得：，符合题意； 当，时，，解得：，与矛盾，故无解； 当，时，，解得：，与矛盾，故无解； 综上，，，则． 15. 如图，是的直径，，是的切线，连接交于点，点为上一点，满足，连接交于点，若，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，导角证明，由三线合一得到，由勾股定理求解，然后证明，求出；则，然后证明，求出，再由求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴． 16. 一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能被5整除，则这个数是__________；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了用字母表示四位数的自然数，整式的化简．关键是整式的化简． 双11数”为且能被5整除，根据定义可求这个数．表示出．，的最小值为2，能被7整除，求出的最小值即可． 【详解】解：， ， ， 能被5整除， 或5， ， ，， ． ． 设 ． ， 有题意可知，的最小值是2，当取最小值2时，， ， ． 当，即时，，不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即时，，能被7整除． ，，，，符合题意， 的最小值为． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）． 17. 解不等式组：，并写出所有奇数解． 【答案】，所有奇数解为 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后从解集中找出所有奇数即可． 【详解】解： ，  解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有奇数解为． 18. 如图，已知，平分，点是上任意一点． （1）按要求，用圆规和直尺作图：作的角平分线，交于点，作射线，交于点，在上截取，连接． （2）研究发现，线段、、的长度存在关系：． 利用三角形全等证明猜想． 证明：∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴②_____ ∵ ∴ ∵，， ∴③_____ ∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴④_____ ∴ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的方法，作角平分线和线段的方法，作图即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，进行作答即可． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴； 在与中 ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴； 在与中 ， ∴； ∴， ∴． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）． 19. 一分钟跳绳是近年来全国多地中考体育考试的项目之一．我校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级男女生中各随机抽取了20名学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的跳绳个数记为，对数据进行整理，将所得的数据分为5组（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：）．学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： Ⅰ．被抽取的男生跳绳个数在C组的数据是：181，187，188，188，189，181 Ⅱ．被抽取的女生跳绳个数在C组的数据是：181，184，184，184，184，184，188，188 Ⅲ．被抽取的男、女生跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表： 男生 女生 平均数 186 186 中位数 184 众数 179 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____；_____；_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校八年级的男生跳绳成绩更优异，还是女生跳绳成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级学生共1600名，估计八年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数（一分钟跳绳达185个及以上即满分）． 【答案】（1），， （2）女生成绩更优异，理由见解析 （3）680人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义即可计算a，先求出女生C组所占百分比，即可求出m；再根据众数的定义即可计算b； （2）根据平均数、中位数、众数判断即可； （3）用1600乘以八年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数所占百分比可得． 【小问1详解】 解：男生20名学生跳绳个数从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为：（个）， 因此中位数是181，即， 女生C组所占百分比为，则B组所占百分比为， ∴， 女生20名学生跳绳个数184共出现5次占总数的，比其他组人数都多，因此女生跳绳个数出现次数最多的是184，中位数是184，即； 【小问2详解】 解：平均数男女生都一样，但是中位数和众数都是女生更高，故女生成绩更优异； 【小问3详解】 解：女生满分人数为（人）， 男生满分人数为（人）， ∴该校八年级学生共1600名，估计八年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数为（人）． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先进行整式的混合运算和分式的混合运算，化为最简分式，再计算，然后代入求值即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴原式． 21. “江小橙”和“卡拉卡拉”是江津著名的两种广柑．2月份最后一周，某水果代理商共卖出“江小橙”和“卡拉卡拉”广柑800千克，总销售额为8000元．已知“江小橙”广柑每千克售价12元，“卡拉卡拉”广柑每千克售价8元． （1）这一周售出“江小橙”广柑和“卡拉卡拉”广柑各多少千克？ （2）进入3月份后，为尽快清空库存，该代理商对两种水果进行了降价处理．“江小橙”广柑每千克降价的金额比“卡拉卡拉”广柑多2元．经统计，降价后的第一周与2月份最后一周相比，“江小橙”广柑的销售额没有变化，“卡拉卡拉”广柑的销售额提高了800元．这周“江小橙”广柑的销量是“卡拉卡拉”广柑销量的．求“卡拉卡拉”广柑每千克降价的金额． 【答案】（1）这一周售出“江小橙”广柑400千克，售出“卡拉卡拉”广柑400千克 （2）“卡拉卡拉”广柑每千克降价4元 【解析】 【分析】（1）根据总重量和总销售额的两个等量关系，设未知数列出二元一次方程组求解即可； （2）设出“卡拉卡拉”广柑的降价金额，分别表示出两种广柑降价后的销量，再根据销量的倍数关系列出分式方程，求解检验后得到结果． 【小问1详解】 设这一周售出“江小橙”广柑千克，售出“卡拉卡拉”广柑千克， 根据题意可得 解得  答：这一周售出“江小橙”广柑千克，“卡拉卡拉”广柑千克； 【小问2详解】 解：设“卡拉卡拉”广柑每千克降价元，则“江小橙”广柑每千克降价元， 由题意得，， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：“卡拉卡拉”广柑每千克降价4元． 22. 如图1，在矩形中，，．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，、两点同时停止运动．设点、的运动时间均为秒（），记的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）图见解析，对于，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，对于，当时，随着的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出的长，分和，求出，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出； （2）列表，描点，连线画出函数图象即可； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴当点在上运动时，，此时，作于点， 则， ∴； 当点在上运动时，，则， ∴； 由题意，，则； 综上：，； 【小问2详解】 解：列表如下： 1 3 5 7 9 6 6 3 0 9 3 1 作图如下： 由图象可知：对于，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，对于，当时，随着的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知：时，． 23. 某中学组织学生到高新产业园进行研学活动．如图，学生到达产业园大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往区（人工智能与大数据平台区）集合．区（新能源装备区）位于大门的正北方400米，区（机器人与智能装备区）位于区的北偏东方向且距离区400米处，区（智慧医疗区）在大门的正东方且在区的正南方．区在区的南偏东方向，且位于区的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求区与区之间的距离．（结果精确到个位） （2）已知第一组学生沿线路①参观体验，第二组学生沿线路②参观体验．两组学生分别参观完区和区后，同时以相同的速度前往区参观、体验，当两组学生在前往区的途中，大数据平台检测到两组学生之间的连线垂直于时，产业园智慧喷泉系统将自动开启，为两组学生送上欢迎水雾，请问，当两组学生之间距离多远时，喷泉将自动开启？ 【答案】（1）区与区之间的距离米； （2）当两组学生之间距离米时，喷泉将自动开启 【解析】 【分析】（1）过作交直线于，于，先证明四边形是矩形，得到，再在中，求出，在中，求出，在中，求出，，最后根据求解即可； （2）设当两组学生在前往区的途中，，根据题意可得，设，表示出，，再根据中，，列方程解得，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过作交直线于，于， 由题意可得：，，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵中，，， ∴， ∵中，，， ∴，， ∴， 即区与区之间的距离米． 【小问2详解】 解：设当两组学生在前往区的途中，， 根据题意可得， 由（1）可得，， 设， ∴，， ∵中，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴当两组学生之间距离米时，喷泉将自动开启． 24. 抛物线交轴于点、，交轴于点 （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，点是直线上的一个动点，当取得最大值时，求点的坐标与的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点且与直线交于点、，点为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出点坐标，进而得到的坐标，作轴于点，得到，进而将转化为二次函数求最值，进而得到点的坐标，作点关于的对称点，连接，得到，得到当点在上时，的值最小为的长，进行求解即可； （3）抛物线沿射线方向平移等同于先向右再向上平移相同的距离得到新的抛物线，设抛物线先向右再向上平移个单位长度，进而得到新的抛物线的解析式，把点代入函数解析式求出的值，联立抛物线和直线的解析式，求出点的坐标，作轴，根据对顶角和三角形的外角得到，进而得到，分两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把点，代入，得： ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 设，则， ∴， 作轴，则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时， ∴直线的解析式为， 作点关于直线的对称点为，连接，则，， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵，， ∴，即的最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，直线的解析式为， 故抛物线沿射线方向平移等同于先向右再向上平移相同的距离得到新的抛物线， 设抛物线先向右再向上平移个单位长度， ∵， ∴， 把代入，得， 解得或（舍去）， ∴， 联立，解得或， ∴， 作轴，则， ∵， ∴， ∵， ∴； ①作，则，此时点关于抛物线的对称轴对称， ∵的对称轴为， 故； ②作的中垂线交轴于点，则， ∴， ∴点为直线与抛物线的交点， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴， 联立，解得或； ∴； 综上：或． 25. 在等腰直角三角形中，，点是边上的中点，点是平面内任意一点，连接、． （1）如图1，点在边上，平分，过点作，垂足为点，若，求的长； （2）如图2，当点在内部，，点是延长线上一点，且，试探究线段、、之间的关系，并证明． （3）若点始终满足，将线段绕顺时针旋转，点的对应点为点，点是线段的中点，若点是线段的中点，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先得到，由角平分线的性质定理以及解直角三角形得到，则即可求解，再解求解即可； （2）连接，先证明，则，，再证明，则，，然后得到为等腰直角三角形，则，再由结合等量代换证明即可； （3）连接，取中点，连接，，过点作于点，连接，可得，由勾股定理求解，则，证明，则，证明，则由三角形的中位线定理可得，然后再，得到，则，故当点在线段上，取得最小值，即为，然后再由直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵等腰直角三角形中， ∴， ∵平分，过点作 ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明：连接， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴ ∵等腰直角三角形中， ∴， ∴，， ∵等腰直角三角形，点是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解：连接，取中点，连接，，过点作于点，连接， ∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由旋转可得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点是线段的中点，点是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴当点在线段上，取得最小值，即为 ∵，点是线段的中点， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $