专题05 利用导数解决函数零点问题8考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019）

【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题05 利用导数解决函数零点问题 8考点复习指南 【问题背景】 函数零点问题综合了函数、方程、不等式等多方面知识，常常涉及函数的性质、图象以及方程的求解。在实际解题中，判断函数零点的个数、确定零点的位置以及根据零点情况求参数范围等问题，具有较高的难度和复杂性。这些问题不仅需要对函数的概念和性质有深入理解，还需掌握各种数学方法和技巧的综合运用。传统方法在处理复杂函数的零点问题时往往效果不佳，而导数的引入为解决这些问题提供了新的视角和有力手段。导数可以精确地分析函数的单调性、极值和最值等性质，通过这些性质能够更深入地研究函数零点的相关问题，使得原本复杂的问题变得更加可解。 【处理角度】 1.求导分析：对函数进行求导是解决函数零点问题的基础步骤。通过求导，得到函数的导数表达式，根据导数的正负判断函数的单调性，导数大于 0 时函数单调递增，导数小于 0 时函数单调递减。根据导数为 0 的点确定函数的极值点，进而求出函数的极值和最值。在分析函数单调性和最值的过程中，为判断零点个数、证明零点存在性以及解决与零点相关的不等式提供了关键依据。 2.构造函数：根据函数零点问题的特点和解题需要，构造合适的函数是常用的策略。构造函数后，通过对其求导，研究函数的性质，将函数零点问题转化为函数的性质问题。在证明零点个数或解决零点不等式时，构造一个函数，通过研究该函数的单调性和最值来达到解题目的。构造函数的关键在于根据问题的结构，选择合适的函数形式，使其能够有效地解决原问题。 3.分类讨论：当问题中存在参数时，往往需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论。在求含参函数的单调性、极值和最值时，参数的取值会影响函数的性质，因此需要分情况讨论。通过分类讨论，分别分析不同情况下函数的性质，从而确定函数零点的个数、位置以及参数的取值范围。在分类讨论时，要做到不重不漏，全面考虑各种可能的情况。 4.等价转化：将函数零点问题进行等价转化，使其变为更容易处理的形式。将函数零点个数问题转化为方程根的个数问题，将双变量问题转化为单变量函数问题等。通过等价转化，能够将复杂的函数零点问题转化为熟悉的数学问题，利用已有的知识和方法进行求解。在转化过程中，要确保转化的等价性，避免出现错误。 5.数形结合：借助函数图象可以直观地理解函数的性质和零点的分布情况。通过画出函数的图象，观察函数的单调性、极值和最值等特征，结合图象来分析函数零点的个数、位置以及与零点相关的不等式。在研究函数零点问题时，结合图象可以更直观地理解函数的变化趋势，为解决问题提供思路。数形结合的方法能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，提高解题的效率和准确性。 【解法策略】 1.判断或讨论零点的个数：通过对函数求导，分析函数的单调性和极值情况，结合函数的定义域和边界值，利用零点存在定理来判断或讨论函数零点的个数。当函数在某个区间内单调递增且两端点函数值异号时，该区间内必有一个零点；若函数存在多个单调区间和极值点，则需综合考虑各区间内的情况来确定零点个数。 2.证明零点的个数：依据函数的导数确定函数的单调性和极值，利用零点存在定理，结合函数在特定区间的取值情况，证明函数零点的唯一性或存在性。在证明过程中，常常需要构造辅助函数，通过研究辅助函数的性质来达到证明的目的。 3.已知零点个数求参数：将函数零点个数问题转化为方程根的个数问题，通过参变分离，将参数与变量分离到等式两边，构造新的函数。利用导数研究新函数的单调性、极值和最值，结合函数图象，根据零点个数确定参数的取值范围。 4.已知存在零点求参数：先对函数求导，分析函数的单调性和极值，根据函数在给定区间内存在零点这一条件，建立关于参数的不等式或方程。通过求解不等式或方程，确定参数的取值范围。在这个过程中，需要充分考虑函数的单调性对零点存在性的影响。 5.利用比值代换解决零点不等式：当函数有两个零点时，利用零点所满足的等式进行比值代换，将双变量问题转化为单变量问题。然后构造新的函数，通过对新函数求导，研究其单调性和最值，从而证明与零点相关的不等式。 6.利用消参减元解决零点不等式：当函数存在极值点且与零点相关的不等式中含有参数时，利用导数将函数的极值点转化为导函数的零点，建立参数与极值点之间的关系，通过消参减元简化目标函数。再构造相应的函数，利用导数研究其性质，进而证明不等式。 7.利用极值点偏移解决零点不等式：对于函数存在极值点，且两个变量与极值点存在某种关系的不等式证明问题，通过构造差函数，利用导数研究差函数的单调性，根据差函数的性质来证明不等式。在解决极值点偏移问题时，需要深入理解极值点的性质以及函数的单调性，通过构造合适的函数并分析其导数，来证明与极值点和变量相关的不等式。 8.隐零点问题：当函数的零点无法直接求出时，利用零点存在定理确定零点的存在区间，将零点代入函数或相关式子进行化简和推理，结合导数分析函数的单调性和最值，从而解决与函数零点相关的问题。在处理隐零点问题时，关键是要巧妙利用零点所在区间以及函数在该区间的性质，通过合理的变形和推导来解决问题。 考点1 判断或讨论零点的个数 1．（2023·山东济宁·一模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，讨论函数的零点个数. 2．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 3．（2025·贵州六盘水·一模）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 考点2 证明零点的个数 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知e是自然对数的底数，，，，． (1)设，求的极值； (2)设，求证：函数没有零点． 5．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：在上有且只有一个零点. 6．（2025·全国·一模）已知函数，. (1)当时，求的最大值； (2)证明：存在唯一极值点； (3)若存在开区间，使得，当且仅当，求的取值范围. 考点3 已知零点个数求参数 7．（22-23高二下·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数. (1)若为的一个极值点，求实数a的值并此函数的极值； (2)若恰有两个零点，求实数a的取值范围. 8．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）有3个不同的零点，则的取值范围是 ． 9．（24-25高二下·江西·阶段练习）若函数在处的切线与的图象有三个公共点，则k的范围 ． 10．（2025·山西太原·一模）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点4 已知存在零点求参数 11．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，若在上存在零点，求的取值范围. 12．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求的值； (2)函数在区间上存在零点，求的值． 13．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）设函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)已知函数有两个极值点，求的取值范围； (3)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围． 考点5 利用比值代换解决零点不等式 14．（22-23高二下·山西吕梁·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，且．证明：． 15．（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个零点，，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，求证：. 16．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数. (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程； (2)若函数在上恰有2个零点，. ①求的取值范围； ②求证：. 考点6 利用消参减元解决零点不等式 17．（2023·广西·模拟预测）已知函数，其中为非零实数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，且，证明：. 18．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数，其中. (1)若有两个零点，求a的取值范围； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点，（），证明：. 考点7 利用极值点偏移解决零点不等式 19．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； (3)如果，且，证明：． 20．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 考点8 隐零点问题 21．（24-25高三上·天津·阶段练习）设函数 ，其中 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 ， （i） 证明: 函数 恰有两个零点; （ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: . 22．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）已知函数 (1)当时，函数的图像恒在的图像的下方，求实数的取值范围； (2)设函数的两个不同极值点分别为，求实数的取值范围. 23．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)在（1）条件下，若已知方程有两个不同的实根，求实数的取值范围； (3)求证：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【题海探秘】2024-2025高二下学期数学期中期末考考点复习指南（人教A版2019） 专题05 利用导数解决函数零点问题 8考点复习指南 【问题背景】 函数零点问题综合了函数、方程、不等式等多方面知识，常常涉及函数的性质、图象以及方程的求解。在实际解题中，判断函数零点的个数、确定零点的位置以及根据零点情况求参数范围等问题，具有较高的难度和复杂性。这些问题不仅需要对函数的概念和性质有深入理解，还需掌握各种数学方法和技巧的综合运用。传统方法在处理复杂函数的零点问题时往往效果不佳，而导数的引入为解决这些问题提供了新的视角和有力手段。导数可以精确地分析函数的单调性、极值和最值等性质，通过这些性质能够更深入地研究函数零点的相关问题，使得原本复杂的问题变得更加可解。 【处理角度】 1.求导分析：对函数进行求导是解决函数零点问题的基础步骤。通过求导，得到函数的导数表达式，根据导数的正负判断函数的单调性，导数大于 0 时函数单调递增，导数小于 0 时函数单调递减。根据导数为 0 的点确定函数的极值点，进而求出函数的极值和最值。在分析函数单调性和最值的过程中，为判断零点个数、证明零点存在性以及解决与零点相关的不等式提供了关键依据。 2.构造函数：根据函数零点问题的特点和解题需要，构造合适的函数是常用的策略。构造函数后，通过对其求导，研究函数的性质，将函数零点问题转化为函数的性质问题。在证明零点个数或解决零点不等式时，构造一个函数，通过研究该函数的单调性和最值来达到解题目的。构造函数的关键在于根据问题的结构，选择合适的函数形式，使其能够有效地解决原问题。 3.分类讨论：当问题中存在参数时，往往需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论。在求含参函数的单调性、极值和最值时，参数的取值会影响函数的性质，因此需要分情况讨论。通过分类讨论，分别分析不同情况下函数的性质，从而确定函数零点的个数、位置以及参数的取值范围。在分类讨论时，要做到不重不漏，全面考虑各种可能的情况。 4.等价转化：将函数零点问题进行等价转化，使其变为更容易处理的形式。将函数零点个数问题转化为方程根的个数问题，将双变量问题转化为单变量函数问题等。通过等价转化，能够将复杂的函数零点问题转化为熟悉的数学问题，利用已有的知识和方法进行求解。在转化过程中，要确保转化的等价性，避免出现错误。 5.数形结合：借助函数图象可以直观地理解函数的性质和零点的分布情况。通过画出函数的图象，观察函数的单调性、极值和最值等特征，结合图象来分析函数零点的个数、位置以及与零点相关的不等式。在研究函数零点问题时，结合图象可以更直观地理解函数的变化趋势，为解决问题提供思路。数形结合的方法能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，提高解题的效率和准确性。 【解法策略】 1.判断或讨论零点的个数：通过对函数求导，分析函数的单调性和极值情况，结合函数的定义域和边界值，利用零点存在定理来判断或讨论函数零点的个数。当函数在某个区间内单调递增且两端点函数值异号时，该区间内必有一个零点；若函数存在多个单调区间和极值点，则需综合考虑各区间内的情况来确定零点个数。 2.证明零点的个数：依据函数的导数确定函数的单调性和极值，利用零点存在定理，结合函数在特定区间的取值情况，证明函数零点的唯一性或存在性。在证明过程中，常常需要构造辅助函数，通过研究辅助函数的性质来达到证明的目的。 3.已知零点个数求参数：将函数零点个数问题转化为方程根的个数问题，通过参变分离，将参数与变量分离到等式两边，构造新的函数。利用导数研究新函数的单调性、极值和最值，结合函数图象，根据零点个数确定参数的取值范围。 4.已知存在零点求参数：先对函数求导，分析函数的单调性和极值，根据函数在给定区间内存在零点这一条件，建立关于参数的不等式或方程。通过求解不等式或方程，确定参数的取值范围。在这个过程中，需要充分考虑函数的单调性对零点存在性的影响。 5.利用比值代换解决零点不等式：当函数有两个零点时，利用零点所满足的等式进行比值代换，将双变量问题转化为单变量问题。然后构造新的函数，通过对新函数求导，研究其单调性和最值，从而证明与零点相关的不等式。 6.利用消参减元解决零点不等式：当函数存在极值点且与零点相关的不等式中含有参数时，利用导数将函数的极值点转化为导函数的零点，建立参数与极值点之间的关系，通过消参减元简化目标函数。再构造相应的函数，利用导数研究其性质，进而证明不等式。 7.利用极值点偏移解决零点不等式：对于函数存在极值点，且两个变量与极值点存在某种关系的不等式证明问题，通过构造差函数，利用导数研究差函数的单调性，根据差函数的性质来证明不等式。在解决极值点偏移问题时，需要深入理解极值点的性质以及函数的单调性，通过构造合适的函数并分析其导数，来证明与极值点和变量相关的不等式。 8.隐零点问题：当函数的零点无法直接求出时，利用零点存在定理确定零点的存在区间，将零点代入函数或相关式子进行化简和推理，结合导数分析函数的单调性和最值，从而解决与函数零点相关的问题。在处理隐零点问题时，关键是要巧妙利用零点所在区间以及函数在该区间的性质，通过合理的变形和推导来解决问题。 考点1 判断或讨论零点的个数 1．（2023·山东济宁·一模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）求导得到，根据导函数的正负得到单调区间. （2）求导得到，确定函数的单调区间，计算和，得到和，考虑，，，，几种情况，计算零点得到答案. 【详解】（1）当时，， 当时，；当时，；当时，， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为. （2）， 令，得或，由于， 当时，；当时，，当时，. 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为. ， 令，得， 当时，，又， 所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点； 当时，，又， 所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和； 令，得， 现说明，即，即显然成立. 因为，故， 当时，，又. 所以存在唯一，唯一，唯一， 使得，此时函数有3个零点， 当时，，又. 所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和2 . 当时，，又. 所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点. 综上所述，当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当 时，函数有3个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有1个零点. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的单调性问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定函数的单调区间，根据函数值分类讨论确定零点个数是解题的关键，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握. 2．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）先将问题转化为与的交点个数，再由（1）画出函数图象后可得. 【详解】（1），， 令， 所以当时，，为单调递减函数； 当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递增函数， 所以的极大值为，极小值为. （2）的零点个数即为与的交点个数， 由，可得，， 时；时；时， 结合（1）画出图象如下： 所以，当时，函数无零点； 当或，函数有一个零点； 当或时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点. 3．（2025·贵州六盘水·一模）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1个 【分析】（1）求导通过，即可求证； （2）由题意可得在有变号的根，再由的单调性，结合零点存在性定理构造不等式求解即可； （3）由切线方程求得，再通过函数的单调性即可求解； 【详解】（1）当时，由，可得， 因，则，又因为，则， 所以函数在单调递增； （2）， 因为函数在有极值，所以在有变号的根， 又因为在单调递增，则， 即，所以，解得， 故实数a的取值范围为； （3）因为函数在点处的切线方程为， 所以，且， 解得． 故则， 当时，，即在单调递增， 因，所以在没有零点； 当时，，即在没有零点． 综上所述，函数的零点个数为1个． 考点2 证明零点的个数 4．（2024高二上·全国·专题练习）已知e是自然对数的底数，，，，． (1)设，求的极值； (2)设，求证：函数没有零点． 【答案】(1)没有极大值，极小值为． (2)证明见解析 【分析】（1）利用导函数与单调性、极值的关系求解； （2）利用导函数与单调性、最值的关系确定函数零点的个数. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 所以． 由，得． 因为是增函数， 所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 所以函数没有极大值，只有极小值， 且当时，取得极小值， 所以的极小值为． （2）证明：因为，， 所以， 所以． 由，， 解得， 所以当时， ，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 最大值为． 因为，所以，所以． 所以当时，函数没有零点． 5．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：在上有且只有一个零点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）利用导数求的单调性，按的不同取值分类讨论即可求解； （3）利用导数求的单调性，结合零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，，，， 所以在点处的切线方程为， 即. （2）因为，且， 由得， 当时，在上恒成立， 所以单调递增，恒成立， 当时，， 又因为，所以， 则在上，， 记，则时，，单调递减， ，与恒成立不符， 综上所述，恒成立，实数的取值范围是. （3）当时，， 令，则，， 当时，，单调递减， 所以在上，，， 易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点， 令，， 在上，单调递减，，， 所以存在使得，在上，在上，； 因此在上单调递增，在上单调递减，，； 所以存在使得，在上，在上，； 故在上单调递增，在上单调递减，且，， 所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点 综上所述，时，函数在上有且只有一个零点. 6．（2025·全国·一模）已知函数，. (1)当时，求的最大值； (2)证明：存在唯一极值点； (3)若存在开区间，使得，当且仅当，求的取值范围. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，先对函数求导，根据导数的正负判断函数单调性，进而求出最大值. （2）对求导后，分离参数构造新函数，分析新函数的单调性和零点情况，数形结合证明存在唯一极值点. （3）假设存在区间，根据（2）结论作出大致图象，结合图形确定区间端点满足的关系并求解得，由得的取值范围，再加以验证充分性可得. 【详解】（1）当时，，， 则，其中， 当时，，则， 所以，在单调递增； 当时，，则， 所以，在单调递减； 故. （2）函数，， 则，令， 得，构造函数， 则在上单调递增，且， 当；当； 故对任意，直线与函数有且仅有一个交点，设横坐标为， 当时，，则， 即，则在上单调递增； 当时，，则， 即，则在上单调递减； 故存在唯一极大值点，得证.    （3），其中， 由（2）知，在上单调递增，在上单调递减， 则，且， 又当；. ①假设存在区间，其中，使得，当且仅当， 则有，下面讨论与的大小. 若，如图，，当且仅当，其中，      由，故不满足题意； 所以且.    此时有， 由，解得； 由，则， 可得，故解得， 故若存在区间，使得，当且仅当， 则，即区间，所以.    ②下面验证：当时，条件，即成立. 由， 由为的极大值点，则，且， 可得，代入， 构造函数， 在上单调递增，则， 即时，恒成立，所以，即满足条件， 所以有，且当时，. 故当时，存在开区间，使得，当且仅当. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题难点在第（3）问，关键在于分类讨论极值与区间的关系. 考点3 已知零点个数求参数 7．（22-23高二下·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数. (1)若为的一个极值点，求实数a的值并此函数的极值； (2)若恰有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）由求得，结合函数的单调性求得的极值. （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】（1），依题意， 此时，所以在区间递减； 在区间递增. 所以的极小值为，无极大值. （2）依题意①有两个解， ，所以不是①的解， 当时，由①得， 构造函数， ， 所以在区间递增； 在区间递减. 当时，；当时，， ，要使与的图象有两个交点， 则需. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】根据极值点求参数，要注意的是由求得参数后，要根据函数的单调区间进行验证，因为导数为零的点，不一定是极值点.利用导数研究函数的零点，可以考虑分离常数法，通过分离常数，然后利用构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围. 8．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）有3个不同的零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用导数判单调性，再求出极值，列式即可． 【详解】因为，则． 令，解得或，所以在，上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由于有三个不同的零点， 所以，解得，即的取值范围是. 故答案为：． 9．（24-25高二下·江西·阶段练习）若函数在处的切线与的图象有三个公共点，则k的范围 ． 【答案】 【分析】首先利用导数的几何意义求切线方程，再转化为切线与在有两个不同的解，利用参变分离转化为二次函数图象问题，即可求解. 【详解】，，，所以切线方程为， ，，， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 所以与只有1个交点，交点坐标为， 由题意可知：在有两个不同的解， ，， 函数在区间单调递减，在区间单调递增， 且在区间的值域为， 若与在区间有两个交点， 则的范围为. 故答案为： 10．（2025·山西太原·一模）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题化为在上有三个根，进而化为有三个根，导数研究且的区间单调性和值域，讨论参数m判断方程根的个数求参数范围. 【详解】令，则， 两侧平方得，即， 所以， 对于且，有， 上，即在上单调递增， 上，即在上单调递减， 当时有，当时有，当时有， 在上值域为，在上值域为，在上值域为， 当时，，则有三个根，则，满足题设； 当时，，可得或，共有两个零点，不合题设； 当时，或，且， 若，则，即为其中的两个根， 此时，结合上述分析且有且仅有一个根，共有三个零点，满足题设； 若，则为其中的两个根，而且有且仅有一个根为， 此时，一共只有两个零点，不满足题设； 若，则，此时为其中一个根， 此时，结合上述分析且有且仅有一个根，共有两个零点，不满足题设； 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 考点4 已知存在零点求参数 11．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)，没有极小值 (2) (3) 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）利用导函数求函数的最值； （3）求函数的导数，构造新的函数，根据函数的导数，对进行分类，结合函数的单调性、零点存在定理和极值即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域是，则， 令，得，变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 所以，没有极小值. （2）当时，，， 则. 令，， 则， 则在上是增函数，则， 所以，即在上是增函数， 则. 故当时，在上的最小值是； （3），， . 令，，， 当时，，则在上是减函数，则. ①当时，，则在上是减函数，，不合题意； ②当时，，，，则存在，使， 即，变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 极大值 则， 因为在上有零点， 所以，解得. 所以，的取值范围是. 12．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求的值； (2)函数在区间上存在零点，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据切线确定切点，再由切点在函数图象上求参数值； （2）对函数求导，研究函数的区间单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间求参数值. 【详解】（1）因为曲线在处的切线方程为，所以切点为， 所以，得； （2）由（1）得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，又， 所以在区间上存在一个零点，此时， 因为，， 所以在区间上存在一个零点，此时， 综上，或． 13．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）设函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)已知函数有两个极值点，求的取值范围； (3)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调减区间为的单调增区间为 (2) (3) 【分析】（1）利用导数可得答案； （2）转化为在上有两个不同的实数根，令，求出在上的单调性可得答案； （3）求出，令，分、讨论函数的单调性可得答案. 【详解】（1）由函数， 可得， ， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 故函数的单调减区间为的单调增区间为； （2）因为函数有两个极值点， 所以在上有两个不同的变号零点， 即在上有两个不同的实数根． ，令，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，上单调递减， ，所以； （3）由函数， 可得， 令， 当时，，即在区间上单调递增． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 当时，函数的图象开口向上，且对称轴为直线， 由，解得， 当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递减． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意． 综上可得，， 设使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为． 【点睛】思路点睛：第三问函数在区间上存在唯一零点，需要结合函数的单调性，分情况讨论函数在该区间端点处函数值的情况，从而确定的取值范围. 考点5 利用比值代换解决零点不等式 14．（22-23高二下·山西吕梁·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，且．证明：． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）按a分类讨论，利用导数与原函数的关系即可求得函数的单调性； （2）利用分析法去证明，过程中构造函数，利用导数证得，从而证明原不等式成立. 【详解】（1）的定义域为， 当时，在上恒大于0，所以在上单调递增， 当时，由，可得 当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由题可得， 两式相减可得， 要证，即证， 即证，即证， 令，则，即证， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，故原命题成立． 15．（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数. (1)若函数有两个零点，，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据题目条件分析得出；再利用导数判断函数的单调性和最值以及结合零点存在性定理即可求解. （2）先根据，是函数的两个零点，得出，，；再设，建立方程组得出，，将证明转化为证明；最后构造函数，利用导数判断函数的单调性及最值，即可求证. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增，至多一个零点，不符合题意. . 由可得：. 令，得；令，得， 故在上单调递减，在上单调递增, . 又当时，，， 结合的单调性，要使函数有两个零点，，须满足，解得. 当时，， （证明，令， 则. 令，得；令，得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，即，证得） 由零点的存在性定理可得：在和上各有一个零点 综上可得：当时，有且仅有两个零点，， 所以的取值范围为. （2）证明：由（1）可知，是函数的两个零点， 所以，，解得，， 则. 设， 则，解得，. 要证， 只要证， 即证. 令， 则， 所以函数在上单调递增， 所以， 即证得. 16．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数. (1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程； (2)若函数在上恰有2个零点，. ①求的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出，从而得到切线方程； （2）①问题转化为恰有2个不相等的正实数根，，令，利用导数求出函数的单调性和最值，数形结合得解；②由题可得，，得，利用分析法可将所证明问题转化为，令，令，利用导数求出最值得证. 【详解】（1）当时，，设直线与曲线相切于点， 因为，所以直线的斜率， 又，故的方程为， 又过原点，所以，所以， 所以，故的方程为，即. （2）①因为在上恰有两个零点， 所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，， 令，则与的图象有两个不同的交点. 因为，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示，    所以当时，直线与的图象有两个不同交点， 所以实数的取值范围为. ②由①知，， 所以，， 所以， 不妨设，则， 要证，只需证， 因为，所以，所以， 则只需证. 令，则只需证当时，恒成立， 令， 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，恒成立，所以原不等式得证. 考点6 利用消参减元解决零点不等式 17．（2023·广西·模拟预测）已知函数，其中为非零实数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，且，证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)证明见解析 【分析】(1)求导，得，分、、三种情况讨论导数的正负并确定函数的单调性； (2)由题意可得，则有，，将问题转化为证明，构造函数，求导，只需故即可. 【详解】（1）解：函数的定义域为， 则， ①当即时，，函数在上单调递增； ②当即时，令，得， 则当时，， 当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，，舍去. 则当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：因为有两个极值点，由（1）知当时，， 所以且，， 因为，所以，所以，， 要证， ， ， 令， 则， 所以在上单调递增，且， 故，即. 18．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知函数，其中. (1)若有两个零点，求a的取值范围； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点，（），证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令，设，将题意转化为关于t的方程有两个不等实根,即，解不等式即可得出答案； （2）对求导,分别讨论与的情况即可； （3）由根与系数的关系可得，，代入所证不等式，将不等式转化为证明，设，证明即可. 【详解】（1）令，可得， 设，则，有两个零点， 等价于关于t的方程有两个不等实根. 所以，解得，或， 又，所以，即a的取值范围是. （2）. 若，则恒成立，所以在上单调递增. 若，令，得，. 当时，，当时，. 故在区间和上单调递增，在区间上单调递减. （3）由（2）知，且，是方程的两个根， 所以，， 又，所以，即. 因为 ， 所以待证式等价于， 即要证，即证， 亦即证. 设，则. 设， 当时，，在上单调递减， 所以当时，， 则，在上单调递减， 因为，所以，证毕. 考点7 利用极值点偏移解决零点不等式 19．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； (3)如果，且，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减为； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由导数知识可得的单调区间； （2）由题可得，然后研究单调性，可完成证明； （3）方法1，由导数知识可得大致图象，据此可得，然后通过研究函数，可得对恒成立，最后由题意，结合，可完成证明；方法2，要证，即证，然后通过研究可完成证明；方法3，令，要证，即证：，然后通过研究可完成证明. 【详解】（1）. 。 则的单调递增区间为，单调递减为； （2）因的图象与的图象关于直线对称， 则. 构造函数， 则. 因，则， 则在上单调递增，则， 即当时，； （3）法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，， 函数在处取得极大值，且，如图所示． 由，不妨设，则必有， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，， 也即对恒成立．由，得， 所以，即， 又因为，且在上单调递减，所以， 即 法二：欲证，即证，由法一知， 故， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为， 故也即证，构造函数， 则等价于证明对恒成立． 由，则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 法三：由，得，化简得， 不妨设，由法一知，．令，则， 代入，得，反解出，则， 故要证：，即证：， 又因为，等价于证明：， 构造函数，则， 令. 故在上单调递增，， 从而也在上单调递增，，即证成立， 也即原不等式成立． 【点睛】关键点睛：对于极值点偏移问题，常有两种思路，第一种将所证不等式转化为，后利用，构造与或有关的函数，将双变量问题转变为单变量问题；第二种思路，将双变量问题转变为与，之间差值或商值有关的单变量问题. 20．（23-24高三上·陕西汉中·期中）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后解不等式、即可求得极值. （2）运用导数研究的单调性，进而可求得其最小值. （3）由已知可得，构造函数，根据其单调性可得，构造函数并研究其单调性，构造函数并研究其单调性，当时，依次结合函数、的单调性即可证得结果. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为，， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. （2）由题意知函数的定义域为. ， 则，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. （3）不妨设，则由（2）知，. 设，由，得， 即， 因为函数在R上单调递增，所以成立. 构造函数，则， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即. 【点睛】极值点偏移问题的方法指导： (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 考点8 隐零点问题 21．（24-25高三上·天津·阶段练习）设函数 ，其中 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 ， （i） 证明: 函数 恰有两个零点; （ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: . 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）先，再求，由点斜式即可求解； （2）（i）求导得，构造并应用导数研究单调性，进而判断符号确定单调性，可求极值点所在的区间为，再证上，由此得，结合零点存在性定理即可证结论； （ii）由①结合题设可得，结合上，即可证结论. 【详解】（1）由题设，且，则， 所以，又， 所以切线方程为，即：. （2）（i）由，令，又， 易知在上递减， 又，， ∴在上有唯一零点，即在上唯一零点， 设零点为，则， ∴，，递增；，，递减； ∴是唯一极值点，且为极大值， 令且，则，故在上递减， ∴，即， ∴，又， 根据零点存在性定理知在上存在零点，又∵在单调递减； ∴在存在唯一零点， 又∵，在上单调递增；， ∴在上的唯一零点为1， 故恰有两个零点； （ii）由题意，，即， 则，即， 当时，，又，则， ∴，得， 即，得证. 【点睛】方法点睛：在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究. 22．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）已知函数 (1)当时，函数的图像恒在的图像的下方，求实数的取值范围； (2)设函数的两个不同极值点分别为，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将题目转化成恒成立，进行参数分离后，可得，令，求导并计算的最大值，可得结果； （2）求的两个不同极值点，即求有两个不等实根，即函数有两个不同的零点.通过必要性令最大值得出后，再通过充分性证明辅助结果成立. 【详解】（1）由题可知，当时，恒有. 即， 参数分离可得， 令，， 则， 令， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以， 所以， 故实数的取值范围是. （2）由题可得，，定义域为， ， 则有两个不等实根， 令函数，即有两个不同的零点. ，令，则， 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，，所以在区间上单调递减. 故的极大值也是最大值为. 因为有两个不同的零点，所以， 即，即； 当时，当时，恒成立， 故至多一个零点，不符合题意， 综上所述：. 下证：当时，有两个不同的零点. ∵在区间上单调递增，且， 根据零点存在定理，知在区间内有唯一零点； 即， ，令，则， 令函数， 则，， 所以， ∵在区间上单调递减，且， 根据零点存在定理，知在区间内有唯一零点. 所以当时，有两个不同的零点. 综上所述，实数的取值范围为. 23．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)在（1）条件下，若已知方程有两个不同的实根，求实数的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1)极小值1，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数后判断导数的符号可得函数的单调性； （2）设，根据（1）的单调性可得最小值的符号，再根据零点存在定理检验后可得参数的取值范围； （3）求出函数的零点后利用虚设零点可得函数的最小值，结合基本不等可判断最小值符号后可证明题设中的不等式. 【详解】（1）若，， 所以，，        · 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增．         又， 所以，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当时，函数的极小值，无极大值 （2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 设， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为方程有两个不同的实根，故在有两个不同的零点， 故即， 此时且， 故在有且只有一个零点. ，而， 因为在上单调递增， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故，而， 故在有且只有一个零点. 综上，. （3）的定义域为， ，    · 令，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 当时，取最小值， 因为，所以，， 所以， , 当且仅当，即时等号成立．  所以成立． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$