清单03 整式的运算（6个考点清单+19种题型解读）七年级数学下学期新教材北京版

清单03 整式的运算（6个考点梳理+19种题型解读） 清单01 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 清单02 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 清单03 同底数幂的除法 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 零指数 a0=1 (a≠0) 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 清单04 整式的乘法 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 清单05 整式的除法 单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单06 乘法公式 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 补充公式 ；； ；. 【考点题型一 多项式的升幂、降幂排列】（） 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·重庆万州·期末）把多项式按的降幂排列后，它的第三项为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按降幂排列： ． 【变式1-4】（24-25七年级下·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 【考点题型二 整式的加减运算】（） 【例2】（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）若，，则 ． 【变式2-2】（24-25六年级上·山东东营·期末）现定义一种新运算“⊕”：对于任意有理数x，y，都有，例如． 则 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·河北邢台·期中）计算： (1) (2) 【变式2-4】（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）已知． (1)求； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【考点题型三 整式加减的应用】（） 【例3】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P，Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3． (1)小长方形M的长为_________；（用含a的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③． (1)根据图形，写出三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是____（填序号）； (2)若图中阴影部分的面积为3，求正方形的边长； (3)图中阴影部分的周长是否与正方形的边长有关？若有关，用含边长的代数式表示阴影部分的周长；若无关，请说明理由． 【变式3-2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按付款 (1)请用含的式子表示到甲商店购买需要支付___________元，到乙商店购买需要支付___________元； (2)若两家的优惠方案总价相同，求的值． 【变式3-3】（24-25七年级上·陕西榆林·期中）小伟同学在数学课上做了一道题：已知两个多项式、，求的值，由于他的马虎错将看成，求得结果为，已知，请你帮他求出正确的答案． 【变式3-4】（24-25六年级上·山东威海·期末）A市、B市和C市分别有某种机器20台、20台、16台，现在决定把这些机器支援给D市36台，E市20台．已知调运机器的费用如表所示： A市 B市 C市 D市 200元/台 300元/台 400元/台 E市 800元/台 700元/台 500元/台 设从A市、B市各调x台到D市（） (1)C市调运到D市的机器为__________台，A市调运到E市的机器为__________台，B市调运到E市的机器为__________台，C市调运到E市的机器为__________台，（用含x的代数式表示）； (2)B市调运到E市的机器的费用为__________元（用含x的代数式表示，并化简）； (3)求调运完毕后的总运费（用含x的代数式表示，并化简），并求出当时调运完毕后的总运费． 【考点题型四 同底数幂乘法】（） 【例4】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下列四个式子：；；；．其中同的计算结果相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）若a是大于1的正整数，且满足，则n的值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-2】（2025·甘肃张掖·一模）已知m，n为正整数，若，则 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-4】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知，求的值． 【考点题型五 科学记数法】（） 【例5】（23-24九年级下·山西大同·阶段练习）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式5-1】（2022·山西运城·一模）2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式5-2】（2024七年级上·全国·专题练习）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 【变式5-3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，千克镭完全蜕变后放出的热量相当于 千克煤放出的热量． 【变式5-4】（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）某种计算机每秒可做次运算，它工作秒时运算的次数用科学记数法表示为 . 【考点题型六 幂的乘方】（） 【例6】（24-25九年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知，，若，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·陕西西安·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025七年级下·全国·专题练习）若，则满足的关系式是 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式6-4】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，． (1)直接写出结果：______； (2)求的值． 【考点题型七 积的乘方】（） 【例7】（24-25七年级下·山西·开学考试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）若，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）用的幂的形式表示： ． 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式7-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【考点题型八 同底数幂的除法】（） 【例8】（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知，，则的值为（　　） A．9 B．39 C．2 D．108 【变式8-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【变式8-2】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）已知，则 ． 【变式8-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-4】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）（1）已知，．则______，_______． （2）已知，求的值． 【考点题型九 零指数幂与负整数指数幂】（） 【例9】（2025七年级下·山东·专题练习）已知，则下列关于的大小关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如果，则x的值为（  ） A． B．3 C． D． 【变式9-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）计算： ． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如果，，则a b（用或填空）． 【变式9-4】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）计算：； 【考点题型十 幂的运算结果等于1】（） 【例10】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果等式成立，则满足条件x值为（   ） A．3或 B．4或3或 C．4或2或 D．4或 【变式10-1】（2024七年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A．3 B．1 C．0 D．3或0 【变式10-2】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如果等式，则x的值为 ． 【变式10-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，则满足条件的所有x的值为 ． 【变式10-4】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________． (2)若，求的值． (3)延伸迁移：若，请直接写出a的值． 【考点题型十一 整式的乘法】（） 【例11】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果中，含的项的系数为（   ） A． B．1 C．5 D． 【变式11-1】（24-25七年级下·全国·期中）若，则 ． 【变式11-2】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）在的运算结果中，项的系数是，那么的值是 ． 【变式11-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式11-4】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【考点题型十二 多项式乘法与图形面积】（） 【例12】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；    ； ；    ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25八年级上·北京·期中）有两个正方形、，将，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 【变式12-2】（2025七年级下·全国·专题练习）公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）A，B两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材A，B面积分别为，，比较，的大小，则 ．（填“”或“”或“”）    【变式12-4】（2024七年级下·全国·专题练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图①可以得到．请解答下列问题： (1)写出图②所表示的数学等式：________ (2)解决下面问题：已知，求的值． 【考点题型十三 多项式乘法的化简求值】（） 【例13】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）已知的展开式中不含项，常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【变式13-1】（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中 ，． 【变式13-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式13-3】（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，求代数式 【变式13-4】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)当，分别求M，N的值． (2)若，求的值． 【考点题型十四 多项式乘法的规律性计算】（） 【例14】（24-25八年级上·四川泸州·期末）仔细观察，探索规律： 则（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； … 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【变式14-2】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（）的展开式的系规律（按a的次数由大到小顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 【变式14-3】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）计算： ． ． ． ． 从上面的计算中你发现的规律（用含n的一般形式表示） ． 【变式14-4】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）观察下列等式： ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：； (3)利用（2）中的等式化简：． 【考点题型十五 整式乘法混合运算】（） 【例15】（23-24八年级上·河南南阳·期末）计算： (1)； (2)． 【变式15-1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题 (1) (2) 【变式15-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式15-3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【变式15-4】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）已知，是多项式，计算时，某同学把误写成，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 【考点题型十六 乘法公式】（） 【例16】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列多项式中是完全平方式的有（    ） ①     ②      ③       ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式16-1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）设，，其中为实数，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）若，则的值是 ． 【变式16-3】（2025七年级下·全国·专题练习）若，则m的值为 ． 【变式16-4】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) 【考点题型十七 乘法公式与几何图形】（） 【例17】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）若用四个完全相同的这样的长方形（长为a、宽为b）拼成如图1的正方形，请用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式：____________； （2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， ①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：____________； ②利用上面所得的结论解答：，，求的值． 【变式17-1】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图①，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中的阴影部分的边长为 ； (2)观察图②，写出代数式，与之间的等量关系式； (3)若，求的值． 【变式17-2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 【变式17-3】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 直接应用：（1）若，，直接写出的值为______． 类比应用：（2）①若，则______； ②若a满足，求的值． 知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积． 【变式17-4】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）数形结合是一种重要的数学思想，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．    （1）如图1，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为______；（用、表示） （2）①类比（1）的探究过程，用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为______；（用、、表示）； ②根据上面的结论，已知．，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个探究过程，请画图探索的结果（用、、、表示）． 【考点题型十八 乘法公式的变形求值】（） 【例18】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）若，则的值是（　　） A． B．11 C． D．22 【变式18-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）已知，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【变式18-2】（24-25七年级下·全国·期中）已知，则 ． 【变式18-3】（24-25七年级下·甘肃白银·阶段练习）已知，，则 ． 【变式18-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； 类比应用： （2）若，，求的值． 【考点题型十九 多项式除法】（） 【例19】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【变式19-1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 【变式19-2】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个多项式． ． (1)求被手掌遮住的多项式； (2)当，时，求被手掌遮住的多项式的值． 【变式19-3】（23-24七年级下·浙江·期中）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)配方： ． (2)先化简，再求值：，其中、满足． 【变式19-4】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)的商是_______． (2)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． (3)在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 8 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 整式的运算（6个考点梳理+19种题型解读） 清单01 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 清单02 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 清单03 同底数幂的除法 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 零指数 a0=1 (a≠0) 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 清单04 整式的乘法 单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 清单05 整式的除法 单项式的除法法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 清单06 乘法公式 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 补充公式 ；； ；. 【考点题型一 多项式的升幂、降幂排列】（） 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按的升幂排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式按的升幂排列为． 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【详解】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·重庆万州·期末）把多项式按的降幂排列后，它的第三项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，把多项式降幂排列就是把多项式的项按照次数从大到小的顺序排列，解决本题的关键是把多项式按的降幂排列，然后再找到第三项即可． 【详解】解：把多项式按的降幂排列， 得到：， 它的第三项为． 故选：C ． 【变式1-3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）把多项式按降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键．先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按降幂排列为：． 故答案为：． 【变式1-4】（24-25七年级下·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按的降幂排列； (2)按的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的有关知识，关键是掌握多项式降幂或升幂排列的概念． （1）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母降幂排列，由此即可得到答案． （2）把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母升幂排列，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：多项式按的降幂排列为： （2）解：多项式按的升幂排列： 【考点题型二 整式的加减运算】（） 【例2】（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减．根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加减，按照题意计算即可，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25六年级上·山东东营·期末）现定义一种新运算“⊕”：对于任意有理数x，y，都有，例如． 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算的法则是解题的关键； 根据题意写出算式，根据运算法则计算即可； 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级上·河北邢台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项：合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． （1）先去括号，再合并同类项， （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-4】（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）已知． (1)求； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减的化简求值， 对于（1），将代数式代入，再根据整式的加减法法则计算； 对于（2），先代入，再根据整式的加减法法则计算，然后根据与y的值无关，得其系数为0，求出答案即可． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：因为， 所以 . 因为的值与y的取值无关，所以， 解得：． 【考点题型三 整式加减的应用】（） 【例3】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P，Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3． (1)小长方形M的长为_________；（用含a的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为56 【分析】本题考查了根据几何图形列代数式，整式的加减等知识点，确定各几何图形的长和宽是解题关键． （1）由图可知：小长方形的宽小长方形的长，据此即可求解； （2）由图可得阴影图形的长为，宽为，阴影图形的长为9，宽为，故阴影图形和阴影图形的周长之和为，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵小长方形的宽为3， ∴小长方形的长为， 答：小长方形的长为； （2）解：由图可得：阴影图形的长为，宽为； 阴影图形的长为9，宽为． 则阴影图形与阴影图形的周长之和为 ， 所以阴影图形P与阴影图形Q的周长之和与a的值无关， 故若，能求出阴影图形与阴影图形的周长之和． 当时，， 故当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为56． 【变式3-1】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③． (1)根据图形，写出三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是____（填序号）； (2)若图中阴影部分的面积为3，求正方形的边长； (3)图中阴影部分的周长是否与正方形的边长有关？若有关，用含边长的代数式表示阴影部分的周长；若无关，请说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3)阴影部分的周长与正方形的边长无关，理由见详解 【分析】本题主要考查代数式与图形面积、周长的计算，理解图示，掌握整式的混合运算是解题的关键． （1）根据图形的特点，正方形的特点进行分析即可求解； （2）根据题意设，，结合图形分别表示出各部分的面积，由，代入计算即可求解； （3）根据阴影部分的周长的计算进行判定即可求解． 【详解】（1）解：正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③，即③遮住了②①，②遮住了①， ∴三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是①②③， 故答案为：①②③； （2）解：如图所示， ∵正方形内部摆放着三个边长为2的正方形， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积， ， 整理得，， ∴， 解得，， ∴； （3）解：阴影部分的周长与正方形的边长无关，理由如下， 阴影部分的周长， 其中，，，， ∴原式， ∴阴影部分的周长与正方形的边长无关． 【变式3-2】（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按付款 (1)请用含的式子表示到甲商店购买需要支付___________元，到乙商店购买需要支付___________元； (2)若两家的优惠方案总价相同，求的值． 【答案】(1)， (2)240 【分析】本题考查了代数式的求值、列代数、由实际问题抽象出一元一次方程． （1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）根据两家的优惠方案总价相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意，甲商店购买需付款：元， 乙商店购买需付款：元； 故答案为：，； （2）解：两家的优惠总价相同， ， 解得， 的值为240． 【变式3-3】（24-25七年级上·陕西榆林·期中）小伟同学在数学课上做了一道题：已知两个多项式、，求的值，由于他的马虎错将看成，求得结果为，已知，请你帮他求出正确的答案． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是根据题意，则，求出多项式，再根据整式的加减运算，计算，即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 【变式3-4】（24-25六年级上·山东威海·期末）A市、B市和C市分别有某种机器20台、20台、16台，现在决定把这些机器支援给D市36台，E市20台．已知调运机器的费用如表所示： A市 B市 C市 D市 200元/台 300元/台 400元/台 E市 800元/台 700元/台 500元/台 设从A市、B市各调x台到D市（） (1)C市调运到D市的机器为__________台，A市调运到E市的机器为__________台，B市调运到E市的机器为__________台，C市调运到E市的机器为__________台，（用含x的代数式表示）； (2)B市调运到E市的机器的费用为__________元（用含x的代数式表示，并化简）； (3)求调运完毕后的总运费（用含x的代数式表示，并化简），并求出当时调运完毕后的总运费． 【答案】(1)，，， (2) (3)，26000元 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算的应用，正确利用基本数量关系，列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，求解即可； （2）先表示出市调运到市的机器台数，再根据单价求解即可； （3）求得调往各市的机器台数，再根据单价求解即可． 【详解】（1）设从A市、B市各调x台到D市（），则D市现有机器台，还需C市调运到D市的机器为台，A市调运到E市的机器为台，B市调运到E市的机器为，C市调运到E市的机器为台 故答案为：，，， （2）∵B市调运到E市的机器为， ∴B市调运到E市的机器的费用为元 故答案为： （3）由题可知：总费用为，当时，， 则调运完毕后的总运费为元 【考点题型四 同底数幂乘法】（） 【例4】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下列四个式子：；；；．其中同的计算结果相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变指数相加．把化简后与各式比较即可． 【详解】解：∵， ∴式子：；；；，其中同的计算结果相等的是①③． 故选C． 【变式4-1】（24-25九年级下·河北沧州·开学考试）若a是大于1的正整数，且满足，则n的值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是关键．由加法法则得，再由同底数幂的乘法法则得，即可得出n的值． 【详解】解：由已知得：， 即， ， 故选： 【变式4-2】（2025·甘肃张掖·一模）已知m，n为正整数，若，则 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，由已知得出，再根据同底数幂的乘法法则计算代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：16． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则； （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可； （3）先化为以x为底，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式4-4】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知，求的值． 【答案】64 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a、b的方程，解方程，可得答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：64． 【考点题型五 科学记数法】（） 【例5】（23-24九年级下·山西大同·阶段练习）月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】C 【分析】直接利用有理数的乘法运算法则求出即可． 【详解】解：， 地球到太阳的平均距离约为千米． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 【变式5-1】（2022·山西运城·一模）2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数解答． 【详解】解：21分20秒=1280秒， ×1280 =（米）， 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 【变式5-2】（2024七年级上·全国·专题练习）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及科学记数法．根据总重量大理石块数每块大理石的重量列出代数式，再计算求值即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式5-3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于千克煤放出的热量，千克镭完全蜕变后放出的热量相当于 千克煤放出的热量． 【答案】 【分析】根据题意，乘以，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握科学记数法以及同底数幂的乘法是解题的关键． 【变式5-4】（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）某种计算机每秒可做次运算，它工作秒时运算的次数用科学记数法表示为 . 【答案】1.5×1015 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：5×109×3×105=15×1014=1.5×1015． 故答案为：1.5×1015． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【考点题型六 幂的乘方】（） 【例6】（24-25九年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知，，若，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算规则及代数式变形能力．题目给出两个表达式和，要求通过等式建立关于和的方程，并选择正确的选项．解题关键在于将和分别转化为以3为底数的幂形式，再通过指数相等的性质建立方程． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式6-1】（2025·陕西西安·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 直接根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式6-2】（2025七年级下·全国·专题练习）若，则满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，先整理，结合，且，所以，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∵，且， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则是解题的关键． （1）将看作整体，用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）先根据幂的乘方运算法则进行计算，再根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （4）先根据幂的乘方和同底数幂运算法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【变式6-4】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，． (1)直接写出结果：______； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)1 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据得出即可； （2）根据得出，然后根据得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：4； （2）解：∵， ∴， ， ∵， ， ， ． 【考点题型七 积的乘方】（） 【例7】（24-25七年级下·山西·开学考试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方法则的逆用，将所给算式写成含积的乘方的形式成为解题的关键． 先所给算式写成含积的乘方的形式，然后运用积的乘方运算法则以及有理数乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故选B． 【变式7-1】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）若，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，解一元一次方程，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．先根据积的乘方的逆用得出，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：A． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）用的幂的形式表示： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方运算，掌握计算公式是解题的关键． 运用负数的偶次幂的特性，将原式化成，再利用同底数幂的乘法计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）和积的乘方法则（把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）； 故答案为：； （5）； 故答案为：； （6）． 故答案为：． 【变式7-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先利用积的乘方计算，再利用同底数幂的乘法计算即可； （2）先利用积的乘方计算，再利用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型八 同底数幂的除法】（） 【例8】（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知，，则的值为（　　） A．9 B．39 C．2 D．108 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的法则，逆用法则是关键．倒用同底数幂的除法的法则，将所求的幂拆分成已知条件的幂，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【变式8-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查幂乘方的运算法则逆用，同底数幂除法逆用，理解和掌握幂的乘方运算法则和同底数幂除法法则是解题的关键．逆用幂的乘方法则和同底数幂除法法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：18． 【变式8-2】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，利用幂的乘方变形得出同底数幂的乘法是解题关键．根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的除法进行计算，最后代入求出即可． 【详解】解：由，得, ， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、积的乘方运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）先由同底数幂的除法运算化简，再由乘方运算求解即可得到答案； （3）先由同底数幂的除法运算化简，再由积的乘方运算求解即可得到答案； （4）先由偶次方的性质恒等变形，再由同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-4】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）（1）已知，．则______，_______． （2）已知，求的值． 【答案】（1）6；；（2） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可； （2）把各个数字化为以3为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ； ； （2）∵ ∴                  ∴ 解得． 【考点题型九 零指数幂与负整数指数幂】（） 【例9】（2025七年级下·山东·专题练习）已知，则下列关于的大小关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查负指数幂，零次幂的运算，掌握负指数幂，零次幂的计算方法，实数比较大小的方法是关键． 根据负指数幂，零次幂的计算方法计算结果，再比较大小，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如果，则x的值为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了涉及负整数指数幂的计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 将化为，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 【变式9-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了负整数指数幂．根据负整数指数幂的性质计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如果，，则a b（用或填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂、负整数指数幂以及有理数大小比较，先计算，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式9-4】（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂和绝对值，然后计算加减． 此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 【详解】解： ． 【考点题型十 幂的运算结果等于1】（） 【例10】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果等式成立，则满足条件x值为（   ） A．3或 B．4或3或 C．4或2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的运算，根据1的任何次幂均为1，的偶数次幂均为1，任何非零数的零次幂均为1，即可进行解答． 【详解】解： 若，解得：，此时符合题意； 若，解得：，此时，，不符合题意； 当时，解得：，此时，符合题意； 综上：或． 故选：D． 【变式10-1】（2024七年级上·全国·专题练习）若，则的值是（   ） A．3 B．1 C．0 D．3或0 【答案】D 【解析】略 【变式10-2】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如果等式，则x的值为 ． 【答案】1或或0 【分析】本题考查利用乘方运算解方程，涉及，及等知识．由题意，结合，及分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：∵及，，， ∴分两种情况：①指数为；②底数为；③底数为，且指数为偶数； 当指数为时，，且，解得，且，即； 当底数为时，，解得； 底数为时，，解得，且，即； 故答案为：1或或0． 【变式10-3】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，则满足条件的所有x的值为 ． 【答案】或/或2 【分析】本题主要考查乘方运算，即非零数的零次幂的计算，的偶次幂的计算，理解并掌握零次幂的计算方法是解题的关键． 根据的偶次幂，非零数的零次幂的结果为1，分类讨论计算即可． 【详解】解：若时，则，原式成立， 若时，则，原式不成立， 若时，则 原式成立， 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式10-4】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________． (2)若，求的值． (3)延伸迁移：若，请直接写出a的值． 【答案】(1)1 (2)1或2025 (3)或或 【分析】此题主要考查有理数的乘方及零指数幂的意义，解题的关键是熟知有理数乘方的运算法则及零指数幂的意义． （1）根据1的任何次幂都等于1解答即可； （2）根据（1）三种情况讨论解答即可； （3）根据0的非零次幂等于0，1的任何次幂等于1，的奇数次幂等于解答即可． 【详解】（1）当时，（n为整数）； 故答案为：1； （2）由， 当时，， 解得； 此时底数为，成立 当时， 解得； 指数，是奇数， 结果为，不成立； 当时， 解得． 此时指数为， 此时结果为 所以x的值是1或2025； （3）由，可知 当时，， 解得； 当时， 解得； 当时，是奇数， 解得． 所以a的值是或或． 【考点题型十一 整式的乘法】（） 【例11】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果中，含的项的系数为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．根据多项式乘以多项式法则计算即可得． 【详解】解： ， 则计算的结果中，含的项的系数为， 故选：A． 【变式11-1】（24-25七年级下·全国·期中）若，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了求代数式的值及多项式乘以多项式运算，由多项式乘以多项式得，可得，，即可求解；能熟练进行多项式乘以多项式运算是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， 解得，， ， 故答案为：． 【变式11-2】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）在的运算结果中，项的系数是，那么的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中的系数是，列出关于的等式求解即可． 【详解】解：， ， 运算结果中的系数是， ， 解得， 故答案为：10． 【变式11-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算， （1）直接利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可； （2）直接利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可； （3）直接利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可； （4）先利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，然后去括号，最后进行合并即可； 解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式11-4】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，合并同类项等知识． （1）按照多项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可． （2）先按照多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可． （3）先按照多项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【考点题型十二 多项式乘法与图形面积】（） 【例12】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）一长方形如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了以下四种表示该长方形面积的算式： ；    ； ；    ． 其中正确算式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：长方形的面积由个长方形的面积之和，可表示为； 长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，可表示为，原算式不正确，不符合题意； 长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，可表示为，原算式正确，符合题意； 大长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式可表示为，原算式正确，符合题意； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【变式12-1】（24-25八年级上·北京·期中）有两个正方形、，将，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】题考查整式的乘法与图形面积，设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，，， 即，， ， 即正方形的面积为， 故选：B． 【变式12-2】（2025七年级下·全国·专题练习）公园里有一个长方形花坛，原来长为 ，宽为x，现在要把花坛四周均向外扩展，扩展后的长方形花坛的长，宽为，则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．用改变后的花坛的面积减去改变前的面积，计算即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长，宽， 这个花坛的面积将增加： ． 故答案为：． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）A，B两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材A，B面积分别为，，比较，的大小，则 ．（填“”或“”或“”）    【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及整式的大小比较，熟练掌握多项式乘多项式及整式的大小比较是解题的关键． 由题意及图形可得，进而运用作差法求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ∵， ， 故答案为：． 【变式12-4】（2024七年级下·全国·专题练习）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图①可以得到．请解答下列问题： (1)写出图②所表示的数学等式：________ (2)解决下面问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)45 【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值，熟练掌握列代数式是解题的关键． （1）根据大长方形面积等于各个长方形面积之和列式即可； （2）将代入求值即可． 【详解】（1）解：图②所表示的数学等式：， 故答案为：； （2）解：， 将代入， 得：， 解得． 【考点题型十三 多项式乘法的化简求值】（） 【例13】（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）已知的展开式中不含项，常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式化简求值，多项式中不含某个字母问题； （1）用多项式乘以多项式法则，去括号，合并同类项使得含有的项系数为，即可求解； （2）用多项式乘以多项式法则，去括号，合并同类项，，的值代入计算，即可求解； 理解多项式中不含某个字母无关的就是使得含有该字母的项系数为是解题的关键． 【详解】（1）解： 不含项，常数项是， ， 解得：， 故：，； （2）解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式13-1】（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】，； 【分析】本题考查整式的化简求值，先去括号，去绝对值，再根据乘除加减法则计算即可得到答案； 【详解】解：原式 ∵，， ∴原式 ， 当，时， 原式． 【变式13-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查整式的化简求值，整式的混合运算，先根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式法则去括号，合并同类项，再将字母的值代入计算即可，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 当时，原式． 【变式13-3】（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，求代数式 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值．先利用单项式乘以多项式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，结合条件进行变形，最后把已知等式代入计算即可求出值．将代数式化简成已知等式形式是解题关键． 【详解】解：原式， ， ， ， 原式， ． 【变式13-4】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知． (1)当，分别求M，N的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)M的值是，N的值是36； (2)． 【分析】（1）直接将a、b值代入，利用有理数的混合运算法则即可求得M，N值； （2）由，计算得到，化简得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， 即M的值是，N的值是36； （2）解：∵，， ∴， 整理得， ∴． 【点睛】本题考查代数式的求值、有理数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握求代数式的值的方法，第（2）中能用整体代入法是解答的关键． 【考点题型十四 多项式乘法的规律性计算】（） 【例14】（24-25八年级上·四川泸州·期末）仔细观察，探索规律： 则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．将所求式子前配上就符合范例中的结构特征，再根据规律计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式14-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； … 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，将变形为，利用“杨辉三角”展开，得出的余数，即可求解． 【详解】解：， 可有， 的余数为1，即的余数为1， 若今天是星期四，则经过天后是星期五． 故选D． 【变式14-2】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（）的展开式的系规律（按a的次数由大到小顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算、杨辉三角中展开式系数的规律等知识，根据前四个展开式的系规律可知，含的项是的展开式中的第二项，从而得出的展开式中含项的系数，熟练掌握以上知识点的综合应用及找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵展开式中的第二项系数为， 展开式中的第二项系数为， 展开式中的第二项系数为， 展开式中的第二项系数为， ∴展开式中的第二项系数为， 由图中规律可知：的第二项为， ∴的展开式中含项的系数是， 故答案为：． 【变式14-3】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）计算： ． ． ． ． 从上面的计算中你发现的规律（用含n的一般形式表示） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，根据多项式乘以多项式的计算法则求出前面4个式子的结果，进而总结规律求解即可． 【详解】解：； ； ； ； ……， 以此类推可知，． 故答案为：；；；． 【变式14-4】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）观察下列等式： ； ； …… (1)根据以上等式的规律，填空：； (2)根据以上等式的规律，填空：； (3)利用（2）中的等式化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可总结规律，进而问题可求解； （3）利用以上规律可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为； （2）解：； ； …… ∴； 故答案为； （3）解： ． 【考点题型十五 整式乘法混合运算】（） 【例15】（23-24八年级上·河南南阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键 （1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式15-1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法的混合运算法则． （1）首先计算积的乘方，然后计算单项式乘以多项式； （2）首先计算多项式乘以多项式，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式15-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （2）直接利用多项式乘以多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案． （3）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （4）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键． 【变式15-3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则进行计算； （2）根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式15-4】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）已知，是多项式，计算时，某同学把误写成，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的加减，解题的关键是熟练掌握整式运算的法则． （1）利用整式的乘法求出多项式，再计算即可； （2）先进行整式的乘方和乘法运算，再进行整式的减法即可． 【详解】（1）解：根据题意得， （2）解：由（1）得, 【考点题型十六 乘法公式】（） 【例16】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）下列多项式中是完全平方式的有（    ） ①     ②      ③       ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式有和两个，根据以上内容逐个判断即可，熟练掌握完全平方式的结果特点是解答的关键． 【详解】解：依题意，是完全平方式，故①符合题意； 不是完全平方式，故②不符合题意； 不是完全平方式，故③不符合题意； 不是完全平方式，故④不符合题意； 故是完全平方式的只有①， 故选A． 【变式16-1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）设，，其中为实数，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式减法的应用，完全平方公式的应用，利用作差法，用完全平方公式，得，即可得解． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 【变式16-2】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 解得：， 故答案为： 【变式16-3】（2025七年级下·全国·专题练习）若，则m的值为 ． 【答案】801 【分析】本题主要考查了完全平方公式，把改写成，再利用完全平方公式把展开，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式16-4】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是乘法公式的应用； （1）先利用完全平方公式，平方差公式计算乘法运算，再合并同类项即可； （2）把原式化为，再结合平方差公式与完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十七 乘法公式与几何图形】（） 【例17】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）若用四个完全相同的这样的长方形（长为a、宽为b）拼成如图1的正方形，请用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式：____________； （2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式， ①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：____________； ②利用上面所得的结论解答：，，求的值． 【答案】（1）（2）①② 【分析】（1）利用面积相等推导公式； （2）①利用体积相等推导； ②应用①生成的公式，进行变形，代入计算即可； 本题考查完全平方公式的几何意义，能够由面积相等过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵阴影部分是边长为（）的正方形， ∴ 阴影面积为， ∵ 阴影部分的面积可以由大正方形的面积减去四个长方形的面积， ∴ 阴影部分面积为， ∴ 由阴影部分面积相等可得， 故答案为：， （2）①∵ 大正方体的棱长为， ∴ 大正方体的体积为 ∵大正方体的体积可以看成长方体和小正方体的体积和 ∴大正方体的体积为 ∴； 故答案为：； ②∵，，， ∴， 即， ∴． 【变式17-1】（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图①，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中的阴影部分的边长为 ； (2)观察图②，写出代数式，与之间的等量关系式； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键． （1）根据小正方形的边长与原长方形的长与宽的关系得出结论； （2）根据大正方形、小正方形，与四周的4个长方形的面积之间的关系得出等式； （3）根据（2）的结论，代入求值即可． 【详解】（1）由图可知：图②中画有阴影的小正方形的边长， 故答案为：； （2）观察发现，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个小长方形的面积， 即：； （3）由（2）得：； ，， ， ． 【变式17-2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图1是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形．         (1)请根据图1写出一个乘法公式：____________； (2)①已知等式可以通过两种不同的方式计算同一个图形的面积得到，请画出这个图形并在所画图中标注相关数据； ②若，，则______； (3)如图2，点C在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①图见解析；②29 (3)17 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的变形应用： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）①画出一个边长为的正方形即可； ②利用①中等式进行变形计算即可； （3）设，得到，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可表示为：或， ∴； 故答案为：； （2）解：①可以看成是一个边长为的正方形的面积，故可画图如下： ②， ， ； 故答案为：29； （3）解：设， ， ， ， ，即， ； 答：阴影部分的面积为17． 【变式17-3】（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：，经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 直接应用：（1）若，，直接写出的值为______． 类比应用：（2）①若，则______； ②若a满足，求的值． 知识迁移：（3）如图3，在长方形中，，E，F是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为45，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）15；（2）①13；②8；（3）166 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）根据完全平方公变形求值即可； （2）①将看作一个整体，然后应用完全平方公式进行计算即可； ②令，，则，，根据完全平方公式变形求值即可； （3）设正方形和的边长分别为、，根据题意得出，，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）①∵，， ∴ ； ②令，， 则，， ∴ ， 即； （3）设正方形和的边长分别为、，则，， ∴， ∵长方形的面积为45， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 【变式17-4】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）数形结合是一种重要的数学思想，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．    （1）如图1，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为______；（用、表示） （2）①类比（1）的探究过程，用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为______；（用、、表示）； ②根据上面的结论，已知．，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个探究过程，请画图探索的结果（用、、、表示）． 【答案】（1）；（2）①；②29；（3），画图见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． （1）用两种不同的方式表示大正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； （2）①类比（1）用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； ②把①中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可； （3）根据（1）、（2）中等式的规律直接写出结果即可． 【详解】（1）大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方形、个边长为的正方形、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； （2）①类比（1）可得：， 故答案为：； ②由①可得：， ，， ， 故答案为：29； （3）由（2）可得：， 画图如下： 【考点题型十八 乘法公式的变形求值】（） 【例18】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）若，则的值是（　　） A． B．11 C． D．22 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式求解，根据已知条件可得出，代入，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故选：D 【变式18-1】（24-25八年级上·四川南充·期末）已知，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式．先把的左右两边同时平方，然后利用完全平方公式展开，即可求出即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ∴， ． 故选：D． 【变式18-2】（24-25七年级下·全国·期中）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查完全平方公式，解题的关键是将已知等式两边平方． 将两边分别平方，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式18-3】（24-25七年级下·甘肃白银·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式18-4】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； 类比应用： （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）根据完全平方公式变形即可求解； 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十九 多项式除法】（） 【例19】（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先通过完全平方公式，单项式乘以多项式与合并同类项计算括号内，然后算除法，最后把，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式19-1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，先进行平方差公式和多项式除以单项式的运算，然后合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ；           当，时， 原式． 【变式19-2】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个多项式． ． (1)求被手掌遮住的多项式； (2)当，时，求被手掌遮住的多项式的值． 【答案】(1)； (2)7． 【分析】本题考查了多形式除以单项式，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）用除以即可； （2）把，代入（1）的结果计算即可． 【详解】（1）解：设被手掌遮住的多项式为A， 则 ， ∴被手掌遮住的多项式为； （2）解：当，时， ， ∴被手掌遮住的多项式的值为7． 【变式19-3】（23-24七年级下·浙江·期中）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)配方： ． (2)先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法计算即可； （2）根据平方差公式、多项式除以单项式的运算法则、合并同类项把原式化简，利用配方法、偶次方的非负性分别求出、，代入计算即可． 本题考查的是整式的混合运算化简求值、配方法的应用，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， ， 则， ， ，， ，， 则原式． 【变式19-4】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)的商是_______． (2)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加8，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的3倍（如图），用含x的代数式表示a． (3)在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积小55，求长方形C的另一边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式，多项式乘以多项式，熟知多项式与多项式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）根据题中竖式求解； （2）根据长方形周长计算公式结合已知条件列出关于a、x的等式即可得到答案； （3）先求出长方形B的面积，进而求出长方形C的面积，再利用短除法求出长方形C的另一边长即可． 【详解】（1）解：， ∴的商是， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：长方形B的面积为， ∴长方形C的面积为 ， ， ∴长方形C的另一边长为． 27 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $$