清单02 二元一次方程组（4个考点清单+18种题型解读）七年级数学下学期新教材北京版

清单02 二元一次方程组（4个考点梳理+18种题型解读） 清单01 二元一次方程（组）的定义与解 二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 清单02 二元一次方程组的解法 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 清单03 三元一次方程组的解 三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 清单04 二元一次方程组的应用 列方程组解应用题的基本思路： 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【考点题型一 二元一次方程的定义】（） 【例1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列选项中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）下列方程中①；②；③；④；⑤，二元一次方程的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则m，n的取值范围分别是 ． 【变式1-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程是关于的二元一次方程，求的值． 【考点题型二 二元一次方程的解】（） 【例2】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程有一组解为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）下列4组数值中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 【变式2-3】（2024七年级下·全国·专题练习）已知，则y可以用含x的代数式表示为 ． 【变式2-4】（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解． (1)求k的值； (2)用含y的代数式表示x； (3)检验是不是这个方程的解． 【考点题型三 二元一次方程组的定义和解】（） 【例3】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①②③④⑤⑥ A．①③⑤ B．①③④ C．①②③ D．③④ 【变式3-2】（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 【变式3-3】（2022·贵州黔东南·模拟预测）在下列数对中：①；②；③；④，其中是方程的解的是 ；是方程的解的是 ；既是方程的解，又是方程的解的是 填序号 【变式3-4】（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【考点题型四 代入消元法】（） 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1)． (2)． 【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4)． 【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 【变式4-4】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）用代入法解方程组 【考点题型五 加减消元法】（） 【例5】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) 【变式5-1】（2025七年级下·全国·专题练习）用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 【变式5-2】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： (1)； (2)． 【变式5-3】（2025七年级下·全国·专题练习）用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 【变式5-4】（2025七年级下·全国·专题练习）用加减法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型六 三元一次方程组的解】（） 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 【变式6-1】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解方程组：． 【变式6-2】（23-24六年级下·上海宝山·期末）解方程组： 【变式6-3】（2024六年级下·上海·专题练习）解方程组：． 【变式6-4】（23-24七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【考点题型七 三元一次方程组的应用】（） 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为(    ) A．68 B．70 C．72 D．74 【变式7-1】（2024·贵州贵阳·一模）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 【变式7-2】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，共付27.2元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，共付32.4元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付 元． 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知某速食店贩售的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价格比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价格便宜8元．阿俊打算到该速食店买两份套餐，他发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销活动，且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价格比两份套餐的总价格便宜2元，则单点一块鸡排的价格为 元． 【变式7-4】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【考点题型八 构造二元一次方程组求解】（） 【例8】（23-24七年级下·河南周口·期中）在等式中，当时，；当时，，则当时，x的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式8-1】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）对于实数x，y定义新运算；，其中a，b为常数，已知，，那么（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式8-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【变式8-3】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 1 4 【变式8-4】（23-24七年级下·河北唐山·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． (1)按照小云的方法，求出的值； (2)老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【考点题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数】（） 【例9】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式9-1】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解x和y的值满足，则a的值是（   ） A． B．2 C． D．0.5 【变式9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程组中的相等，则的值为 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【变式9-4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【考点题型十 二元一次方程组的应用之方案问题】（） 【例10】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． 【变式10-1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）每年的4月23日是世界读书日，某校打算在世界读书日当天举办“阅读分享演讲比赛”，张老师负责这次比赛的奖品采购工作，如下是他整理的采购方案表，请结合相关数据，解决任务（1）~（3）的问题． “阅读分享演讲比赛”奖项设置和奖品采购方案表 奖项设置 设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需确定获奖人数以及奖品购买方案． 成本 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元；1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． 预算 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 要求 ①计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且； ②一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1本笔记本． 问题解决 任务（1） 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各需多少元？ 任务（2） 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务（3） 确定获奖人数 任务（2）购买的奖品刚好全部发完，求出a，b的值． 【变式10-2】（2025·贵州·一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2024年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元． (1)求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过180万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 【变式10-3】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）华州区位于渭南市南部，有社火、皮影、秧歌、竹艺等多种民俗文化，曾被文化和旅游部命名为年度“中国民间文化艺术之乡”．某校准备组织180名师生到华州区旅游参观，现有甲、乙两种客车可供选择，已知3辆甲种客车的载客量比2辆乙种客车的载客量多60人，2辆甲种客车与1辆乙种客车的总载客量为110人 (1)求每辆甲种客车和每辆乙种客车的载客量分别为多少人： (2)若该校准备租用辆甲种客车和辆乙种客车，将180名师生一次送到目的地，且每辆车都恰好坐满，请你帮助学校设计出所有的租车方案 【变式10-4】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车向内地运输蔬菜，租用这两种货车的部分信息如下表： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 2辆 5辆 (1)求1辆中型车和1辆大型车满载一次各运输蔬菜的吨数； (2)若蔬菜种植基地计划一次运完蔬菜，且恰好每辆车都装满． （i）请你帮该蔬菜种植基地设计租车方案； （ii）若中型车每辆需租金1000元/次，大型车每辆需租金1500元/次，请你帮该蔬菜种植基地计划最少租车费是多少元？此时租车方案是什么？ 【考点题型十一 二元一次方程组的应用之行程问题】（） 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）列二元一次方程组解决实际问题：小明从家到学校需要先走一段上坡路再走一段下坡路，小明上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从家走到学校需要15分钟，如果放学回家时，小明的上坡和下坡的平均速度不变，则从学校回家需要20分钟，请问小明家与学校的距离是多少千米？ 【变式11-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到完全出隧道共用时，整列火车完全在隧道内的时间为，整列火车长．请你根据小明和小亮获得的数据，求出隧道的长度和火车过隧道的速度． 【变式11-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）李明家和王方家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇．李明和王方骑自行车的平均速度分别是多少？ 【变式11-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． (1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ (2)求的长度． 【变式11-4】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【考点题型十二 二元一次方程组的应用之工程问题】（） 【例12】（2025七年级下·全国·专题练习）（应用意识）为了交通便捷，某省开始修建高铁，其中段将于2025年年底建成．开通后的段高铁将比现在运行的段城际铁路全长缩短，全程仅需．已知段城际列车全程需要，平均速度是开通后的高铁的． (1)段高铁与段城际铁路全长各为多少千米？ (2)甲、乙两个工程队同时对段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【变式12-1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【变式12-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 【变式12-3】（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【变式12-4】（23-24八年级上·海南海口·期末）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 【考点题型十三 二元一次方程组的应用之数字问题】（） 【例13】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【变式13-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 【变式13-2】（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【变式13-3】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【变式13-4】（23-24七年级下·福建泉州·期中）山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？ 【考点题型十四 二元一次方程组的应用之年龄问题】（） 【例14】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【变式14-1】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 【变式14-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【变式14-3】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为 岁． 【变式14-4】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是 ． 【考点题型十五 二元一次方程组的应用之分配问题】（） 【例15】（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为 ． 【变式15-1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 ． 【变式15-2】（2023七年级下·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示） 【变式15-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【变式15-4】（24-25七年级上·广东湛江·期末）列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【考点题型十六 二元一次方程组的应用之销售、利润问题】（） 【例16】（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． (1)每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ (2)该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 【变式16-1】（2025·安徽·一模）某天，蔬菜经营户张老板用218元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿到市场去卖，豆角和西红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示： 品名 豆角 西红柿 批发价/元 零售价/元 请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况． 【变式16-2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元． (1)求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱． (2)现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适． 【变式16-3】（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校小时体育活动时间，某班计划采购、两种类型的羽毛球拍．已知购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元；购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元． (1)求、两种类型羽毛球拍的单价． (2)该班准备采购、两种类型的羽毛球拍共副，且购买的总费用不高于元，至少购买型羽毛球拍多少副？ 【变式16-4】（2025·安徽宣城·一模）2023年，安徽科技“名场面”越来越多，一系列原创性，标志性科技成果令人振奋．为把科技融入课程，某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型号机器人模型的单价比B型号机器人模型的单价多200元，购买4台A型号机器人模型的费用比购买5台B型号机器人模型的费用多500元．现在需要购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台，问一共需要花费多少钱？ 【考点题型十七 二元一次方程组的应用之和差倍分问题】（） 【例17】（2025·山西运城·模拟预测）2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价. 【变式17-1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． (1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？ 【变式17-2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．根据以上信息解答： (1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球，足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？ 【变式17-3】（2025·广东清远·一模）2022年北京冬（残）奥运会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受广大观众朋友的喜爱，欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元． (1)求两种纪念品的单价． (2)某旅行团准备花12000元购买 “冰墩墩”和“雪容融”共250件，最多可以购买多少件“冰墩墩”． 【变式17-4】（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元． (1)求A，B两种品牌的足球的单价． (2)2024年学校购买足球的预算为6000元，总共购买100个球，求最多购买多少个B品牌足球． 【考点题型十八 二元一次方程组的应用之几何问题】（） 【例18】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【变式18-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【变式18-2】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 【变式18-3】（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）中考新考法 阅读理解题  新定义：若关于x，y的两个二元一次方程组的解中，x值（或y值）相等，y值（或x值）互为相反数，则称这两个方程组为“友好方程组”．例如：方程组的解为方程组的解为两个方程组的解中，x值相等，y值互为相反数，所以与为“友好方程组”．请你根据上述描述，解决问题： 关于x，y的二元一次方程组与为“友好方程组”，求a，b的值． 【变式18-4】（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 二元一次方程组（4个考点梳理+18种题型解读） 清单01 二元一次方程（组）的定义与解 二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 清单02 二元一次方程组的解法 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 清单03 三元一次方程组的解 三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 清单04 二元一次方程组的应用 列方程组解应用题的基本思路： 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【考点题型一 二元一次方程的定义】（） 【例1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 【变式1-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列选项中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程成为解题的关键． 根据二元一次方程的定义即可解答． 【详解】解：A． ，未知数的最高次数为2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； B． ，有两个未知数且次数均为1，故该选项符合题意； C． ，分母上有未知数，故该选项不符合题意；     D． ，只含有1个未知数，故该选项不符合题意． 故选B． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）下列方程中①；②；③；④；⑤，二元一次方程的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义进行判断即可．本题主要考查了二元一次方程的判断，解题关键是熟练掌握二元一次方程的概念，只含有二个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做二元一次方程． 【详解】解：①不是二元一次方程，不符合题意； 不是二元一次方程，不符合题意； ③由得，是二元一次方程，符合题意； 不是二元一次方程，不符合题意． ⑤，是二元一次方程，符合题意， 则共有2个二元一次方程， 故选：C． 【变式1-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则m，n的取值范围分别是 ． 【答案】 【分析】本题考查了移项、二元一次方程的定义．掌握二元一次方程的定义是解决本题的关键．先把方程移项，转化为含x、y的二元一次方程的一般形式，根据二元一次方程的定义，确定m，n的取值范围即可． 【详解】解：方程可化为， ∵方程是关于、的二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程是关于的二元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义可得且，且，再进一步即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：且，且， 解得． 【考点题型二 二元一次方程的解】（） 【例2】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程有一组解为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，解题的关键是将方程解代入方程，即可求出k的值．已知二元一次方程的解，代入等式必成立，由此求出k的值． 【详解】解：将代入得：， 解得：， 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）下列4组数值中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，根据二元一次方程的解能使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故不是的解； B、，故不是的解； C、，故不是的解； D、，故是的解； 故选D． 【变式2-2】（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 将解代入原方程组即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 故答案为：5． 【变式2-3】（2024七年级下·全国·专题练习）已知，则y可以用含x的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：方程， 解得：， 故答案为：． 【变式2-4】（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解． (1)求k的值； (2)用含y的代数式表示x； (3)检验是不是这个方程的解． 【答案】(1) (2) (3)不是 【分析】本题考查了二元一次方程的解、列代数式，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． （1）代入到方程，得到关于k的方程，即可求出k的值； （2）由（1）得，代入方程，即可解答； （3）由（2）得，计算出当时对应的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：代入到方程，得， 解得：， 的值为． （2）解：由（1）得，， 代入到，得， ， 用含y的代数式表示x为． （3）解：由（2）得，， 当时，， 不是这个方程的解． 【考点题型三 二元一次方程组的定义和解】（） 【例3】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的概念．二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．利用二元一次方程组的定义逐一选项判断即可． 【详解】解：A、方程组中方程不是整式方程， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意． B、∵方程组中方程是二次方程， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意； C、∵方程组含有三个未知数， ∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组是二元一次方程组，符合题意． 故选：D． 【变式3-1】（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①②③④⑤⑥ A．①③⑤ B．①③④ C．①②③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定． 【详解】①是含有3个未知数，故不符合题意； ②，含未知数的项最高次数是2次，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ③是二元一次方程组，故符合题意； ④是二元一次方程组，故符合题意； ⑤中有方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ⑥，含未知数的项最高次数是2次，故不是二元一次方程组，故不符合题意； 故是二元一次方程组是③④， 故选：D． 【变式3-2】（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解． 【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键． 【变式3-3】（2022·贵州黔东南·模拟预测）在下列数对中：①；②；③；④，其中是方程的解的是 ；是方程的解的是 ；既是方程的解，又是方程的解的是 填序号 【答案】 ①③ ③ ③ 【分析】把四组值分别代入方程和，然后根据二元一次方程的解的定义进行判断． 【详解】解：；；；， ∴①③是方程的解； 当，时，， ∴①不是方程的解； 当，时，， ∴②不是方程的解； 当，时，， ∴③是方程的解； 当，时，， ∴④不是方程的解． 故答案为①③；③；③． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【变式3-4】（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 【考点题型四 代入消元法】（） 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组， 对于（1），由②得出③，把③代入①求出x，再把解代入③求出x即可； 对于（2），由①得出③，把③代入②求出y，再把解代入③求出x即可． 【详解】（1）解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以方程组的解是； （2）解：， 得，③， 由①得，④， 把④代入③得，， 解得，， 将代入④，得y， 所以方程组的解是． 【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了代入法二元一次方程组，先找一个简单的方程，用一个未知数表示另一个未知数，再用代入法求解． 对于（1），直接将①代入②求出x，再将x的值代入①求出y即可； 对于（2），将①整理为，再代入②，求出y，再将y值代入③可得解； 对于（3），仿照（1）去解； 对于（4），将②整理为，再代入求出解. 【详解】（1）解：, 把①代入②得，， 解得， 把代入①得， ． ∴原方程组的解为； （2）解：， 由①，得， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得 ， ∴原方程组的解为； （3）解：， 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得， ， ∴原方程组的解为； （4）解：， 由②得，， 把③代入①得，， 解得， 把代入③，得 ， ∴原方程组的解为． 【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用代入消元法求解即可； （3）方程组利用代入消元法求解即可； （4）方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解这个方程，得， 把代入②，得， ∴方程组的解是； （2）解：． 由①得， 把③代入②，得， 解这个方程，得， 把代入③，得 ∴这个方程组的解是； （3）解： ， 由②得， 把③代入①，得， 解这个方程，得， 把代入③，得 ∴这个方程组的解是； （4）解： 由②得， 把③代入①，得， 解这个方程，得， 把代入③，得 ∴这个方程组的解是． 【变式4-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是正确利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用代入消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可； 【详解】（1）解： 把代入，得， 整理得， 解得， 把代入，得， ∴； （2）解： 整理得， 把代入，得， 解得， 把代入，解得， ∴． 【变式4-4】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）用代入法解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点，准确计算是解题的关键；将代入，求出x的值，然后再求出y的值即可． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：． 【考点题型五 加减消元法】（） 【例5】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的消元思想是解题关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）把方程组变形，整理得，再利用代入消元法解方程即可． 【详解】（1）解： ①-②，得：， 解得：， 将代入①，解得：， 这个方程组的解是． （2）解：整理，得：， 将代入②，解得， 将代入①，得：， 解得：． 这个方程组的解是． 【变式5-1】（2025七年级下·全国·专题练习）用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法并灵活选择是关键． （1）由于y的系数互为相反数，所以用加减消元法； （2）未知数系数比较复杂，应先找到某一个未知数系数的最小公倍数后，用加减消元法． 【详解】（1）解：， 两式相加消去y得：， 所以， 代入①得：． 所以原方程组的解为． （2）， ①×2+②×3得：， 所以． 代入①得：． 所以原方程组的解为． 【变式5-2】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）解：方程组整理得， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 【变式5-3】（2025七年级下·全国·专题练习）用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解此题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． （2）解：化简得， 由得：， 代入①得：， ∴． ∴原方程组的解为． 【变式5-4】（2025七年级下·全国·专题练习）用加减法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解此题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可； （3）利用加减消元法求解即可； （4）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得，解得：， 代入①得，解得：， 则方程组的解为； （2）解：， ，得，解得：， 代入①，得，解得：， 则方程组的解为； （3）解： ，得，解得：， 代入①，得，解得：， 则方程组的解为； （4）解：方程组可化为， ，得，解得：， 代入②，得，解得：， 则方程组的解为． 【考点题型六 三元一次方程组的解】（） 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消元法．得出，得出，由④和⑤组成方程组，求出方程组的解，把，代入③求出y即可． 【详解】解：， 得：， 得：， 由④和⑤组成方程组：， 两式相加得：，解得：， 将代入④解得， 把，代入③得：， 解得：， 即方程组的解是． 【变式6-1】（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，采用加减消元法即可作答． 【详解】解：， ①②得：④， ③④得： 解得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【变式6-2】（23-24六年级下·上海宝山·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，根据加减消元法解方程组即可求解． 【详解】解： ①③得，④ ①②得，⑤ ④⑤得， 解得：， 将代入④得 解得： 将代入②得， 解得： ∴方程组的解为： 【变式6-3】（2024六年级下·上海·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组前两个方程相加消去得到与的方程，与第三个方程联立求出与的值，进而求出的值即可． 【详解】解： ①②得：④， ④③得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 【变式6-4】（23-24七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【考点题型七 三元一次方程组的应用】（） 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为(    ) A．68 B．70 C．72 D．74 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意．根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解． 【详解】解：设一班为x人，二班有y人，三班由z人， 则：， 方程组可化为：， 得：， ∴， 故选：B． 【变式7-1】（2024·贵州贵阳·一模）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（    ） a b c 10 d e A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， ， ； 故选：D． 【变式7-2】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，共付27.2元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，共付32.4元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付 元． 【答案】11 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．设1斤苹果元，1斤西瓜元，1斤橙子元，根据题意列三元一次方程组，利用加减消元法得到，即可得到答案． 【详解】解：设1斤苹果元，1斤西瓜元，1斤橙子元， 则， 由得：， 解得：， 即买1斤西瓜和1斤橙子需付11元， 故答案为：11． 【变式7-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知某速食店贩售的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价格比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价格便宜8元．阿俊打算到该速食店买两份套餐，他发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销活动，且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价格比两份套餐的总价格便宜2元，则单点一块鸡排的价格为 元． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设出未知数，根据题意找对等量关系是解决本题的关键． 设一块鸡排的价钱为x元，一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设一块鸡排的价钱为x元，一杯可乐的价钱为y元，一份套餐的价钱为z元， 根据题意得：， 得：， ∴一块鸡排的价钱为18元． 故答案为：18． 【变式7-4】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】 已知实数、满足，求和的值． 本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？ 【答案】(1)， (2)1根丙种钢条长米． 【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键． （1）利用整体思想进行求解即可； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可； 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； （2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米， 由题意，得：， ，得：； ∴丙种钢条长米． 【考点题型八 构造二元一次方程组求解】（） 【例8】（23-24七年级下·河南周口·期中）在等式中，当时，；当时，，则当时，x的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意可的关于的二元一次方程，解答得的值，再将代入原式，即可求得的值． 【详解】解：把，和，代入原方程， 可得：， 解得， 等式为， 当时，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，熟练用加减消元法解二元一次方程是解题的关键． 【变式8-1】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）对于实数x，y定义新运算；，其中a，b为常数，已知，，那么（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】根据新定义和，，列出方程组，求得a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故选A． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是根据已知条件列出方程组，求出a，b的值． 【变式8-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 【变式8-3】（23-24七年级上·浙江丽水·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为 ． 0 1 2 1 4 【答案】 【分析】本题考查解方程和方程组，根据表中和，得到关于和的二元一次方程并求解，将和的值代入解方程即可．熟练掌握二元一次方程组及一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由和， 得， 解得， 将代入， 得， 解得， 故答案为：． 【变式8-4】（23-24七年级下·河北唐山·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． (1)按照小云的方法，求出的值； (2)老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立①③，可得出关于，的二元一次方程组，运用加减消元法，解之即可得出，的值； （2）利用，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组． 【详解】（1）解：联立①③得：， 由整理得，解得 将代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． （2）解：， 得： 则， ∵ ∴ 则， ． 【考点题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数】（） 【例9】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意，第二个方程减去第一个方程，得出，即，结合已知，即可得出答案． 【详解】解：， ②①，得，即， ∵， ∴． 故选：B． 【变式9-1】（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解x和y的值满足，则a的值是（   ） A． B．2 C． D．0.5 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先由二元一次方程组得，再根据二元一次方程组的解x和y的值满足，得，求出a的值即可． 【详解】解：， ∴，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解x和y的值满足， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 【变式9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程组中的相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知代入消元法是解答此题的关键． 根据题意得到，求出，代入②求解即可． 【详解】∵方程组中的x、y相等， ∴原方程组可化为 由①得，， 代入②得，， 解得． 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相减得到，进而可得，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-4】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合不小于0建立不等式求解即可． 【详解】（1）解方程组， 得， ∵方程组的解是正数， ， 解得． （2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 【考点题型十 二元一次方程组的应用之方案问题】（） 【例10】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价． 【答案】每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意，列出方程组，解出方程，即可． 【详解】解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， ∴， 解得：， 答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元． 【变式10-1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）每年的4月23日是世界读书日，某校打算在世界读书日当天举办“阅读分享演讲比赛”，张老师负责这次比赛的奖品采购工作，如下是他整理的采购方案表，请结合相关数据，解决任务（1）~（3）的问题． “阅读分享演讲比赛”奖项设置和奖品采购方案表 奖项设置 设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需确定获奖人数以及奖品购买方案． 成本 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元；1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． 预算 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品． 要求 ①计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且； ②一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1本笔记本． 问题解决 任务（1） 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各需多少元？ 任务（2） 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？ 任务（3） 确定获奖人数 任务（2）购买的奖品刚好全部发完，求出a，b的值． 【答案】任务（1）1盒水笔元，1包笔记本元 任务（2）可以购买方案有3种，第一种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第二种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第三种：购买水笔盒，购买笔记本包； 任务（3）， 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，掌握二元一次方程组及方程组的解运用是解题的关键． 任务（1）设1盒水笔元，1包笔记本元，由此列二元一次方程组求解即可； 任务（2）设购买水笔盒，购买笔记本包，均为正整数，根据二元一次方程的解的概念，分别代入计算即可求解； 任务（3）根据（2）中的计算，得到水笔的数量，笔记本的数量，则有水笔的数量为：支，笔记本的数量为：本，且，代入计算即可求解． 【详解】解：任务（1）购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元， ∴设1盒水笔元，1包笔记本元， ∴， 解得，， ∴1盒水笔元，1包笔记本元； 任务（2）设购买水笔盒，购买笔记本包，均为正整数， ∴， 整理得，， ∴当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴可以购买方案有3种，第一种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第二种：购买水笔盒，购买笔记本包； 第三种：购买水笔盒，购买笔记本包； 任务（3）已知1盒水笔有12支，1包笔记本有16本， ∴当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 当购买水笔盒，购买笔记本包时，水笔有支，笔记本由本； 已知计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且；一等奖：1支水笔和1本笔记本；二等奖：1支水笔；三等奖：1水笔记本， ∴水笔的数量为：支，笔记本的数量为：本，且， 当，时，，不符合题意，舍去； 当，时，，，符合题意； 当，时，，，，不符合题意； ∴，． 【变式10-2】（2025·贵州·一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2024年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元． (1)求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过180万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为20万元． (2)至少购买A种型号汽车辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据“2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买A种型号汽车辆，则B种型号汽车辆，根据“所需进价不超过180万元”，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为20万元． （2）解：设购买A种型号汽车辆，则B种型号汽车辆 依题意，， 解得， ∴至少购买A种型号汽车辆． 【变式10-3】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）华州区位于渭南市南部，有社火、皮影、秧歌、竹艺等多种民俗文化，曾被文化和旅游部命名为年度“中国民间文化艺术之乡”．某校准备组织180名师生到华州区旅游参观，现有甲、乙两种客车可供选择，已知3辆甲种客车的载客量比2辆乙种客车的载客量多60人，2辆甲种客车与1辆乙种客车的总载客量为110人 (1)求每辆甲种客车和每辆乙种客车的载客量分别为多少人： (2)若该校准备租用辆甲种客车和辆乙种客车，将180名师生一次送到目的地，且每辆车都恰好坐满，请你帮助学校设计出所有的租车方案 【答案】(1)甲种客车载客量为40人，乙种客车载客量为30人 (2)方案一：租用6辆乙种客车；方案二：租用3辆甲种客车，2辆乙种客车 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握方程组，不等式的解法是解题的关键． （1）设甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意，得，求解符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人， 根据题意，得， 解得． 答：甲种客车载客量为40人，乙种客车载客量为30人． （2）解：根据题意，得， 即， ， 解得， 为整数， 取0，1，2，3，4， ，符合题意， ，不符合题意， ，不符合题意， ，符合题意， ，不符合题意； 答：一共有2种方案，即方案一：租用6辆乙种客车；方案二：租用3辆甲种客车，2辆乙种客车． 【变式10-4】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车向内地运输蔬菜，租用这两种货车的部分信息如下表： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 2辆 5辆 (1)求1辆中型车和1辆大型车满载一次各运输蔬菜的吨数； (2)若蔬菜种植基地计划一次运完蔬菜，且恰好每辆车都装满． （i）请你帮该蔬菜种植基地设计租车方案； （ii）若中型车每辆需租金1000元/次，大型车每辆需租金1500元/次，请你帮该蔬菜种植基地计划最少租车费是多少元？此时租车方案是什么？ 【答案】(1)1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜 (2)（i）该蔬菜种植基地有3种租车方案．方案1：租用中型车14辆，大型车3辆；方案2：租用中型车9辆，大型车6辆；方案3：租用中型车4辆，大型车9辆．（ii）最少租车费为17500元，此时租车方案是租用中型车4辆，大型车9辆 【分析】（1）设1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜．根据题意，列出方程，解答即可． （2）（i）设租用中型车辆，大型车辆．根据题意，得，求方程的整数解即可得到答案；（ii）依次计算，比较解答即可． 本题考查了方程组的应用——方案问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜． 根据题意，得     解得 答：1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜． （2）（i）设租用中型车辆，大型车辆． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴或或 ∴该蔬菜种植基地有3种租车方案． 方案1：租用中型车14辆，大型车3辆； 方案2：租用中型车9辆，大型车6辆； 方案3：租用中型车4辆，大型车9辆． （ii）当，时，租车费用为（元）． 当，时，租车费用为（元）． 当，时，租车费用为（元）． ∵， ∴最少租车费为17500元，此时租车方案是租用中型车4辆，大型车9辆． 【考点题型十一 二元一次方程组的应用之行程问题】（） 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）列二元一次方程组解决实际问题：小明从家到学校需要先走一段上坡路再走一段下坡路，小明上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从家走到学校需要15分钟，如果放学回家时，小明的上坡和下坡的平均速度不变，则从学校回家需要20分钟，请问小明家与学校的距离是多少千米？ 【答案】0.7千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设小明从家到学校上坡路程为，下坡路程为，根据时间＝路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组，解方程求出x，y即可． 【详解】解：设小明从家到学校上坡路程为，下坡路程为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：小明家与学校的距离是0.7千米． 【变式11-1】（23-24七年级下·全国·单元测试）为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道到完全出隧道共用时，整列火车完全在隧道内的时间为，整列火车长．请你根据小明和小亮获得的数据，求出隧道的长度和火车过隧道的速度． 【答案】隧道长，火车过隧道的速度为 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设隧道的长度为，火车过隧道的速度为，根据行程问题的数量关系路程速度时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设隧道的长度为，火车过隧道的速度为， 得， 解得， 所以隧道长，火车过隧道的速度为． 【变式11-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）李明家和王方家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇．李明和王方骑自行车的平均速度分别是多少？ 【答案】李明骑自行车的速度为，王方骑自行车的速度为 【分析】本题考查了二元一次 方程组的应用，解题的关键在于是否能准确地找到等量关系．设李明骑自行车的平均速度为，王方骑自行车的平均速度为，根据他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇，列二元一次方程组，求出方程解即是求出答案． 【详解】解：设李明骑自行车的平均速度为，王方骑自行车的平均速度为， 根据题意：，即， 解得：， 答：李明骑自行车的速度为，王方骑自行车的速度为． 【变式11-3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． (1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ (2)求的长度． 【答案】(1) (2)的长度分别是 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用； （1）根据路程除以速度等于时间列式计算即可； （2）设的长度是的长度是，根据题意列出二元一次方程组计算求解即可． 【详解】（1）解： ． 故小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要． （2）解：∵骑行一圈需要，沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 又∵沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 设的长度是的长度是． 根据题意，得， 解得， 故的长度分别是． 【变式11-4】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【答案】(1)快车、慢车的速度分别为 (2)1小时或者3小时 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用； （1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解． （2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得 解得 答：快车、慢车的速度分别为． （2）设解：时间为小时，则由题意，得 或 解得或 答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距． 【考点题型十二 二元一次方程组的应用之工程问题】（） 【例12】（2025七年级下·全国·专题练习）（应用意识）为了交通便捷，某省开始修建高铁，其中段将于2025年年底建成．开通后的段高铁将比现在运行的段城际铁路全长缩短，全程仅需．已知段城际列车全程需要，平均速度是开通后的高铁的． (1)段高铁与段城际铁路全长各为多少千米？ (2)甲、乙两个工程队同时对段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【答案】(1)段高铁全长为段城际铁路全长为 (2)甲工程队后期每天至少施工 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程组，和不等式即可． （1）设段高铁全长为段城际铁路全长为，由题意得到二元一次方程组，求解即可； （2）设甲队后期每天施工，甲队原来每天的施工长度为（千米），乙每天的施工长度为（千米），根据题意列出一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设段高铁全长为段城际铁路全长为． 根据题意，得 解得 故段高铁全长为段城际铁路全长为． （2）解：设甲工程队后期每天施工． 甲工程队原来每天的施工长度为， 乙工程队每天的施工长度为． 根据题意，得，解得． 故甲工程队后期每天至少施工． 【变式12-1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． (1)根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． (2)从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【答案】(1)工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，联系上下文得甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度；即可作答． （2）分别解出甲乙两个的方程组，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，甲：表示工程队用时的天数， 乙：表示工程队整治道路的总长度； （2）解：选第一种：， 解得， 答：工程队用时10天，工程队用时20天； 选第二种：， 解得：， 工程队用时：， 工程队用时：， 答：工程队用时10天，工程队用时20天． 【变式12-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 【答案】甲工作了4天，乙工作了6天 【详解】解：设甲工作了x天，乙工作了y天， 由题意得： 解得 答：甲工作了4天，乙工作了6天． 【变式12-3】（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)嘉嘉同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是______，未知数y表示的是______； (2)淇淇同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天，请你按照她的思路解答老师的问题． 【答案】(1)甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， （1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解； （2）设甲队修建了p天，乙队修建了q天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）根据二元一次方程组可知：组中未知数x表示的是甲工程队修建的米数，未知数y表示的是乙工程队修建的米数， 故答案为：甲工程队修建的米数，乙工程队修建的米数 （2）根据题意得：， 解得，． 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 【变式12-4】（23-24八年级上·海南海口·期末）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车； (2)所抽调的熟练工的人数为人． 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据关键语句：①1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，②名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，列出方程组即可； （2）设需熟练工m名，根据题意可得等量关系n名新工人一年安装的电动汽车数名熟练工一年安装的电动汽车数辆，根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车， 根据题意可列方程，， 解得． 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车； （2）解：设需熟练工m名， 依题意有：， 整理得：． 所抽调的熟练工的人数为人． 【考点题型十三 二元一次方程组的应用之数字问题】（） 【例13】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，若这两个四位数的和是5050，求较大的两位数与较小的两位数分别是多少？ 【答案】较大的两位数与较小的两位数分别30，20 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的差是10；②和的和是5050，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设较大的两位数为，较小的两位数为， 根据题意得：， 解得：， 答：较大的两位数与较小的两位数分别30，20． 【变式13-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 【答案】这个三位数为243 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，再行进计算即可得出结果． 【详解】解：设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为， 依题意，得：, 解得, 所以． 答：这个三位数为243． 【变式13-2】（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求： ①内、外两个圆周上的四个数之和相等； ②外圆两直径上的四个数之和相等． 求图中两空白圆圈内的数字．    【答案】外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等， ①， 内外两个圆周上的四个数之和相等， ②， 整理得：， 解得：， 外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9． 【变式13-3】（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． (2)第一次他们拼成的两位数为45． 【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x、y．根据题意列方程组求解即可； （2）根据（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 【变式13-4】（23-24七年级下·福建泉州·期中）山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？ 【答案】山上本来有只羊，山下本来有只羊 【分析】设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊，根据山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”列方程组求解． 【详解】解：设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊， 由题意得，， 解得：， 答：山上本来有只羊，山下本来有只羊． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【考点题型十四 二元一次方程组的应用之年龄问题】（） 【例14】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 【变式14-1】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 【答案】C 【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键． 【变式14-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 【变式14-3】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为 岁． 【答案】42 【分析】由题意得：弟弟今年的年龄为5岁，姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲大2岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生， 则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁）， 设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即父亲今年的年龄为42岁， 故答案为：42． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式14-4】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是 ． 【答案】42岁，23岁 【分析】设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁， 依题意，得：， 解得：． 答：甲现在42岁，乙现在23岁． 故答案为：42岁，23岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考点题型十五 二元一次方程组的应用之分配问题】（） 【例15】（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，每套由4个型零件和3个型零件配套组成，50天恰好完成1200套产品，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故答案为：40． 【变式15-1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土或运土．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配人挖土，人运土．为求，，小聪正确地列出了其中一个方程，你所列的另一个方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：挖土量运土量，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 【变式15-2】（2023七年级下·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列出方程组可求解． 【详解】解：根据题意得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：． 【变式15-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【答案】甲种小盒40个，乙种小盒60个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，根据将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒60个． 【变式15-4】（24-25七年级上·广东湛江·期末）列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【答案】(1)名工人 (2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人”进行列式，得，可解得答案； （2）设名工人生产桌子，由“张桌子配把椅子”进行列式，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， 答：调入名工人； （2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人）， 设名工人生产桌子，则名工人生产椅子， ∵每天组装的桌椅刚好配套， ∴， 解得：， ∴， 答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【考点题型十六 二元一次方程组的应用之销售、利润问题】（） 【例16】（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． (1)每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ (2)该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 【答案】(1)每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元 (2)最多购进A种奖品40个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列二元一次方程组，列一元一次不等式，是解题的关键． （1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，根据购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，根据总费用不超过3120元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元； （2）解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得： ， 解得：， 答：最多购进A种奖品40个． 【变式16-1】（2025·安徽·一模）某天，蔬菜经营户张老板用218元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿到市场去卖，豆角和西红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示： 品名 豆角 西红柿 批发价/元 零售价/元 请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况． 【答案】共能赚140元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设张老板批发了豆角，西红柿，根据豆角和西红柿、共用218元建立方程组，解方程组求出的值，再根据零售价和批发价计算利润即可得． 【详解】解：设张老板批发了豆角，西红柿， 由题意得：， 解得：， 则（元）， 因为， 所以张老板卖出这些豆角和西红柿共能赚140元． 【变式16-2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元． (1)求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱． (2)现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适． 【答案】(1)A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元 (2)促销方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式来求解． （1）设种跳绳每条元，种跳绳每条元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价； （2）分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案． 【详解】（1）解：设种跳绳每条元，种跳绳每条元， 根据题意得：， 解得：． 种跳绳每条10元，种跳绳每条5元． （2）解：促销方案一的花费：（元） 促销方案二的花费：（元） 当，解得：， 当，解得：． 当，解得：， 所以当时，该校选择促销方案一和二同样合适， 当时，该校选择促销方案二更合适， 当时，该校选择促销方案一更合适． 【变式16-3】（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校小时体育活动时间，某班计划采购、两种类型的羽毛球拍．已知购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元；购买副型羽毛球拍和副型羽毛球拍共需元． (1)求、两种类型羽毛球拍的单价． (2)该班准备采购、两种类型的羽毛球拍共副，且购买的总费用不高于元，至少购买型羽毛球拍多少副？ 【答案】(1)、两种类型羽毛球拍的单价分别为元，元 (2)至少购买型羽毛球拍副 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，理解题意、正确列出方程组与不等式是解题关键． （1）设、两种类型羽毛球拍的单价分别为元，元，根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买型羽毛球拍副，则型羽毛球拍副，根据不等关系“总费用不高于元”列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设、两种类型羽毛球拍的单价分别为元，元，由题意得： ， 解得：， 答：、两种类型羽毛球拍的单价分别为元，元． （2）解：设购买型羽毛球拍副，则型羽毛球拍副，由题意得：， 解得： 为整数， 取． 答：至少购买型羽毛球拍副． 【变式16-4】（2025·安徽宣城·一模）2023年，安徽科技“名场面”越来越多，一系列原创性，标志性科技成果令人振奋．为把科技融入课程，某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型号机器人模型的单价比B型号机器人模型的单价多200元，购买4台A型号机器人模型的费用比购买5台B型号机器人模型的费用多500元．现在需要购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台，问一共需要花费多少钱？ 【答案】3500元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设A型号机器人模型的单价为x元，B型号机器人模型的单价为y元，然后根据题意可得方程组，进而求解即可 【详解】解：设A型号机器人模型的单价为x元，B型号机器人模型的单价为y元． 根据题意，得， 解得． 购买A型号机器人模型4台，B型号机器人模型5台需要花费（元）． 答：一共需要花费3500元． 【考点题型十七 二元一次方程组的应用之和差倍分问题】（） 【例17】（2025·山西运城·模拟预测）2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价. 【答案】“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元，根据销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元及购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元． 【变式17-1】（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． (1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元 (2)有3种购买方案，分别为：购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个；购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个；购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据购买费用相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，根据总费用不超过6500，购买乙种品牌足球的个数不少于28个列出不等式组，求出解集，并确定正整数解，即可得出符合题意的方案． 【详解】（1）解：设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据题意，得： ， 解得， 答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元； （2）解：设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，依题意得： 解得：， 取正整数为20，21，22． 故有3种购买方案，分别为： 购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个； 购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个； 购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个． 【变式17-2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．根据以上信息解答： (1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球，足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)120元，90元 (2)一共有4种方案，方案一所需费用最少，最少的费用为5400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），先设购买1个篮球为x元，1个足球需要y元，再根据等量关系列出方程组，求出解即可； 对于（2），根据不等关系列出不等式组，求出解集得出方案． 【详解】（1）解：购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，根据题意，得 ， 解得， 所以购买1个篮球需要120元，1个足球需要90元； （2）解：设采购篮球m个，则足球个，根据题意，得 ， 解得， 所以， 一共有4种方案， 方案一：当采购篮球30个，足球20个时，所需费用为（元）； 方案二：当采购篮球31个，足球19个时，所需费用为（元）； 方案三：当采购篮球32个，足球18个时，所需费用为（元）； 方案四：当采购篮球33个，足球17个时，所需费用为（元）． ∵， ∴方案一所需费用最少，最少的费用为5400元． 【变式17-3】（2025·广东清远·一模）2022年北京冬（残）奥运会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受广大观众朋友的喜爱，欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元． (1)求两种纪念品的单价． (2)某旅行团准备花12000元购买 “冰墩墩”和“雪容融”共250件，最多可以购买多少件“冰墩墩”． 【答案】(1)“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元 (2)最多可以购买133件“冰墩墩” 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用： （1）设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元，根据欣欣购买了2件“冰墩墩”和5件“雪容融”共花了310元，而小华购买了3件“冰墩 墩”和2件“雪容融”共245元，列出方程组进行求解即可； （2）设可以购买件“冰墩墩”，根据题意，列出一元一次不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元， 由题意，得：，解得：； 答：“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为元和元； （2）设可以购买件“冰墩墩”，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为：133； 答：最多可以购买133件“冰墩墩”． 【变式17-4】（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元． (1)求A，B两种品牌的足球的单价． (2)2024年学校购买足球的预算为6000元，总共购买100个球，求最多购买多少个B品牌足球． 【答案】(1)品牌的足球的单价为40元个，品牌的足球的单价为100元个 (2)最多购买33个B品牌足球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于、的二元一次方程组；（2）根据总价单价数量，列不等式计算． （1）设品牌的足球的单价为元个，品牌的足球的单价为元个，根据“购买2个品牌的足球和3个品牌的足球共需380元；购买4个品牌的足球和2个品牌的足球共需360元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设品牌的足球的单价为元个，品牌的足球的单价为元个， 根据题意得：， 解得：． 答：品牌的足球的单价为40元个，品牌的足球的单价为100元个． （2）解：设购买B品牌足球个，则购买A品牌足球个． ， ， 最大可取33． 答：最多购买33个B品牌足球． 【考点题型十八 二元一次方程组的应用之几何问题】（） 【例18】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知：，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了定义新运算、解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算，结合，列出方程组即可求解； （2）先根据新运算法则列出关于x，y的方程组，用含的式子表示出，再根据即可求出m的值． 【详解】（1）解：，， ， 解得：． （2）解：由题意得，， 解得：， ， ， 解得：， 的值为0． 【变式18-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求，的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 【变式18-2】（24-25八年级上·陕西汉中·期末）定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．根据“友好关系”的定义可得这个方程组的解满足，与方程组中的第一个方程联立可得一个关于的方程组，利用加减消元法解方程组求出的值，然后代入方程组中的第二个方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 联立， 解得， 将代入方程得：， 解得：． 【变式18-3】（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）中考新考法 阅读理解题  新定义：若关于x，y的两个二元一次方程组的解中，x值（或y值）相等，y值（或x值）互为相反数，则称这两个方程组为“友好方程组”．例如：方程组的解为方程组的解为两个方程组的解中，x值相等，y值互为相反数，所以与为“友好方程组”．请你根据上述描述，解决问题： 关于x，y的二元一次方程组与为“友好方程组”，求a，b的值． 【答案】或． 【分析】本题考查了二元一次方程组以及新定义的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 结合“友好方程组”的定义进行分类讨论，①若x值相等，y值互为相反数，先得出原方程组的解为，同理可知方程组的解为联立⑤，⑥得方程组解得以及②若y值相等，x值互为相反数，得，⑦，得，⑧，再建立方程组，进行计算，即可作答． 【详解】解：分情况讨论：①若x值相等，y值互为相反数， 由①得，由④得， 则，解得， 将代入①，得， 解得， 原方程组的解为 将代入②中，得，⑤ 同理可知方程组的解为 将代入③，得，⑥ 联立⑤，⑥得方程组解得 ②若y值相等，x值互为相反数， 由①得，由④得， 则，解得， 将代入①，得， 解得， 原方程组的解为 将代入②，得，⑦ 同理可得的解为 将代入③，得，⑧ 联立⑦，⑧得方程组 解得 综上所述，a，b的值为或 【变式18-4】（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 38 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $$